Pertemuan I - Binus Repository

PERTEMUAN I
Persamasan Differensial
Persamaan Differensial ( P.D ) adalah persamaan yang memuat turunan (
derivative ) . atau differensial dari suatu variabel misalnya :
dy = (x2 + 3)dx
Persamaan differensial biasa ( ordinary differential equation ) seperti berikut
dibawah ini.
I-1
Penyelesaian suatu persamaan differensial ialah mencari suatu fungsi yang
tidak memuat turunan dan memenuhi persamaan differensial yang diberikan.
Penyelesaian dapat saja dilakukan satu atau beberapa kali integrasi.
Definisi
Persamaan differensial order satu : Hanya memuat turunan pertama
Persamaan differensial order dua : Memuat derivative oder dua (
dapat juga memuat derivative order satu )
Derajat ( degree ) dari suatu persamaan differensial adalah pangkat dari
order persamaan differensial.
Linear dan nonlinear: Suatu persamaan differensial dikatakan linear bila
persamaan differensial hanya berorder satu sebalikya non linear.
Homogeneous and nonhomogeneous: A differential equation is said to be
homogeneous if there is no isolated constant term in the equation, e.g., each
term in a differential equation for y has y or some derivative of y in each term.
Examples:
1)
I-2
Contoh
1. y'  x  sin x
d2y
dy
 y  e
dx
dx
d2y
dy
3.

x  0
dx
dx 2
d3y
dy
4

x
 ex
3
dx
dx
2. x

2
order 1 derajat 1
x
order 2 derajat 1
order 2 derajat 1
order 3 derajat 1
3
 d2y 
dy
5.  2   2
 0
dx
dx


order 2 derajat 3
Persamaan Differensial Order satu derajat satu.
Bentuknya :
M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy = 0 atau
P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0
I ( x , y ) dx + J ( x , y ) dy = 0
Persamaan Differensial ini dibagi atas :
Separable Equations
Persamaan differensial dari bentuk :
I-3
dinamakan separabel bila f(x,y) = h(x) g(y); that is,
Untuk penyelesaian dari persamaan ini dilakukan beberapa langkah ( steps )
yaitu :
(1) Untuk g(y) = 0 maka penyelesaian merupakan suatu konstante.
(2) Persamaan (S) ditulis sebagai :
,
Kemudiasn diintegralkan kedua ruas kiri dan kanan yaitu :
akan diperoleh
(3)
Konstante yang muncul pada ruas kiri dan kanan , cukup di tulis satu
kali saja
I-4
(4)
Bila pada persamaan diberikan syarat awal , maka substitusikan syarat
tersebut dalam persamaan pada step (3) maka akan diperoleh
konstante C
Example 1:
y2 dy + x3 dx = 0
Persamaan diatas sudah memenuhi bentuk umum sehingga langsung di
integralkan.
Example 2:
Pertama harus dilakukan pemisahan variabel seperti berikut :
atau dapat ditulis sebagai berikut :
I-5
Kemudian diintegralkan :
Example 3 :
Lakukan pemisahan variabel
Kemudian diintegralkan :
Misalkan
u = (1 + 4x2),
Sehingga du = 8x dx  du/8 = x dx
I-6
didapat penyelesaian umum adalah :
Example:
Find the particular solution of
Solution : Perform the following steps:
(1)
Untuk mencari penyelesaian konstante maka dicari penyelesaian dari
y2 – 1 = 0
diperoleh y = 1 dan y = -1
(2)
Persamaan ditulis dalam bentuk :
.
Kedua ruas kiri dan kanan di integralkan :
I-7
,
diperoleh
(3)
Penyelesaian dari persamaan adalah :
(4)
Karena penyelesaian konstante tidak memenuhi maka selanjutnya
substitusikan syarat y = 2 untuk x = 1 diperoleh :
.
Penyelesan akan menjadi
1  y - 1 
1  1
ln
 ln ( x )  ln  


2  y1
2  3
Kedua ruas dikalikan dengan 2 dan dengan operasi logaritma diperoleh :
 y-1 
3y - 3

  1 x2 
 x2
 y1
3
y1


Setelah di sederhanakan didapat :
I-8
Example:
Find all solutions to
.
Solution: First, we look for the constant solutions, that is, we look for the
roots of
This equation does not have real roots. Therefore, we do not have constant
solutions.
The next step will be to look for the non-constant solutions. We proceed by
separating the two variables to get
.
Then we integrate
Since
1
1
1
y2

y2
y 1
2
 1-
1
y 1
2
I-9
we get
Therefore, we have
Finally, because there are no constant solutions, all the solutions are given by
the implicit equation
Example: Solve the initial value problem
Answer: This is a separable equation. Indeed, we have
Before we get into integration we need to look for the constant solutions. These
are the roots of the equation
1 + y2
. Since this equation has no real roots,
we conclude that no-constant solution exists. Therefore, we proceed with the
separation of the two variables and integration. We have
,
I-10
which gives
Since
and
,
we get
The initial condition y(0)=1 gives
The particular solution to the initial value problem is
,
or in the explicit form
I-11
Soal-soal :
1. Selesaikan P.D : x dy + y dx = 0
gabungkan f(y) dengan dy dan
f(x) dengan dx
dy
dx

 0
y
x
Jawab.
ln y + ln x = c1 atau
dy
dx
2. Selesaikan P.D : x
xy = c
= y2 + 1
dy
dx

x
y 2 1
Jawab
arc tg y = ln x + c
3. Selesaikan P.D : y
Jawab.
dy
dx
 x2
y dy = x2 dx

½ y2 = 1/3 x3 + c
3 y2 – 2x3 = c
4. Selesaikan P.D :
Jawab.
dy
y2
dy
dx
 y2 ex
 e x dx ................. -
1
 e x  c1
y
I-12
1
y
5.
 e
x
 c
( xy2 + x ) dx + (yx2 + y ) dy = 0 dan cari
Selesaikan P.D :
penyelesaian
khusus bila y(1) = 2
Jawab.
x ( y2 + 1 ) dx + y ( x2 + 1 ) dy = 0
ydy
xdx

 0
x 2 1
y 2 1
½ ln ( x2 + 1 ) + ½ ln ( y2 + 1 ) = c1 atau
( x2 + 1 ) ( y 2 + 1 ) = c
untuk x = 1 dan y = 2 didapat
(12+1)(22+1) = c
c = 10 Jadi penyelesaian khusus :
( x2 + 1 ) ( y2 + 1 ) = 10
6. Selesaikan P.D : ( 1 + x2 ) dy + xy dx = 0
Jawab.
dy
y

xdx
 0
1 x 2
ln y + ½ ln ( 1+x2 ) = c1
atau y2 ( 1 + x2 ) = c
7. Selesaikan P.D : dx – x tg y dy = 0
I-13
dx
x
Jawab.
sin y
dy  0
cos y

ln x + ln cos y = ln c
atau
x cos y = c
8. Selesaikan P.D : dy = ( 4 x + y + 1 ) 2 dx
Jawab.
misalkan z = 4x + y + 1
dz
dx
dy
dx
 4 
atau
dz
 4  z2 ,
dx
dz
 dx
z2  4
arc tg (
WIMS Home
dy
dz

-4
dx
dx
dz  ( 4  z 2 ) dx
1
z
arc tg  x  c
2
2
4x  y  1
 2x+ c
2
References
Help
About
WIMS Help
Solucia

The general solution is :

Some solution curves :
I-14
Preferences
Size of the drawing :
small
average
big
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=F94AA1D95A.3&+lang=en&+module=tool/analysis
/solucia.en&+cmd=resume&+menu=expert
http://www.falstad.com/diffeq/
I-15
http://www.ies.co.jp/math/java/calc/DiffEqu/DiffEqu.html
http://cs.jsu.edu/mcis/faculty/leathrum/Mathlets/diffeq.html#applettop
I-16
Solving a Separable Ordinary Differential Equation
http://mss.math.vanderbilt.edu/cgi-bin/MSSAgent/~pscrooke/MSS/sepode.def
ODE:
x^2 - sin(x)
y*e^y + y
dx +
dy = 0
Solve
2
The ODE is:
(x
y
- sin(x))dx
The general solution is:
3
+
(y + e
y)dy
= 0.
3
2
x
y
y
-- + cos(x) + e (-1 + y) + -- = c.
2
I-17
I-18
I-19
I-20
I-21
Tangent Field of a First Order ODE: dy/dx = f(x,y)
http://mss.math.vanderbilt.edu/cgi-bin/MSSAgent/~pscrooke/MSS/tangentfield.def
x+y^2
ODE: dy/dx =
.
The tangent field is plotted over a rectangle in the xy-plane: [-a,a] x [-b,b].
Choose a:
1
b:
2
.
If you would like to see the graph of a particular solution for an IVP, enter an initial
condition.
x0:
y0:
0
0
Plot
2
The tangentfield of the ODE: dy/dx = y
+ x.
TERIMA KASIH
I-22