Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012 Jenjang SMP

Tutur Widodo
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012
Jenjang SMP
Bidang Matematika
Bagian A : Soal Isian Singkat
1. Sebuah silinder memiliki tinggi 5 cm dan volume 20 cm2 . Luas permukaan bola
terbesar yang mungkin diletakkan ke dalam silinder tersebut adalah ...
Jawaban : 16 cm
Karena bola berada dalam silinder maka jari - jari bola sama dengan jari - jari alas
silinder. Misalkan jari - jari alas silinder adalah r. Karena tinggi silinder 5 cm
20
= 4 cm2 . Padahal luas
dan volumenya 20 cm2 maka luas alas silinder = πr2 =
5
permukaan bola = 4πr2 = 4 · 4 = 16 cm2 .
2. Jumlah tiga buah bilangan adalah 19. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua
masing - masing dikurangi 1, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio 1 : 3. Jika
bilangan kedua dan bilangan ketiga masing - masing ditambah 3, maka diperoleh
dua bilangan dengan rasio 5 : 6. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah ...
Jawaban : 6
Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah a, b, c dengan a < b < c, maka diperoleh
a + b + c = 19
1
a−1
=
b−1
3
⇔ 3a = b + 2
b+3
5
=
⇔ 5c = 6b + 3
c+3
6
Dari ketiga persamaan di atas didapat
(1)
(2)
(3)
a + b + c = 19 ⇔ 15a + 15b + 15c = 285
⇔ 5(b + 2) + 15b + 3(6b + 3) = 285
⇔ 38b = 266
⇔ b=7
karena b = 7 maka a = 3 dan c = 9. Sehingga c − a = 9 − 3 = 6.
1 1
1
1
1
1
1
+ +
+
+ · · · = a, maka +
+
+ ··· = ...
4 9 16 25
9 25 49
3
Jawaban : a − 1
4
3. Jika 1 +
1
Tutur Widodo
Misal N =
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
1
1
1
+
+
+ · · · , maka
9 25 49
1 1
1
1
+ +
+
+ ··· = a
4 9 16 25
1
1
1
1
1
1
1+ +
+
+ ··· + +
+
+ ··· = a
4 16 36 9 25 49
1 1
1
1 + + + ··· + N = a
1+
4
4 9
1
1+ a+N =a
4
3
N = a−1
4
1+
4. Lima belas bilangan prima pertama dituliskan berturut - turut pada lima belas
kartu. Jika semua kartu tersebut diletakkan dalam sebuah kotak dan kemudian
diambil secara acak dua buah kartu berturut - turut tanpa pengembalian, maka
peluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan yang tertulis merupakan
bilangan prima adalah ...
2
Jawaban : 35
Pasangan bilangan prima yang jumlahnya juga merupakan bilangan prima di antara
lima belas bilangan prima yang pertama adalah (2, 3), (2, 5), (2, 11), (2, 17), (2,
29) dan (2, 41).
• Jika kartu pertama terambil angka 2 maka kartu kedua harus salah satu dari
1 6
1
3, 5, 11, 17, 29 atau 41 sehingga peluangnya adalah
·
= .
15 14
35
• Jika kartu pertama terambil angka 3, 5, 11, 17, 29 atau 41 maka kartu kedua
6 1
1
harus angka 2 sehingga peluangnya adalah
·
= .
15 14
35
Jadi, peluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan yang tertulis meru1
1
2
pakan bilangan prima adalah
+
= .
35 35
35
5. Perhatikan gambar bangun datar setengah lingkaran dengan diameter AD dan
pusat lingkaran M berikut. Misalkan B dan C adalah titik - titik pada lingkaran
sedemikian sehingga AC⊥BM dan BD memotong AC di titik P . Jika besar
∠CAD = s◦ , maka besar sudut ∠CP D = ...
2
Tutur Widodo
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
C
B
P
A
D
M
Jawaban : 12 s◦ + 45◦
∠AM B = 90◦ − s◦ dan ∠ADB = 12 ∠AM B = 45◦ − 21 s◦ .
∠CP D = ∠CAD + ∠ADB
1
= s◦ + 45◦ − s◦
2
1 ◦
= s + 45◦
2
6. Lima angka yakni 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat disusun semuanya tanpa pengulangan
menjadi 120 bilangan berbeda. Jika bilangan - bilangan tersebut diurutkan dari
yang terkecil ke yang terbesar, maka bilangan yang menempati urutan ke- 75 adalah
...
Jawaban : 41325
Perhatikan,
• Jika angka pertama adalah 1 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24
• Jika angka pertama adalah 2 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24
• Jika angka pertama adalah 3 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24
Oleh karena itu, banyak bilangan yang dimulai dengan angka 1, 2, atau 3 adalah
24 + 24 + 24 =72. Selanjutnya mudah dilihat bahwa bilangan ke- 73 adalah 41235,
bilangan ke-74 yaitu 41253 dan bilangan ke-75 ialah 41325.
7. Diketahui 1 + k habis dibagi 3, 1 + 2k habis dibagi 5, dan 1 + 8k habis dibagi 7.
Jika k adalah bilangan bulat positif maka nilai terkecil untuk k adalah ...
Jawaban : 62
Dari keterangan pada soal kita punya,
k = 3x + 2
2k = 5y + 4
8k = 7z + 6
untuk suatu bilangan bulat x, y, z.
3
Tutur Widodo
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Substitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua diperoleh,
2(3x + 2) = 5y + 4 ⇔ 6x + 4 = 5y + 4
⇔ 6x = 5y
karena 5 tidak membagi 6 maka haruslah 5 membagi x. Dengan demikian x = 5m
untuk suatu bilangan bulat m. Substitusikan x = 5m ke pers. pertama, diperoleh
k = 3(5m) + 2 = 15m + 2. Selanjutnya substitusikan nilai k = 15m + 2 ke pers.
ketiga, didapat
8(15m + 2) = 7z + 6 ⇔ 120m + 16 = 7z + 6
⇔ 120m = 7z − 10
⇔ m = 7z − 119m − 7 − 3
⇔ m + 3 = 7z − 119m − 7
perhatikan ruas kanan habis dibagi 7 sehingga ruas kiri juga harus habis dibagi 7.
Dengan kata lain m + 3 = 7n ⇔ m = 7n − 3 dengan n merupakan bilangan
bulat. Substitusikan nilai m = 7n − 3 ke k = 15m + 2 sehingga didapat
k = 15(7n − 3) + 2 = 105n − 43
karena k adalah bilangan bulat positif maka nilai terkecil dari k yaitu 62 diperoleh
ketika n = 1.
8. Jika p = 20102 +20112 dan q = 20122 +20132 , maka nilai sederhana dari
adalah ...
Jawaban : 16184525
Misalkan n = 2010 maka didapat
p = n2 + (n + 1)2 = 2n2 + 2n + 1
q
1 − 2(p + q) + 4pq
dan q = (n + 2)2 + (n + 3)2 = 2n2 + 10n + 13
sehingga diperoleh
2p − 1 = 2(2n2 + 2n + 1) − 1 = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2
dan
2q − 1 = 2(2n2 + 10n + 13) − 1 = 4n2 + 20n + 25 = (2n + 5)2
4
Tutur Widodo
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Selanjutnya kita peroleh
q
1 − 2(p + q) + 4pq =
q
(2p − 1)(2q − 1)
=
q
(2n + 1)2 (2n + 5)2
= (2n + 1)(2n + 5)
= 4021 · 4025
= 16184525
9. Jika a dan b adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x2 − 7x − 1 = 0, maka
3b2
3a2
nilai dari
+
adalah ...
4b − 7 4a − 7
21
Jawaban : −
16
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar - akar persamaan kuadrat diperoleh,
a+b=
7
4
dan
ab = −
1
4
Selain itu karena a adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x2 − 7x − 1 = 0
kita peroleh,
4a2 − 7a − 1 = 0 ⇔ a(4a − 7) − 1 = 0 ⇔ 4a − 7 =
1
a
1
demikian pula 4b − 7 = .
b
Oleh karena itu didapat
3a2
3b2
3a2 3b2
+
= 1 + 1
4b − 7 4a − 7
b
a
= 3a2 b + 3ab2
= 3ab(a + b)
1 7
=3 −
4 4
21
=−
16
10. Pada gambar berikut, kedua ruas garis putus - putus yang sejajar membagi persegi
menjadi tiga daerah yang luasnya sama. Jika jarak kedua garis putus - putus tersebut adalah 1 cm, maka luas persegi adalah ... cm2 .
5
Tutur Widodo
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Jawaban : 13
Perhatikan gambar berikut!
F
D
C
x
A
E
B
y
Misalkan panjang sisi persegi adalah a. Misalkan pula CE = x dan BE = y.
Berdasarkan keterangan soal luas jajar genjang AECF adalah 31 a2 . Padahal kita
tahu pula luas jajar genjang AECF = x · 1 = x, maka didapat x = 13 a2 . Demikian
pula pada 4EBC berlaku
1
Luas 4EBC = a2
3
1
1
· BE · BC = a2
2
3
1
1 2
·y·a= a
2
3
2
y= a
3
Selanjutnya dengan dalil pythagoras pada 4EBC didapat,
2
2
y +a =x
2
⇔
⇔
⇔
⇔
2
a
3
2
1 2
+a =
a
3
4 2
1
a + a2 = a4
9
9
13
1 2
= a
9
9
2
a = 13
2
2
6
Tutur Widodo
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Jadi, luas persegi adalah 13 cm2 .
Bagian B : Soal Uraian
1. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi persamaan berikut :
2x + 3x − 4x + 6x − 9x = 1
Jawaban :
Misalkan 2x = m dan 3x = n maka persamaan pada soal equivalen dengan
m + n − m2 + mn − n2 = 1 ⇔ m2 + n2 − mn − m − n + 1 = 0
dengan sedikit manipulasi diperoleh persamaan
1
(m − n)2 + (m − 1)2 + (n − 1)2 = 0
2
sehingga m = n = 1 atau dengan kata lain 2x = 3x = 1 yang hanya dipenuhi jika
dan hanya jika x = 0.
Jadi, satu - satunya penyelesaian persamaan pada soal adalah x = 0.
2. Pada gambar berikut, sembilan lingkaran kecil dalam lambang olimpiade akan diisi
masing - masing dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9. Tentukan pengisian
tersebut sehingga jumlah bilangan di dalam setiap lingkaran besar adalah 14.
Jawaban :
Misalkan penyelesaian dari soal adalah seperti pada gambar di bawah ini:
Kita tahu bahwa a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45 dan karena jumlah di dalam
7
Tutur Widodo
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
setiap lingkaran besar adalah 14, kita peroleh
(a + b) + (b + c + d) + (d + e + f ) + (f + g + h) + (h + i) = 5 · 14
b + d + f + h + 45 = 70
b + d + f + h = 25
Selain itu, a + b = h + i = 14. Padahal dari sembilan bilangan tersedia yang
jumlahnya 14 hanya 5 + 9 dan 6 + 8. Dengan memperhatikan b + d + f + h = 25,
maka yang mungkin adalah b = 9 dan h = 6 (dalam hal ini jika b = 6 dan h = 9
sama saja karena simetris). Karena b = 9 dan h = 6 berarti d + f = 10. Dari
sisa angka yanga ada, yang jumlahnya 10 hanya 3 + 7 maka diperoleh d = 3 dan
f = 7. Angka - angka sisanya yaitu a, c, e, g, h menyesuaikan agar diperoleh jumlah
14 pada lingkaran besar. Salah satu penyelesaiannya adalah seperti berikut :
3. Diketahui 4ABC dengan AB = 25 cm, BC = 20 cm dan AC = 15 cm. Jika titik D
terletak pada sisi AB sedemikian sehingga perbandingan luas 4ADC dan 4ABC
8
Tutur Widodo
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
adalah 14 : 25, tentukan panjang CD.
Jawaban :
Perhatikan sketsa di bawah ini!
B
D
E
A
C
Tarik garis CE yaitu garis tinggi 4ABC dari titik E. Sehingga diperoleh
1
1
· AC · BC = · AB · CE
2
2
15 · 20 = 25 · CE
CE = 12
Kemudian dengan pythagoras pada 4ACE diperoleh AE = 9.
Selain itu ingat juga bahwa
Luas 4ADC
14
AD
=
=
AB
Luas 4ABC
25
sehingga
14
14
· AB =
· 25 = 14
25
25
Oleh karena itu, DE = AD − AE = 14 − 9 = 5 cm. Perhatikan juga 4CDE
adalah segitiga siku - siku. Dengan demikian dengan dalil pythagoras pada 4CDE
didapat CD = 13.
AD =
4. Dari hasil sensus diketahui bahwa penduduk suatu kota tak lebih dari 10000 orang
dan anak - anak 20% lebih banyak daripada penduduk dewasa. Jika anak laki laki 10% lebih banyak daripada anak perempuan, serta di antara penduduk dewasa
terdapat 15% lebih banyak perempuan. Tentukan jumlah terbesar yang mungkin
dari penduduk kota tersebut.
Jawaban :
Misalkan,
• N : jumlah seluruh penduduk
• D : jumlah penduduj dewasa
9
Tutur Widodo
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
• A : jumlah penduduk anak - anak
• DL : jumlah laki - laki dewasa
• DP : jumlah perempuan dewasa
• AL : jumlah anak laki - laki
• AP : jumlah anak - anak perempuan
Selanjutnya berdasarkan keterangan pada soal diperoleh :
A = D + 0, 2D = 1, 2D tetapi karena A + D = N maka N = A + D = 1, 2D + D =
2, 2D, sehingga
1
1, 2
D=
N dan A =
N
2, 2
2, 2
Dengan cara yang sama diperoleh AL = AP + 0, 1AP = 1, 1AP tetapi karena AL +
AP = A maka A = AL + AP = 1, 1AP + AP = 2, 1AP sehingga
1
1 1, 2
20
·A=
·
N= N
2, 1
2, 1 2, 2
77
1 1, 2
2
1
· A = 1, 1 ·
·
N= N
AL = 1, 1AP = 1, 1 ·
2, 1
2, 1 2, 2
7
AP =
Demikian pula dengan cara yang sama diperoleh :
DP = DL + 0, 15DL = 1, 15DL tetapi karena DL + DP = D maka D = DL + DP =
DL + 1, 15DL = 2, 15DL sehingga
1
1
1
100
·D =
·
N=
N
2, 15
2, 15 2, 2
11 · 43
1
1
1
115
DP = 1, 15 ·
· D = 1, 15 ·
·
N=
N
2, 15
2, 15 2, 2
11 · 43
DL =
Karena AL , AP , DL dan DP merupakan bilangan bulat positif maka haruslah N
merupakan kelipatan dari 7 · 11 · 43 = 3311. Karena N < 10000 maka nilai N
terbesar yang mungkin adalah N = 3 · 3311 = 9933.
Jadi, banyak penduduk terbesar yang mungkin di kota tersebut adalah 9933.
5. Diketahui sebuah bilangan rasional positif kurang dari 1 yang dinyatakan dalam pecahan biasa dalam bentuk paling sederhana. Jika hasil kali pembilang dan penyebut
dari bilangan rasional tersebut adalah 20! = 1 · 2 · 3 · 4 · · · · · · 20. Tentukan semua
bilangan yang dimaksud.
Jawaban :
a
Misalkan bilangan rasional yang dimaksud adalah dengan a < b dan F P B(a, b) =
b
1 serta ab = 20! Perhatikan karena F P B(a, b) = 1 maka keduanya tidak memiliki
faktor prima yang sama. Selain itu kita punya 20! = 218 ·38 ·54 ·72 ·11·13·17·19. Selanjutnya untuk mempermudah penulisan, misalkan a1 = 218 , a2 = 38 , a3 = 54 , a4 =
72 , a5 = 11, a6 = 13, a7 = 17 dan a8 = 19. Ada lima kasus yang mungkin yaitu :
10
Tutur Widodo
i.
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
a
1
= 8
Q
b
n=1
an
Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan jelas hanya 1.

min ai ,

ii.
a
=
b

8
Q
an 

n=1
n6=i

max 
ai ,

8
Q
n=1
n6=i
an 

Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C18 = 8.

min ai aj ,

iii.
a
=
b

8
Q
an 

n=1
n6=i,j


max ai aj ,

8
Q
an 

n=1
n6=i,j
Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C28 = 28.

iv.
a
=
b
min 
ai aj ak ,

8
Q
n=1
n6=i,j,k
an 


min ai aj ak ,

8
Q

an 

n=1
n6=i,j,k
Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C38 = 56.


min ai aj ak al ,

v.
a
=
b
8
Q
n=1
n6=i,j,k,l

max ai aj ak al ,

an 


8
Q
n=1
n6=i,j,k,l
an 

Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak
C48
= 35.
2!
Oleh karena itu bilangan rasional yang dimaksud ada sebanyak 1+8+28+56+35 =
128.
11
Tutur Widodo
Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Disusun oleh : Tutur Widodo
Apabila ada saran, kritik maupun masukan
silakan kirim via email ke
[email protected]
Terima kasih.
My Webblog : http://mathematic-room.blogspot.com
12