PowerPoint 프레젠테이션

Discrete Mathematic
Graph Coloring
Erwin Yudi Hidayat
[email protected]
Discrete Mathematics and Its Applications
by Kenneth H. Rosen
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
Graph Coloring

Ada dua macam: pewarnaan simpul, dan
pewarnaan sisi
 Hanya dibahas perwarnaan simpul
 Pewarnaan simpul: memberi warna pada
simpul-simpul graf sedemikian sehingga dua
simpul bertetangga mempunyai warna berbeda.
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
Graph Coloring

Aplikasi pewarnaan graf: mewarnai peta.
 Peta terdiri atas sejumlah wilayah.
 Wilayah dapat menyatakan kecamatan,
kabupaten, provinsi, atau negara.
 Peta diwarnai sedemikian sehingga dua wilayah
bertetangga mempunyai warna berbeda.
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
Map Coloring
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
Map Coloring

Nyatakan wilayah sebagai simpul, dan batas
antar dua wilayah bertetangga sebagai sisi.
 Mewarnai wilayah pada peta berarti mewarnai
simpul pada graf yang berkoresponden.
 Setiap wilayah bertetangga harus mempunyai
warna berbeda  warna setiap simpul harus
berbeda.
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
Map Coloring
1
1
3
1 merah
biru
4
6
7
(c)
1 merah
2 kuning
ungu
(d)
putih
2 kuning
ungu
4
kuning
6
hitam
biru
3 jingga
5
8
7
[email protected]
5
(b)
(a)
hijau
3
8
6
7
6
2
4
5
8
5
7
3
4
4
8
1
2
2
3 merah
5
8
6
7
kuning
merah
(e)
IUP - Udinus || 7/22/2017
Chromatic Number

Bilangan kromatik: jumlah minimum warna yang
dibutuhkan untuk mewarnai peta.
 Simbol: (G).
 Suatu graf G yang mempunyai bilangan
kromatis k dilambangkan dengan (G) = k.
 Graf di bawah ini memiliki (G) = 3.
biru
merah
kuning
kuning
kuning
biru
[email protected]
merah
IUP - Udinus || 7/22/2017
Welch-Powell Algorithm

Menentukan warna sebenarnya sangat sulit
kecuali dalam kasus-kasus sederhana seperti
pada contoh-contoh yang akan kita bahas
dalam bab ini
 Algoritma Welch-Powell adalah suatu cara yang
efisien untuk mewarnai sebuah graf G.
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
Welch-Powell Algorithm
1.
2.
3.
4.
Urutkan simpul-simpul dari G dalam urutan derajat
yang menurun. Urutan ini mungkin tidak unik
karena beberapa simpul mungkin mempunyai
derajat yang sama.
Gunakan satu warna tertentu untuk mewarnai
simpul pertama. Secara berurut, setiap simpul
dalam daftar yang tidak berelasi dengan simpul
sebelumnya diwarnai dengan warna ini.
Ulangi langkah 2 di atas untuk simpul dengan
urutan tertinggi yang belum diwarnai.
Ulangi langkah 3 di atas sampai semua simpul
dalam daftar terwarnai.
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
Welch-Powell Algorithm

Gunakan algoritma Welch-Powell untuk
mewarnai graf di bawah ini dan tentukan
bilangan kromatiknya!
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
Graph Coloring Application
Misalkan terdapat delapan orang mahasiswa (1, 2, …, 8) dan lima buah mata
kuliah yang dapat dipilihnya (A, B, C, D, E). Tabel berikut memperlihatkan matriks
lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa. Angka 1 pada elemen (i, j) berarti
mahasiswa i memilih mata kuliah j, sedangkan angka 0 menyatakan mahasiswa i
tidak memilih mata kuliah j.
1
2
3
4
5
6
7
8
[email protected]
A
0
0
0
1
0
0
1
0
B
1
1
0
1
1
0
0
0
C
0
0
1
0
0
1
1
1
D
0
1
1
0
1
1
0
1
E
1
0
0
0
0
0
0
0
IUP - Udinus || 7/22/2017
Graph Coloring Application

Berapa paling sedikit jumlah hari yang
dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut
sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat
mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya
tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal
ujian kuliah lain yang juga diambilnya?
 Penyelesaian:
simpul  mata kuliah
 sisi  ada mahasiswa yang mengambil kedua mata
kuliah (2 simpul)

[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
Graph Coloring Application



Bilangan kromatik adalah 2.
Jadi, ujian mata kuliah A, E, dan D dapat dilaksanakan
bersamaan.
Sedangkan ujian mata kuliah B dan C dilakukan
bersamaan tetapi pada waktu yang berbeda dengan
mata kuliah A, E, dan D.
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
Graph Coloring Application



Ada 6 jenis zat kimia yang perlu disimpan di dalam gudang. Beberapa pasangan zat
itu tidak dapat disimpan di dalam ruangan yang sama, karena campuran gasnya
bersifat eksplosif (mudah meledak). Untuk zat yang semacam itu, perlu dibangun
ruang-ruang terpisah yang dilengkapi ventilasi dan penyedot udara keluar yang
berlainan. Jika lebih banyak ruang yang dibutuhkan, berarti lebih banyak ongkos
yang dikeluarkan. Karena itu perlu diketahui berapa banyak minimum ruangan yang
diperlukan untuk dapat menyimpan semua zat kimia dengan aman.
Berikut ini adalah daftar pasangan zat kimia yang tidak dapat disimpan dalam
ruangan yang sama.
Gambarkan graf yang menyatakan persoalan di atas. Kemudian tentukan jumlah
minimum ruangan yang dibutuhkan untuk menyimpan semuazat kimia di atas!
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
Graph Coloring

Pada suatu semester, akan disusun jadwal UAS untuk mata kuliah
Kalkulus, Matematika Diskrit, Fisika, Bahasa Inggris, Bahasa Indonesia,
Agama, dan Kimia.
 Diketahui tidak ada mahasiswa yang mengambil pasangan matakuliah
berikut ini secara bersamaan (dalam semester yang sama):
 Kalkulus & Kimia
 Matematika Diskrit & Kimia
 Bahasa Inggris & Bahasa Indonesia
 Bahasa Inggris & Agama
 Kalkulus & Matematika Diskrit
 Kalkulus & Fisika
 Fisika & Bahasa Inggris
 Tetapi ada mahasiswa yang mengambil secara bersamaan untuk
kombinasi matakuliah lainnya, dalam semester tersebut.
 Berapa jumlah slot waktu minimum yang diperlukan untuk menyusun
jadwal ujian UAS tersebut, sehingga tidak ada mahasiswa yang bentrok
jadwal ujiannya?
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017
[email protected]
IUP - Udinus || 7/22/2017