FTUI FTUI г Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng

The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Teknik Mesin – FTUI
Pokok Bahasan
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Konsep dan Definisi
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Eksperimen Probabilitas, Ruang Sampel dan
Peristiwa
q Eksperimen probabilitas (probability experiment)
adalah segala tindakan dimana suatu hasil/keluaran
(outcome), tanggapan (response) ataupun ukuran
(measurement) diperoleh
q Himpunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil,
tanggapan, ataupun ukuran dari eksperiment tersebut
disebut ruang sampel (sample space)
q Peristiwa/kejadian (event) didefinisikan sebagai
segala himpunan bagian dari hasil, tanggapan,
ataupun ukuran dalam suatu ruang sampel
q Diagram venn
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Konsep dan Definisi
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Contoh 3.1:
Pada eksperimen probabilitas mengambil sehelai kartu dari satu
set kartu bridge, maka ruang sampel dari eksperimen tersebut
adalah seluruh jenis kartu yang berjumlah 52 lembar tersebut.
Jika peristiwa A adalah terambilnya sebuah kartu hati (H), maka
peristiwa A dapat dinyatakan sebagai A = {2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H,
8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AsH}
S
A
Diagram Venn
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Konsep dan Definisi
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Definisi Probabilitas
q Probabilitas: sebuah bilangan antara 0 dan 1 yang
berkaitan dengan suatu peristiwa (even) tertentu
Ø Peristiwa pasti terjadi à probabilitas =1
Ø Peristiwa mustahil terjadi à probabilitas =0
q
Definisi Klasik :
Jika sebuah peristiwa A dapat terjadi dengan fA cara dari
sejumlah total N cara yang yang memiliki kesempatan sama
dan mutually exclusive mungkin terjadi, maka:
- probabilitas P(A) dari terjadinya peristiwa A:
P ( A) =
fA
N
- probabilitas tidak terjadinya peristiwa A
N - fA
f
P ( A) = P ( A%) = P (~ A) =
=1 - A =1 -P( A)
N
N
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Konsep dan Definisi
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Contoh 3.2:
Definisi klasik cocok digunakan misalnya pada permainan
tembakan/undian (games of chance). Misalnya dalam satu
set kartu bridge yang terdiri dari 52 kartu terdapat 4 buah
kartu As, maka probabilitas pengambilan satu kartu
mendapatkan kartu As adalah: P(As) = 4/52 = 1/13 = 0,077
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Konsep dan Definisi
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Definisi Probabilitas
q Definisi Frekuesi Relatif :
Jika sebuah eksperimen dilakukan sebanyak N kali dan
kejadian A terjadi sebanyak fA kali, maka jika percobaan
dilakukan sedemikian rupa N mendekati tak terhingga
(dilakukan tak terhingga banyaknya), limit dari fA/N
(frekuensi relatif) didefinisikan sebagai probabilitas
kejadian A atau P(A)
P ( A) = lim
N ®¥
q
fA
N
Definisi Subyektif (Intuitif) :
Dalam hal ini, probabilitas P(A) dari terjadinya peristiwa A
adalah sebuah ukuran dari “derajat keyakinan” yang
dimiliki seseorang terhadap terjadinya peristiwa A
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Definisi
q Peristiwa majemuk (compound event) adalah
peristiwa yang merupakan gabungan/kombinasi dua
atau lebih peristiwa sederhana (simple event)
q Terdapat tiga jenis peristiwa majemuk antara peristiwa
A dan peristiwa B :
Ø Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B telah
terjadi à Notasi : P(A|B)
Ø Keduanya, peristiwa A dan peristiwa B sama-sama
terjadi à Notasi : P(A dan B) atau P(A Ç B)
Ø Salah satu peristiwa A, atau peristiwa B, atau keduanya
terjadi à Notasi : P(A atau B) atau P(A È B)
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Probabilitas Bersyarat
q Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B telah
terjadi
q Dengan telah terlebih dahulu peristiwa B terjadi, maka
terjadi perubahan (pengurangan) pada ruang sampel
yang perlu dipertimbangkan untuk menentukan
probabilitas peristiwa A.
A
B
B
P( A Ç B)
P( A | B) =
P( B)
Teknik Mesin – FTUI
AÇ B
P( B) ¹ 0
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Peristiwa Saling Bebas (independent events) dan
Saling Terikat (dependent)
q Dua peristiwa A dan B saling bebas (independent)
apabila terjadinya/tidak terjadinya peristiwa A tidak
mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa B
q Sebaliknya, jika terjadinya peristiwa A mempengaruhi
probabilitas terjadinya peristiwa B disebut peristiwa
saling terikat (dependent)
q Jika peristiwa A dan B saling bebas, maka berlaku:
P( A | B ) = P( A) dan juga P ( B | A) = P ( B)
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Peristiwa Mutually Exclusive (Saling Meniadakan)
q Peristiwa A dan B adalah mutually exclusive jika
terjadinya salah satu peristiwa tersebut dalam sebuah
eksperimen probabilitas mencegah terjadinya
peristiwa yang lainnya selama berlangsungnya
eksperimen probabilitas yang sama
q Sebaliknya, jika peristiwa A dan B dapat terjadi secara
bersamaan dalam sebuah eksperimen probabilitas,
maka A dan B tidak mutually exclusive
q Jika peristiwa A dan B mutually exclusive , maka
berlaku:
P( A dan B) = P ( A Ç B) = 0 artinya juga P ( A | B) = 0
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Peristiwa Mutually Exclusive (Saling Meniadakan)
q Diagram venn dari peristiwa mutually exclusive dan
tidak mutually exclusive
A
A
B
Teknik Mesin – FTUI
B
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk
Hukum Perkalian-Peristiwa Saling Bebas
Jika A,B,C, ... adalah peristiwa-peristiwa yang saling bebas
(independent events), maka probabilitas bahwa seluruh
peristiwa itu terjadi, atau disebut pula probabilitas gabungan
(joint probability) P(ABC ...), adalah produk (perkalian) dari
probabilitas masing-masing peristiwa
P ( A dan B dan C dan ...) = P ( A Ç B Ç CÇ L )
= P ( A) ×P (B ) P×(C )L
Notasi matematis secara umum:
n
P (I i Ai ) = P ( A1 Ç A2 Ç ...Ç An -1Ç An=)
Teknik Mesin – FTUI
n
Õ P ( Ai )
i =1
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Contoh 3.3:
Ketika menghubungkan sebuah sumber tenaga listrik di bagian depan
sebuah pesawat militer ke peralatan-peralatan yang menggunakan
tenaga listrik di bagian belakang, maka ketimbang menggunakan
sepasang kabel, kita dapat menggunakan 3 pasang kabel parallel, yang
masing-masing dengan jalur berbeda melalui fuselage (rangka
pesawat). Jadi jika tembakan musuh memutuskan sepasang kabel,
kedua pasang kabel lainnya masih tetap bekerja. Prinsip dasar
perancangan (design philosophy) seperti itu akan meningkatkan
realibitas perancangan. Dalam contoh pengkabelan pesawat militer di
atas, anggaplah probabilitas sepasang kabel terputus oleh tembakan
musuh adalah 0,01 setiap satu jam tempur. Dengan cara merancang
lebih pengkabelan menjadi tiga pasang, maka probabilitas putusnya
hubungan tenaga listrik dalam satu jam tempur di pesawat itu sangat
jauh berkurang menjadi:
P(ketiga kabel putus) = (0,01)(0,01)(0,01) = 10-6
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk
Hukum Perkalian-Peristiwa Saling Terikat
Untuk dua peristiwa A dan B yang saling terikat (tidak saling
bebas):
P ( A dan B ) = P ( A Ç B ) = P ( A) ´ P ( B | A) = P( B) ´ P ( A | B )
Contoh 3.4:
Dalam contoh pesawat militer, andaikan untuk jarak pemisahan
kabel yang mungkin dilakukan dalam pesawat sesungguhnya,
kajian-kajian menunjukkan bahwa sistem disain lebih dengan
dua pasang kabel menunjukkan probabilitas pasangan kabel
kedua akan terputus akibat tembakan yang sama, yang telah
memutuskan hubungan pasangan kabel pertama adalah 0,03.
Maka:
P(kedua kabel putus) = P(A) x P(B|A) = (0,01)(0.03) = 3 x 10-4
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk
Hukum Penjumlahan
Probabilitas peristiwa A atau peristiwa B atau kedua-duanya
sama-sama terjadi ditunjukkan oleh hukum penjumlahan
menyatakan:
P ( A atau B ) = P ( A È B ) = P ( A) + P ( B ) - P( A Ç B )
Perluasan (Continued Reapplication) :
P ( A atau B atau C ) = P ( A È B È C )
= P ( A) + P ( B ) + P (C )
- P ( A Ç B ) - P( A Ç C )- P ( BÇ C )
+ P( A Ç B Ç C )
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Contoh 3.5:
Sebagai contoh pemakaian hukum ini, perhatikan struktur yang
dilas seperti pada gambar. Jelas dari gambar tersebut bahwa
kegagalan dari struktur ini terjadi jika salah satu atau lebih dari
ketiga sambungan las tersebut putus. Jika probabilitas dari
kegagalan/putusnya masing-masing sambungan las adalah
0.001 dan diasumsikan masing-masing sambungan saling bebas,
maka:
P(kegagalan struktur) = 0,001 + 0,001 + 0,001 – 10-6 – 10-6 – 10-6 +
10-9= 0,003 – 0,000003 + 0.000000001 » 0,003
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk
Formulasi Bayes
q Perluasan dari probabilitas bersyarat (conditional probability)
dan aturan umum hukum perkalian (multiplication) jika
terdapat sekelompok peristiwa B1, B2, ..., Bn , yang:
Ø mutually exclusive à masing-masing peristiwa tidak
memiliki hasil/keluaran (outcomes) yang sama
Ø exhaustive (menyeluruh), à secara bersama-sama
memuat keseluruhan hasil/keluaran (outcomes) di dalam
ruang sampel Kemudian sebuah peristiwa lain, A
didefinisikan pada ruang sampel yang sama
q Maka probabilitas peristiwa A didapat dengan menjumlahkan
probabilitas P(A Ç Bi) untuk seluruh harga I
n
n
P( A) = å P( A Ç Bi ) = å P( Bi ) ´ P( A | Bi )
i =1
Teknik Mesin – FTUI
i =1
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Hukum-hukum Probabilitas Peristiwa Majemuk
Formulasi Bayes
q Sebaliknya jika peristiwa A telah terjadi
q Probablitias masing-masing peristiwa Bi juga terjadi dapat
ditentukan dengan Formulasi Bayes:
P ( Bi Ç A)
P ( Bi ) P( A | Bi )
P ( B ) P ( A | Bi )
P ( Bi | A) =
= n
= n i
P ( A)
P( B ) P( A | B )
P ( B Ç A)
å
i =1
Teknik Mesin – FTUI
i
i
å
i
i =1
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Contoh 3.6:
Vendor I, II, III, dan IV menyediakan seluruh keperluan bantalan
bush yang dibeli oleh perusahaan Sumber Teknik sebanyak
masing-masing 25 %, 35 %, 10 % dan 30 %. Dari pengalaman
selama ini diketahui bahwa vendor I, II, III, dan IV masing-masing
mengirimkan 80 %, 95 %, 70 % dan 90 % bantalan bush yang
baik (tanpa cacat). Maka probabilitas bahwa sebuah bantalan
yang dipilih secara acak merupakan bantalan yang cacat dapat
dihitung sebagai berikut. Misalkan A adalah peristiwa pemilihan
sebuah bantalan yang cacat, dan B1, B2, B3, dan B4, adalah
peristiwa pemilihan bantalan dari vendor I, II, III, dan IV. Maka
4
4
P( A) = å P( A Ç Bi ) = å P( Bi ) ´ P( A | Bi )
i =1
i =1
= 0, 25(0, 2) + 0,35(0, 05) +0,1(0,3) +0,3(0,1)
= 0,1275
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
Probabilitas Peristiwa Majemuk
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Contoh 3.6 (lanjutan):
Kemudian jika terpilih sebuah bantalan cacat, maka probabilitas
bantalan cacat itu berasal dari vendor III adalah :
P( B3 Ç A)
0, 03
P( B3 | A) =
=
= 0, 2353
P( A)
0,1275
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng
The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been
corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
then insert it again.
Teknik Enumerasi
Pohon Probabilitas
Teknik Mesin – FTUI
ã Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng