Vektor, Garis, Bidang

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
1
Vektor
Vektor adalah sebuah besaran yang mempunyai nilai
dan arah. Secara geometri vektor biasanya digambarkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di
samping) dan namanya menggunakan sebuah huruf
kecil dengan anak panah di atasnya (~u).
u
Ujung
Pangkal
Arah sebuah vektor ditentukan dari sudut yang
dibentuk oleh sumbu-x positif dengan arah vektor
tersebut.
Dua buah vektor dikatakan sama bila panjang/besar dan arahnya sama, sedangkan posisi
pangkalnya tidak perlu sama.
Penjumlahan dua buah vektor
Open Source
Not For Commercial Use
Ilustrasi
Perhatikan sebuah benda yang bergerak sepanjang sumbu-x dengan laju 10 m/detik
dan benda kedua bergerak sepanjang lingkaran dengan laju yang sama.
Apakah kedua benda tersebut mempunyai kecepatan yang sama?
Apakah kedua benda tersebut mempunyai percepatan ?
Ilustrasi ini memberikan gambaran bahwa kecepatan merupakan sebuah vektor.
Cara 1:
Pangkal vektor ~v digeser ke ujung dari vek−−−→
tor ~u. Vektor u + v adalah vektor yang
pangkalnya sama dengan pangkal vektor ~u
dan ujungnya berada pada ujung vektor ~v.
(lihat gambar sebelah kiri).
URL:ftp.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
2
Cara 2:
Pangkal vektor ~v di geser ke pangkal vektor
~u, kemudian dibuat jajaran genjang sesuai
dengan ujung-ujung vektor ~v dan ~u. Vektor
−−−→
u + v adalah diagonal jajaran genjang
yang berpangkal di pangkal vektor ~u (lihat
gambar sebelah kanan).
Perkalian sebuah vektor dengan skalar/bilangan
Latihan:
C
B
A
1.
v
m
v
u
450
Bila AB = 32 AC,
Open Source
Not For Commercial Use
Sifat komutatif: ~u + ~v = ~v + ~u
Nyatakan vektor m
~ dalam ~u dan ~v
v
v
600
v
T1
v
T2
2.
Sebuah benda digantung seperti pada
gambar.
Tentukan besarnya gaya tegangan tali
T1 dan T2
200 N
URL:ftp.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
3
Representasi Vektor secara Aljabar di R2 (Bidang) dan di R3 (Ruang)
Sebuah vektor dapat kita representasikan pada koordinat kartesius sebagai berikut:
z
v
u =< u1 , u2 , u3 >
P = (7, 5, −2)
Q = (11, −2, −8)
−→
P Q = h11−7, −2−5, −8+2i
−→
P Q = h4, −7, −6i
y
x
u1
x
Open Source
Not For Commercial Use
u2
v
u =< u1 , u2 >
y
Sebuah vektor di bidang yang berpangkal di pusat koordinat dan ujungnya pada titik
(u1, u2) kita notasikan sebagai hu1 , u2i. Notasi ”kurung lancip” digunakan untuk
membedakan dengan pengertian titik. Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang.
~u + ~v = hu1 + v1, u2 + v2i
Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang.
Bila ~a = ha1 , a2 , a3i dan ~b = hb1 , b2, b3i,
y
u2+v2
v
u2
v2
u
Misalkan ~u = hu1 , u2i dan ~v = hv1, v2i.
Untuk memperoleh rumus penjumlahan ~u + ~v ,
perhatikanlah gambar di samping kanan. Dari
ilustrasi geometri tersebut diperoleh rumus:
~a + ~b = ha1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 i
Misalkan c ∈ R, maka berlaku c~u = hcu1 , cu2i
u+
v
v
u1
v1
x
u1+v1
Sifat2 :
Misalkan ~u, ~v, w
~ tiga buah vektor dan a, b ∈ R, maka berlaku:
1. ~u + ~v = ~v + ~u
(komutatif)
2. (~u + ~v ) + w
~ = ~v + (~u + w)
~
(asosiatif)
3. ~u + ~0 = ~u dengan ~0 = h0, 0i
4. ~u + (−~u) = ~0
5. a(b~u) = (ab)~u = ~u(ab)
URL:ftp.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
4
6. a(~u + ~v ) = a~u + a~v
7. (a + b)~u = a~u + b~u
z
y
k$
$j
x
8. 1 ~u = ~u
$i
y
$j
$i
x
Open Source
Not For Commercial Use
| $i | = | $j | = | k$ | = 1
Vektor Basis
Perhatikan : ~u = hu1 , u2i = u1h1, 0i + u2h0, 1i.
Vektor2 bi = h1, 0i dan b
j = h0, 1i disebut vektor2 basis di bidang.
Dengan demikian, kita dapat menuliskan ~u = hu1, u2i sebagai ~u = u1 bi + u2 b
j.
Hal yang sama berlaku untuk vektor di ruang. Vektor basisnya adalah: bi = h1, 0, 0i,
b
j = h0, 1, 0i, dan b
k = h0, 0, 1i. Jadi ~u = hu1 , u2, u3i = u1 bi + u2 b
j + u3 b
k
y
Panjang vektor:
Panjang sebuah vektor ~u = hu1 , u2i, ditulis ||~u|| =
p
u21 + u22.
Contoh: Diberikan ~u = h4, 3i, tentukan ||~u|| dan ||−2~u||
Hasil kali titik/dalam:
Misalkan ~u = hu1 , u2i, dan ~v = hv1 , v2i dua buah vektor.
Hasil kali titik/dalam dari ~u dan ~v adalah ~u · ~v = u1v1 + u2v2
Perhatikan bahwa hasilnya merupakan sebuah skalar.
Sifat2 Hasil Kali Titik:
Misalkan ~u, ~v, w
~ tiga buah vektor dan c ∈ R, maka:
1. ~u · ~v = ~v · ~u (komutatif)
u2
r
| u |= u12 + u22
u1
x
2. ~u · (~v + w)
~ = ~u · ~v + ~u · w
~ distributif
3. c(~u · ~v ) = (c~u) · ~v = ~u · (c~v )
4. ~0 · ~u = 0.
5. ~u · ~u = ||~u||2
6. ~u · ~v = ||~u|| ||~v || cos(θ), θ sudut antara ~u dan ~v .
Akibat: ~u ⊥ ~v ⇐⇒ ~u · ~v = 0
URL:ftp.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
5
Vektor Proyeksi
v
u
Perhatikan gambar di samping. Vektor ~u diproyeksikan
pada ~v dan hasilnya adalah vektor w.
~
Bagaimana menentukan vektor w?
~
v
v
v
w
~u·~v
~
||~u|| ||v||
w
~ = ||w||
~ × vektor satuan dari vektor ~v .
v
w
~ = ||~u|| ||~u~u||·~||~
v ||
~v
||~v ||
=
~u·~v
||~v || ||~v ||
~v =
Latihan:
1. Tentukan b supaya h8, 6i dan h3, bi saling tegak lurus.
2.
Bila A = (4, 3), B = (1, −1) dan C = (6, −4), gunakan
konsep vektor untuk menentukan sudut ABC.
3. Cari vektor proyeksi ~u = h−1, 5i pada ~v = h3, 3i
4. Cari vektor proyeksi ~u = h4, 5, 3i pada ~v = h2, 2, −6i
Persamaan Bidang di Ruang
z
~v
Perhatikan bidang v (warna pink).
Titik P = (x0, y0 , z0) terletak pada bidang v.
v
v
n
Vektor ~n = hA, B, Ci tegak lurus terhadap v.
Akan ditentukan persamaan bidang v.
P
y
Q
~u·~v
||~v ||2
Open Source
Not For Commercial Use
q
||w||
~ = ||~u|| cos θ = ||~u||
Ambil sebarang titik Q = (x, y, z) pada bidang v.
−→
Jelas vektor P Q = hx − x0, y − y0 , z − z0 i ⊥ ~n.
hx − x0, y − y0, z − z0 i · hA, B, Ci = 0
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.
x
Latihan:
1. Misalkan P = (1, 2, 3) dan Q = (4, 4, −2). Tentukan persamaan bidang yang
−→
melalui titik P dan tegak lurus terhadap vektor P Q.
2. Tentukan sudut antara bidang 3x − 4y + 7z = 5 dan bidang 2x + 4y + 3z = 8.
3. Buktikan jarak dari titik (x0, y0, z0 ) ke bidang Ax + By + Cz = D adalah
|Ax0 +By0 +Cz0 −D|
√
.
A2 +B 2 +C 2
URL:ftp.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
6
Persamaan Garis di Ruang
Diberikan titik P = (x0, y0, z0 ) dan vektor ~v = ha, b, ci
z
Akan ditentukan persamaan garis yang melalui titik P
dan sejajar dengan vektor ~u.
hx − x0, y − y0 , z − z0 i = t ha, b, ci.
Q
P
y
x
Open Source
Not For Commercial Use
Misalkan Q = (x, y, z) sebuah titik sebarang pada
garis tersebut.
−→
Vektor ~v sejajar dengan vektor P Q, sehingga
−→
P Q = t ~v , dengan t ∈ R.
v
v
Dengan demikian diperoleh persamaan parameter untuk garis, yaitu:

 x = x0 + t a
y = y0 + t b
disebut sebagai Persamaan Parameter dari garis.

z = z0 + t c
Bila parameter t dieliminasi diperoleh persamaan sebagai berikut:
x−x0
a
=
y−y0
b
=
z−z0
c
Latihan:
disebut Persamaan Simetrik dari garis di atas.
1. Cari persamaan simetrik dari garis yang melalui titik (2, 5, −1) dan sejajar vektor
< 4, −3, 2 >.
2. Cari persaman garis yang merupakan perpotongan antara bidang2
2x − y − 5z = −14 dan 4x + 5y + 4z = 28.
URL:ftp.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
7
Hasil Kali Silang (Cross Product)
Hasil kali silang hanya didefinisikan pada vektor di
dan ~v = hv1 , v2, v3i dua buah vektor. Hasil kali
sebagai:
î ĵ k̂ î ĵ k̂ î
~u × ~v = u1 u2 u3 = u1 u2 u3 + u1
v1 v2 v3 v1 v2 v3 v1
ruang. Misalkan ~u = hu1 , u2, u3i
silang dari ~u dan ~v didefinisikan
ĵ k̂ î ĵ k̂ u2 u3 + u1 u2 u3 v2 v3 v1 v2 v3 Sifat2 Hasil Kali Silang:
Misalkan ~u, ~v tiga buah vektor maka:
1. (~u × ~v ) ⊥ ~u dan (~u × ~v ) ⊥ ~v , akibatnya
~u · (~u × ~v ) = 0 dan ~v · (~u × ~v ) = 0
2. ~u, ~v , dan (~v × ~v ) membentuk ”right handed triple”
3. ||~u × ~v || = ||~u|| ||~v || sin θ, dengan θ sudut antara ~u dan ~v .
Latihan:
Open Source
Not For Commercial Use
~u × ~v = (u2 v3 − u3 v2)î − (u1 v3 − u3 v1)ĵ + (u1 v2 − u2 v1 )k̂
1. Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik (1, −2, 3), (4, 1, −2), dan (−2, −3, 0).
2. Periksa, apakah hasil kali silang bersifat komutatif, yaitu ~u × ~v = ~v × ~u.
3. Tunjukkan, secara geometri, ||~u × ~v || adalah luas jajaran genjang seperti pada
gambar di sebelah kiri bawah.
4. Tunjukkan, secara geometri, |w
~ · (~u × ~v )| adalah volume ”parallelepiped” seperti
pada gambar di sebelah kanan bawah.
v
w
v
u
a
URL:ftp.math.itb.ac.id
v
v
v
u
v
v
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
8
Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva
P
)
r(t
y
x
Perhatikan sebuah titik P yang bergerak di ruang dengan lintasan seperti pada gambar di samping kiri.
Posisi titik P pada saat t dinyatakan oleh vektor
yang berpangkal di titik asal dan ujungnya di titik
P. Posisinya tersebut dapat ditulis sebagai ~r(t) =
hf (t), g(t), h(t)i. Vektor ~r merupakan fungsi dengan variabel real t dan nilainya adalah sebuah vektor.
Fungsi demikian disebut fungsi bernilai vektor.
Bentuk umum fungsi berbentuk vektor dengan variabel real:
j = hf (t), g(t)i
F~ (t) = f (t) bi + g(t) b
dengan t ∈ R
atau
F~ (t) = f (t) bi + g(t) b
j + h(t) b
k = hf (t), g(t), h(t)i
Open Source
Not For Commercial Use
z
dengan t ∈ R
Untuk selanjutnya hanya akan dibicarakan fungsi bernilai vektor di ruang. Untuk
fungsi bernilai vektor di bidang aturannya sama saja, hanya komponennya dua buah.
Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor
Pengertian konsep limit untuk fungsi bernilai vektor ”sama” dengan konsep limit di
fungsi real biasa. Untuk perhitungannya berlaku sifat berikut:
Misalkan F~ (t) = hf (t), g(t), h(t)i, maka lim F~ (t) = hlim f (t), lim g(t), lim h(t)i
t→c
t→c
t→c
t→c
Turunan dan Integral fungsi bernilai vektor juga mewarisi sifat-sifat di fungsi real sbb:
Misalkan F~ (t) = hf (t), g(t)i, maka
a. F~ ′ (t) = hf ′ (t), g ′(t)i
R
R
R
b. F~ (t) dt = h f (t) dt , g(t) dti
URL:ftp.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB
9
Sifat2 Operasi Aljabar Fungsi Bernilai Vektor:
~
Misalkan F~ (t), G(t)
fungsi bernilai vektor, h(t) fungsi real dan c ∈ R, maka:
~
~ ′ (t)
1. Dt [F~ (t) + G(t)]
= F~ ′ (t) + G
2. Dt [c F~ (t)] = c F~ ′ (t)
3. Dt [h(t) F~ (t)] = h(t) F~ ′ (t) + h′ (t)F~ (t)
Open Source
Not For Commercial Use
~
~ + F~ (t) G
~ ′ (t)
4. Dt [F~ (t) G(t)]
= F~ ′ (t) G(t)
5. Dt [F~ (h(t))] = F~ ′ (h(t)) h′(t)
j.
Contoh: Diberikan F~ (t) = (t2 + t) bi + et b
a. Tentukan F~ ′ (t) dan F~ ′′ (t) dan sudut antara F~ ′ (0) dan F~ ′′(0).
R1
3~
b. Tentukan Dt [t F (t)] dan F~ (t) dt ♠
0
Perhatikan sebuah titik P yang bergerak di bidang/ruang dengan posisi setiap saat
~r(t). Dari hukum Fisika, kecepatan ~v dan percepatannya ~a adalah:
~v (t) = ~r′ (t), dan ~a(t) = ~r′′ (t)
Latihan:
+h
r(t
h→0
demikian arah ~v sama dengan arah garis singgung terhadap ~r(t).
)
r(t+h) - r(t)
Arah dari vektor kecepatan ~v dapat dikaji dari definr(t)
. Dengan
isi turunan r′ , yaitu ~v (t) = lim ~r(t+h)−~
h
r(t)
1. Sebuah titik P bergerak sepanjang lingkaran berjari-jari r dengan laju ω rad/detik.
Bila kedudukan awalnya di (1, 0), tentukan kecepatan dan percepatannya pada
saat t = 0, 5 dan gambarkan.
2. Sebuah titik P bergerak dengan posisi setiap saat (x, y) = (3 cos t, 2 sin t).
a. Gambarkan grafik lintasan P dan arahnya.
b. Tentukan kecepatan, laju dan percepatannya.
c. Tentukan saat kapan lajunya maksimum dan berapa nilainya.
d. Tunjukkan vektor percepatannya selalu menuju titik asal.
2
3
3. Diberikan sebuah kurva di ruang dengan persamaan ~r(t) =< t, t2 , t3 >. Carilah
persamaan garis singgungnya pada saat t = 2.
URL:ftp.math.itb.ac.id
Warsoma Djohan/Prodi. Matematika - FMIPA - ITB/2010