C. Integral Tertentu

h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
4. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (2, 8) dan memiliki
persamaan gradien garis singgung
dy
dx
§
©
2¨x Bobot soal: 10
.d o
1 ·
¸.
x2 ¹
5. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, 2) dan gradien
garis singgung pada sebarang titiknya adalah setengah koordinat-y.
Bobot soal: 10
C. Integral Tertentu
C. 1. Memahami Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah
Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah
grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang
batas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah
aktivitas berikut.
A
ktivitas di
K
elas
1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya f(x)
9 x2 pada interval >0, 3@ .
2. Bagi selang menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing 'x titik x0 0 x1 x2 … xn 1 xn 3.
Buat persegi panjang-persegi panjang yang alasnya 'x dan tingginya f(xi). Tentukan pula
luas setiap persegi panjang tersebut!
Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut!
Dengan memilih 'x sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah limit jumlah dari
hasil pada langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan menunjukkan luas daerah yang dibatasi
kurva f(x) 9 x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3.
Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan teman-temanmu!
3.
4.
5.
6.
Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan
luasnya.
Setelah membagi interval >0, 3@ menjadi n selang bagian yang lebarnya
masing-masing 'x
x0
0
x1
'x
x2
2'x
6
n
x3
3'x
9
n
#
#
#
i'x
3i
n
xi
3
, memakai titikn
y
9
f(x)
9 x2
3
, kalian memperoleh:
n
3
n
Bab 1 Integral
'x
x0 O
x1
x3
3
x
Gambar 1.2
Daerah yang dibagi
menjadi n selang bagian
13
m
o
.c
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
§
§ 3i ·
¨¨ 9 ¨ ¸
©n¹
©
3
§ 3i ·
f¨ ¸ u
n
n
© ¹
f (xi ) 'x
· 3
¸¸ u
¹ n
2
w
.d o
27 ·
§ 27
3 i2 ¸
¨
n
n
©
¹
Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut.
L
f(x1)'x f(x2)'x . . . f(xn)'x
……(*)
§ 27 27 2 · § 27 27 2 · §
·
1 ¸ ¨
2 ¸ " ¨ 27 273 n2 ¸
¨
n3 ¹ © n
n3 ¹
n
© n
© n
¹
n. 27 3 12 2 2 ... n2
n
n
27 27 ª n n 1 2 n 1 º
»
6
n 3 ¬«
¼
9§
3
1
2 ¸·
¨2 2©
n
n ¹
27 18 9§ 3
1
2 ¸·
¨
2© n
n ¹
Dengan memilih 'x o 0 maka n of, sehingga akan diperoleh luas daerah
yang dibatasi kurva f(x) 9 x2, sumbu-x, garis x 0, dan x 3 sebagai
berikut.
L(R)
9 3 1 ·
§
lim ¨ 18 §¨ 2 ·¸ ¸
nof
2 © n n ¹¹
©
18
Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut.
L(Rn)
f(x1)'x f(x2)'x … f(xn)'x
Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan
tersebut sebagai berikut.
n
¦ f (x )'x
L(Rn )
i
i 1
Jika 'x o 0, maka akan diperoleh
L(Rn )
n
lim ¦ f ( xi )'x
'x o 0
i 1
Dengan mengambil batas daerah x1 a dan x2 b, maka bentuk di atas
merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai
L
b
³ f ( x ) dx
a
3
Sehingga diperoleh
2
³ (9 x ) dx
0
3
1 º
9x x 3 »
3 ¼0
27 9
Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka
18.
b
³ f ( x ) dx
adalah integral
a
tertentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai
berikut.
b
³ f (x ) dx > f x @
dengan:
f(x) fungsi integran
a
batas bawah
b
batas atas
a
b
a
F b F a 14
14
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
m
Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:
o
.c
lic
k
c u -tr a c k
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
lic
k
c u -tr a c k
w
.d o
a
adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya
adalah fungsi.
Asah Kompetensi
2
Gambarlah daerah dari integral tertentu berikut. Kemudian, hitunglah integral tersebut!
1
1.
³
5x dx
4.
0
1
2.
³
3.
³
³
sin x dx
0
3
( x 1) dx
5.
2
3
S
2
³
S
2
x dx
6.
0
x dx
3
³
cos 2 x dx
0
Sahabat Kita
Siapakah orang yang pertama kali menemukan integral tertentu? Dia
adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan
asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann menjelaskan
integral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihitungnya
menggunakan poligon dalam dan poligon luar. Untuk mengenang
jasanya, integral tertentu tersebut dinamakan integral Riemann.
Riemann meninggal pada tahun 1866.
Sumber: Calculus and Geometry Analitic
Sumber:
http://www-groups.dcs.stand.ac.uk
Gambar 1.3 Riemann
C. 2. Teorema Dasar Kalkulus
Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu
teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.
Jika f kontinu pada interval >a, b@ dan andaikan F sembarang
antiturunan dari f pada interval tersebut, maka
b
³
f ( x ) dx
F(b) F(a).
a
Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian
menggunakan teorema-teorema berikut.
Bab 1 Integral
15
m
³ f ( x ) dx
o
b
C
m
.c
Sehingga
kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
w
Kelinearan
Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta,
maka
b
b
³
a.
k ³ f ( x ) dx
kf ( x ) dx
a
a
b
³
b.
( f ( x ) g( x )) dx
a
b
c.
³
b
³
f ( x ) dx a
b
³
³ g(x ) dx
a
a
( f ( x ) g( x )) dx
b
b
³ g(x ) dx
f ( x ) dx a
a
Teorema 2
Perubahan batas
Jika f terintegralkan pada interval [a, b] maka:
a
³
a.
0
f ( x ) dx
a
³
b.
a
b
³ f (x) dx
f ( x ) dx
b
a
Teorema 3
Teorema penambahan interval
Jika f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c,
maka
c
³
b
f ( x ) dx
a
³
a
c
f ( x ) dx ³ f ( x ) dx
b
Teorema 4
Kesimetrian
a
a. Jika f fungsi genap, maka
³
a
2 ³ f ( x ) dx
f ( x ) dx
a
a
b. Jika f fungsi ganjil, maka
³ f ( x ) dx
0
0
a
16
16
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
.d o
m
Teorema 1
o
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
lic
k
to
c u -tr a c k
.d o
Pembuktian Teorema 1a
1a. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka
b
b
³ kf ( x) dx >kF( x )@a
a
kF(b) kF(a)
k(F(b) F(a))
b
k ³ f ( x ) dx
a
Jadi,
b
b
³ kf ( x ) dx
k ³ f ( x ) dx
a
a
Pembuktian Teorema 1b dan 1c
1b. Jika F(x) dan G(x) masing-masing sembarang antiturunan dari
f(x) dan g(x), maka
b
³
>F(x ) r
( f ( x ) r g( x )) dx
a
G( x )@a
b
(F(b) r G(b)) (F(a) r G(a))
(F(b) r F(a)) (G(b) r G(a))
b
b
³ f (x ) dx r ³ g(x ) dx
a
b
Jadi,
³
a
( f ( x ) g( x )) dx
a
b
³
a
b
f ( x ) dx ³ g( x ) dx .
a
Pembuktian Teorema 2b 1
2b. Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka
b
³
f ( x ) dx
a
b
¬ªF x ¼º a
F(b) F(a)
(F(a) F(b))
a
³ f ( x ) dx
b
b
Jadi,
³
a
Bab 1 Integral
a
f (x) dx
³ f ( x) dx .
b
17
o
w
m
C
m
Akan
dibuktikan teorema 1a dan 1c, teorema 2b, dan teorema 3.
.c
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
w
Jika F(x) sembarang antiturunan dari f(x), maka
c
³ f ( x) dx
[ F ( x)]ca
a
F(c) F(a)
(F(c) F(b)) (F(b) F(a))
c
³
b
b
f ( x ) dx ³ f ( x ) dx
a
c
³
Jadi,
c
b
b
c
b
a
a
b
³ f ( x ) dx ³ f ( x ) dx ³ f ( x ) dx ³ f ( x ) dx .
f ( x ) dx
a
Contoh
S
6
³ (sin 3x cos x ) dx .
1. Hitunglah
0
Jawab:
S
6
S
6
S
6
0
0
0
³ sin 3x cos x dx ³ sin 3x dx ³ cos x dx
(Teorema 1b)
S
S
ª 1
º6
« cos 3x » >sin x @06
¬ 3
¼0
S
S
1§
· §
·
¨ cos cos 0 ¸ ¨ sin sin 0 ¸
3©
2
6
¹ ©
¹
Jadi,
5
6
S
6
1
1
˜ 1 3
2
³ (sin 3x cos x ) dx
0
2. Tentukan
1
³x
2
5
.
6
dx .
1
Jawab:
Oleh karena untuk f(x) x2, berlaku f(x) f(x), maka f(x)
merupakan fungsi genap.
Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh:
1
³
1
x 2 dx
x2
1
2 ³ x 2 dx
0
1
1
2 ª« x 3 º»
¬ 3 ¼0
18
18
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
.d o
m
Pembuktian Teorema 3 1
o
.c
C
m
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
2
(13 03)
3
1
³x
Jadi,
2
.d o
2
3
2
.
3
dx
1
4
3. Tentukanlah
³ f ( x ) dx
jika fungsi f didefinisikan sebagai
0
­ x 2, jika 0 d x 2
® 1 , jika x t 2
¯
f(x)
Jawab:
2
4
³
f ( x ) dx
³
0
0
4
f ( x ) dx ³ f ( x ) dx
(Teorema 3)
2
2
4
³ (x 2) dx ³ 1 dx
0
2
2
1 2
4
x 2x x 2
2
0
1
ª 1 2
«( ˜ 2 2 ˜ 2) ( ˜ 0 2 2 ˜ 0)º» >4 2 @
2
¬ 2
¼
242
8
4
³ f ( x ) dx
Jadi,
8.
0
Asah Kompetensi
3
1. Tentukanlah integral tertentu berikut ini!
5
a.
³ 2x dx
e.
1
b.
S
2
³
(4 x 3 cos x ) dx
100
d.
³
0
f.
0
c.
1
³
2S
x 5 dx
³ (2 x
0
Bab 1 Integral
³ 3x
2
5x
0
g.
100
2
5
x2 7 x 6
x1
³
(cos x sin x ) dx
S
1) dx
3
h.
S
6
³ cos(3x 0
3
S ) dx
4
19
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
h a n g e Vi
e
w
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
2. Dari fungsi f(x) berikut, hitunglah
³
w
f ( x ) dx
0
a.
f x ­ x 2, jika 0 d x 2
® 6 x , jika 2 d x d 5
¯
b.
f x ­ 4 x 2 , jika 3 d x 4
®
, jika 4 d x d 10
¯ 2
c.
f x ­ 9 x 2 , jika 0 d x d 3
®
, jika x t 3
¯ 5x
2
ASAH KEMAMPUAN
Waktu : 60 menit
1. Tentukanlah integral tertentu berikut!
a.
2
³ 4t 6t dt
e.
2
1
8
b.
³ (x
1
3
4
³
4
3
x ) dx
f.
d.
³
1
S
4
³ (sin
S
(2 x 1) x x 2 dx
g.
1
dt
(t 2)2
1
³
2. Jika
f ( x ) dx
x 3 1 dx
2
3
2 x cos 2 x ) dx
0
0
3
0
³ 3x
1
1
c.
Bobot soal: 80
h.
³
1 cos x dx
S
2
S
4
³ tan
4
x dx
0
4 dan
0
1
³ g( x ) dx
2 , hitunglah integral-integral
Bobot soal: 10
0
berikut!
a.
b.
1
1
³
3 f ( x ) dx
0
1
³ ( f ( x ) g( x )) dx
0
c.
d.
³ (2 g(x ) 3 f ( x )) dx
e.
³ (2 f (x ) 3x
0
0
2
) dx
1
1
³ (3 f ( x ) 2 g( x ) 2) dx
0
20
20
Matematika Aplikasi SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
.d o
o
.c
m
C
m
5
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
XC
er
O
W
F-
w
PD
h a n g e Vi
e
!
XC
er
PD
F-
c u -tr a c k
.c
y
o
c u -tr a c k
.c
3. Diketahui f merupakan fungsi ganjil dan g merupakan fungsi genap
1
dengan
³
1
f ( x ) dx
0
a.
.d o
Bobot soal: 10
³ g( x ) dx
3 . Tentukanlah integral-integral berikut!
0
1
³
f ( x ) dx
1
1
b.
³
g( x ) dx
1
1
c.
³
f ( x ) dx
1
D. Menentukan Luas Daerah
D. 1.
Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x
Pada subbab c kalian telah mengetahui bahwa luas merupakan limit
suatu jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu.
Pada subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luas
daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva.
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y f(x), sumbu-x, garis
x a, dan garis x b, dengan f(x) t 0 pada [a, b], maka luas daerah R
adalah sebagai berikut.
L(R)
b
³ f ( x )dx
a
y
y = f(x)
L(R)R
O
a
b
x
Gambar 1.4
Luas daerah di atas sumbu-x
Bab 1 Integral
21
m
o
w
w
w
.d o
C
lic
k
to
bu
y
bu
to
k
lic
C
w
w
w
N
O
W
!
h a n g e Vi
e
N
PD
!
XC
er
O
W
F-
w
m
h a n g e Vi
e
w
PD
XC
er
F-
c u -tr a c k
.c