Apakah graf pada gambar di bawah mempunyai sirkuit Euler

i. Apakah graf pada gambar di bawah mempunyai sirkuit Euler? Jelaskan! Bila jawaban
saudara “Ya”, maka berikan sirkuit Euler tersebut.
ii. Tentukan dua lingkaran Hamilton berbeda pada Geraf B di bawah ini.
A
B
Penyelesaian 4.
i. Untuk mengetahui apakah graf A di atas memiliki sirkuit Euler, kita dapat
menggunakan suatu teorema yang menyatakan “Jika pseudograf G terhubung dan
derajat setiap titiknya mempunyai derajat genap, maka G mempunyai sebuah
sirkuit Euler” Untuk itu kita periksa bahwa A terhubung dan derajat setiap titiknya
genap. Pertama kita beri label setiap titik dan sisi pada graf A sebagai berikut:
A
Graf A terhubung karena terdapat sebuah lintasan dari titik x dan y jika diketahui
sembarang titik x dan y. Dan jika kita periksa sebagai berikut:
a ke b lintasannya (a, e1, b) ;
a ke c lintasannya (a, e1, b, e2, c) ;
a ke d
lintasannya (a, e12,d) ; a ke e lintasannya (a, e11, e) ; a ke f lintasannya (a, e11, e,
e10, f) ; b ke c lintasannya (b, e2, c) ; b ke d lintasannya (b, e4, d) ; b ke e lintasannya
(b, e4, d, e8,e) ; b ke f lintasannya (b, e6, f) ; c ke d lintasannya (c, e7, f, e9, d) ; c ke
e lintasannya (c, e5, e) ; c ke f lintasannya (c, e7, f) ; d ke e lintasannya (d, e8, e) ; d
ke f lintasannya (d, e9, f) ; e ke f lintasannya (e, e10, f) ; sehingga dengan demikian
A terhubung.
(a) = (b) = (c) = (d) = (e) = (f) = 4 ini artinya setiap setiap titik pada graf A
berderajat genap.
Karena derajat setiap titik adalah genap, menurut teorema tersebut di atas maka A
mempunyai sebuah sirkuit Euler.
Jadi graf A di atas mempunyai
Sirkuit Euler-nya, dan sirkuit
Euler-nya yaitu:
(c, a, b, f, c, e, a, d, e, f, d, b, c)
ii. Untuk menunjukan lingkaran Hamilton dalam sebuah graf B maka kita beri label
terlebih dahulu setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:
B
Berikut ini dua lingkaran Hamilton berbeda pada graf B :
(l, h, i, d, c, b, a, j, k, g, f, e, l)
dan
(i, h, g, f, e, l, b, a, j, k, c, d, i)
Soal 2.
Periksalah apakah kedua graf di bawah ini planar. Berikan alas an saudara!
(A)
(B)
Penyelesaian 5.
a) Untuk memeriksa graf A planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu
setiap titik pada graf A seperti yang tampak di bawah ini:
(A)
Dalam pemeriksaan apakah graf A planar atau tidak planar, dapat menggunakan
Teorema Kuratowski yang menyatakan, “Graf G merupakan planar jika dan
hanya jika G tidak mengandung suatu graf-K sebagai subgraf dari G”. Dalam
hal ini sebuah graf-K adalah graf yang didapat dari K5 atau K3,3 dengan melakukan
subdivisi pada sisinya. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf A planar
atau tidak planar kita akan mencoba menemukan K5 atau K3,3 pada graf A..
Pertama kali kita ingat bahwa titik a, c, d, e dan f pada graf A yang telah dilabeli
pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba
menemukan K5 dalam graf A, karena dalam K5 setiap titik mempunyai derajat 4,
sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:
1. Graf A kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:
2. K5 setiap titik mempunyai derajat 4, sehingga kita dapat menghapus sisi (d, h)
dan (g, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar dibawah
ini:
Hapus sisi (d, h) dan (g, h)
Reduksi
Seri
Gambar 5.1.
K5
3. Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri (Definisi: Jika sebuah graf G
mempunyai sebuah sisi v berderajat 2 dan sisi (v, v1) dan (v, v2) dengan v1  v2
kita katakana bahwa rusuk Reduksi seri
(v, v1) dan (v, v2) berada dalam seri.
Reduksi seri terdiri dari penghapusan sisi v graf G dan menggantikan sisi-sisi (v,
v1) dan (v, v2) dengan sisi (v1, v2). Graf yang dihasilkan G’ dikatakan diperoleh
dari G dengan sebuah reduksi seri. Berdasarkan konvensi, G dikatakan dapat
diperoleh dari diri sendiri dengan sebuah reduksi seri) dan graf yang dihasilkan
akan mempunyai sepuluh sisi dan karena K5 mempunyai sepuluh sisi, pendekatan
ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika
kita kurangi sisi (d, h) dan (g, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh sebuah
salinan dari K5 seperti tampak pada Gambar 5.1. di atas.
Jadi, graf A pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut
mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K5.
b) Untuk memeriksa graf B planar atau tidak planar maka kita beri label terlebih dahulu
setiap titik pada graf B seperti yang tampak di bawah ini:
(B)
Dalam pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak planar, dapat menggunakan sama
halnya seperti apa yang dilakukan pada graf A tadi di atas menggunakan Teorema
Kuratowski. Artinya dalam persoalan pemeriksaan apakah graf B planar atau tidak
planar kita akan mencoba menemukan K5 atau K3,3 pada graf B.
Pertama kali kita ingat bahwa titik a, b, d, c dan d pada graf B yang telah dilabeli
pada gambar di atas, masing – masing mempunyai derajat 4. Untuk itu kita coba
menemukan K3,3 dalam graf B, karena dalam K3,3 setiap titik mempunyai derajat 3,
sehingga kita akan melakukannya sebagai berikut:
1. Graf B kita dapat membentuknya seperti tampak dibawah ini:
(B)
2. K3,3 setiap titik mempunyai derajat 3, sehingga kita dapat menghapus sisi (c, h),
(e, h) dan (i, h) agar semua sisi mempunyai derajat 4, tampak pada gambar
dibawah ini:
Hapus sisi
(c, h), (e, h)
dan (i, h)
Reduksi
Seri
K3,3
Gambar 5.2.
3. Selanjutnya kita dapat melakukan reduksi seri sehingga graf yang dihasilkan akan
mempunyai sembilan sisi dan karena K3,3 mempunyai sembilan sisi, pendekatan
ini kelihatan dapat menjanjikan. Dengan coba-coba, akhirnya kita lihat bahwa jika
kita kurangi sisi (c, h), (e, h) dan (i, h) dan kita lakukan reduksi seri, kita peroleh
sebuah salinan dari K3,3 seperti tampak pada Gambar 5.2. di atas.
Jadi, graf B pada soal 5. ini tidak planar, karena graf tersebut
mengandung sebuah subgraf yang homeomorfik pada K3,3.