PETUNJUK: 1. Berdoalah sebelum dimulai. 2

LEMBAR KERJA SISWA (LKS)
Nama
: 1.
2.
3.
Nama kelompok :
Materi : vektor
Kd:
3.4
Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan
masalah.
Indikator:
3.4.2
Menentukan hasil operasi aljabar vektor.
TUJUAN Pembelajaran:
1.
Siswa dapat menentukan hasil operasi aljabar vektor.
PETUNJUK:
1.
Berdoalah sebelum dimulai.
2. Berdiskusilah dengan kelompokmu.
OPERASI ALJABAR VEKTOR
A. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR
Diketahui titik-titik A(a1,a2), B(b1,b2), C(c1,c2).
Gambarkan pada bidang koordinat Cartesius.
y
O
x
Gambar 1.
Titik A(a1,a2), dan B(b1,b2), dan C(c1,c2)
Pada koordinat Cartesius
Lengkapi gambar 1 dengan:
Lalu hubungkan titik A dengan dua titik lainnya, dimana titik A sebagai
pangkalnya.
Lalu hubungkan titik B dan C dengan pangkal di titik B.
Dimisalkan: a = vektor AB
b = vektor BC
c = vektor AC
perhatikan gambar diatas, verktor a, b, dan c dapat ditulis sebagai
berikut:
a = (b1 - a1 , b2 – a2)
 b1  a1 
Dapat pula ditulis, a = 

 b2  a2 
b = (c1 - b1 , …)
Dapat pula ditulis, b = (
)
c =( … , … )
Dapat pula ditulis, c = (
)
Jumlahkan vektor a dan b. Karena vektor merupakan matriks kolom, maka
dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan
penjumlahan matriks, maka diperoleh
 b1  a1 
a+b= 
+ (
 b2  a2 
)=(
 c1  a1 
perhatikan bahwa 
 =c.
 c2  a2 
Uraian tersebut menunjukkan bahwa a + b = c
)=(
)
Secara geometris, penjumlahan antara dua vektor a dan b dapat dilakukan
dengan dua cara, yaitu:
a. Cara Segitiga
Buatlah dua vektor a dan b, dimana vektor a
vektor b.
Gambarlah kedua vektor tersebut dengan titik pangkal vektor b
berimpit ruas dengan titik ujung vektor a.
Lalu tarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b.
Ruas garis ini dimisalkan c, yang merupakan hasil jumlahan vektor a dan
vektor b.
Jadi, jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas
garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b.
Akibatnya a + b = c.
b. Cara Jajargenjang
Gambarlah:
1. Vektor a yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke
titik B
2. Vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik
pangakal D
Dalam jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik
pangkal vektor b, yaitu A = C.
Dengan membuat jajargenjang ABCD , akan diperoleh:
AB  AD  AB  BE
 AE
( oleh karena AD = BE )
(Gunakan cara segitiga)
Oleh karena AB =a , AD = b dan AE =c , maka a + b = c.
APA YANG TERJADI?
Jika vektor a dijumlahkan dengan invers vektor b, maka didapatkan
a + (-b) sebagai berikut:
a + (-b) dapat dituliskan juga a – b.
Secara geometris, dapat dengan mengurangkan a dengan b sebagai
berikut:
Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks
kolom, kalian dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan
vektor sebagai berikut.
Untuk a dan b vektor-vektor di R2, berlaku
a+b
 a1   b1   a1  b1 
=     

 a2   b2   a2  b2 
a–b
 a1   b1   a1  b1 
=     

 a2   b2   a2  b2 
Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat
dituliskan
a  b  (a1 , a2 )  (b1 , b2 )  (a1  b1 , a2  b2 )
a  b  (a1 , a2 )  (b1 , b2 )  (a1  b1 , a2  b2 )
Untuk a dan b vektor-vektor di R3, berlaku
 a1   b1   a1  b1 
    

a  b   a2    b2    a2  b2 
a  b  a b 
 3  3  3 3
 a1   b1   a1  b1 
    

a  b   a2    b2    a2  b2 
a  b  a b 
 3  3  3 3
Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat
dituliskan
a  b  (a1 , a2 , a3 )  (b1 , b2 , b3 )  (a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 )
a  b  (a1 , a2 , a3 )  (b1 , b2 , b3 )  (a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 )
Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar di atas, kalian dapat menyatakan:
b+…=a
…+e=c
b+…+e=a
B. PERKALIAN SKALAR DENGAN VEKTOR
Diketahui :
Vektor u = (u1, u2, u3) dan k adalah skalar tak nol.
Apa yang terjadi jika vektor-vektor yang dijumlahkan adalah k vektor
yang sama ?
Jawab :
Jumlahan dari vektor u (sebanyak k vaktor)
= u + u + u + ... + u
...
= k x ...
= ku
= k (u1, u2, u3) = (ku1, ku2, ku3 )
Jadi, jika k skalar tak nol dan vektor u = (u1, u2, u3) , maka
ku = (ku1, ku2, ku3 )
Apa yang terjadi jika k > 0 dan k < 0 ?
Diberikan :
u
u
u
u
...
k vektor u
a. Perkalian skalar dengan vektor u, dimana k > 0.
Gambarlah pada kotak yang disediakan, dengan vektor u sesuai pada
gambar diatas.
ku
k>0
b. Perkalian skalar dengan vektor u, dimana k > 0.
Gambarlah pada kotak yang disediakan, dengan vektor u sesuai pada
gambar diatas.
ku
k<0
Jadi, dalam perkalian skalar dengan vektor:
Jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u.
Jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.
C. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG PADA VEKTOR
Jika a, b, dan c vektor-vektor di R2 atau di R3 dan k serta l skalar tak nol
maka berlaku hubungan berikut.
1.
a b  ba
2.
(a  b)  c  a  (b  c)
3.
a0  0a  a
4.
a  ( a)  0
5.
k (la)  (kl )a
6.
k (a  b)  ka  kb
7.
(k  l )a  ka  la
8.
Ia  a
Pembuktian :
Pembuktian sifat 1
Ambil sebarang vektor a = (a1, a2, a3 ) dan b = (b1 , b2, b3), maka :
a + b = (a1, a2, a3 ) + …
= (a1 + b1 , a2 + b2, … )
= ( … , b2 + a2 , … )
= … + (a1, a2, a3 )
=b+…
Jadi, a + b = b + a.
Pembuktian sifat 2
Ambil sebarang vektor a = (a1, a2, a3), b = (b1 , b2 , b3), dan c = (c1 , c2 , c3),
maka:
(a + b) + c
= ((a1, a2, a3 ) + (b1, b2, b3 )) + (c1, c2, c3 )
= (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) + (c1 , c2 , c3)
= (a1 + b1 + c1 ,
= (( …
=(
…
, a3 + b3 + c3 )
+ ( b1 + c1), a2 + (b2 + c2), a3 +
…
…
))
) + (b1+ c1, b2 + c2, b3 + c3)
= (a1, a2, a3 )+ ((
…
+ (c1, c2, c3))
=a+( … + … )
Jadi, (a + b) + c = a + (b + c).
Pembuktian sifat 4
Ambil sebarang vektor a = (a1, a2, a3 ) maka :
a + (-a) = (a1, a2, a3 )+ ( … , … , … )
= (a1- a1, …
,
… )
= (0, 0, 0) = o
Jadi a + (-a) = o.
Pembuktian sifat 7
Ambil sebarang skalar k dan l serta vektor a =(a1, a2, a3 ), maka :
(k + l)a
= (k + l)(a1, a2, a3 )
= ((k + l)a1, (k + l) … , (k + l) … )
= (ka1 + … , ka2 + … , ka3 + la3)
= (ka1, ka2, ka3) + …
=k … +l …
= ka + la
Jadi, (k + l)a = ka + la.