File

Isometri Bidang
Oleh :
Tarkinih
Ipah Masripah
Ian Sugiana
Asep Rahmat H.
Matematika 2i
Semester IV
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
CIREBON
2012
Isometri Bidang
A.
Pengertian Isometri
Isometri adalah suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan), Translasi
(pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak
(panjang suatu ruas garis). Transformasi U merupakan Isometri bila dan hanya bila pasangan
titik P dan Q dipenuhi P’Q’ =PQ dengan P’ = U (P) dan Q’ = U (Q).
Contoh soal 1:
Misalkan diketahui garis g pada bidang V dan transformasI T di tetapkan sebagai
berikut:
i. Jika p ϵ g maka T (p) = p
ii. Jika p ϵ g maka T (p) = pꞌ ,sehingga g sumbu dari ppꞌ
Apakah tras formasi T ini merupakan suatu isometri?
Penyelesaian:
Ambil dua titik sebarang P dan Q anggota V misalkan T (p) = pꞌ dan T (Q) = Qꞌ,
sehingga di peroleh :
1. g sumbu dari ppꞌ , misalkan g ∩ ppꞌ = {𝑵} , maka PN = Npꞌ
̅̅̅̅̅̅̅, misalkan g ∩ 𝑸𝑸ꞌ
̅̅̅̅̅̅̅ = {𝑴} ,maka QM = MQꞌ
2. g sumbu dari 𝑸𝑸ꞌ
Perhatikan gambar berikut:
M
Qꞌ
P
N
Q
Pꞌ
1. Perhatikan ∆ PNM dengan ∆ PꞌNM. Karena PN = NPꞌ, ∠PNM ≅ ∠PꞌNM (sikusiku), maka ∆ PNM ≅ ∆ PꞌNM akibatnya :
a. PM = PꞌM
b. ∠PNM ≅ ∠PꞌNM
2. Perhatikan ∆ PQM dengan ∆ PꞌQꞌM.
Karena PM = PꞌM, ∠PMQ ≅ ∠PꞌQꞌM dan QM = QꞌM, maka ∆ PQM ≅ ∆ PꞌQꞌM ,
akibatnya PQ = PꞌQꞌ
Karena P dan Q di ambil sembarang titik pada V dapat di simpulkan bahwa untuk
setiap pasangan titik P dan Q pada V ,di peroleh PꞌQꞌ = PQ sehingga transformasi T yang
ditetapkan di atas adalah suatu isometri .
Contoh soal 2:
Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun sebuah budang (datar). Daqn
pemetaan T didefinisikan untuk suatu titik P (x,y) oleh :
T (P) = P'
= (x,-y)
Apakah T suatu isometric ?
Penyelesaian:
Akan dibuktikan bahwa T suatu transformasi menunjukkan T suatu isometri, ambil
sepasang titik A' (a1,-a2) dan B' (b1,-b2), kemudian akan dibuktikan bahwa A' B' = AB.
Y
A (a1,a2)
B (b1,b2)
x
B' (b1,-b2)
A' (a1,-a2)
Dengan rumus jarak, diperoleh :
A' B' =
=
a1  b1 2   a1  (b2 )2
a1  b1 2  b2  a2 2
=
a1  b1 2  a2  b2 2
=
a1  b1 2  a2  b2 2
= AB
Jadi , T adalah isometri.
Sofat-sifat isometri :
Teorema 1 :
Setiap isometric bersifat :
1. Isometri adalah kolineasi
Suatu Transformasi dikatakan kolineasi bila hasil Transformasi sebuah garis lurus
akan tetap berupa garis lagi atau jika g sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan
membuktikan bahwa T(g) = h adalah suatu garis juga.
Bukti :
Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri.
Akan dibuktikan bahwa T( g ) = h adalah suatu garis juga.
A
B
B‘
A’
A
h
g
Ambil sembarang A ϵ g dan B ϵ g . Maka Aꞌ = T ( A ) ϵ h , Bꞌ = T ( B ) ϵ h ;
melalui Aꞌ dan Bꞌ ada suatu garis, misalnya hꞌ.
Akan di buktikan hꞌ = h .
Untuk ini akan dibuktikan h' h dan h h'
1) Bukti h'h
Ambil X’ є h’. oleh karena bidang kita adalah Bidang Euclides, maka kita
andaikan (A’ X’ B’), artinya : A’ X’+ X’B’ = A’ B’. oleh karena T suatu
isometri. Jadi suatu transformasi maka ada X sedemikian sehingga T (X) = X’
dan Oleh karena T suatu isometric maka AX = A’X’ ; begitu pula XB = X’B’.
Jadi pula AX + BX = AB Ini berarti bahwa A, X, B segaris pada g. Ini berarti
lagi bahwa X’ = T(X) є h. Sehingga h'h sebab Bukti serupa berlaku untuk
posisi X’ dengan (X’ A’ B’) atau (A’ B’ X’)
2) Bukti h h'
Ada lagi Y’ є h
Maka ada Y є g sehingga T(Y)=Y’ dengan Y misalnya (A Y B), artinya Y є g
dan AY + YB = AB. Oleh karena T sebuah Isometri maka A’Y’ = AY,
Y’B’= AB. Sehingga A’Y’+Y’B’ = A’B’.Ini berarti bahwa A’, Y’, B’ segaris,
yaitu garis yang melalui A’ dan B’.
Oleh karena h’ satu-satunya garis yang melalui A’ dan B’. Maka Y’ є h’, Jadi
haruslah Bukti h h'
Bukti serupa berlaku untuk keadan (Y A B) atau (A B Y) sehingga h h'. jadi
kalau g sebuah garis maka h = T (g) adalah sebuah garis.
2. Mengawetkan besarnya sudut antara dua garis
Ambil sebuah sudut ABC
Perhatikan ∆ABC dan ∆A’B’C’
Karena U isometric berarti
A’B’= AB
A’C’= AC
B’C’= BC
Karena sisi, sisi, sisi berarti ABC  A' B' C'
Akibatnya
mCAB  mC' A' B'
mABC  mA' B' C'
mACB  mA' C' B'
Jadi isometri mempertahankan besar sudut.
3. Isometri Mengawetkan kesejajaran dua garis
Kita harus memperlihatkan bahwa a’ ⁄⁄ b’ . Andaikan a’ memotong b’ disebuah titik
P’ jadi P’ є a’ dan P’ є b’. oleh karena T sebuah transformasi maka ada P sehingga T(P) = P’
dengan P є a dan P є b. Ini berarti bahwa a memotong b di P ; jadi bertentangan dengan yang
diketahui bahwa a ⁄⁄ b Maka Pengandaian bahwa a’ memotong b’ SALAH. Jadi haruslah
a’ ⁄⁄ b’.
Contoh soal:
Diketahui garis g = {(𝒙, 𝒚)│ 𝒚 = −𝒙 }, dan garis h = {(𝒙, 𝒚)│ 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟑 }.
Apabila Mg adalah refleksi pada garis g. Tentukanlah persamaan garis h' = Mg (h).
Penyelesaian :
Oleh karena Mg sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut sifat
isometri h' adalah sebuah garis. Garis h' akan melalui titik potong antara h dan g.
Persamaan y = 2x – 3
Misalkan, y = 0
y = 2x – 3
0 = 2x – 3
-2x = -3
𝟑
𝟑
x=𝟐 (𝟐,0)
Misalkan, x = 0
y = 2x – 3
y = 2 (0) – 3
y = -3  (0, -3 )
𝟑
kemudian di refleksikan menjadi (0, − 𝟐 ) dan ( 3, 0)
rumus persamaan garis :
𝒚− 𝒚𝟏
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝟑
𝒚− (− )
𝟐
𝟑
𝟎 − (− 𝟐)
𝟑
𝟐
=
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝒙−𝟎
=
𝟑
𝒚+ (𝟐)
𝒙 − 𝒙𝟏
=
𝟑−𝟎
𝒙
𝟑
𝟑
𝟑
3 (𝒚 + (𝟐)) = ( 𝟐 ) 𝒙
3y +
𝟗
𝟐
=
𝟑
𝟐
𝒙
kedua ruas di kali 2
6y + 9 = 3x
-3x + 6y + 9 = 0
kedua ruas di kali -3
x – 2y -3 = 0
dengan demikian persamaan h' adalah : h' = {(𝒙, 𝒚)│ 𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎 }
seperti pada gambar berikut :
Teorema 2 :
Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu isometri maka T(g) dan T(h)
juga saling tegak lurus .
Bukti:
Ambil garis k, l, m sehingga antara sudut k dan m adalah 90 ke A. Menurut
teorema 8.1 bagian 2) karena T kesebangunan, maka T mengawetkan ukuran sudut. Karena
T(k) = k’ dan T(m) = m’ dan sudut antara k dan m adalah 90⁰ maka sudut antara k’ dan m’
adalah 90⁰ atau k’
m’. Jadi mengawetkan ketegaklurusan dua buah garis.
k
m’
m
k’
Teorema 3
Komposisi dua buah isometri adalah sebuah isometri .
Bukti : Ambil dua isometri , T1 dan T2 terjadi komposisi dari , T1 dan T2 yaitu:
a.
T1 ∘ T2
b.
T2 ∘ T1
Karena
T1 ∘ T2 = T2 ∘ T1 adalah isometric maka akan di buktikan T1 ∘ T2 adalah
isometric. Ambil dua titik sebarang A, B
ϵ V, misalkan
T2 (A) = A1, T2(B) = B1 dan
T1(A1) = Aꞌ, T1(B1) = Bꞌ . Maka
T1 ∘ T2 (A) = T1 [ T2 (A) ] = T1(A1) = Aꞌ
T2 ∘ T1 (B)= T2 [ T2 (B) ] = T1(B1) = Bꞌ
Karena T2 isometri, maka Aꞌ Bꞌ = AB, dan karena T1 isometri maka Bꞌ Aꞌ =
A1B1, karena Aꞌ Bꞌ = A1 B1 ,dan A1 B1 = AB, maka AꞌBꞌ = AB. Jadi T1 ∘ T2 suau isometric.
Contoh soal:
1. Misalkan v bidang Eucilid,A sebuah titik tertentu pada v.Transpormasi T yang di
tetapkan sebagai berikut:
a.
T(A) = A
b.
Apabila p ∈ v dan p ≠ A, T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas
garis ̅̅̅̅
𝑨𝑷 apakah transformasi T ini suatu isometri ?
2. Di berikan suatu titik A dan transformasi T yang di tetapkan sebagai berikut , p ∈ v
a.
Apabila p = A maka T (p) = p
b.
Apabila p ≠ A maka T(p) = Q dengan A titik tengah PQ . Apakah
transformasi T ini merupakan isometri ?
Penyelesaian :
1.
P
Pꞌ
Rꞌ
A
Ambil P, R
ϵ V,
R
misalkan Q = T (P) dan Rꞌ = T ®, maka AQ = QP dan
ARꞌ = Rꞌ R. Akibatnya Rꞌ P ꞌ =
𝟏
𝟐
RP. Jada T bukan suatu isometri.
2.
Perhatikan gambar di bawah ini P,Q ∈ v
P
Rꞌ
A
R
Q
Misalkan T (P) = Q dan T (R) = Rꞌ ,sehingga QA = AP dan P,A,Q kolinear , dan
RA = A Rꞌ R,A, Rꞌ kolinear . ∆ RAP dan ∆ QA Rꞌ , karena QA = AP, ∠ PAR ≅ QA Rꞌ dan
RA = A Rꞌ maka ∆ RAP ≅ ∆ QA Rꞌ , akibatnya PR = Rꞌ Q. Jadi T suatu isometri.
Teorema 4
Transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi.
Suatu isometri involusi langsung adalah setengah putaran : suatu isometri involusi lawan
adalah refleksi.
Bukti :
Terdapat dua transformasi T dan I serta komposisi TL. Berdasarkan pengetahuan
yag lalu maka dapat dinyatakan
(TL)-1 = L-1 T-1
Maka (TL) = (L-1 T-1) = [(TL)L-1] T-1
= [T(LI-1)] T-1
= [TI] T-1
= TT-1
=I
Dengan cara yang sama diperoleh (L-1T-1) (TL) = I
Teorema 5 :
Jika P sebuah titik, m sebuah garis dan T isometric maka TSpT-1 = ST(P) dan
TMmT-1 = MT(m).
Bukti :
 Akan dibuktikan TSpT-1 = ST(P)
Ambil T isometric langsung (atau lawan)
TSpT-1
isometri langsung ………….. (1)
( TSpT-1) . ( TSpT-1 ) = TSp( T-1 .T ) SpT-1
= T Sp │ SpT-1
= T ( Sp . Sp ) T-1
= T │T-1
= T.T-1
= 1………………. (2)
Dari (1) dan (2) didapat TSpT-1 adalah isometric involusi langsung, berarti TSpT-1
adalah setengah putaran atau TSpT-1 = Sx untuk ∀ x ∈ V.
Ambil y = x
→ TSpT-1 (x) = Sx(x)
T-1. {𝑻 𝑺𝒑 𝑻−𝟏 (𝒙)} = T-1 (x)
( T-1. T ) {𝑺𝒑 𝑻−𝟏 (𝒙)} = T-1 (x)
𝑺𝒑 𝑻−𝟏 (𝒙) = T-1 (x)
T-1 = P
T {𝑻−𝟏 (𝒙)} = T(P1)
(TT-1) (x) = T(P)
x = T(P)
Jadi, terbukti bahwa TSpT-1 = ST(P)
 Akan dibuktikan TMmT-1 = MT(m)
Ambil T isometric langsung (atau lawan)
Maka TMmT-1 adalah isometric lawan ……………(1)
(TMmT-1). (TMmT-1) = TMm (T-1T) MmT-1
= TMm │MmT-1
= TMm. MmT-1
= T (Mm Mm)T-1
= T │T-1
= 1 ………………………….(2)
Dari (1) dan (2) didapat TMmT-1 adalah isometric involusi lawan, berarti TMmT-1
adalah isometric involusi lawan. Brarti TMmT-1 adalah refleksi. Atau TMmT-1 =
Mk untuk k sembarang garis ∈ V.
∀ P ∈ V → T MmT-1 (P) = MkP
Jika P ∈ k → TMmT-1(p) = p
T-1{ TMmT-1 (p)} = T-1(p)
{(T-1 T) (MmT-1(p))} = T-1(p)
Mm T-1 (p) = T-1(p)
→ T-1 (p) ∈ m
T . T-1 (p) ∈ T(m)
P ∈ T(m)
P ∈ T(m)
T (m)
P∈k
Jadi, TMmT-1 = MT(m)
B.
PARITY
Parity adalah kesamaan suatu isometri dalam bentuk komposit refleksi-refleksi.
Suatu isometri yang merupakan komposisi sejumlah genap dari refleksi-refleksi disebut
isometri langsung, sedangkan isometri yang merupakan komposisi sejumlah ganjil dari
refleksi-refleksi disebut isometri lawan.
Definisi :
Misalkan ( P, Q, R ) adalah ganda tiga titik yang tidak koliniear (tidak segaris).
Apabila urutan perputaran P, Q, R sesuai dengan perputaran jarum jam maka P, Q, R di
sebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila urutan perputaran P, Q, R berlawanan
dengan arah perputaran jarumjam maka P, Q, R memilki orientasi positif.
Definisi :
Suatu Transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi itu
mempertahankan orientasi. Sedangakan Transformasi T disebut transformasi lawan jika dan
hanya jika transformasi itu mengubah arah orientasi.
Definisi :
Misalkan T suatu transformasi. T disebut mempertahankan orientasi apabila untuk
setiap Ganda tiga titik A, B, C yang tidak koliner(tak segaris) orientasinya sama dengan
orientasi dari petanya. Sedangakan lainnya disebut mengubah orientasi.
 Isometri lawan
misalnya sebuah refleksi (pencerminan)
P
R
Q
P'
Q'
R'
∆ PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan ∆ P'Q'R' searah dengan
jarum jam (-).
 Isometri langsung
misalnya suatu rotasi (perputaran)
P
Q
R'
R
P'
Q'
∆ PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan ∆ P'Q'R' tetap
berlawanan dengan jarum jam (+).
Sifat yang penting dalam geometri transformasi ialah :
a. Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometri lawan.
b. Akan tetapi tidak setiap isometri adalah isometric lawan, ini dapat dilihat pada
gambar di atas yaitu rotasi (perputaran) adalah isometri langsung.
c. Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sedbuah isometri lawan.
Contoh Soal:
Perhatikan transformasi yang ditetapkan dalam gambar di bawah ini, sudah
ditentukan bahwa transformasi T ini merupakan suatu isometri. Apakah T ini merupakan
isometric langsung atau isometric lawan?
Penyelesaian:
Misalkan ambil tiga titik koliner sebarang, A,B,dan C.
Kemudian kita cari T(A), T(B), dan T(C).
Misalkan : T(A) = Aꞌ, T(B) = Bꞌ, dan T(C) = Cꞌ.
Kerena (A,B,C) berorientasi positif,sedangkan (Aꞌ, Bꞌ , Cꞌ) berorieantasi negative,
maka transformasi T merupakan transformasi lawan.Akibatnya T suatu isometri
lawan .
C.
Persamaan isometric
Teorema 1:
Persamaan isometric dari GAB dengan A( a1, a2 ) dan B( b1, b2 ) adalah :
x ꞌ = x + ( b1 - a1 )
yꞌ = y + ( b2 - a2 )
Teorema 2:
 Persamaan umum untuk isometric pada bidang Cartesius adalah :
x ꞌ = ax + by + c
yꞌ = ± bx ± ay + d
dengan: a2 + b2 = 1
 Persamaan umum isometric
x ꞌ = ax + by + c
yꞌ = ± bx ± ay + d
dapat dinyatakan dengan bentuk matriks :
𝒙
𝒙ꞌ
𝒄
𝒂
𝒃
( )=[
] (𝒚 ) + ( )
𝒚ꞌ
𝒅
±𝒃 ± 𝒂
 Persamaan matriks isometric :
[
𝒂
±𝒃
𝒃
]=A
±𝒂
 Untuk isometric langsung, det (A) = a2 + b2 = 1
 Untuk isometric lawan, det (A) = a2 - b2 = -1