Penyelesaian Akar Persamaan Karakteristik PD Linier Homogen

Penyelesaian Akar Persamaan Karakteristik PD Linier Homogen orde-n dengan Koefisien
Konstanta dengan MATLAB
Penyelesaian PD Linier Homogen orde-n dengan koefisien Kontanta pada dasarnya seperti
penyelesaian PD orde-2. Pada PD Linier Homogen orde-n akar Persamaan Karakteristik
dicari dengan teknik faktorisasi. Permasalahannya adalah untuk orde lebih dari empat
teknik faktorisasi cukup sulit. Matlab dapat dengan mudah mencari akar Persamaan
Karakteristik orde tinggi (lebih dari empat)
Persamaan Diferensial Linier Homogen orde-n dengan koefisien konstanta mempunyai
bentuk umum:
𝑎𝑛 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + … + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦
=0 ,
𝑎𝑛 ≠ 0
Jika 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 adalah penyelesaian khusus PD Linier homogen, maka kombinasi liniernya
juga penyelesaian PD Linier homogen, dirumuskan:
𝑛
𝑦 = 𝑘1 𝑦1 + 𝑘2 𝑦2 + … + 𝑘𝑛 𝑦𝑛 = ∑ 𝑘𝑖 𝑦𝑖 , 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎
𝑖=1
Penyelesaian PD Linier homogen orde-n dengan substitusi 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 sehingga didapatkan
persamaan karakteristik:
𝑎𝑛 𝑟 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑟 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑟 + 𝑎0 = 0
Untuk selanjutnya dengan teknik faktorisasi dapat ditentukan akar-akar persamaan
karakteristik, yaitu:
𝑎𝑛 𝑟 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑟 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑟 + 𝑎0 = 𝑎𝑛 (𝑟 − 𝑟1 )(𝑟 − 𝑟2 ) … (𝑟 − 𝑟𝑛 ) = 0
Akar-akar persamaan karakteristik di atas dapat bernilai sama atau disebut akar rangkap
(multiplicity). Dua kasus akar rangkap untuk solusi PD Linier Homegen orde-n, yaitu:
Kasus I.
Jika Akar rangkap adalah r=bilangan riil, terdapat k penyelesaian bebas linier.
k solusi bebas linier:
𝒆𝒓𝒙 , 𝒙𝒆𝒓𝒙 , … , 𝒙𝒌−𝟏 𝒆𝒓𝒙 ; 𝒌 ≥ 𝟏
solusi umumnya:
𝒚 = 𝒄𝟏 𝒆𝒓𝒙 + 𝒄𝟐 𝒙𝒆𝒓𝒙 + … + 𝒄𝒌 𝒙𝒌−𝟏 𝒆𝒓𝒙
𝑐𝑘 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑘𝑒 − 𝑘
Kasus II.
Jika Akar rangkap adalah r=bilangan komplek (r=i). terdapat k penyelesaian
bebas linier.
k solusi bebas linier:
𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙, 𝒙𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙, … , 𝒙𝒌−𝟏 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙,
𝒆𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙, 𝒙𝒆𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙, … , 𝒙𝒌−𝟏 𝒆𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙
solusi umumnya:
𝒚=
𝒆𝒙
[(𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙) + 𝒙(𝒄𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝒙) + ⋯ + 𝒙𝒌−𝟏 (𝒄𝒌−𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄𝒌 𝒔𝒊𝒏 𝒙)]
Contoh:
Selesaikan persamaan diferensial berikut:
𝑦 (5) − 3𝑦 (4) + 3𝑦 ′′′ − 𝑦 ′′ = 0
Penyelesaian:
persamaan karakteristik:
𝑟 5 − 3𝑟 4 + 3𝑟 3 − 𝑟 2 = 0
Mencari akar-akar persamaan karakteristik dengan MATLAB:
>> y=[1 -3 3 -1 0 0]
y=
1
-3
3
-1
0
0
>> roots(y)
ans =
0
0
1.0000 + 0.0000i
1.0000 - 0.0000i
1.0000
Jadi akar-akar persamaan karakteristik
𝑟1 = 𝑟2 = 0, 𝑟3 = 𝑟4 = 𝑟5 = 1
solusi bebas linier:
𝑒 0𝑥 , 𝑥𝑒 0𝑥 , 𝑒 𝑥 , 𝑥𝑒 𝑥 , 𝑥 2 𝑒 𝑥
Jadi solusi umumnya:
𝑦 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑥 + (𝑐3 + 𝑐4 𝑥 + 𝑐5 𝑥 2 )𝑒 𝑥
Contoh:
Tentukan penyelesaian PD berikut:
𝑦 ′′′ − 2𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 2𝑦 = 0
persamaan karakteristik:
𝑟 3 − 2𝑟 2 + 𝑟 + 2 = 0
akar-akar persamaan karakteristik dengan MATLAB
>> y=[1 -2 -1 2]
y=
1
-2
>> roots(y)
ans =
-1.0000
2.0000
1.0000
-1
2
Jadi akar-akar persamaan karakteristik: 𝑟1 = −1, 𝑟2 = 1, 𝑟3 = 2
solusi bebas linier:
𝑒 −𝑥 , 𝑒 𝑥 , 𝑒 2𝑥
Jadi solusi umumnya:
𝑦 = 𝑐1 𝑒 −𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑒 2𝑥
Contoh:
Tentukan penyelesaian PD berikut:
𝑦 (4) − 4𝑦 ′′′ + 14𝑦′′ − 20𝑦 ′ + 25𝑦 = 0
persamaan karakteristik:
𝑟 4 − 4𝑟 3 + 14𝑟 2 − 20𝑟 + 25 = 0
akar-akar persamaan karakteristik dengan MATLAB
>> y=[1 -4 14 -20 25]
y=
1
-4
14
-20
25
>> roots(y)
ans =
1.0000 + 2.0000i
1.0000 - 2.0000i
1.0000 + 2.0000i
1.0000 - 2.0000i
JAdi akar-akar persamaan karakteristik 𝑟1 = 𝑟2 = 1 + 2𝑖, 𝑟3 = 𝑟4 = 1 − 2𝑖
solusi bebas linier:
𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠(2𝑥), 𝑥𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠(2𝑥), 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥), 𝑥𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
Jadi solusi umumnya:
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑐3 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) + 𝑐4 𝑥𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥)