bab i set dan relasi

BAB I
SET DAN RELASI
1.1.
SET, ELEMEN (UNSUR)
Set adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika.
Secara intuitif, suatu set adalah sesuatu yang didefinisikan dengan tepat atau suatu koleksi dari
obyek-obyek dan dinotasikan oleh huruf 𝐴, 𝐵, 𝑋, 𝑌, …
Obyek-obyek yang terdapat di dalam suatu set disebut elemen-elemen (unsur) atau anggotaangaota dan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦, …
Pernyataan “𝑝 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐴” 𝑎𝑡𝑎𝑢 “𝑝 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑑𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝐴” dinotasikan “𝑝 ∈ 𝐴”.
Negasi dari 𝑝 ∈ 𝐴 ditulis “𝑝 ∉ 𝐴” dan ini berarti “p bukan elemen A atau p tidak termasuk di
dalam A”
Ada dua cara untuk menyatakan suatu set, yaitu:
a. Bila mungkin semua anggota ditulis (cara Roster), missal 𝐴 = {𝑎, 𝑖, 𝑢, 𝑒, 𝑜}
b. Menyatakan suatu set dengan notasi pembentuk set (cara Rule), misal 𝐵 =
{𝑥: 𝑥 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡}
Interval pada garis real yang didefinisikan berikut sering muncul dalam matematika. Berikut ini
a dan b bilangan real dengan 𝑎 < 𝑏 :
 Interval buka dari a sampai b
= (𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
 Interval tutup dari a sampai b
= [𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
 Interval buka-tutup dari a sampai b
= (𝑎, 𝑏] = {𝑥: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
 Interval tutup-buka dari a sampai b
= [𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
Interval buka-tutup dan tutup buka disebut juga interval setengah buka.
Dua set A dan B disebut sama, ditulis 𝐴 = 𝐵, bula A dan B mempunyai unsur-unsur sama, A.
Negasi dari A = B adalah 𝐴 ≠ 𝐵.
Suatu set disebut terhingga (finite), bila set tersebut memuat n unsur (elemen) yang berbeda,
dimana n sebarang bilangan bulat positif, yang lainnya disebut tak hingga (infinite). Set yang
memuat tepat satu anggota disebut set singleton.
1.2.
SUBSET & SUPERSET
Set A disebut subset dari B atau b adalah superset dari A, ditulis 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐵 ⊃ 𝐴, bila dan
hanya bila setiap unsur dari A terdapat di dalam B atau bila 𝑥 ∈ 𝐴 maka 𝑥 ∈ 𝐵. Juga dapat
dikatakan bahwa A termuat di dalam B atau B memuat A.
Negasi dari 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝐴 ⊄ 𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐵 ⊅ 𝐴 dan dinyatakan bahwa:
Ada 𝑥 ∈ 𝐴 𝑠𝑒𝑑𝑒𝑚𝑖𝑘𝑖𝑎𝑛 ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑥 ∈ 𝐵.
Contoh:
 Apabila N adalah set bilangan bulat positif, Z adalah set semua bilangan bulat, Q adalah set
semua bilangan rasional dan R adalah set semua bilangan real maka 𝑁 ⊂ 𝑍 ⊂ 𝑄 ⊂ 𝑅
 Diketahui 𝐴 = {1,3,5,7, … }, 𝐵 = {5,10,15,20, … } dan 𝐶 = {𝑥: 𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎, 𝑥 > 2}
Apakah :
a. 𝐶 ⊂ 𝐴 (berikan alasannya!)
b. 𝐵 ⊄ 𝐴 (berikan alasannya!)
Definisi:
Dua set A dan B adalah sama bila dan hanya bila 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊂ 𝐴. Dalam hal 𝐴 ⊂ 𝐵 tetapi
𝐴 ≠ 𝐵, dikatakan bahwa A adalah subset murni dari B atau B memuat A.
Teorema I:
Bila A, B dan C sebarang set maka:
a. 𝐴 ⊂ 𝐴
b. 𝐵𝑖𝑙𝑎 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊂ 𝐴 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴 = 𝐵
c. 𝐵𝑖𝑙𝑎 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊂ 𝐶 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴 ⊂ 𝐶
1.3.
SET UNIVERSAL DAN SET KOSONG
Dalam teori set, semua set dibentuk oleh subset-subset dari suatu set tetap. Set tetap seperti itu
disebut set universal atau semesta pembicaraan dan dinotasikan dengan U. Ada pula set yang
tidak mempunyai anggota dan set ini disebut set kosong dengan notasi ∅ 𝑎𝑡𝑎𝑢 { }, yang
merupakan set terhingga dan merupakan subset dari setiap set. Jadi untuk sebarang set A maka
∅ ⊂ 𝑨 ⊂ 𝑼.
Contoh:
 Dalam geometri bidang, set universalnya berisi semua titik pada bidang.
 Bila 𝐴 = {𝑥: 𝑥 2 = 4, 𝑥𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙} , maka tentukan anggota A!
 Bila 𝐵 = {∅}, maka 𝐵 ≠ ∅, mengapa?
1.4.
KELAS, KOLEKSI, FAMILI DAN RUANG
Anggota-anggota dari suatu set adalah set, misalnya tiap-tiap garis di dalam suatu set dari garisgaris adalah set dari titik-titik. Set yang anggotanya terdiri dari set-set disebut Kelas, Koleksi
atau Famili, misalkan 𝑃 = {{𝑎, 𝑏}, 𝑐} bukanlah kelas karena mengandung elemen c yang bukan
set (himpunan).
Pada umumnya koleksi atau family digunakan untuk member nama dari set yang anggotanya
kelas-kelas. Pengertian subkelas, subkoleksi, dan subfamili mempunyai arti yang sama dengan
subset. Misalkan A adalah suatu set. Set Kuasa (Power Set) dari A ditulis 𝓟(𝑨) atau 𝟐𝑨 adalah
kelas dari semua subset dari A.
Umumnya, apabila A terhingga dengan n unsur di dalamnya maka 𝓟(𝑨) = 𝟐𝒏 anggota.
Kata ruang (spaces) artinya suatu set yang tidak kosong yang anggotanya beberapa bentuk
struktur matematika, seperti ruang vektor, ruang metrik atau ruang topologi.
Contoh:
 Anggota dari kelas {{2,3}, {2}, {5,6}} adalah set-set {2,3}, {2}, {5,6}
 Bila 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} maka tentukan 𝒫(𝐴)!
1.5.
OPERASI-OPERASI PADA SET
Gabungan dari dua set A dan B ditulis 𝑨 ∪ 𝑩 adalah set dari semua unsur yang termasuk ke
dalam A atau B yaitu 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}. Gabungan dari dua set A dan B ditulis
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}.
Irisan dari dua set A dan B ditulis 𝑨 ∩ 𝑩 adalah set yang unsur-unsurnya termasuk di dalam a
dan B yaitu 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵}.
Bila 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, yaitu bila A dan B tak mempunyai anggota persekutuan maka A dan B disebut
lepas (disjoint) atau tak beririsan. 𝒜 adalah kelas dari set-set disebut kelas lepas (disjoint) dari
set-set, bila tiap-tiap pasangan set-set yang berbeda di dalam 𝒜 adalah lepas.
Komplemen relatif dari set B terhadap set A atau selisih A dan B ditulis A – B adalah set yang
anggota-anggotanya termasuk A tetapi tidak termasuk B yaitu 𝐴 − 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵}.
Perhatikan bahwa A – B dan B adalah lepas yaitu (𝐴 − 𝐵) ∪ 𝐵 = ∅.
Komplemen absolute atau disebut komplemen dari suatu set A ditulis AC adalah set yang
anggota-anggotanya bukan anggota dari A yaitu 𝐴𝐶 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑈, 𝑥 ∉ 𝐴}. Dapat dikatakan pula
bahwa AC selisih U dan A.
Teorema 2:
Hukum-hukum Aljabar set:
1. Hukum sama kuat:
𝐴∪𝐴=𝐴,
𝐴∩𝐴 =𝐴
2. Hukum Asosiatif:
(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) ,
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
3. Hukum Komutatif:
𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴, 𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴
4. Hukum Distributif: 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) , 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩
𝐶)
5. Hukum Identitas:
𝐴∪∅=𝐴, 𝐴∩𝑈 =𝐴, 𝐴∪𝑈 =𝑈, 𝐴∩∅=∅
6. Hukum Komplemen: 𝐴 ∪ 𝐴𝐶 = 𝑈 , 𝐴 ∩ 𝐴𝐶 = ∅ , (𝐴𝐶 )𝐶 = 𝐴 , 𝑈 𝐶 = ∅ , ∅𝐶 = 𝑈
7. Hukum De Morgan: (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵 𝐶 , (𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∪ 𝐵 𝐶
Teorema 3:
𝐴 ⊂ 𝐵 bila hanya bila:
a. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴
b. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵
c. 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶
d. 𝐴 ∩ 𝐵 𝐶 = ∅
e. 𝐵 ∪ 𝐴𝐶 = 𝑈
1.6.
PRODUK DARI SET-SET
Misalkan A dan B adalah set-set tertentu. Produk dari set A dan B ditulis 𝑨𝑿𝑩, memuat semua
pasangan terurut (a,b) dengan 𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∈ 𝐵 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝐴 𝑋 𝐵 = {(𝑎, 𝑏): 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑏 ∈ 𝐵}.
Produk suatu set dengan dirinya sendiri, misalkan 𝐴 𝑋 𝐴 dinotasikan dengan 𝐴2 .
Contoh: 𝐴 = {1,2,3} 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = {𝑎, 𝑏}, tentukan 𝐴 𝑋 𝐵!
1.7.
RELASI
Relasi biner (relasi) R dari set A ke set B menentukan tiap pasangan (𝑎, 𝑏) di dalam 𝐴 𝑋 𝐵 tepat
memenuhi satu pernyataan berikut:
 a berelasi dengan b ditulis 𝑎 𝑅 𝑏 & a tak berrelasi dengan b ditulis 𝑎 𝑅 𝑏
Suatu relasi dari set A ke set A lagi disebut relasi di dalam A.
Relasi A ke B secara khusus didefinisikan sebagai subset R* dari A X B sebagai berikut: 𝑅 ∗=
{(𝑎, 𝑏): 𝑎𝑅𝑏}, sebaliknya sebarang subset R* dari A x B didefinisikan sebagai suatu relasi R
dari A ke B sbb: 𝑎𝑅𝑏 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎 (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ∗.
Korespondensi antara relasi-relasi R dari A ke B dengan subset-subset dari 𝐴 𝑋 𝐵 didefinisikan
“Suatu Relasi R dari A ke B adalah subset dari 𝐴 𝑋 𝐵.
Domain (daerah asal) dari relasi R dari A ke B adalah set dari koordinat pertama pasangan di
dalam R dan range (daerah hasil) adalah set dari koordinat kedua di dalam R yaitu:
 Domain 𝑅 = {𝑎: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅} & Range 𝑅 = {𝑏: (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅}
Invers dari R ditulis 𝑅 −1 adalah relasi dari B ke A didefinisikan: 𝑅 −1 = {(𝑏, 𝑎): (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅}
Relasi identitas di dalam suatu set A ditulis ∆ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ∆𝐴 adalah semua pasangan dalam 𝐴 𝑥 𝐴
dengan koordinat sama yaitu: ∆𝐴 = {(𝑎, 𝑎): 𝑎 ∈ 𝐴}
Contoh:
Relasi 𝑅 = {(1,2), (1,3), (2,3)} di dalam 𝐴 = {1,2,3} .
Tentukan domain, range dan invers dari R!
1.8.
RELASI EQUIVALEN
Suatu relasi R di dalam set A yaitu subset dari A X A disebut relasi equivalen bila hanya bila
memenuhi ketiga aksioma berikut:
a. Untuk tiap 𝑎 ∈ 𝐴, (𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅
sifat refleksif
b. Bila (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅, 𝑚𝑎𝑘𝑎 (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅
sifat simetris
c. Bila(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑅, 𝑚𝑎𝑘𝑎 (𝑎, 𝑐) ∈ 𝑅
sifat transitif
Secara singkat dapat dikatakan bahwa suatu relasi disebut relasi equivalen bila dan hanya bila
relasi tersebut refleksif, simetris dan transitif.
Contoh:
 Apakah relasi ⊂ (subset dari) didalam suatu set inklusi merupakan relasi equivalen?
 Didalam geometri Euclid, kesebangunan segitiga-segitiga adalah relasi eqiuvalen.
Buktikan!
Bila R suatu relasi equivalen di dalam A maka kelas equivalen dari 𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠[𝑎] adalah set
dari elemen-elemen yang berrelasi dengan a yaitu: [𝑎] = {𝑥: (𝑎, 𝑥) ∈ 𝑅}.
Koleksi dari kelas-kelas equivalen dari A ditulis A/R disebut faktor (quotient) A oleh R yaitu
A/R={[𝑎]: 𝑎 ∈ 𝑅}.
Set faktor A/R memenuhi sifat-sifat berikut:
a. Teorema 4.
Misal R adalah relasi equivalen di dalam A dan [𝑎] adalah kelas equivalen dari 𝑎 ∈ 𝐴 maka:
1. Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 ∈ [𝑎]
2. [𝑎] = [𝑏] bila dan hanya bila (a,b) ∈ 𝑅
3. Bila [𝑎] ≠ [𝑏] 𝑚𝑎𝑘𝑎 [𝑎]⋂[𝑏] = 𝜙
Suatu kelas 𝒜 dari subset-subset tidak kosong dari A disebut partisi dari A bila dan hanya
bila :
1. Tiap 𝑎 ∈ 𝐴 termasuk anggota dari 𝒜
2. Anggota-anggota dari 𝒜 sepasang-sepasang saling lepas (disjoint)
b. Teorema 5.
Bila R suatu relasi equivalen dalam A maka set faktor (quotient) A/R adalah partisi dari A.
1.9.
KOMPOSISI DARI RELASI
Misal U adalah relasi dari A ke B dan V suatu relasi dari B ke C yaitu 𝑈 ⊂ 𝐴𝑋𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑉 ⊂ 𝐵𝑋𝐶
maka relasi dari A ke C sedemikian hingga untuk sebarang 𝑏 ∈ 𝐵.
(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑈 𝑑𝑎𝑛 (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑉 disebut komposisi dari U dan V ditulis 𝑉 ∘ 𝑈.
Notasi pembentuk set, komposisi dari U dan V ditulis 𝑉 ∘ 𝑈 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐶, 𝑏 ∈
𝐵, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 (𝑥, 𝑏) ∈ 𝑈, (𝑏, 𝑦) ∈ 𝑉}.
Contoh:
Misalkan 𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤}, 𝐶 = {5,6,7,8}
𝑈 = {(1, 𝑥), (1, 𝑦), (2, 𝑥), (3, 𝑤), (4, 𝑤)} dan 𝑉 = {(𝑦, 5), (𝑦, 6), (𝑧, 8), (𝑤, 7)}
U adalah relasi dari A ke B dan V adalah relasi dari B ke C.
Gambarkan kedua relasi tersebut dan tentukan 𝑉 ∘ 𝑈!
Soal – soal:
1. Bila 𝐴 = {𝑥: 3𝑥 = 6}, apakah A = 2?
2. Apakah ∅ = {0} = {∅} ?
3. Manakah yang merupakan set kosong?
a. 𝑋 = {𝑥: 𝑥 2 = 9,2𝑥 = 4}
b. 𝑌 = {𝑥: 𝑥 + 8 = 8}
4. Misal 𝑈 = {1,2,3, … ,8,9}, 𝐴 = {1,2,3,4}, 𝐵 = {2,4,6,8} 𝑑𝑎𝑛 𝐶 = {3,4,5,6}
Carilah:
a. 𝐴𝐶
b. (𝐴 ∩ 𝐶)𝐶
c. 𝐵 − 𝐶
d. (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶
5. Misal R relasi < dari 𝐴 = {1,2,3,4} 𝑘𝑒 𝐵 = {1,3,5} yaitu (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 bila dan hanya bila 𝑎 < 𝑏
a. Tulislah R sebagai set pasangan terurut
b. Gambarlah R pada diagram koordinat 𝐴 𝑋 𝐵
c. Carilah domain dari R, range R, dan R-1
d. Carilah 𝑅 ∘ 𝑅 −1
BAB II
FUNGSI
2.1. FUNGSI
Misalkan tiap-tiap elemen dari set A dipasangkan dengan tepat satu elemen yang unik dari set B,
suatu koleksi f yang memasangkan elemen-elemen tersebut disebut fungsi (mapping/pemetaan)
𝑓
dari A ke B ditulis 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐴 → 𝐵.
Elemen yang ada dalam B sebagai pasangan dari 𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑓(𝑎) disebut nilai f pada a atau
bayangan (image) dari a di bawah f. Domain (daerah asal) f adalah A dan kodomain (daerah
kawan) dari f adalah B. Tiap-tiap fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 berkorespondensi dengan relasi di dalam A X
B dinyatakan oleh {(𝑎, 𝑓(𝑎): 𝑎 ∈ 𝐴}.
Set tersebut dikatakan sebagai grafik dari f. Daerah hasil dari f (range f) ditulis 𝑓[𝐴] adalah set
dari semua bayangan (peta) dari a oleh f yaitu 𝑓[𝐴] = {𝑓(𝑎): 𝑎 ∈ 𝐴}.
Dua fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑔: 𝐴 → 𝐵 adalah sama ditulis 𝑓 = 𝑔 bila dan hanya bila 𝑓(𝑎) = 𝑔(𝑎)
untuk tiap 𝑎 ∈ 𝐴 yaitu bila dan hanya bila kedua grafik sama.
2.2. FUNGSI SATU-SATU, IDENTITAS & INVERS
Fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 disebut satu-satu atau 1 – 1 bila elemen-elemen dalam A mempunyai peta yang
berbeda dalam B yaitu bila: 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑎′ ) ⟹ 𝑎 = 𝑎′
Fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 disebut onto (kepada) bila tiap 𝑏 ∈ 𝐵 adalah bayangan dari sebarang 𝑎 ∈ 𝐴 yaitu
bila: 𝑏 ∈ 𝐵 ⟹ 𝑎 ∈ 𝐴 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑓(𝑎) = 𝑏. Jadi bila f onto 𝑓[𝐴] = 𝐵.
Umumnya, relasi invers 𝑓 −1 dari suatu fungsi 𝑓 ⊂ 𝐴𝑋𝐵 tak perlu merupakan fungsi. Apabila f
suatu fungsi yang onto dan satu-satu maka 𝑓 −1 adalah fungsi dari B kepada A dan 𝑓 −1 disebut
fungsi invers.
Relasi identitas (diagonal) ∆𝐴 ⊂ 𝐴𝑋𝐴 adalah suatu fungsi yang disebut fungsi identitas pada A.
Fungsi identitas dinotasikan oleh 𝐼𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐼. Dalam hal ini, 𝐼𝐴 (𝑎) = 𝑎 untuk tiap 𝑎 ∈ 𝐴.
Selanjutnya bila f : A→ 𝐵 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐼𝐵 ∘ 𝑓 = 𝑓 = 𝑓 ∘ 𝐼𝐴 , bila f satu-satu dan onto dengan invers
𝑓 −1 maka 𝑓 −1 ∘ 𝑓 = 𝐼𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑓 ∘ 𝑓 −1 = 𝐼𝐵
Proporsi 1:
misal 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 sehingga 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝐼𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝐼𝐵 maka
𝑓 −1 ∶ 𝐵 → 𝐴 𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑔 = 𝑓 −1
Ilustrasi fungsi invers (fungsi kebalikan), misalkan sebuah fungsi f : A  B dikatakan dapat
dibalik (invers) bila f 1 : B  A , dalam bentuk diagram panah:
f
B
A
b =f(a)
f-1(b)=a
f-1
2.3. KOMPOSISI FUNGSI
Misalkan f : A  B dan g : B  C adalah fungsi, maka dapat ditunjukkan bahwa komposisi
dari f dan g, f  g , adalah fungsi dari A ke C. Jika a  A dan b = f(a)  B sedangkan c = g(b) 
C, maka ( f  g )(a) = g(f(a)); sehingga ( f  g )(a) = g(f(a)) = g(b) = c , dalam bentuk diagaram
panah:
A
𝒇∘𝒈
a
f
C
C = g(b) =
g(f(a))
B
b = f(a)
g
Contoh: Misalkan f , g :    dengan f(x) = x + 1 dan g(x) = x2, tentukan f  g dan g  f !
Sifat-sifat fungsi sebagai berikut:
a. Fungsi Surjektif
Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika
dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B.
Contoh dalam diagram panah:
1
a
2
b
3
c
4
A
f
B
A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}, fungsi f : A  B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a),
(2,c), (3,b), (4,c)}. Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf : {a,b,c} dan Rf = B maka
fungsi f adalah fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada.
Fungsi f : A  B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil
fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau Rf  B.
Contoh dalam diagram panah:
1
a
2
b
3
c
4
A
f
B
A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}, fungsi f : A  B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a),
(2,b), (3,a), (4,b)}. Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b} dan Rf  B, maka fungsi f
adalah fungsi into atau fungsi ke dalam.
b. Fungsi Injektif
Fungsi f : a  B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap
a1, a2  A dan a1  a2 berlaku f (a1)  f (a2).
Contoh :
1
a
2
b
3
c
A
f
B
A = {1,2,3}, B = {a,b,c}, fungsi f : A  B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(1,a),
(2,b), (3,c)}. Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda
di B. Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu.
c. Fungsi Bijektif
Fungsi f : A  B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan
fungsi surjektif dan fungsi injektif.
Contoh :
1
a
2
b
3
c
A
f
B
A = {1,2,3}, B = {a,b,c}, fungsi f : A  B, dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a),
(2,c), (3,b)}. Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.
Fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu
2.4. SET BERINDEKS
Suatu kelas dari set-set berindeks ditulis {𝐴𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼}, {𝐴𝑖 }𝑖∈𝐼 , 𝑎𝑡𝑎𝑢 {𝐴𝑖 } yang memasangkan suatu
set 𝐴𝑖 dengan tiap-tiap 𝑖 ∈ 𝐼, yaitu suatu fungsi dari I ke dalam kelas dari set-set. Set I disebut set
dari indeks-indeks, set-set A disebut set-set berindeks dan tiap 𝑖 ∈ 𝐼 disebut indeks. Set indeks I
adalah set bilangan bulat positif, kelas berindeks {𝐴1 , 𝐴2 , … } disebut barisan.
Contoh:
Untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 (set bilangan positif) misalkan
𝐷𝑛 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑁, 𝑥 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑛}, maka tentukan D1, D2 dan D3!
2.5. ALJABAR DARI FUNGSI BERNILAI REAL
Misal F (X,R) notasi untuk koleksi dari semua fungsi bernilai real yang didefinisikan pada
sebarang set X. Beberapa operasi di dalam F (X,R) berkorespondensi dengan operasi-operasi di
dalam R.
Bila 𝑓: 𝑋 → 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑔: 𝑋 → 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑘 ∈ 𝑅 maka didefinisikan:
a. (𝑓 + 𝑔): 𝑋 → 𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
b. (𝑘. 𝑓): 𝑋 → 𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ (𝑘. 𝑓)(𝑥) = 𝑘(𝑓(𝑥))
c. (|𝑓|): 𝑋 → 𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ (|𝑓|)(𝑥) = |𝑓(𝑥)|
d. (𝑓𝑔): 𝑋 → 𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ (𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
e. (𝑓 + 𝑘): 𝑋 → 𝑅 𝑜𝑙𝑒ℎ (𝑓 + 𝑘)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑘
Contoh:
 Misal 𝑓 = {(𝑎, 1), (𝑏, 3)} 𝑑𝑎𝑛 𝑔 = {(𝑎, 2), (𝑏, −1)} dengan domain 𝑋 = {𝑎, 𝑏} maka
tentukan:
a. (3𝑓 − 2𝑔)(𝑎)!
b. (3𝑓 − 2𝑔)(𝑏)!
c. (3𝑓 − 2𝑔)!
d. |𝑔|(𝑥)!
e. (𝑔 + 3)(𝑥)!
Koleksi 𝐹 (𝑋, 𝑅)dengan operasi-operasi seperti tersebut di atas mempunyai sifat seperti
dinyatakan dalam teorema berikut:
Teorema:
Koleksi 𝐹 (𝑋, 𝑅)dari semua fungsi bernilai real didefinisikan pada set tidak kosong X dengan
operasi-operasi yang didefinisikan di atas memenuhi aksioma ruang vector real linear berikut:
1. Operasi tambahan (adisi) dari fungsi-fungsi f dan g memenuhi sifat-sifat:
a. (𝑓 + 𝑔) + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ)
b. 𝑓 + 𝑔 = 𝑔 + 𝑓
c. 𝔷𝑂 ∈ 𝐹(𝑋, 𝑅) 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝑂: 𝑋 → 𝑅 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑓 + 𝑂 = 𝑓
d. Untuk tiap 𝑓 ∈ 𝐹(𝑋, 𝑅), 𝑎𝑑𝑎 − 𝑓 ∈ 𝐹(𝑋, 𝑅)
2. Operasi perkalian skalar k.f dari fungsi f dengan bilangan real k memenuhi sifat:
a. 𝑘. (𝑘 ′ . 𝑓) = (𝑘. 𝑘 ′ )𝑓
b. 1. 𝑓 = 𝑓
3. Operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi sifat:
a. 𝑘. (𝑓 + 𝑔) = 𝑘. 𝑓 + 𝑘. 𝑔
b. (𝑘 + 𝑘 ′ ). 𝑓 = 𝑘. 𝑓 + 𝑘 ′ . 𝑔
Soal – soal:
1.
Misal 𝑋 = {1,2,3,4,5}, 𝑓: 𝑋 → 𝑋 𝑑𝑎𝑛 𝑔: 𝑋 → 𝑋 ,
sehingga 𝑓 = {(1,3), (2,5), (3,3), (4,1), (5,2)}
dan 𝑔 = {(1,4), (2,1), (3,1), (4,2), (5,3)} .
Tentukan :
a. Range f dan g!
b. Komposisi fungsi 𝑔 ∘ 𝑓 𝑑𝑎𝑛 𝑓 ∘ 𝑔 !
2.
Misal 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} dan 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹(𝑋, 𝑅)
𝑓 = {(𝑎, 1), (𝑏, −2), (𝑐, 3)} dan 𝑔 = {(𝑎, −2), (𝑏, 0), (𝑐, 1)} . Tentukan:
a. f + 2g
3.
b. fg – 2f
c. f + 4
d. |𝑓|
e. f2
Misal 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan 𝑔: 𝑅 → 𝑅 didefinisikan oleh 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 2 .
Tentukan produk fungsi 𝑔 ∘ 𝑓 𝑑𝑎𝑛 𝑓 ∘ 𝑔 !
4.
Apabila U dan V merupakan fungsi yang didefinisikan oleh 𝑈 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1} dan 𝑉 =
{(𝑦, 𝑧): 2𝑦 + 3𝑧 = 4}. Tentukan 𝑉 ∘ 𝑈!
BAB III
RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES)
3.1.
RUANG TOPOLOGI (TOPOLOGICAL SPACES)
Misal 𝑋 adalah suatu set tidak kosong. Suatu kelas 𝜏 yang anggotanya subset-subset dari
𝑋 disebut topologi pada X, bila dan hanya bila 𝜏 memenuhi ketiga aksioma berikut:
1.
𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ termasuk dalam 𝜏
2.
Gabungan dari set-set anggota dari 𝜏 adalah anggota 𝜏
3.
Irisan dari dua set anggota 𝜏 adalah anggota 𝜏
Anggota –anggota dari 𝜏 disebut set – set buka dari 𝜏, dan 𝑋 bersama 𝜏 yaitu (𝑿, 𝝉) disebut
ruang topologi.
Contoh:
1. Misal 𝑈 adalah kelas dari semua set buka dari bilangan real maka 𝑈 adalah topologi biasa
(usual topologi) pada 𝑅. Demikian juga kelas 𝑈 yang terdiri dari set-set buka pada 𝑅 2
adalah topologi biasa pada 𝑅 2 .
2. Misalkan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.
𝜏1 , 𝜏2 , 𝜏3 𝑑𝑎𝑛 𝜏4 masing-masing subset dari 2𝑥 . Manakah yang merupakan topologi pada
𝑋, bila: 𝜏1 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}}
𝜏2 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑}}
𝜏3 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}}
𝜏4 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑒}}
3. Diketahui 𝑋 = {1,2,3}. Himpunan bagian 𝑋 ditentukan sebagai berikut:
𝑇1 = {{1}, {2}, {3}, ∅}
𝑇2 = {{1}, {2}, {1,2}, {1,2,3}}
𝑇3 = {{1}, {2}, {1,2}, {1,2,3}, ∅}
𝑇4 = {{1,2}, {2,3}, {1,2,3}, ∅}
𝑇5 = {{1,2}, {2,3}, ∅, {1,2,3}, {2}}
𝑇6 = {{1}, {2}, {2,3}, ∅, {1,2,3}}
𝑇7 = {{1}, {2}, {2,3}, ∅, {1,2,3}, {1,2}}
Manakah yang merupakan topologi? Jelaskan!
4. Let 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}. Determine wheter or not each of the following classes of subsets
of 𝑋 is a topology on 𝑋.
(i)
𝑇1 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐}}
(ii)
𝑇2 = {𝑋, ∅, {𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑏, 𝑑}, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}}
(iii) 𝑇3 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}}
TOPOLOGI DISKRIT, TOPOLOGI INDISKRIT & TOPOLOGI KOFINIT
Apabila D adalah kelas dari semua subset dari 𝑋 atau 𝐷 = 2𝑥 atau dapat dikatakan D adalah
himpunan kuasa (power set) dari 𝑋 maka 𝐷 adalah topologi pada 𝑋 karena memenuhi ketiga
aksioma pada topologi sehingga disebut topologi diskrit dan (𝑋, 𝐷) disebut ruang topologi
diskrit atau secara singkat disebut ruang diskrit., sedangkan himpunan kuasa (power set) dari
X yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah semua himpunan bagian dari 𝑋.
Suatu topologi pada 𝑋 harus memuat set 𝑑𝑎𝑛 ∅ . Kelas 𝑌 = {𝑋, ∅} yang hanya memuat
𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah topologi pada X, sehingga 𝑌 = {𝑋, ∅} disebut topologi indiskrit dan (𝑿, 𝒀)
disebut ruang topologi indiskrit atau ruang indiskrit.
Apabila (𝑋, 𝜏) ruang topologi dan 𝜏1 adalah kelas yang anggotanya semua komplemen dari setset buka dari 𝜏 maka 𝜏1 adalah topologi kofinit.
Contoh:
1. 𝑋 = {𝑎, 𝑏} ; 𝑌 = {1,2,3}
𝜏1 adalah suatu kelas himpunan bagian dari X dan 𝜏1 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏}}
𝜏2 adalah suatu kelas subset dari Y dan 𝜏2 = {𝑌, ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3 }}
a. Apakah 𝜏1 dan 𝜏2 merupakan topologi diskrit? Jelaskan alasannya!
b. Tentukan ruang diskrit dari 𝜏1 dan 𝜏2 !
2. 𝑋 = {1} & 𝜏1 = {𝑋, ∅}, 𝑌 = {1,2} & 𝜏2 = {𝑌, ∅, {1}, {2}}, 𝑍 = {1,2,3} & 𝜏3 = {𝑍, ∅} .
Apakah 𝜏1 , 𝜏2 , 𝜏3 merupakan topologi indiskrit?
IRISAN, GABUNGAN & KOMPLEMEN
𝑇1 𝑑𝑎𝑛 𝑇2 adalah topologi pada X maka 𝑇1 ∩ 𝑇2 juga merupakan topologi pada 𝑋 tetapi 𝑇1 ∪
𝑇2 belum tentu (tak perlu) merupakan topologi. Gabungan dari set-set kosong adalah set kosong
dan irisan kosong dari subset-subset dari 𝑋 adalah 𝑋 sendiri.
Elemen suatu topologi 𝑇 pada 𝑋 disebut himpunan terbuka. Suatu himpunan bagian 𝐴 dari 𝑋
yang komplemennya ada di dalam 𝑇 (𝐴𝑐 ∈ 𝑇) merupakan himpunan yang tertutup atau dapat
dikatakan komplemen dari himpunan-himpunan yang terbuka adalah himpunan-himpunan yang
tertutup. Jadi suatu himpunan 𝐴 disebut tertutup jika hanya jika 𝐴𝑐 adalah terbuka.
Apabila 𝑇 adalah suatu topologi pada 𝑋 maka kelas himpunan bagian yang tertutup dari 𝑋
mempunyai sifat :
a. 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah himpunan-himpunan yang tertutup
b. Irisan dari sejumlah sebarang himpunan yang tertutup adalah tertutup
c. Gabungan dari setiap dua himpunan yang tertutup adalah tertutup
Contoh:
1. Dua topologi 𝑇1 𝑑𝑎𝑛 𝑇2 pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dengan
𝑇1 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}} dan 𝑇2 = {𝑋, ∅, {𝑎}{𝑐, 𝑑}{𝑎, 𝑐, 𝑑}{𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑒}}
Apakah 𝑇1 ∩ 𝑇2 merupakan topologi pada X?
2. 𝑋 = {1,2,3,4,5} dengan 𝑇1 = {𝑋, ∅, {1}, {5}, {1,5}}, 𝑇2 = {𝑋, ∅, {2}, {5}, {2,5}}
Apakah 𝑇1 ∪ 𝑇2 merupakan topologi?
3. Diberikan 𝑇1 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}} , 𝑇2 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑎, 𝑏}} dan 𝑇3 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏, 𝑐}}
pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} .
a. Tentukan 𝑇1 ∩ 𝑇2 ∩ 𝑇3 dan 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 !
b. Apakah 𝑇1 ∩ 𝑇2 ∩ 𝑇3 merupakan topologi?
c. Apakah 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 merupakan topologi?
3.2.
TITIK KUMPUL (ACCUMULATION POINTS)
Misal 𝑋 adalah ruang topologi. Suatu titik 𝑝 ∈ 𝑋 adalah titik kumpul dari 𝐴 ⊂ 𝑋 bila dan hanya
bila setiap set buka 𝐺 yang memuat 𝑝, memuat suatu titik yang berbeda dengan 𝑝 atau “bila G
buka, 𝒑 ∈ 𝑮 maka (𝑮 − {𝒑}) ∩ 𝑨 ≠ ∅”. Set dari titik-titik kumpul dari A ditulis 𝑨′ dan
disebut set derive dari A.
Apabila 𝑋 ruang diskrit yaitu (𝑋, 𝑌) dengan 𝑌 = {𝑋, ∅} maka 𝑋 adalah set buka yang memuat
sebarang 𝑝 ∈ 𝑋. Jadi 𝑝 adalah titik kumpul dari setiap subset dari 𝑋, kecuali set kosong ∅ dan
set {𝑝} . Jadi set dari titik-titik kumpul 𝐴 ⊂ 𝑋 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝐴′ adalah:
∅, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐴 = ∅
{𝑝}𝑐 = 𝑋 − {𝑝}, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐴 = {𝑝}
𝑋, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐴 𝑚𝑒𝑚𝑢𝑎𝑡 𝑑𝑢𝑎 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ
𝐴′ =
Contoh:
1.
𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}} adalah topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} 𝑑𝑎𝑛 𝐴 =
{𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊂ 𝑋. Tentukan titik kumpul dari A!
2.
Diketahui 𝑃 = {1, 2, 3 ,4, 5} dengan 𝑇 = {𝑃, ∅, {5}, {3,4}, {3,4,5}, {1,2,3,4}}.
𝐴 = {1,4} , 𝐵 = {3,4,5} ,
Tentukan:
a.
𝐴′
b.
𝐵′
c.
𝐶′
d.
𝐷′
𝐶 = {1,3,5} ,
𝐷 = {2,3,4,5}
3.3.
HIMPUNAN TERBUKA & HIMPUNAN TERTUTUP (OPEN SETS & CLOSED SETS)
Definisi:
 Untuk sebarang ruang topologi (𝑋, 𝜏). Anggota-anggota dari 𝜏
dikatakan himpunan
terbuka.
Teorema:
 Untuk sebarang ruang topologi (𝑋, 𝜏) maka:
a. 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah set-set buka
b. Irisan dari set-set buka adalah buka
c. Gabungan dari dua set-set buka adalah buka
Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup yaitu komplemen dari himpunan
terbuka. Misal 𝑋 adalah ruang topologi. Subset 𝐴 dari 𝑋 disebut set tertutup bila dan hanya bila
komplemen 𝐴𝑐 adalah set buka.
Definisi:
 Untuk sebarang ruang topologi (𝑋, 𝜏) , suatu himpunan bagian 𝐴 dari 𝑋 dikatakan himpunan
tertutup jika komplemennya merupakan himpunan terbuka pada (𝑋, 𝜏) .
Apabila 𝑋 adalah ruang diskrit yaitu setiap subset dari 𝑋 adalah buka maka setiap subset dari 𝑋
adalah juga tutup, karena komplemennya selalu buka. Dengan kata lain, setiap subset dari X
adalah buka dan tutup. Ingat bahwa 𝐴𝑐 𝑐 = 𝐴, untuk setiap subset 𝐴 dari 𝑋 maka diperoleh
proposisi berikut:
 Dalam ruang topologi 𝑋, subset 𝐴 dari 𝑋 adalah buka bila dan hanya bila komplemennya
tutup.
Aksioma dari ruang topologi dan hukum De Morgan memberikan teorema berikut:
 Bila 𝑋 ruang topologi maka kelas dari subset-subset tutup dari 𝑋 memiliki sifat-sifat yaitu:
a. 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ adalah set-set tutup
b. Irisan dari set-set tutup adalah tutup
c. Gabungan dari dua set tutup adalah tutup
Set-set tutup dapat pula dinyatakan dengan menggunakan pengertian titik kumpul sebagai
berikut, dengan teorema:
 Subset 𝐴 dari ruang topologi 𝑋 adalah tutup bila dan hanya bila A memuat semua titik
kumpul dari 𝐴.
Dengan kata lain bahwa set A adalah tutup bila dan hanya bila set derive 𝑨′ dari A adalah
subset dari A yaitu 𝑨′ ⊂ 𝑨
Contoh:
1. 𝑋 = {𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡} 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑇 = {𝑋, ∅, {𝑝, 𝑞}, {𝑞, 𝑟}, {𝑝, 𝑞, 𝑟}, {𝑞}}
Tentukan:
a. Himpunan bagian dari 𝑋 yang terbuka!
b. Himpunan bagian dari 𝑋 yang tertutup!
c. Himpunan yang bersifat terbuka tetapi juga tertutup!
d. Himpunan yang hanya bersifat terbuka!
e. Himpunan yang hanya bersifat tertutup!
f. Himpunan yang hanya bersifat tidak terbuka dan juga tidak tertutup!
2. Kelas 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}} didefinisika pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.
Tentukan subset-subset tutup dari X!
3. Diberikan
ruang
topologi
(𝑋, 𝑇1 )
dengan
𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓}
dan
𝑇1 =
{𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓}} . Apa saja himpunan tertutup dari (𝑋, 𝑇1 ) ?
3.4.
PENUTUP DARI SET (CLOSURE OF A SET)
̅ 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝑨− adalah
Misal 𝐴 subset dari ruang topologi 𝑋. Penutup dari A (closure of A) ditulis 𝑨
irisan dari semua superset tutup dari A. Dengan kata lain, bila {𝐹𝑖 ∶ 𝑖 ∈ 𝐼} adalah kelas semua
subset tutup dari 𝑋 yang memuat 𝐴 maka 𝐴̅ = ∩𝑖 𝐹𝑖
Perhatikan bahwa 𝐴̅ adalah tutup karena 𝐴̅ adalah irisan dari set-set tutup. Selanjutnya juga, 𝐴̅
adalah superset tutup terkecil dari 𝐴, dengan demikian bila 𝐹 adalah set tutup yang memuat 𝐴
̅ ⊂ 𝑭.
maka 𝑨 ⊂ 𝑨
Berdasarkan hal tersebut, set 𝐴 adalah tutup bila dan hanya bila 𝐴 = 𝐴̅ dan diperoleh pernyataan
berikut dengan dalil (proposisi):

Bila 𝐴̅ penutup dari set maka:
a. 𝐴̅ adalah penutup
b. Bila 𝐹 superset tutup dari A maka 𝐴 ⊂ 𝐴̅ ⊂ 𝐹
c. 𝐴 adalah tutup bila dan hanya bila 𝐴 = 𝐴̅
Misal 𝑋 adalah ruang topologi kofinit yaitu komplemen dari set-set terhingga dan ∅ adalah setset buka maka set-set tutup dari topologi tersebut adalah set-set terhingga dari 𝑋 dengan 𝑋.
Jadi bila 𝐴 ⊂ 𝑋 terhingga, penutup dari 𝐴̅ adalah 𝐴 sendiri karena 𝐴 tutup. Sebaliknya bila 𝐴 ⊂
𝑋 tak hingga maka 𝑋 adalah superset tutup dari 𝐴, jadi 𝐴̅ 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑋 .
Selanjutnya untuk suatu 𝐴 subset dari ruang kofinit 𝑋 maka:
A bila A terhingga
𝐴̅ =
𝑋 bila A tak hingga
Penutup dari suatu set dapat dinyatakan dengan pengertian dari titik-titik kumpul dari set
tersebut sebagai berikut dengan teorema:

Bila A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari A dengan
̅ = 𝑨 ∪ 𝑨′
𝐴′ yaitu 𝑨
Suatu titik 𝑝 ∈ 𝑋 disebut titik penutup dari 𝐴 ⊂ 𝑋 bila dan hanya bila p termuat dalam penutup
A yaitu ∈ 𝐴̅ . Dari teorema diatas diperoleh bahwa𝑝 ∈ 𝑋 adalah titik penutup dari 𝐴 ⊂ 𝑋 bila
dan hanya bila 𝑝 ∈ 𝐴 atau p titik kumpul dari A.
Subset A dari ruang topologi X disebut padat (dense) dalam 𝐵 ⊂ 𝑋 bila B termasuk dalam
̅ . Khususnya, A adalah padat dalam X atau subset padat dari X bila dan
penutup A yaitu ⊂ 𝑨
̅=𝑿
hanya bila 𝑨
Perhatikan set semua bilangan rasional Q. Didalam topologi biasa untuk R, setiap bilangan real
𝑎 ∈ 𝑅 adalah titik kumpul dari Q. Jadi penutup dari Q adalah set semua bilangan real R yaitu
𝑄̅ = 𝑅 . Dengan kata lain, dalam topologi biasa, set semua bilangan rasional Q padat dalam R.
Operator penutup yang menghubungkan tiap-tiap subset A dari X dengan penutup 𝐴̅ ⊂ 𝑋 yang
memenuhi 4 sifat seperti ditunjukkan pada proporsisi berikut, yang disebut Aksioma Penutup
Kuratowski dengan dalil (proposisi):
a.
̅ = ∅,
∅
b.
𝐴 ⊂ 𝐴̅
c.
̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅
d.
(𝐴− )− = 𝐴̅
Contoh:
1. Kelas 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}} didefinisika pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.
̅̅̅̅̅
a. Tentukan : {𝑏̅} , {𝑎,
̅̅̅̅}
𝑐 , {𝑏,
𝑑}
̅̅̅̅̅
b. Apakah {𝑎,
̅̅̅̅}
𝑐 dan {𝑏,
𝑑} merupakan subset padat dari X? Jelaskan!
2. 𝑋 = {1,2,3,4,5} dan 𝑇 = {𝑋, ∅, {1,2}, {1,2,3}, {2,3,4}, {2}, {2,3}, {1,2,3,4}}
Tentukan closure dari:
a.
{4}
b.
{3,5}
c.
{2,3,4}
d.
{2,4,5}
3.5.
INTERIOR, EKSTERIOR & BOUNDARY
Misal 𝐴 subset dari ruang topologi 𝑋. Titik 𝑝 ∈ 𝑋 disebut titik interior dari 𝑨 bila 𝒑 termasuk
set buka 𝑮 subset dari 𝑨, yaitu ∈ 𝑮 ⊂ 𝑨 , 𝑮 set buka.
Set dari titik-titik interior dari A ditulis int (A), 𝑨̇ atau 𝑨° , disebut interior dari A.
Interior dari A dapat dinyatakan sebagai berikut, dengan dalil (proporsisi):

Interior dari set A adalah gabungan dari semua subset dari A, selanjutnya juga bahwa:
a.
𝐴° adalah buka
b. 𝐴∘ subset buka terbesar dari 𝐴; yaitu bila 𝐺 subset buka dari 𝐴 maka 𝐺 ⊂ 𝐴∘ ⊂ 𝐴
c. A adalah buka bila hanya bila 𝐴 = 𝐴∘
Eksterior dari 𝑨 ditulis eks (𝑨) adalah interior dari komplemen A yaitu int (𝑨𝒄 ). Boundary
(batas) dari 𝑨 ditulis b(𝑨) adalah set dari titik-titik yang tidak termasuk interior dan tidak
termasuk eksterior dari 𝑨.
Berikut ini hubungan interior, eksterior, dan penutup dengan teorema:

Misal A subset dari ruang topologi X maka penutup dari A adalah gabungan dari interior
̅ = 𝑨∘ ∪ 𝒃(𝑨).
dan batas dari A yaitu 𝑨
Contoh:
1. 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}} merupakan topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
dengan 𝐴 = {𝑏, 𝑐, 𝑑} ⊂ 𝑋 dan 𝐵 = {𝑎, 𝑐, 𝑑} ⊂ 𝑋
Tentukan:
a.
𝐴° , eks (A , b (A)
b.
𝐵 ° , eks (B) , b (B)
2. 𝑋 = {1,2,3,4,5} topologi pada 𝜏 = {𝑋, ∅, {3}, {2,3,4}, {3,4,5}, {3,4}, {2,3,4,5}} dengan 𝐴 =
{1,2,3}, 𝐵 = {1,3,4,5} 𝑑𝑎𝑛 𝐶 = {1,5}
Tentukan:
a.
Titik interior, eksterior dan boundary dari 𝐴
b.
Titik interior, eksterior dan boundary dari 𝐵
c.
Titik interior, eksterior dan boundary dari 𝐶
Apabila 𝑄 adalah set semua bilangan rasional. Karena setiap subset buka dari 𝑅 memuat
bilangan rasional dan irasional, titik-titik itu bukan interior dan eksterior dari 𝑄 juga int (Q) =
∅ dan int (𝑄 𝑐 ) = ∅ . Jadi batas dari 𝑄 adalah bilangan real yaitu 𝑏(𝑄) = 𝑅
Suatu subset 𝐴 dari ruang topologi 𝑋 disebut padat tidak dimana-mana (nowhere dense) di
1 1 1
dalam 𝑋 jika interior dari penutup 𝐴 adalah kosong, yaitu (𝐴̅) = ∅ . Misal 𝐴 = {1, 2 , 3 , 4 … }
1 1 1
subset dari 𝑅 maka 𝐴 mempunyai tepat satu titik kumpul yaitu 0, sehingga 𝐴̅ = {0,1, 2 , 3 , 4 }
dan 𝐴̅ padat tidak dimana-mana dalam 𝑅. Misal A memuat semua bilangan rasional antara 0
dan 1 yaitu 𝐴 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑄, 0 < 𝑥 < 1} maka int (A) = ∅ tetapi 𝐴 tidak padat tidak dimanamana dalam R karena penutup A adalah [0, 1] dan 𝑖𝑛𝑡(𝐴̅) = 𝑖𝑛𝑡[0,1] = (0,1) ≠ ∅ .
3.6.
LINGKUNGAN & SISTEM LINGKUNGAN
Misal 𝑝 adalah titik dalam ruang topologi 𝑋. Suatu subset 𝑁 dari 𝑋 disebut lingkungan dari 𝑝
jika dan hanya jika 𝑵 adalah suatu superset dari set buka 𝑮 yang memuat 𝒑 yaitu: 𝒑 ∈ 𝑮 ⊂
𝑵 dengan 𝑮 set buka. Dengan kata lain relasi “N adalah lingkungan dari p” adalah invers
dari “p adalah titik interior N”. Kelas dari semua lingkungan dari 𝑝 ∈ 𝑋 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑁𝑝 disebut
sistem lingkungan (neighborhood system) dari 𝑝. Untuk suatu sistem lingkungan 𝑁𝑝 dari suatu
titik 𝑝 ∈ 𝑋 ada 4 sifat yang dinyatakan dalam proporsi berikut yang disebut aksioma lingkungan
sebagai berikut:
a. 𝑁𝑝 ≠ ∅ dan p termasuk ke dalam tiap anggota 𝑁𝑝
Proporsisi:
b. Irisan dari dua anggota 𝑁𝑝 termasuk 𝑁𝑝
c. Setiap superset dari anggota 𝑁𝑝 termasuk 𝑁𝑝
d. Tiap anggota 𝑁 ∈ 𝑁𝑝 adalah superset dari anggota 𝐺 ∈ 𝑁𝑝 dengan G adalah
lingkungan dari tiap-tiap titik dari G yaitu 𝐺 ∈ 𝑁𝑔 untuk tiap ∈ 𝐺 .
Contoh:
1.
𝑋 = {𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡} 𝑑𝑎𝑛 𝑇 = {𝑋, ∅, {𝑝}, {𝑝, 𝑞}, {𝑝, 𝑟, 𝑠}, {𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠}, {𝑝, 𝑞, 𝑡}} .
Tentukan:
a.
𝑁𝑞
b.
𝑁𝑟
c.
𝑁𝑠
d.
𝑁𝑡
2. 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dan = {𝑋, ∅, [𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑], {𝑎, 𝑏, 𝑒}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎}} .
Tentukan:
a.
𝑁𝑐
b.
𝑁𝑒
3.7
TOPOLOGI KORSER DAN TOPOLOGI FAINER
Misal 𝜏1 dan 𝜏2 adalah topologi pada set tidak kosong X dan tiap-tiap set buka anggota 𝜏1
subset dari X adalah anggota 𝜏2 subset dari X. Dengan demikian, bahwa 𝜏1 adalah kelas bagian
dari 𝜏2 yaitu 𝜏1 ⊂ 𝜏2 , sehingga dikatakan bahwa 𝜏1 adalah lebih kasar (Coarser) atau lebih kecil
(smaller) atau lebih lemah (weaker) terhadap 𝜏2 atau 𝜏2 lebih halus (finer) atau lebih besar
(larger) terhadap 𝜏1 . Perhatikan bahwa 𝑇 = {𝜏1 } koleksi dari topologi-topologi adalah terurut
parsial dan dapat ditulis 𝜏1 ≾ 𝜏2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝜏1 ⊂ 𝜏2 dan dikatakan bahwa kedua topologi pada X
tidak dapat dibandingkan bila topologi yang satu bukan korser terhadap yang lainnya.
Contoh:
1. Perhatikan topologi diskrit D, topologi indiskrit Y dan suatu topologi 𝜏 pada set X, maka 𝜏
adalah korser terhadap D, dan 𝜏 adalah finer terhadap Y. Jadi 𝑌 ≲ 𝜏 ≲ 𝐷 .
2. Topologi 𝑋 = {1,2,3,4,5}
𝑇1 = {𝑋, ∅, {1}, {1,2}},
𝑇2 = {𝑋, ∅, {1}, {1,2}, {1,2,3}}
𝑇3 = {𝑋, ∅, {1}, {1,2}, {1,2,3}, {1,2,3,5}} .
Bandingkan topologi-topologi 𝑇1 , 𝑇2 𝑑𝑎𝑛 𝑇3 !
3.8
RUANG BAGIAN, TOPOLOGI RELATIF
Misal A adalah subset tidak kosong dari ruang topologi (𝑋, 𝜏). Kelas 𝜏𝐴 yaitu kelas dari semua
irisan dari A dengan subset-subset buka 𝝉 pada X adalah topologi pada A dan topologi tersebut
disebut topologi relative pada A atau relatifisasi 𝜏 terhadap A dan ruang topologi (𝐴, 𝜏𝐴 )
disebut ruang bagian dari (𝑋, 𝜏). Dengan kata lain, subset H dari A adalah set buka dari 𝜏𝐴 ,
yaitu relative buka ke A, bila dan hanya bila ada subset buka G dari X dan 𝐺 ∈ 𝜏 sedemikian
hingga 𝐻 = 𝐺 ∩ 𝐴
Contoh:
1. Topologi 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}} pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dengan
𝐴 = {𝑎, 𝑑, 𝑒} ⊂ 𝑋 . Tentukan relatifisasi dari 𝜏 terhadap A (𝑇𝐴 ) !
2. Dari soal diatas, apabila 𝐵 = {𝑏, 𝑐, 𝑑} ⊂ 𝑋 maka tentukan topologi relatife dari B (𝑇𝐵 ) !
3. 𝑃 = {1,2,3,4,5,6} dengan 𝑇 = {𝑃, ∅, {5,6}, {4,5,6}, {2,3,4,5,6}, {2,5,6}, {2,3,5,6}, {2,4,5,6}}
dan 𝑄 = {1,3,5,6} , 𝑅 = {1,2,4,5,6}. Tentukan 𝑇𝑄 𝑑𝑎𝑛 𝑇𝑅 !
3.9
EKUIVALENSI DARI DEFINISI TOPOLOGI
Definisi dari ruang topologi memberikan aksioma untuk set-set buka dalam ruang topologi dan
digunakan set buka sebagai pengertian (ide) sederhana untuk topologi. Teorema berikut
menunjukkan alternatif lain untuk definisi topologi pada suatu set dengan menggunakan
pengertian sederhana dari lingkungan dari suatu titik dan penutup suatu set :

Bila X adalah set tidak kosong dan untuk tiap 𝑝 ∈ 𝑋 , 𝒜𝑝 kelas dari subset-subset dari X
memenuhi aksioma berikut:
a. 𝒜𝑝 tidak kosong dan p termasuk ke dalam anggota dari 𝒜𝑝
b. Irisan dari dua anggota 𝒜𝑝 termasuk dalam 𝒜𝑝
c. Setiap superset dari anggota 𝒜𝑝 termasuk 𝒜𝑝
d. Setiap anggota 𝑁 ∈ 𝒜𝑝 adalah superset dari anggota 𝐺 ∈ 𝒜𝑝 sedemikian hingga 𝐺 ∈
𝒜𝑔 untuk tiap 𝑔 ∈ 𝐺 maka ada satu dan hanya satu topologi 𝜏 pada X sedemikian
hingga 𝒜𝑝 adalah sistem lingkungan 𝜏 dari titik ∈ 𝑋 .

Bila X adalah set tidak kosong dan k adalah operasi yang menghubungkan tiap subset A
dari X dengan subset Ak dari X yang memenuhi aksioma penutup kuatowski berikut:
a. ∅𝑘 = ∅
b. 𝐴 ⊂ 𝐴𝑘
c. (𝐴 ∪ 𝐵)𝑘 = 𝐴𝑘 ∪ 𝐵 𝑘
d. (𝐴𝑘 )𝑘 = 𝐴𝑘
maka ada satu dan hanya satu topologi 𝜏 pada X sedemikian hingga 𝐴𝑘 adalah penutup
subset A dari X.
Soal – soal:
1. Jika 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, buktikan bahwa   X ,0 , {a}, {a, b}, {a, c, d }, {a, b, c, d }, {a, b, e} merupakan
topologi pada S?
2. 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑏, 𝑒}}
adalah topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} maka
tentukan:
a. Subset-subset tutup dari X!
b. Closure dari {𝑎}, {𝑏} 𝑑𝑎𝑛 {𝑐, 𝑒} !
c. Manakah set dalam (b) yang merupakan padat dalam X!
d. Set dari titik kumpul 𝐴 = {𝑎, 𝑑, 𝑒}
e. Set dari titik kumpul 𝐵 = {𝑏}
3. Jika 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, dengan   X ,0 , {a}, {a, b}, {a, c, d }, {a, b, c, d }, {a, b, e} dan 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
dimana 𝐴 ⊂ 𝑋 maka tentukan:
a. Titik limit dari A!
b. Titik interior dari A!
c. Titik eksterior dari A!
d. Titik batas dari A!
e. Persekitaran/lingkungan dari c (𝑁𝑐 )!
4.
Jika 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, dengan   X ,0 , {a}, {a, b}, {a, c, d }, {a, b, c, d }, {a, b, e} dan 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, 𝐵 =
{𝑎, 𝑐, 𝑒} dimana 𝐴 ⊂ 𝑋 , 𝐵 ⊂ 𝑋 maka tentukan:
a. Topologi relatif dari 𝜏 terhadap A (𝜏𝐴 )!
b. Topologi relatif dari 𝜏 terhadap B (𝜏𝐵 )!
5. Misal 𝜏 adalah ruang topologi pada X yang terdiri dari empat set yaitu 𝜏 = {𝑋, ∅, 𝐴, 𝐵} dimana A
dan B tidak kosong dan merupakan subset-subset murni yang berlainan dari X.
Syarat apakah yang harus dipenuhi oleh A dan B?
6. Misalkan A subset dari ruang topologi (𝑋, 𝜏) . Bilamanakah titik 𝑝 ∈ 𝑋 bukan titik kumpul dari A?
BAB IV
BASIS & BASIS BAGIAN
4.1. BASIS UNTUK TOPOLOGI
Definisi:
 Misal (𝑋, 𝜏) suatu ruang topologi. Suatu kelas 𝔹 yang terdiri dari subset-subset buka dari
X yaitu 𝔹 ⊂ 𝜏 adalah basis untuk topologi 𝜏 bila dan hanya bila setiap set buka 𝐺 ∈ 𝑟 adalah
gabungan dari anggota-anggota .
Definisi tersebut equivalen dengan pernyataan berikut “𝔹 ⊂ 𝜏 adalah basis untuk topologi 𝜏 bila
dan hanya bila untuk setiap titik p yang termasuk pada set buka G ada 𝐵 ∈ 𝔹 dengan ∈ 𝐵 ⊂ 𝐺 .
Dengan definisi lain:
 Apabila diberikan ruang topologi (𝑋, 𝜏) , suatu koleksi 𝛽 dari himpunan-himpunan terbuka
pada X maka dikatakan basis pada topologi 𝜏 jika setiap himpunan terbuka adalah gabungan
dari elemen-elemen pada 𝛽 .
Teorema berikut memberikan syarat yang perlu dan cukup untuk kelas dari set-set yang
merupakan basis untuk suatu topologi, yaitu:
 Misal 𝔹 adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong X maka 𝔹 adalah basis untuk
suatu topologi pada X bila dan hanya bila memenuhi dua sifat:
a. 𝑋 = ∪ {𝐵: 𝐵 ∈ 𝔹}
b. Untuk suatu B, 𝐵 ∗ ∈ 𝔹 , 𝐵 ∩ 𝐵 ∗ adalah gabungan dari anggota-anggota 𝔹 atau
bila 𝑝 ∈ 𝐵 ∩ 𝐵 ∗ maka 𝔷𝐵𝑝 ∈ 𝔹 sedemikian hingga 𝑝 ∈ 𝐵𝑝 ⊂ 𝐵 ∩ 𝐵 ∗ .
 Jika 𝐵2 merupakan suatu basis untuk topologi 𝜏 pada 𝑋 dan 𝐵2 merupakan koleksi dari
himpunan terbuka pada 𝑋 dimana 𝐵1 ⊂ 𝐵2 maka 𝐵2 adalah juga basis untuk topologi .
Contoh:
1. Diberikan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} dan 𝑇1 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓}}
dengan
𝛽 = {∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓}} . Apakah 𝛽 merupakan basis dari 𝑇1 ? Jelaskan!
2. 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} , 𝑇1 ={𝑋, ∅, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑑}, {𝑑, 𝑒}, {𝑑}, {𝑒}, {𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, {𝑎, 𝑑, 𝑒}}
𝑇2 = {𝑋, ∅, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑑, 𝑒}, {𝑎, 𝑑}, {𝑑, 𝑒}, {𝑑}, {𝑒}}
𝐵1 = {{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑑}, {𝑑, 𝑒}, {𝑑}, {𝑒}}
𝐵2 = {𝑋, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑑, 𝑒}, {𝑑}, {𝑎, 𝑑}, {𝑑, 𝑒}, {𝑒}}
Apakah 𝐵1 𝑑𝑎𝑛 𝐵2 merupakan basis untuk topologi? Jelaskan!
3. 𝑆 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} dengan 𝑟 = {∅, {𝑎}, {𝑎, 𝑐}, {𝑐}, {𝑏, 𝑐}, 𝑆} dan 𝛽 = {{𝑎}, {𝑐}, {𝑏, 𝑐}, ∅}
Apakah 𝛽 merupakan basis dari r ? Mengapa?
4. 𝑆 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} dengan 𝑇 = {∅, {𝑏}, {𝑐}, {𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑏, 𝑐, 𝑑}}
𝛽 = {∅, {𝑏}, {𝑐}, {𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑏, 𝑐, 𝑑}} Tunjukkan bahwa 𝛽 merupakan basis dari T !
4.2. BASIS BAGIAN
Misal (𝑋, 𝜏) suatu ruang topologi. Kelas 𝛼 yang anggotanya subset-subset buka dari 𝑋 yaitu 𝛼 ⊂
𝜏 adalah basis bagian untuk topologi 𝜏 pada 𝑋 bila dan hanya bila irisan terhingga dari anggotaanggota 𝛼 membentuk basis untuk 𝜏.
Contoh:
1. Perhatikan bahwa setiap interval buka (a,b) dalam garis real R adalah irisan dari dua interval
buka tak hingga (𝑎, ∞) dan (−∞, 𝑏): (𝑎, 𝑏) = (𝑎, ∞) ∩ (−∞, 𝑏) . Interval-interval bukanya
membentuk basis untuk topologi pada R, jadi semua kelas dari semua interval buka tak hingga
adalah basis bagian untuk R.
2. Irisan dari suatu pita buka interval dan horizontal tak hingga pada bidang R 2 adalah persegi
panjang buka seperti buka, dimana persegi panjang – persegi panjang buka membentuk basis
untuk topologi pada R2 . Kelas 𝛽 dari semua pita buka tak hingga adalah basis bagian untuk
R2.
y
0
3.
x
𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
𝑇 = {∅, 𝑋, {𝑎}, {𝑐}, {𝑑}, {𝑎, 𝑐}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}}
𝐺 = {{𝑎, 𝑐}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑑}, 𝑋}
Apakah 𝐺 merupakan sub bagian pada T ?
4.3
TOPOLOGI YANG DIBANGUN OLEH KELAS DARI SET
Misal 𝒜 adalah kelas dari subset-subset dari set tidak kosong. Kemungkinan 𝒜 bukan merupakan
basis untuk topologi pada 𝑋 . Jadi 𝒜 selalu merupakan pembangunan dari topologi pada 𝑋 seperti
dikemukakan pada teorema berikut:
 Suatu kelas 𝒜 yang terdiri dari subset-subset dari set tidak kosong 𝑋 adalah basis bagian
untuk suatu topologi 𝜏 yang unik pada 𝑋. Jadi irisan tak hingga dari anggota-anggota 𝒜
membentuk basis untuk topologi 𝜏 pada .
 Misal 𝑅 subset-subset dari set tidak kosong 𝑋. Meskipun 𝑅 bukan basis tapi 𝑅 dapat
membentuk topologi dengan cara:
a. Ditentukan semua irisan hingga dalam 𝑅 yang merupakan basis dari suatu topologi.
b. Dilakukan gabungan dari basis tersebut yang merupakan topologi yang dicari.
Topologi yang dibangun oleh kelas dari set-set dapat dinyatakan pula seperti proposisi berikut:
 Bila 𝒜 adalah kelas subset-subset dari set tidak kosong 𝑋 maka topologi 𝜏 pada 𝑋 yang
dibangun oleh 𝒜 adalah irisan dari semua topologi pada 𝑋 yang memuat 𝒜.
Contoh:
1. 𝒜 = {{𝑎, 𝑏}, {𝑏, 𝑐}, {𝑑}} adalah kelas dari subset-subset dari 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}.
Tentukan topologi pada X yang dibangun (dibentuk) oleh 𝒜 !
2. Let = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} . Find the topology 𝜏 on 𝑋 generated by 𝒜 = {{𝑎}, {𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑐, 𝑑}}!
3. Misal 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dan = {{𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑐, 𝑑}, {𝑑, 𝑒}} .
Tentukan topologi pada X yang dibangun oleh P!
4.4
BASIS LOKAL
Misal 𝑝 adalah sebarang titik di dalam ruang topologi X . Kelas 𝔹𝑝 dari subset-subset buka yang
memuat p disebut basis lokal pada 𝑝 bila dan hanya bila untuk tiap set buka 𝐺 yang memuat
𝑝
ada 𝐺𝑝 ∈ 𝔹𝑝 sedemikian hingga 𝑝 ∈ 𝐺𝑝 ⊂ 𝐺
Berikut ini hubungan antara basis untuk topologi dan basis lokal pada suatu titik dengan proposisi:
1. Bila 𝔹 basis untuk topologi 𝜏 pada X dan 𝑝 ∈ 𝑋 maka anggota dari basis 𝔹 yang memuat p
membentuk basis lokal di p.
2. Titik p di dalam ruang topologi X adalah titik kumpul dari 𝐴 ⊂ 𝑋 bila dan hanya bila tiap-tiap
anggota suatu basis lokal 𝔹𝑝 pada p memuat suatu titik A yang berbeda dengan p.
3. Barisan (𝑎1 , 𝑎2 , … ) dari titik-titik dalam ruang topologi X konvergen ke 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan hanya
bila tiap anggota dari sebarang basis lokal 𝔹𝑝 pada p memuat semua suku-suku dari barisan
itu.
Ketiga proposisi diatas memberikan corollary berikut:
 Bila 𝔹 suatu basis untuk topologi 𝜏 pada X maka :
a. 𝑝 ∈ 𝑋 adalah titik kumpul dari 𝐴 ⊂ 𝑋 bila dan hanya bila tiap set basis buka 𝐵 ∈ 𝔹 yang
memuat p, memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p.
b. Barisan (𝑎1 , 𝑎2 , … ) dari titik-titik dalam X konvergen ke 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan hanya bila tiap
set basis buka 𝐵 ∈ 𝔹 yang memuat p, memuat semua suku-suku dari barisan itu.
Definisi basis lokal lainnya:
 Diberikan (X,T) merupakan ruang topologi dan 𝑎 ∈ 𝑋 maka koleksi 𝐵𝑎 dikatakan basis lokal
pada suatu titik a jika milik sebuah himpunan terbuka G terdapat anggota 𝛽 dari B sehingga
𝑎 ∈ 𝐵 ⊆ 𝐺.
Remark/Keterangan:
1. It may be noted that every bases for a topology is also a local base at each point of ground set
but the converse may not be true (Setiap basis untuk topologi juga merupakan basis lokal
dalam setiap titik tetapi tidak sebaliknya mungkin tidak benar).
2. Union of all bases froms bases for topology 𝜏 defined on the any non-empty set X (Persatuan
dari semua basis lokal membentuk basis untuk topologi 𝜏, setiap tidak kosong X set).
Contoh:
1.
Perhatikan topologi biasa pada bidang R2 dan 𝑝 ∈ 𝑅 2 maka kelas 𝔹𝑝 yang anggotanya semua
bola buka yang pusatnya p adalah basis lokal pada p. Hal tersebut dapat ditunjukkan bahwa
sebarang set buka G yang memuat p juga memuat bola buka 𝐷𝑝 yang pusatnya p.
𝐷𝑝
.
p
G
Demikian pula, kelas dari semua interval buka (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) dalam garis real R dengan
pusat 𝑎 ∈ 𝑅 adalah basis lokal pada titik a.
2.
𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} merupakan himpuan yang tidak kosong dan 𝑇 =
{∅, 𝑋, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}, {𝑏, 𝑐}}.
(𝑋, 𝑇) merupakan rang topologi, tentukan:
a. Basis lokal pada titik a (Ba)
b. Basis lokal pada titk b (Bb)
c. Basis lokal pada titik c (Bc)
d. Basis pada topologi T
4.5. BASIS LIMIT
Basis limit dengan teorema sebagai berikut:
1. B1 merupakan koleksi interval terbuka tertutup pada garis bilangan riil yaitu 𝐵1 =
{(𝑎, 𝑏] ∕ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑏} dan (𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅 ∕ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} . R adalah himpunan bilangan
riil. Karena setiap bilangan riil 𝑟 ∈ 𝑅 terletak pada suatu interval terbuka tertutup dari B1 maka
R merupakan gabungan (union) dari anggota-anggota B1. Selanjutnya irisan dari dua interval
terbuka tertutup adalah kosong atau merupakan suatu interval terbuka tertutup lagi yang
berarti juga anggota dari B1. Jika A merupakan koleksi interval terbuka tertutup (a,b] maka A
merupakan suatu topologi pada R sehingga B1 merupakan basis untuk topologi A dan disebut
topologi limit atas (upper limit topology).
2. Bila 𝐵2 = {[𝑎, 𝑏)⁄𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑏} yaitu kelas interval tertutup terbuka pada garis bilangan
riil R dimana [𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅 ∕ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} maka B2 merupakan suatu basis untuk topologi
pada R dan disebut topologi limit bawah (lower limit topology) pada R.
3. Bila 𝐵3 = {𝑎, 𝑏⁄𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 < 𝑏} yaitu koleksi interval terbuka pada garis riil R dimana
(𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 < 𝑥 < 𝑏} maka B3 merupakan basis untuk topologi usual U pada garis
bilangan riil R.
Soal – soal:
1. 𝑋 = {1,2,3} dengan 𝑇 = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, 𝑋} dan 𝐵 = {{1}, {2}, {3}}
Tunjukkan B merupakan basis topologi untuk T !
2. 𝑋 = {1,2,3} dengan 𝜏 = {∅, 𝑋} dan 𝐵 = {𝑋} , tunjukkan B merupakan basis topologi untuk 𝜏 !
3. 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dengan 𝐴 = {{𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑐, 𝑑}, {𝑑, 𝑒}, {𝑒}}
Tentukan topologi yang dibangun A!
4. 𝑆 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} dengan 𝜏 = {∅, {𝑎}, {𝑐}, {𝑎, 𝑐}, {𝑏, 𝑐}, 𝑆} , tentuka Ba!
5. Tunjukkan bahwa irisan dari interval terbuka tak hingga 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 dengan 𝑎 < 𝑏 merupakan
sub basis!
6. B adalah koleksi interval terbuka pada garis bilangan riil R yaitu 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)⁄𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 <
𝑏} dimana (𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅 ∕ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} dan R adalah himpunan bilangan riil. Apakah B
merupakan basis untuk topologi usual pada garis bilangan riil R? Jelaskan!
BAB V
KONTINUITAS DAN TOPOLOGI EQUIVALEN
5.1.
FUNGSI-FUNGSI KONTINU
Misalkan (𝑋, 𝜏) dan (𝑌, 𝜏 ∗ ) adalah ruang topologi-ruang topologi. Suatu fungsi f dari X ke dalam
Y disebut kontinu relative ke 𝜏 𝑑𝑎𝑛 𝜏 ∗ atau kontinu 𝜏 − 𝜏 ∗ atau kontinu bila dan hanya bila
bayangan invers 𝑓 −1 [𝐻] dari tiap 𝜏 ∗ dengan H subset buka dari Y adalah anggota 𝜏 merupakan
subset buka dari X atau bila dan hanya bila 𝐻 ∈ 𝜏 ∗ 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓 −1 [𝐻] ∈ 𝜏 .
Ditulis 𝑓: (𝑋, 𝜏) → (𝑋, 𝜏 ∗ ) untuk suatu fungsi di dalam topologi. Dengan kata lain (𝑋, 𝜏) dan
(𝑌, 𝜏 ∗ ) merupakan ruang topologi-ruang topologi. Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 disebut kontinu 𝑇1 − 𝑇2 jika
untuk setiap himpunan terbuka H anggota 𝑇 ∗ berlaku 𝑓 −1 [𝐻] anggota dari 𝑇1 .
Proposisi:

Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah kontinu bila hanya bila invers dari tiap anggota basis 𝔹 untuk Y
adalah subset buka dari X.
Teorema:
1.
Misal 𝜏 adalah basis bagian untuk ruang topologi Y maka fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah kontinu
bila hanya bila invers tiap-tiap anggota 𝜏 adalah sub set buka dari 𝑋.
2.
Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah kontinu bila hanya bila bayangan invers dari tiap subset tutup dari
Y adalah tutup dari X.
Beberapa dalil yang berkaitan dengan fungsi kontinu:
1.
Suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang
terbuka adalah set yang terbuka.
2.
Jika suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 adalah konstan yaitu 𝑓(𝑥) = 𝑘 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 maka f adalah
kontinu.
3.
Jika suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 adalah fungsi identitas yaitu 𝑓(𝑥) = 𝑥 maka f adalah kontinu.
4.
Jika suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan 𝑔: 𝑅 → 𝑅 adalah fungsi-fungsi kontinu maka 𝑓 ∘ 𝑔 ∶ 𝑅 → 𝑅
adalah juga kontinu.
Dalil tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut:
1.
Suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 adalah kontinu jika hanya jika bayangan invers dari setiap set yang
terbuka adalah set yang terbuka, dengan pembuktian: misalkan 𝑓: 𝑅 → 𝑅 adalah fungsi
kontinyu dan V adalah suatu himpunan bagian terbuka dari R. Akan ditunjukkan bahwa
𝑓 −1 [𝑉] adalah juga merupakan himpunan yang terbuka. Ambil 𝑝 ∈ 𝑓 −1 [𝑉] berarti 𝑓(𝑝) ∈
𝑉. Menurut definisi kontinuitas ada suatu himpunan terbuka Up yang mengandung p
sehingga 𝑓[𝑈𝑝 ] ⊂ 𝑉 dan 𝑈𝑝 ⊂ 𝑓 −1 [𝑓[𝑈𝑝 ] ⊂ 𝑓 −1 [𝑉] maka jelas bahwa untuk setiap 𝑝 ∈
𝑓 −1 [𝑉] ada suatu himpunan terbuka Up sedemikian hingga ∈ 𝑈𝑝 ⊂ 𝑓 −1 [𝑉] . Jadi 𝑓 −1 [𝑉] =
𝑈{𝑈𝑝 ∕ 𝑝 ∈ 𝑓 −1 [𝑉]} dan 𝑓 −1 [𝑉] adalah terbuka.
V
f(Up)
(p)
P
Up
f-1[V]
Sebaliknya, misalkan invers dari setiap himpunan yang terbuka adalah terbuka, akan
ditunjukkan bahwa f adalah kontinu di setiap titik 𝑝 ∈ 𝑅. Ambil V adalah himpunan terbuka
yang mengandung f(p) yaitu 𝑓(𝑝) ∈ 𝑉 karena 𝑓[𝑓 −1 [𝑣]] ⊂ 𝑉 maka 𝑓 −1 [𝑉] adalah
himpunan terbuka yang mengandung p. Jadi f adalah kontinu di p.
2.
Jika suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 adalah konstan yaitu 𝑓(𝑥) = 𝑘 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 maka f
adalah kontinu, dengan pembuktian: menurut dalil 1, fungsi f adalah kontinu jika hanya
jika dari sebarang himpunan terbuka G yaitu 𝑓 −1 [𝐺] adalah juga himpunan yang terbuka
karena 𝑓(𝑥) = 𝑘 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 maka:
∅, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑘 ∈ 𝐺
, untuk setiap himpunan terbuka G.
𝑅, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑘 ∈ 𝐺
Karena ∅ dan R adalah himpunan yang terbuka maka 𝑓 −1 [𝐺] adalah terbuka.
𝑓 −1 [𝐺] =
3.
Jika suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 adalah fungsi identitas yaitu 𝑓(𝑥) = 𝑥 maka f adalah kontinu,
dengan pembuktian: ambil G adalah himpunan terbuka. Karena f(x )= x adalah fungsi
identitas maka 𝑓 −1 [𝐺] = 𝐺 adalah himpunan yang terbuka. Jadi f adalah fungsi yang
kontinu.
4.
Jika suatu fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan 𝑔: 𝑅 → 𝑅 adalah fungsi-fungsi kontinu maka 𝑓. 𝑔 ∶ 𝑅 → 𝑅
adalah juga kontinu, dengan pembuktian: harus ditunjukkan bahwa (𝑓 ∘ 𝑔)−1 [𝐺] dengan
G adalah sebarang himpunan terbuka. Karena g adalah kontinu maka 𝑔−1 [𝐺] adalah
himpunan terbuka tetapi karena f adalah kontinu maka invers dari 𝑔−1 [𝐺] yaitu
𝑓 −1 [𝑔−1 [𝐺]] adalah juga himpunan terbuka. Dari sifat (𝑔 ∘ 𝑓)−1 = 𝑓 −1 ∘ 𝑔−1 maka
(𝑔 ∘ 𝑓)−1 [𝐺] = (𝑓 −1 ∘ 𝑔−1 )[𝐺] = 𝑓 −1 [𝑔−1 [𝐺]] adalah suatu himpunan yang terbuka.
Jadi (𝑔 ∘ 𝑓): 𝑅 → 𝑅 adalah kontinu.
Contoh:
1. Perhatikan ruang diskrit (X,D) dan ruang topologi (Y,𝜏) maka tiap fungsi 𝑓: 𝑋 →
𝑌 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝐷 − 𝜏 kontinu karena bila H sebarang subset buka dari Y, invers 𝑓 −1 [𝐻] adalah
subset buka dari X dan tiap subset buka dari ruang diskrit adalah buka.
2. Misal 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dengan X dan Y masing-masing ruang topologi dan 𝔹 adalah basis untuk
topologi pada Y. Bila untuk tiap-tiap anggota 𝐵 ∈ 𝔹, 𝑓 −1 [𝐵] adalah subset buka dari X maka
f adalah fungsi kontinu karena misalnya H adalah subset buka dari Y maka 𝐻 = ⋃𝑖 𝐵𝑖 adalah
gabungan dari anggota-anggota dari 𝔹 tetapi 𝑓 −1 [𝐻] = 𝑓 −1 [⋃𝑖 𝐵𝑖 ] = ⋃𝑖 𝑓 −1 [𝐵𝑖 ] dan tiaptiap 𝑓 −1 [𝐵𝑖 ] adalah buka menurut hipotesis, jadi 𝑓 −1 [𝐻] adalah gabungan dari set-set buka,
yang merupakan set buka. Jadi f adalah kontinu.
3. 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} 𝑑𝑎𝑛 𝑌 = {𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤} , 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑏, 𝑐}} dan
𝜏1 = {𝑌, ∅, {𝑥}, {𝑦}, {𝑥, 𝑦}, {𝑦, 𝑧, 𝑤}}. Fungsi-fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝑑𝑎𝑛 𝑔: 𝑋 → 𝑌 didefinisikan:
f
g
a.
.x
a.
.x
b.
.y
b.
.y
c.
.z
c.
.z
d.
.w
d.
.w
Apakah fungsi f dan g kontinu di dalam topologi? Jelaskan!
4. Misalkan topologi-topologi pada 𝑋 = {𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠} dan 𝑌 = {1,2,3,4} pada
𝑇1 = {𝑋, ∅, {𝑝}, {𝑟}, {𝑝, 𝑠}, {𝑝, 𝑞, 𝑠}} dan 𝑇2 = {𝑌, ∅, {1}, {2}, {1,3}, {1,3,4}}
Fungsi-fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 dan 𝑔: 𝑋 → 𝑌 didefinisikan:
𝑓: {(𝑝, 2), (𝑞, 4), (𝑟, 1), (𝑠, 4)} dan 𝑔: {(𝑝, 1), (𝑞, 3), (𝑟, 2), (𝑠, 3)}
Apakah fungsi f dan g kontinu dalam topologi? Jelaskan!
5.2.
FUNGSI KONTINU DAN KETERTUTUPAN SEBARANG
Misal X adalah ruang topologi. Titik 𝑝 ∈ 𝑋 disebut tutup sebarang (arbitrarily close) terhadap
set 𝐴 ⊂ 𝑋 bila 𝑝 ∈ 𝐴 dan p adalah titik kumpul dari A
Ingat bahwa 𝐴̅ = 𝐴 ∪ 𝐴′ ; jadi penutup dari A memuat titik di dalam X yang merupakan tutup
sebarang terhadap A. Ingat juga bahwa 𝐴̅ = 𝐴∘ ∪ 𝑏(𝐴) , jadi p adalah tutup sebarang terhadap
A karena p adalah titik interior atau titik batas dari A.
Fungsi-fungsi kontinu dapat pula dinyatakan sebagai fungsi-fungsi dengan tutup sebarang utuh
dengan teorema seperti berikut:
 Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah kontinu bila dan hanya bila untuk 𝑝 ∈ 𝑋 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ⊂ 𝑋;
̅̅̅̅̅̅ atau
p tutup sebarang ke A maka f(p) tutup sebarang ke f[A] atau 𝑝 ∈ 𝐴̅ maka 𝑓(𝑝) ∈ 𝑓[𝐴]
𝑓[𝐴̅] ⊂ ̅̅̅̅̅̅
𝑓[𝐴] .
5.3.
KONTINU PADA SUATU TITIK
Suatu fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah kontinu di titik 𝑝 ∈ 𝑋 bila hanya bila bayangan invers 𝑓 −1 [𝐻]
dari tiap set buka 𝐻 ⊂ 𝑌 yang memuat f(p) adalah superset dari set buka 𝐺 ⊂ 𝑋 yang memuat
p, atau nila dan hanya bila bayangan invers dari tiap-tiap lingkungan dari f(p) adalah lingkungan
dari p yaitu 𝑁 ∈ 𝑁𝑓(𝑝) ⟹ 𝑓 −1 [𝑁] ∈ 𝑁𝑝 .
Teorema:
 Misal X dan Y masing-masing ruang topologi maka fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah kontinu bila
dan hanya bila 𝑓: 𝑋 → 𝑌 kontinu pada tiap titik dari X.
Contoh:
1.
Apabila topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} diberikan oleh 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}, {𝑏, 𝑐, 𝑑}}
dan fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 didefinisikan oleh diagram:
a
a
b
b
c
c
d
d
Tunjukkan bahwa:
2.
a. f tidak kontinu di c !
b. f kontinu di d !
Apabila topologi pada 𝑋 = {𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠} diberikan oleh 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑟}, {𝑠}, {𝑟, 𝑠}, {𝑝, 𝑞, 𝑟}}
dan fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 didefinisikan 𝑓: {(𝑝, 𝑞), (𝑞, 𝑟), ( 𝑟, 𝑝), (𝑠, 𝑟)}.
a. Apakah f kontinu di p?
3.
5.4.
b. Apakah f kontinu di q?
Kondisi apakah yang harus dipenuhi agar fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 tidak kontinu di titik 𝑝 ∈ 𝑋 ?
KEKONTINUAN BARISAN DI SUATU TITIK
Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah barisan kontinu di titik 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan hanya bila untuk tiap barisan
(an) dalam X konvergen ke p, barisan (f(an)) dalam Y konvergen ke f(p), yaitu:
𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑎𝑛 → 𝑝 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑎𝑛 ) → 𝑓(𝑝)
Barisan kontinu dan kontinu di suatu titik berrelasi yaitu bila fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 kontinu di titik
𝑝 ∈ 𝑋 maka 𝑓: 𝑋 → 𝑌 adalah barisan kontinu di titik p.
Catatan:
Konvers dari proposisi diatas adalah tidak benar. Misalnya, perhatikan topologi 𝜏 pada garis real
R yang terdiri ∅ dan komplemen dari set-set kontabel. Ingat kembali suatu barisan (an)
konvergen ke p bila dan hanya bila barisan itu berbentuk (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛𝑜, 𝑝, 𝑝, 𝑝, … ), maka
untuk suatu fungsi 𝑓: (𝑅, 𝜏) → (𝑋, 𝜏 ∗ ) , (f(an)) = (f(a1), f(a2), … , f(ano), f(p), f(p), f(p),…)
konvergen ke f(p). Dengan kata lain, setiap fungsi pada (𝑅, 𝜏) adalah barisan kontinu.
Sebaliknya, fungsi 𝑓: (𝑅, 𝜏) → (𝑅, 𝑈) yang didefinisikan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑥, yaitu fungsi identitas,
adalah bukan kontinu 𝜏 − 𝑢 karena 𝑓 −1 [(0,1)] = (0,1) bukan subset buka 𝜏 dari R.
5.5.
FUNGSI BUKA DAN FUNGSI TUTUP
Fungsi kontinu mempunyai sifat bahwa bayangan invers dari tiap set buka dan bayangan invers
dari tiap set tutup adalah tutup. Definisi dari fungsi buka dan tutup didefinisikan sebagai berikut:
 Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 disebut fungsi buka (fungsi interior) bila bayangan (peta) dari tiap set buka
adalah buka.
 Fungsi 𝑔: 𝑋 → 𝑌 disebut fungsi tutup bila bayangan (peta) dari tiap set tutup adalah tutup.
Pada umumnya fungsi-fungsi buka, tidak perlu tutup, dan sebaliknya.
Contoh:
1. Fungsi konstan 𝑓(𝑥) = 1 merupakan fungsi tertutup dan kontinu, tidak terbuka.
2. Fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 merupakan fungsi tidak terbuka karena misalnya 𝐺 = (−1,1) interval
buka maka 𝑓(𝐺) = [0,1) tidak terbuka.
5.6.
RUANG HOMEOMORPHIS
Definisi:
 Dua ruang topologi (𝑋1 , 𝑇1 ) 𝑑𝑎𝑛 (𝑋2 , 𝑇2 ) dikatakan homeomorphis bila dan hanya bila
𝑓: 𝑆1 → 𝑆2 yang bijektif (one-one onto) sedemikian hingga f dan f-1 kontinu.
atau
 Fungsi f disebut suatu kontinu bila f terbuka dan kontinu sehingga f homeomorphisme ↔
f bikontinu dan bijektif.
Proporsi:
 Relasi di dalam suatu koleksi dari ruang topologi-ruang topologi yang didefinisikan oleh
“X homeomorphis dengan Y” adalah relasi equivalen.
 Relasi homeomorphis adalah relasi yang equivalen dan berlaku sifat:
a. Refleksif
homeomorphik dengan dirinya sendiri
b. Simetris
bila S1 homeomorphis S2 maka S2 homeomorphis S1
c. Transitif
bila S1 homeomorphis S2 maka S2 homeomorphis S3 maka
S1 homeomorphis S3
Contoh:
1
1. Misal 𝑋 = (−1,1). Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑅 yang didefinisikan oleh 𝑓(𝑥) = tan 2 𝜋𝑥 yang satusatu, onto dan kontinu. Selanjutnya, fungsi 𝑓 −1 adalah kontinu. Jadi garis real R dan interval
buka (-1,1) adalah homeomorphis.
2. Misal X dan Y masing-masing ruang diskrit maka semua fungsi dari fungsi yang satu ke
fungsi yang lainnya adalah kontinu. Jadi X dan Y adalah homemorphis bila dan hanya bila
ada fungsi satu-satu dan onto dari fungsi yang satu terhadap lainnya yaitu bila dan hanya
bila X dan Y mempunyai kardinal yang sama.
5.7.
SIFAT-SIFAT TOPOLOGI
Sifat P dari set-set disebut topologi atau topologi invarian, bila ruang topologi (𝑋, 𝜏)
mempunyai sifat P maka setiap ruang yang homeomorphis dengan (𝑋, 𝜏) juga mempunyai
sifat P.
Contoh:
1. Pada contoh terdahulu telah diketahui bahwa garis real R adalah homemorphis dengan
interval buka 𝑋 = (−1,1). “Jarak” adalah bukan sifat topologi karena X dan R mempunyai
perbedaan jarak dan keterbatasan juga bukan sifat topologi karena X terbatas sedangkan
R tak terbatas.
2. Misal X adalah set semua bilangan real positif yaitu 𝑋 = (𝑜, ∞) dan fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 yang
1
didefinisikan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑥 adalah homeomorphik dari X kepada X. Perhatikan bahwa
1 1
barisan (𝑎𝑛 ) = (1, 2 , 3 , … ) berkorespondensi di bawah homeomorphis dengan barisan
𝑓(𝑎𝑛 ) = (1,2,3, … ). Barisan (an) merupakan barisan Cauchy sedangkan barisa (f(an)) bukan
barisan Cauchy. Jadi sifat dari barisan Cauchy bukan topologi.
Topologi selanjutnya memeriksa akibat dari beberapa sifat topologi seperti kekompakan
(compactness) dan keterhubungan (connectedness). Dalam kenyataannya, topologi formal
adalah studi tentang invariant topologi.
Berikut, “keterhubungan” didefinisikan dan ditunjukkan oleh sifat topologi:
 Ruang topologi (𝑋, 𝜏) disebut tidak terhubung (disconnected) bila dan hanya bila X adalah
gabungan dari dua subset buka yang tidak kosong dan subset-subset yang lepas yaitu 𝑋 =
𝐺 ∪ 𝐻 dengan 𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 𝑑𝑎𝑛 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅, 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝐺, 𝐻 ≠ ∅.
 Bila 𝑓: 𝑋 → 𝑌 suatu homemorphisma maka 𝑋 = 𝐺 ∪ 𝐻
bila dan hanya bila 𝑌 =
𝑓[𝐺]𝑈𝑓[𝐻] dan Y adalah tidak terhubung bila dan hanya bila X tidak terhubung. Ruang
topologi (𝑋, 𝜏) adalah terhubung (connected) bila dan hanya bila (𝑋, 𝜏) tidak tak terhubung.
5.8.
TOPOLOGI DARI FUNGSI-FUNGSI
Misal {(𝑌𝑖 , 𝜏𝑖 )} adalah koleksi dari ruangtopologi-ruang topologi dan untuk tiap 𝑌𝑖 terdapat
fungsi 𝑓𝑖 = 𝑋 → 𝑌𝑖 yang didefinisikan pada sebarang set tidak kosong X.
Untuk memeriksa topologi–topologi pada X yang berturut-turut semua fungsi fi adalah kontinu,
ingat kembali bahwa fi adalah kontinu relative terhadap sebarang topologi pada X maka invers
bayangan dari tiap-tiap subset buka dari 𝑌𝑖 adalah subset buka dari X.
Jadi kelas-kelas dari subset-subset dari X adalah =∪𝑖 {𝑓 −1 [𝐻]: 𝐻 ∈ 𝜏𝑖 } .
Dengan demikian, 𝛿 memuat invers bayangan dari tiap-tiap subset dari setiap ruang topologi 𝑌𝑖 .
Topologi 𝜏 pada X yang dibangun oleh 𝛿 disebut topologi yang dibangun leh fungsi 𝑓𝑖 . Sifatsifat topologi seperti itu mempunyai sifat-sifat berikut dengan teorema:
 a. Semua fungsi 𝑓𝑖 adalah kontinu relative terhadap 𝜏 .
b. 𝜏 adalah irisan dari semua toplogi pada X dengan fungsi-fungsi 𝑓𝑖 adalah kontinu.
c. 𝜏 adalah terkecil yaitu coarser topologi pada X yang masing-masing fungsi 𝑓𝑖 adalah
kontinu.
d. 𝛿 adalah basis bagian untuk topologi 𝜏.
Contoh:
1. Consider the following topology on 𝑌 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} with = {𝑌, ∅, {𝑐}, {𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑐, 𝑑}} .
Let 𝑋 = {1,2,3,4} and let the function 𝑓: 𝑋 → (𝑌, 𝜏) and 𝑔: 𝑋 → (𝑌, 𝜏) be defined by:
f
g
1
a
1
a
2
b
2
b
3
c
3
c
4
d
4
d
Find the defining subbase 𝛿 for the topology 𝜏 ∗ on X induced by f and g the coarsest
topology with respect to which f and g are continuous!
2. 𝑌 = {𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤} dan (𝑌, 𝜏) merupakan ruang topologi 𝜏 = {𝑌, ∅, {𝑥}, {𝑦}, {𝑥, 𝑦}, {𝑦, 𝑧, 𝑤}} .
Misal 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} dan fungsi 𝑓: 𝑋 → (𝑌, 𝜏) dan 𝑔: 𝑋 → (𝑌, 𝜏) dengan diagram sebagai
berikut:
f
g
a
x
a
x
b
y
b
y
c
z
c
z
d
w
d
w
Tentukan sub basis 𝛿 untuk topologi 𝜏 ∗ pada X yang dibangun oleh f dan g yaitu topologi
coarser (terkecil) dengan f dan g masing-masing kontinu!
3. Consider the following topology on = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} , 𝜏 = {𝑌, ∅, {𝑎, 𝑏}, {𝑐, 𝑑}} .
Let 𝑋 = {1,2,3,4,5} and let 𝑓: 𝑋 → 𝑌 and 𝑔: 𝑋 → 𝑌 be as follows:
𝑓: {(1, 𝑎), (2, 𝑎), (3, 𝑏), (4, 𝑏), (5, 𝑑)} and 𝑔: {(1, 𝑐), (2, 𝑏), (3, 𝑑), (4, 𝑎), (5, 𝑐)} .
Find the defining subbase for topology on X induced by f and g!
SOAL – SOAL:
1. Let 𝑓: 𝑋 → 𝑌 be a constant function, say (𝑥) = 𝑝 ∈ 𝑌 , for every 𝑥 ∈ 𝑋. Then f is continuous
relative to any topology T on X and any topology T* on Y.
(Biarkan f: X → Y menjadi fungsi konstan, katakanlah (x) = p ∈ Y, untuk setiap x ∈ X.
Kemudian f relatif terus menerus untuk setiap T topologi pada X dan setiap topologi T* pada
Y.)
2. Let 𝑓: 𝑋 → 𝑌 be any function. If (𝑌, 𝒜) is an indiscrete space, then 𝑓: (𝑋, 𝑇) → (𝑌, 𝒜) is
continuous for any T
(Biarkan f: X → Y menjadi fungsi apapun. Jika (Y, A) adalah sebuah ruang indiscrete, maka
f: (X, T) → (Y, A) kontinu untuk setiap T)
3. Suppose a singleton set {𝑝} is an open subset of a topological space X. Show that for any
topological space Y and any function 𝑓: 𝑋 → 𝑌 , f is continuous at 𝑝 ∈ 𝑋.
(Misalkan satu set tunggal {p} merupakan bagian terbuka dari X. Tampilkan ruang topologi
bahwa untuk setiap Y topological ruang dan fungsi setiap f: X → Y, f kontinu pada p ∈ X.)
4. Fungsi nilai mutlak f pada R, 𝑓(𝑋) = |𝑋| untuk 𝑋 ∈ 𝑅 adalah kontinu dengan A(a,b) interval
buka dalam R. Buktikan!
BAB VI
KONTABILITAS
6.1. RUANG KONTABEL / RUANG TERHITUNG
Ruang Kontabel Pertama / Ruang Terhitung Pertama (First Countable Spaces)
Ruang topologi X disebut ruang kontabel pertama bila memenuhui aksioma yang disebut aksioma
pertama dari kontabilitas yaitu:
 Untuk setiap 𝑝 ∈ 𝑋 ada kelas dari set-set buka yang kontabel 𝐵𝑝 yang memuat p sedemikan
hingga tiap set buka G yang memuat p juga memuat anggota dari 𝐵𝑝 .
Dengan kata lain, ruang topologi X adalah ruang kontabel pertama bila dan hanya bila basis lokal
pada tiap titik 𝑝 ∈ 𝑋, dimana aksioma diatas merupakan sifat basis lokal dari ruang topologi X .
Dapat juga dikatkan, diberikan (X,T) ruang topologi maka X dikatakan ruang dihitung pertama
jika untuk setiap 𝑝 ∈ 𝑋 memiliki basis lokal dihitung yaitu setiap 𝑝 ∈ 𝑋, 𝐵𝑝 yang dapat dihitung.
Teorema:
 Fungsi yang didefinisikan pada ruang kontabel pertama X adalah kontinu di 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan
hanya bila fungsi itu adalah barisan kontinu di p.
Dengan kata lain dapat dinyatakan bahwa bila X memenuhui aksioma diatas maka 𝑓: 𝑋 → 𝑌
kontinu di 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan hanya bila tiap barisan (an) konvergen ke p dalam X, barisan (f(an))
konvergen ke (fp) dalam Y yaitu “bila 𝑎𝑛 → 𝑝 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑎𝑛 ) → 𝑓(𝑝)”.
Catatan:
 Bila 𝔹𝑝 merupakan basis local kontabel pada titik 𝑝 ∈ 𝑋 maka dapat ditulis 𝔹𝑝 =
{𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 , … } dan bila 𝐵1 ⊃ 𝐵2 ⊃ 𝐵3 , … , maka 𝔹𝑝 disebut tumpukan basis lokal pada p.
Contoh:
1.
Misal X adalah ruang metrik dan 𝑝 ∈ 𝑋. Sudah diketahui bahwa kelas dari bola-bola buka
1
1
{𝑆(𝑝, 1), 𝑆 (𝑝, 2) , 𝑆 (𝑝, 3) , … } dengan pusat p adalah basis lokal pada p merupakan
kontabilitas.
2.
Misal X adalah ruang diskrit, Set singleton {𝑝} adalah buka dan termuat di dalam set buka G
yang memuat 𝑝 ∈ 𝑋 sehingga merupakan kontabilitas.
3.
Apabila P(x) adalah topologi diskrit pada X maka (X,T) merupakan ruang topologi dan (X,T)
merupakan ruang dihitung pertama karena untuk masing-masing 𝑎 ∈ 𝑋, Bx merupakan basis
lokal dengan terbatas dan 𝐵𝑎 = {{𝑎}}, 𝑥 ∈ 𝐵 ⊆ 𝑈 dan Bx dapat dihitung (terbatas).
4.
𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} merupakan himpunan yang tidak kosong dan (X,T) merupakan ruang
topologi dengan 𝑇 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑}}.
Apakah (X,T) merupakan ruang kontabel pertama?
Ruang Kontabel Kedua / Ruang Terhitung Kedua (Second Countable Spaces)
Ruang topologi (𝑋, 𝜏) disebut ruang topologi kedua bila memenuhi aksioma berikut yang disebut
aksioma kedua dari kontabilitas, yaitu:
 Ada basis kontabel 𝔹 untuk topologi .
Perhatikan bahwa kontabilitas kedua adalah keseluruhan dari sifat suatu local dari ruang topologi.
Contoh:
1. Jika X terbatas dari masing 𝜏 pada X yang terbatas maka (X,T) merupakan ruang dihitung
kedua dan (X,T) merupakan ruang dihitung pertama. Dengan diberikan S adalah sub base dari
T sehingga 𝑆 ⊆ 𝑃(𝑥) merupakan countable maka 𝐵 ⊆ 𝑃(𝑥) juga countable. Oleh karena itu
(X,T) merupakan ruang dihitung kedua karena setiap basis lokal juga dapat dihitung sehingga
(X,T) juga merupakan dihitung pertama.
2. Kelas 𝔹 dari interval buka-interval buka (a,b) dengan titik-titik akhir rasinal yaitu 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄
adalah kontabel dan merupakan basis untuk topologi pada garis real R sehingga R adalah
ruang kontabel kedua yaitu R memenuhi aksioma kedua.
3. Perhatikan topologi diskrit kedua D pada garis real R. Ingat kembali bahwa kelas 𝔹 adalah
basis untuk topologi diskrit bila dan hanya bila 𝔹 terdiri dari semua set singleton. Tetapi T
dan kelas dari subset-subset singleton {𝑝} dari R adalah tidak kontabel, sehingga (R,D) tidak
memenuhi aksioma kedeua dari kontabilitas.
Selanjutnya, bila 𝔹 basis kontabel untuk suatu ruang X dan bila 𝔹𝑝 memuat anggota dari 𝔹
yang memuat 𝑝 ∈ 𝑋 maka 𝔹𝑝 adalah basis lokal kontabel pada p.
Dengan kata lain dikemukakan teorema:
 Setiap ruang kontabel kedua adalah ruang kontabel pertama
Sebaliknya, garis real R dengan topologi diskrit tidak memenuhi aksioma kedua menurut contoh
2 pada bagian B tentang kontabel kedua diatas tetapi memenuhi aksioma pertama pada bagian A
tentang kontabel pertama, sehingga konvers dari teorema 2 adalah benar.
6.2. TEOREMA LINDELOF
Sebelumnya ada beberapa istilah/pengertian berikut:
1.
Bila 𝐴 ⊂ 𝑋 dan 𝒜 adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga 𝐴 ⊂
𝑈{𝐸: 𝐸 ∈ 𝒜} maka 𝒜 disebut sampul (cover) dari A atau 𝒜 disebut sampul A.
2.
Bila anggota-anggota dari 𝒜 adalah subset buka dari X maka 𝒜 disebut sampul buka dari
A.
3.
Bila 𝒜 memuat sampul dari A maka 𝒜 disebut tereduksi ke suatu sampul kontabel
(terhingga) atau 𝒜 disebut memuat sampul bagian yang kontabel (terhingga).
Ruang kontabel kedua termuat di dalam kedua teorema berikut:
 Bila A subset dari ruang kontabel kedua X maka tiap sampul buka A tereduksi ke sampul
kontabel
 Bila X ruang kontabel kedua maka tiap basis 𝔹 untuk X tereduksi ke basis kontabel X.
Kedua teorema diatas selanjutnya dipakai untuk mendefinisikan ruang Lindelof berikut:
 Ruang topologi X disebut Ruang Lindelof bila tiap sampul buka dari X tereduksi ke
sampul kontabel. Jadi setiap ruang kontabel kedua adalah Ruang Lindelof.
6.3. RUANG TERPISAH
Ruang topologi X disebut terpisah bila ruang topologi X tersebut memenuhi aksioma:
 X memuat subset padat yang kontabel
Dengan kata lain, X adalah terpisah bila dan hanya bila ada subset terhingga atau subset
denumerabel A dari X sedemikian hingga penutup A sama dengan X yaitu 𝐴̅ = 𝑋
Contoh:
1. Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terpisah karena set bilangan rasional Q adalah
denumerabel dan padat di dalam R yaitu 𝑄̅ = 𝑋
2. Garis real R dengan toplogi diskrit D. Ingat kembali bahwa setiap subset dari R adalah D buka
dan D tutup, dimana D merupakan subset padat dari R dalam R sendiri dan R bukan set
kontabel, sehingga (R,D) bukan ruang terpisah.
Teorema:
 Bila X memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas maka X adalah terpisah.
Garis real R dengan topologi yang dibangun olrh interval tutup buka [a,b) adalah contoh klasik
(biasa) dari ruang terpisah yang tidak memenuhi aksioma kedua dari kontabilitas. Dengan
demikian maka konvers dari teorema diatas pada umumnya tidak benar.
6.4.
SIFAT-SIFAT HEREDITER
Sifat P dari ruang topologi X disebut herediter bila dan hanya bila setiap ruang bagian dari X
mempunyai sifat P. Setiap ruang bagian dari ruang kontabel kedua adalah kontabel kedua dan
setiap ruang bagian dari ruang kontabel pertama adalah kontabel pertama. Dengan kata lain
aksioma pertama dan kedua, kedua-duanya herediter, tetapi ruang bagian dari ruang terpisah tidak
perlu terpisah yaitu terpisah bukan berarti herediter.
Hubungan ketiga aksioma pada kontabilitas ditunjukkan oleh diagram berikut:
Terpisah
Kontabel Kedua
Kontabel Pertama
BAB VII
AKSIOMA PEMISAH
7.1. RUANG – T1
Ruang topologi X adalah ruang T1 bila dan hanya bila memenuhi aksioma [T1]:
 Untuk pasangan titik-titik yang berbeda 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋, tiap-tiap titik tersebut termasuk di dalam
set-set buka yang berbeda.
Dengan kata lain, ada set-set buka G & H sedemikian hingga: 𝒂 ∈ 𝑮, 𝒃 ∉ 𝑮 𝒅𝒂𝒏 𝒃 ∈ 𝑯, 𝒂 ∉
𝑯 . Set-set buka G dan H tidak perlu saling lepas (disjoint)
Teorema:
 Ruang topologi X adalah Ruang – T1 bila dan hanya bila setiap subset singleton {𝑝} dari X
adalah tutup.
Karena gabungan terhingga dari set-set tutup adalah tutup maka yang berikut adalah teorema
akibat (Corollary):
 (𝑋, 𝜏) adalah ruang T1 bila dan hanya bila 𝜏 memuat topologi kofinit pada X.
Contoh:
1. Topologi kofinit pada X adalah topologi terkecil pada X dengan (𝑋, 𝜏) adalah ruang T1,
sehingga topologi kofinit disebut juga topologi T1. Jadi topologi kofinit disebut juga topologi
[T1]
2. Setiap ruang metrik X adalah Ruang – T1 karena subset-subset terhingga dari X adalah tutup.
3. Perhatikan topologi 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}} pada set 𝑋 = {𝑎, 𝑏} dan (𝑋, 𝜏) merupakan ruang topologi.
Perhatikan bahwa X adalah set buka yang memuat a dan juga X adalah set buka yang memuat
b. Jadi (𝑋, 𝜏) tidak memenuhi [T1] atau (𝑋, 𝜏) bukan ruang [T1]. Set singleton {𝑎} tidak tutup
karena komplemen {𝑎} yaitu {𝑎}𝑐 = {𝑏} adalah tidak buka
7.2. RUANG HAUSDORFF (RUANG – T2)
Ruang topologi X disebut Ruang hausdorff atau Ruang – T2 bila dan hanya bila memenuhi
aksioma [T2]:
 Setiap pasang titik yang berbeda 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka yang
lepas (disjoint)
Dengan kata lain (T2), ada set-set buka G & H sedemikian hingga:
𝒂 ∈ 𝑮, 𝒃 ∈ 𝑯 𝒅𝒂𝒏 𝑮 ∩ 𝑯 = ∅
Teorema:
 Setiap ruang metrik adalah ruang hausdorff
Pada umumnya, barisan (a1,a2, ...) dari titik-titik di dalam ruang topologi konvergen ke lebih dari
satu titik. Hal ini tidak berlaku bila X Ruang Hausdorff seperti dinyatakan dalam teorema berikut:
1.
Bila X ruang hausdorff maka setiap barisan konvergen dalam X mempunyai limit yang unik
(konversnya tidak benar)
2.
Bila X adalah ruang kontabel pertama maka X adalah Ruang Hausdorff bila dan hanya bila
setiap barisan konvergen mempunyai limit yang unik.
Contoh:
1.
Setiap ruang metrik X adalah ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋
adalah titik-titik yang berbeda sehingga menurut [𝑀4 ]𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝜖 > 0. Perhatikan bola-bola
1
1
buka 𝐺 = 𝑆 (𝑎, 3 𝜖) 𝑑𝑎𝑛 𝐻 = 𝑆(𝑏, 3 𝜖) yang berturut-turut pusatnya a dan b. Diketahui
1
1
bahwa G dan H adalah disjoint karena jika 𝑝 ∈ 𝐺 ∩ 𝐻 maka (𝑎, 𝑝) < 3 𝜖 𝑑𝑎𝑛 𝑑(𝑝, 𝑏) < 3 𝜖 .
1
1
2
Dengan kesamaan segitiga yaitu: 𝑑(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑑(𝑎, 𝑝) + 𝑑(𝑝, 𝑏) < 3 𝜖 + 3 𝜖 = 3 𝜖 , tetapi hal
ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝜖 , sehingga G dan H disjoint(lepas) yaitu
a dan b berturut-turut termasuk ke dalam bola-bola buka G dan H sehingga X merupakan
ruang hausdorff.
Catatan:
2.
𝑎, 𝑏, 𝑐, ∈ 𝑋
a.
Ruang metrik
b.
[𝑀1 ]. 𝑑(𝑎, 𝑏) ≥ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑑(𝑎, 𝑎) = 0 merupakan definit positif
c.
[𝑀2 ]. 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑑(𝑏, 𝑎) merupakan simetri
d.
[𝑀3 ]. 𝑑(𝑎, 𝑐) ≤ 𝑑(𝑎, 𝑏) + 𝑑(𝑏, 𝑐) merupakan ketidaksamaan segitiga
e.
[𝑀4 ]. 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑎 ≠ 𝑏 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑(𝑎, 𝑏) > 0
f.
Bilangan real d(a,b) disebut jarak dari A ke B
Misal 𝜏 adalah topologi pada garis real R yang terdiri dari interval-interval buka tutup (a,b].
(𝑅, 𝜏) adalah bukan ruang hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan G dan H adalah
tak hingga karena G dan H set-set buka tidak kosong pada 𝜏. G dan H adalah tak hingga
karena G dan H adalah komplemen dari set-set tak hingga. Bila 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ maka G adalah
set tak hingga, yang termasuk di dalam komplemen tak hingga dari H sehingga G dan H
adalah disjoint (lepas). Jadi tidak ada pasangan titik-titik yang berbeda di dalam R berturutturut termasuk ke dalam set-set buka pada 𝜏 yang disjoint (lepas) sehingga ruang T1 tidak
perlu ruang hausdroff.
3.
Apabila 𝜏 adalah topologi kofinit yaitu topologi 𝜏 pada garis real R maka (𝑅, 𝜏) adalah ruang
hausdorff dapat ditunjukkan dengan dimisalkan G dan H adalah set-set buka tidak kosong
pada 𝜏 dimana G dan H adalah tak hingga karena G dan H adalah komplemen dari set-set
terhingga. Bila 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ maka G adalah set tak hingga yang termasuk di dalam komplemen
terhingga dari H sehingga G dan H adalah disjoint (lepas). Jadi tidak ada pasangan titik-titik
yang berbeda di dalam R berturut-turut termasuk ke dalam set-set buka pada 𝜏 yang disjoint
(lepas). Jadi Ruang – T1 tidak perlu Ruang hausdorff.
7.3. RUANG REGULER (RUANG – T3)
Ruang topologi X disebut Ruang regular bila dan hanya bila memenuhi aksioma [R]:
 Bila F subset tutup dari X dan 𝑝 ∈ 𝑋 bukan anggota F maka ada set-set buka G dan H yang
saling lepas (disjoint) sedemikian hingga 𝐹 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑝 ∈ 𝐻
Suatu Ruang Regular tak perlu Ruang – T1 dan Ruang regular X yang memenuhi aksioma pemisah
T1 atau Ruang – T1 disebut Ruang – T3 dengan contoh berikut:
1. Misal X adalah ruang T3 maka X adalah ruang Hausdorff yaitu ruang T2 dapat ditunjukkan
dengan dimisalkan (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑋 titik-titik yang berbeda. Karena X ruang T1 maka {𝑎} adalah
set tutup dan karena a dan b berbeda maka 𝑏 ∉ {𝑎}. Menurut [R], ada set-set buka G dan H
yang lepas sedemikian hingga {𝑎} ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∈ 𝐻 sehingga a dan b berturut-turut termasuk
ke dalam set-set buka G dan H yang lepas.
2. Topologi 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏, 𝑐}} pada set = {𝑎, 𝑏, 𝑐} . Perhatikan bahwa subset-subset tutup
dari X adalah 𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏, 𝑐} dan (𝑋, 𝜏) memenuhi [R] tetapi (𝑋, 𝜏) bukan ruang T1 karena
ada set terhingg {𝑏} tidak tutup.
7.4. RUANG NORMAL (RUANG – T4)
Ruang topologi X disebut ruang normal bila dan hanya bila memenuhi aksioma berikut:

Bila F1 dan F2 saling lepas dan merupakan subset-subset buka G dan H yang saling lepas
sedemikian hingga 𝐹1 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 ⊂ 𝐻.
Ruang normal mempunyai sifat dengan teorema berikut:

Ruang topologi X adalah Ruang Normal bila dan hanya bila untuk setiap set tutup F dan set
buka H yang memuat F, ada set buka G sedemikian hingga 𝐹 ⊂ 𝐺 ⊂ 𝐺̅ ⊂ 𝐻
Contoh:
1. Setiap ruang metrik adalah ruang normal berdasarkan teorema pemisah.
2. Topologi 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}} pada set = {𝑎, 𝑏, 𝑐} . Perhatikan bahwa set-set tutupnya
adalah 𝑋, ∅, {𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑐}, {𝑐}. Bila F1 dan F2 saling lepas dan merupakan subset-subset tutup
dari (𝑋, 𝜏) maka salah satu dari F1 atau F2, misalnya F1 haruslah set kosong ∅ sehingga
∅ 𝑑𝑎𝑛 𝑋 adalah lepas dan merupakan set-set buka dengan 𝐹1 ⊂ ∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 ⊂ 𝑋 .
Dengan kata lain (𝑋, 𝜏) adalah ruang normal tetapi (𝑋, 𝜏) bukan ruang T1 karena set singleton
{𝑎} tidak tutup dan selanjutnya (𝑋, 𝜏) bukan ruang regular karena superset buka dari set tutup
{c} adalah X yang memuat a.
3. Bila X adalah ruang T4 maka X adalah ruang T1 reguler maka dapat ditunjukkan dengan
dimisalkan F adalah subset tutup dari X dan 𝑝 ∈ 𝑋 bukan anggota dari F. Menurut [T1] maka
{𝑝} adalah tutup, dan karena F dan {𝑝} saling lepas maka menurut [N] ada set-set buka G dan
H yang lepas sedemikian hingga 𝐹 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑝 ∈ {𝑝} ⊂ 𝐻 .
Dari uraian tersebut diatas diperoleh bahwa ruang metrik adalah ruang normal dan ruang T1 yaitu
Ruang T4.
Diagram berikut menggambarkan hubungan antara ruang-ruang yang dibicarakan dalam aksioma
pemisah:
RUANG TOPOLOGI
RUANG – T1
RUANG – T2 (RUANG HAUSDORFF)
RUANG – T3 (RUANG T1 – REGULER)
RUANG – T4 (RUANG T1 – NORMAL)
RUANG METRIK
7.5. LEMMA URYSOHN’S DAN TEOREMA METRISASI
Teorema Lemma Urysohn’s:

Misal F1 dan F2 salin lepas dan merupakan subset-subset tutup dari ruang normal X maka
ada fungsi kontinu 𝑓: 𝑋 → [0,1] sedemikian hingga 𝑓[𝐹1 ] = {0} 𝑑𝑎𝑛 𝑓[𝐹2 ] = {1}.
Teorema Metrisasi Urysohn:

Setiap Ruang – T1 normal kontabel kedua adalah metrisabel.
7.6. FUNGSI TITIK-TITIK TERPISAH
Misal 𝒜 = {𝑓𝑖: 𝑖 ∈ 𝐼} adalah kelas dari fungsi-fungsi dari set X ke dalam set Y. Kelas 𝒜 dari
fungsi-fungsi disebut titik-titik terpisah bila dan hanya bila untuk suatu pasangan dari titik-titik
yang berbeda 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 ada fungsi f dalam 𝒜 sedemikian hingga 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) dengan proposisi:

Bila C(X,R) kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real pada ruang topologi terpisah X,
maka X adalah Ruang Hausdroff.
Contoh:
1.
Kelas dari fungsi-fungsi bernilai real adalah:
𝒜 = {𝑓1 (𝑥) = sin 𝑥, 𝑓2 (𝑥) = sin 2𝑥, 𝑓3 (𝑥) = sin 3𝑥} didefinisikan pada R.
Perhatikan bahwa untuk setiap fungsi 𝑓𝑛 ∈ 𝒜, 𝑓𝑛 (0) = 𝑓𝑛 (𝜋) = 0.
Jadi kelas 𝒜 bukan titik-titik terpisah.
2.
Misal C(X,R) adalah kelas dari semua fungsi bernilai real pada ruang topologi maka dapat
ditunjukkan bahwa bila C(X,R) titik-titik terpisah maka X adalah ruang hausdorff dengan
dimisalkan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 adalah titik-titik yang berbeda. Menurut hipotesis ada fungsi kontinu
𝑓: 𝑋 → 𝑅 sedemikian hingga 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) tetapi R adalah ruang hausdorff sehingga ada
subset-subset buka G dan H yang lepas dari R yang berturut-turut memuat f(a) dan f(b).
Jadi invers 𝑓 −1 [𝐺] 𝑑𝑎𝑛 𝑓 −1 [𝐻] adalah lepas, buka dan berturut-turut memuat a dan b.
Dengan kata lain, X adalah ruang hausdorff.
7.7. RUANG REGULER LENGKAP
Ruang topologi disebut ruang regular lengkap bila dan hanya bila memenuhi aksioma:
 Bila F subset tutup dari X dan 𝑝 ∈ 𝑋 bukan anggota dari F maka ada fungsi kontinu 𝑓: 𝑋 →
[0,1] sedemikian hingga 𝑓(𝑝) = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑓[𝐹] = 1.
Proporsisi:
 Ruang Reguler Lengkap adalah Ruang Reguler
Ruang regular lengkap X yang memenuhi [T1] yaitu ruang T1 reguler lengkap disebut Ruang
Tychonoff. Berdasarkan atas Lemma Urysohn, ruang – T4 adalah Ruang Tychonoff dan menurut
proposisi bahwa Ruang Tychonoff adalah Ruang T3 sehingga Ruang Tychonoff yaitu Ruang – T1
Reguler Lengkap, kadang-kadang disebut Ruang – T3 ½.
Salah satu sifat penting dari Ruang Tychonoff adalah teorema berikut:
 (X,R) yaitu kelas dari semua fungsi kontinu bernilai real ada Ruang – T1 – Reguler Lengkap
X adalah titik-titik pisah.
BAB VIII
KETERHUBUNGAN (CONNECTEDNESS)
8.1. SET-SET TERPISAH
Dua set A dan B dari ruang topologi X disebut terpisah, bila:
a. A dan B saling lepas (disjoint) dan
b. Titik kumpul dari A tidak termasuk anggota set B dan sebaliknya.
Dengan kata lain, A dan B terpisah bila dan hanya bila 𝐴 ∩ 𝐵̅ = ∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐴̅ ∩ 𝐵 = ∅.
Contoh:
1.
Perhatikan interval-interval pada garis real R berikut: A=(0,1) , B=(1,2) dan C=[2,3)
A dan B terpisah karena 𝐴̅ = [0,1] 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = [1,2] 𝑑𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝐴 ∩ 𝐵̅ = ∅ 𝑑𝑎𝑛 𝐴̅ ∩ 𝐵 = ∅
Tetapi B dan C tidak terpisah karena 2 ∈ 𝐶 adalah titik kumpul dari B sehingga
𝐵̅ ∩ 𝐶 = [1,2] ∩ [2,3) = {2} ≠ ∅ .
2.
Perhatikan subset-subet pada bidang R2 berikut:
1
𝐴 = {(0, 𝑦): 2 ≤ 𝑦 ≤ 1}
1
𝐵 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 , 0 < 𝑥 ≤ 1}
Tiap-tiap titik dalam A adalah titik kumpul dari B sehingga A dan B bukan set-set terpisah.
8.2. SET TERHUBUNG
Subset A dari ruang topologi X disebut tidak terhubung (disconnected) bila ada subset-subset buka
G dan H dari X sedemikian hingga 𝐴 ∩ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐻 merupakan set-set tidak kosong yang saling
lepas dan gabungannya sama dengan A. Dalam hal ini, 𝐺 ∪ 𝐻 disebut tak terhubung dari A. suatu
set disebut terhubung (connected) bila set tersebut tidak tak terhubung.
Perhatikan bahwa:
𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐺) ∪ (𝐴 ∩ 𝐻) 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐴 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻
∅ = (𝐴 ∩ 𝐺) ∩ (𝐴 ∩ 𝐻) 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑛 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐺 ∩ 𝐻 ⊂ 𝐴𝑐
Oleh karena itu 𝐺 ∪ 𝐻 tak terhubung bila dan hanya bila:
𝐴 ∩ 𝐺 = ∅, 𝐴 ∩ 𝐻 = ∅, 𝐴 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐺 ∩ 𝐻 ⊂ 𝐴𝑐
Catatan:
Set kosong ∅ dan set singleton {𝑝} selalu terhubung.
Contoh:
Perhatikan topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dengan 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑐, 𝑑, 𝑒}, {𝑐}}
Set 𝐴 = {𝑎, 𝑑, 𝑒} adalah tak terhubung karena untuk 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} dan 𝐻 = {𝑐, 𝑑, 𝑒} maka 𝐴 ∩
𝐺 = {𝑎} 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∩ 𝐻 = {𝑑, 𝑒} merupakan set-set lepas yang tidak kosong dan gabungannya =A
(G dan H tidak lepas).
Hubungan dasar antara keterhubungan dan keterpisahan dengan teorema;
1.
Suatu set disebut terhubung bila dan hanya bila set tersebut buka merupakan gabungan dari
set-set terpisah yang tidak kosong.
2.
Bila A dan B set-set terhubung yang tidak terpisah maka 𝐴 ∪ 𝐵 adalah terhubung.
8.3. RUANG TERHUBUNG
Keterhubungan adalah sifat mutlak dari suatu set dengan teorema:
1.
Bila A subset dari ruang topologi (𝑋, 𝜏) maka A terhubung terhadap 𝜏 bila dan hanya bila A
terhubung terhadap topologi relative 𝜏𝐴 pada A.
2.
Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila:
a. X bukan gabungan dari dua set buka tidak kosong yang lepas; atau
b. Hanya 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ merupakan subset-subset dari X yang keduanya set buka dan tutup.
3.
Bayangan kontinu dari set terhubung adalah terhubung
Contoh:
1. Bila X ruang topologi yang tidak terhubung dan 𝐺 ∪ 𝐻 tak terhubung dari X maka
𝑋 = (𝑋 ∩ 𝐺) ∪ (𝑋 ∩ 𝐻) 𝑑𝑎𝑛 (𝑋 ∩ 𝐺) ∩ (𝑋 ∩ 𝐻) = ∅
tetapi 𝑋 ∩ 𝐺 = 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝑋 ∩ 𝐻 =
𝐻, sehingga X tidak terhubung bila dan hanya bila ada set-set buka tidak kosong G dan H
sedemikian hingga 𝑋 = 𝐺 ∪ 𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ .
2. Perhatikan topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐. 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}}
X adalah tak terhubung karena untuk {𝑎} 𝑑𝑎𝑛 {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} yang saling komplemen dan
keduanya buka dan tutup, dengan kata lain 𝑋 = {𝑎} ∪ {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} adalah tak terhubung dari X.
3. Perhatikan ruang topologi pada no.2 bahwa topologi relatif dari subset 𝐴 = {𝑏, 𝑑, 𝑒} adalah
{𝐴, ∅, {𝑑}}, sesuai dengan hal tersebut maka A adalah terhubung karena hanya 𝐴 𝑑𝑎𝑛 ∅ yang
merupakan subset dari A yang keduanya tuup dan buka dalam topologi relatif tersebut.
4. Garis real R dengan topologi biasa adalah ruang terhubung karena hanya 𝑅 𝑑𝑎𝑛 ∅ yang
merupakan subset-subset buka tutup dari R.
5. Misal f adalah fungsi kontinu dari ruang terhubung X ke dalam ruang topologi Y sehingga
𝑓: 𝑋 → 𝑓[𝑋] adalah kontinu (dengan f[X] mempunyai topologi relatif).
f[X] adalah terhubung dapat ditunjukkan dengan dimisalkan f[X] tak terhubung, katakan G
dan H tak terhubung dari f[X] maka:
𝑓[𝑋] = 𝐺 ∪ 𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅
𝑋 = 𝑓 −1 [𝐺] ∪ 𝑓 −1 [𝐻] 𝑑𝑎𝑛 𝑓 −1 [𝐺] ∩ 𝑓 −1 [𝐻] = ∅
Karena f kontinu maka f-1[G] dan f-1[H] adalah subset-subset dari X dan karenanya tak
terhubung dari X dan hal ini tak mungkin sehingga bila X terhubung maka f[X] terhubung.
6. Misal X adalah ruang tak terhubung dan misal G dan H adalah tak terhubung dari X maka
fungsi:
0, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑥 ∈ 𝐺
𝑓(𝑥) =
1, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑥 ∈ 𝐻
adalah fungsi kontinu dari X kepada ruang diskrit 𝑌 = {0,1}
Sebaliknya, bayangan kontinu dari ruang terhubung X tidak dapat tak terhubung dengan
ruang diskrit 𝑌 = {0,1}. Dengan kata lain dapat dinyatakan oleh lemma berikut:
 Ruang topologi X adalah terhubung bila dan hanya bila fungsi kontinu dari X ke dalam
𝑌 = {0,1} hanyalah fungsi-fungsi konstan f(x) = 0 atau f(x) = 1.
8.4. KOMPONEN
Komponen E dari ruang topologi X adalah subset terhubung maksimal dari X sehingga E
terhubung dan E bukan subset murni dari suatu subset terhubung dari X. Jelaslah E tidak kosong.
Teorema:
1. Komponen-komponen dari ruang topologi X membentuk suatu partisi dari X sehingga
komponen-komponen tersebut saling lepas dan gabungannya adalah X. Setiap subset
terhubung dari X termasuk ke dalam sebarang komponen.
2. Produk (perkalian) dari ruang terhubung adalah terhubung.
Contoh:
1. Bila X terhubung maka X mempunyai tepat satu komponen yaitu X itu sendiri.
2. Perhatikan topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
dengan 𝜏 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}}
Komponen dari X adalah {𝑎} 𝑑𝑎𝑛 {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.
Subset terhubung dari X , seperti {𝑏, 𝑑, 𝑒} adalah satu subset dari komponen-komponen.
8.5. RUANG TERHUBUNG LOKAL
Ruang topologi X disebut terhubung lokal di 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan hanya bila setiap set buka yang
memuat p termasuk dalam set buka terhubung yang memuat p yaitu bila set-set terhubung buka
yang memuat p membentuk basis lokal di p. X disebut terhubung lokal bila X terhubung lokal di
setiap titik atau bila subset-subset terhubung dari X membentuk basis untuk X.
Contoh:
1. Setiap ruang diskrit X adalah terhubung lokal karena bila 𝑝 ∈ 𝑋 𝑚𝑎𝑘𝑎 {𝑝} adalah set
terhubung buka yang memuat p, yang termasuk ke dalam setiap set buka yang memuat p.
Catatan: X tak terhubung bila X memuat lebih dari satu titik.
2. Perhatikan subset-subet pada bidang R2 berikut
1
𝐴 = {(0, 𝑦): ≤ 𝑦 ≤ 1}
2
1
𝐵 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 , 0 < 𝑥 ≤ 1}
𝑥
𝐴 ∪ 𝐵 adalah set-set terhubung, tetapi 𝐴 ∩ 𝐵 bukan terhubung lokal di 𝑝 = (0,1).
BAB IX
KEKOMPAKAN (COMPACTNESS)
9.1. SAMPUL (COVER)
Misalkan 𝒜 = {𝐺𝑖} adalah kelas dari subset-subset dari X sedemikian hingga 𝐴 ⊂ 𝑈𝑖𝐺𝑖 untuk
sebarang 𝐴 ⊂ 𝑋. Ingat kembali bahwa 𝒜 disebut sampul (cover) dari A dan 𝒜 disebut sampul
buka bila tiap 𝐺𝑖 adalah buka. Selanjutnya, bila suatu kelas bagian terhingga dari 𝒜 merupakan
sampul juga dari A yaitu ada 𝐺𝑖1 , … , 𝐺𝑖𝑚 ∈ 𝒜 sedemikian hingga 𝐴 ⊂ 𝐺𝑖1 ∪ 𝐺𝑖2 ∪ … ∪ 𝐺𝑖𝑚 ,
maka 𝒜 disebut tereduksi ke sampul terhingga atau memuat sampul bagian terhingga.
Teorema Heine-Borel:
 Setiap sampul buka dari interval tutup terbatas A=[a,b] adalah tereduksi ke sampul terhingga.
Contoh:
Misal kelas 𝒜 = {𝐷𝑝 : 𝑝 ∈ 𝐵𝑥𝐵}, B set bilangan-bilangan bulat, Dp: daerah buka pada bidang R2
dengan jari-jari 1 dan pusatnya p = (m,n), dimana 𝑚, 𝑛 ∈ 𝐵 maka 𝒜 adalah sampul dari R2 yaitu
setiap titik dalam R2 termasuk ke paling sedikit anggota dari 𝒜 tetapi kelas dari daerah-daerah
buka 𝔹 = {𝐷𝑝∗ : 𝑝 ∈ 𝐵𝑥𝐵}, dengan Dp mempunyai pusat p dan jari-jari ½ bukan sampul dari R2.
1 1
Diambil contoh, titik (2 , 2) ∈ 𝑅 2 tidak termasuk ke suatu anggota dari 𝔹.
9.2. SET KOMPAK
Definisi:
 Subset A dari ruang topologi X disebut kompak bila setiap sampul (cover) buka dari A
tereduksi ke sampul terhingga.
Dengan kata lain, bila A kompak dan 𝐴 ⊂ 𝑈𝑖𝐺𝑖 dengan Gi set-set buka maka dapat terpilih
terhingga banyaknya set-set buka misalkan 𝐺𝑖1 , … , 𝐺𝑖𝑚 , 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝐴 ⊂ 𝐺𝑖1 ∪ … ∪ 𝐺𝑖𝑚 .
Teorema:
1.
Bayangan-bayangan kontinu dari set-set kompak adalah kompak.
2.
Bila A subset dari ruang topologi (𝑋, 𝜏) maka A adalah kompak terhadap 𝜏 bila dan hanya
bila A kompak terhadap toplogi relatif 𝜏𝐴 pada A.
Contoh:
1. Dengan teorema Heine-Borel, setiap interval tutup terhingga [a,b] pada garis real R adalah
kompak.
2. Misal A subset terhingga dari ruang topologi X dengan 𝐴 = {𝑎1 , 𝑎2 , … . , 𝑎𝑚 } maka A adalah
kompak karena hal ini dapat ditunjukkan bahwa bila 𝒢 = {𝐺𝑖 } sampul buka dari A maka tiaptiap titik dalam A termasuk ke dalam salah satu anggota dari 𝒢, yaitu 𝑎1 ∈ 𝐺𝑖1 , … , 𝑎𝑚 ∈ 𝐺𝑖𝑚
sehingga 𝐴 ⊂ 𝐺𝑖1 ∪ 𝐺𝑖2 ∪ … ∪ 𝐺𝑖𝑚 .
3. Peta (bayangan) kontinu dari set kompak adalah kompak, yaitu bila 𝑓: 𝑋 → 𝑌 kontinu dan A
subset kompak dari X maka f[A] adalah subset kompak dari Y, dapat ditujukkan dengan
dimisalkan 𝒢 = {𝐺𝑖} adalah sampul buka dari f[A], yaitu 𝑓[𝐴] ⊂ 𝑈𝑖𝐺𝑖 maka:
𝐴 ⊂ 𝑓 −1 [𝑓[𝐴]] ⊂ 𝑓 −1 [𝑈𝑖𝐺𝑖] = 𝑈𝑖𝑓 −1 [𝐺𝑖].
Jika ℋ = {𝑓 −1 [𝐺𝑖]} adalah sampul dari A karena f kontinu dan tap-tiap Gi adalah set buka
juga tiap-tiap f-1[Gi] adalah buka. Dengan kata lain, ℋ adalah sampul buka dari A tetapi A
adalah kompak dan ℋ tereduksi ke sampul terhingga yaiu 𝐴 ⊂ 𝑓 −1 [𝐺𝑖1 ] ∪ … ∪ 𝑓 −1 [𝐺𝑖𝑚 ]
dan ini bersesuaian dengan 𝑓[𝐴] ⊂ 𝑓 −1 [𝐺𝑖1 ] ∪ … ∪ 𝑓 −1 [𝐺𝑖𝑚 ] ⊂ 𝐺𝑖1 ∪ 𝐺𝑖2 ∪ … ∪ 𝐺𝑖𝑚
sehingga f[A] adalah kompak.
9.3. SUBSET DARI RUANG KOMPAK
Subset dari ruang kompak tidak perlu kompak, misalnya, interval unit tutup [0,1] adalah kompak
menurut teorema Heine-Borel, tetapi interval buka (0,1) subset dari [0,1] tidak kompak.
Teorema:
Bila F subset tutup dari ruang kompakX maka F juga kompak
9.4. KEKOMPAKAN DAN RUANG HAUSDORFF
Berikut ini relasi konsep kekompakan dengan sifat pemisah dari ruang hausdorff dengan teorema:
1.
Setiap subset kompak dari ruang Hausdorff adalah tutup (tidak berlaku umum misalkan untuk
ruang topologi seperti set-set terhingga selalu kompak tetapi ada ruang topologi yang terdiri
dari subset-subset terhingga yang tidak semuanya tutup).
2.
Bila A dan B saling lepas dan merupakan subset-subset kompak dari ruang Hausdorff maka
ada set-set buka yang lepas G dan H sedemikian hingga 𝐴 ⊂ 𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊂ 𝐻.
3.
Bila f fungsi satu-satu yang kontinu dari ruang kompak X ke dalam ruang Hausdorff Y maka
X dan f[X] adalah Homoemorphik (sangat penting dalam geometri tetapi tak berlaku umum).
Dalam keadaan khusus, bila X ruang Hausdorff dan kompak, dan F1 dan F2 subset-subset tutup
saling lepas dari X maka F1 dan F2 adalah kompak sehingga F1 dan F2 adalah subset-subset dari
dua set buka yang saling lepas dengan dinyatakan dalam Corollary:
 Setiap ruang Hausdorff kompak adalah normal.
Ruang metrik dan ruang Hausdorff kompak, keduanya termasuk ke dalam kelas dari ruang T4
yaitu ruang T1-normal, dengan diagram sebagai berikut:
Ruang Hausdorff kompak
Ruang Metrik
Ruang T4 (Ruang T4 – Normal)
9.5. KONTABILITAS SET KOMPAK
Subset A dari ruang topologi X disebut kontabel kompak bila dan hanya bila setiap subset tak
hingga B dari A mempunyai titik kumpul dalam A.
Teorema Bolzano – Weierstrass :
 Setiap set tak hingga yang terbatas dari bilangan-bilangan real mempunyai titik kumpul.
Contoh:
1. Setiap interval tutup yang terbatas 𝐴 = [𝑎, 𝑏] adalah kontabel kompak, dengan ditunjukkan
apabila B subset tak hingga dari A maka B juga terbatas, menurut teorema Bolzano –
Weierstrass maka B mempunyai titik kumpul p dan selanjutnya karena A tutup dan titik
kumpul p dari B termasuk di dalam A sehingga A kontabel kompak.
2. Interval buka 𝐴 = (0,1) bukan kontabel kompak dengan memperhatikan subset tak hingga
1 1 1
𝐵 = {2 , 3 , 4 , … } dari 𝐴 = (0,1). B mempunyai satu titik kumpul yaitu 0 dan 0 tidak termasuk
dalam A sehingga A bukan kontabel kompak.
Hubungan antara kompak, barisan kompak dan kontabel kompak ditunjukkan dengan diagram:
Kompak
Kontabel Kompak
Barisan Kompak
Teorema;
 Misal A subset dari ruang topologi X. Bila A kompak atau barisan kompak maka A kontabel
kompak.
Contoh:
Misal 𝜏 adalah topologi pada 𝑁 = {1,2,3, … } yang terdiri dari set-set {1,2}, {3,4}, {5,6}, …
Misal A adalah subset tak kosong dari N dan 𝑛0 ∈ 𝐴 dan bila 𝑛0 ganjil maka 𝑛0 + 1 adalah titik
kumpul dari A dan bila bila 𝑛0 genap maka 𝑛0 − 1 adalah titik kumpul dari A. Dalam kedua hal
ini, A mempunyai titik kumpul sehingga (𝑁, 𝜏) adalah kontabel kompak.
Tetapi (𝑁, 𝜏) tidak kompak karena 𝒜 = {set {1,2}, {3,4}, {5,6}, … } adalah sampul buka dari N
yang bukan sampul bagian terhingga dan selanjutnya (𝑁, 𝜏) bukan barisan kompak karena barisan
{1,2,3, … } tidak memuat barisan bagian yang konvergen.
9.6. RUANG KOMPAK LOKAL
Ruang topologi X disebut ruang kompak local bila dan hanya bila setiap titik dalam X mempunyai
lingkungan kompak.
Contoh:
Perhatikan garis real R pada topologi biasa dan perhatikan bahwa tiap-tiap titik 𝑝 ∈ 𝑅 merupakan
titik interior dari interval tutup [𝑝 − 𝛿, 𝑝 + 𝛿] dan interval tutup tersebut kompak menurut
teorema Heine – Borel. Jadi R adalah ruang kompak local tetapi R bukan ruang kompak karena
untuk kelas 𝒜 = {… , (−3, −1), (−2,0), (−1,1), (0,2), (1,3), … } adalah sampul buka dari R
tetapi tidak memuat sampul bagian terhingga.
Dengan demikian terlihat bahwa ruang kompak lokal tak perlu merupakan ruang kompak, tetapi
katena suatu ruang topologi adalah lingkungan dari tiap-tiap titik maka konvers dari definisi diatas
benar dengan proposisi sebagai berikut:
 Setiap ruang kompak adalah kompak lokal.
Soal-soal:
1. Tunjukkan bahwa bila A dan B set-set terpisah yang tidak kosong maka 𝐴 ∪ 𝐵 tak terhubung!
2. Tunjukkan teorema berikut: bila A dan B set-set tehubung yang tak terpisah maka 𝐴 ∪ 𝐵
terhubung!