Deret TAYLOR

11/18/2013
Deret TAYLOR
BDA
2013
MATERI KULIAH KALKULUS
TEP&– RYN,
FTP – UB
- 2012
Mengapa Deret Taylor?
• Karena sebagian besar persamaan matematika terapan berbasis
pada deret Taylor.
• Contoh:
Persamaan : y = 2x4 – 2x + 4
Berapakah nilai x pada y = 5
Maka dengan memasukkan nilai y = 5
kita dapatkan persamaan 2x4 – 2x – 1 = 0
Jika kita mencari dengan akar persamaan akan sulit.
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
1
11/18/2013
Pengantar Deret Taylor
Kita memiliki data hasil penelitian seperti pada gambar di bawah
y
y=?
y = f(x)
Dengan regresi?
Error yang dihasilkan bisa
besar  R2 << 1
Untuk menghubungkan data  fungsi polinom
Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an xn
x
xa
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Manfaat Taylor: Bisa memprediksi nilai y di sekitar x yang nilainya
sudah di ketahui
y
x
x
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
2
11/18/2013
Persamaan Deret Taylor 1 Variabel
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑜 + 𝑓 ′ 𝑥𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 +
Orde 0
𝑓′′′ 𝑥𝑜
+
3!
𝑓′′ 𝑥𝑜
2!
𝑥 − 𝑥𝑜
2
Orde 1
𝑥 − 𝑥𝑜
3
𝑓 𝑛 𝑥𝑜
+ ⋯+
𝑛!
𝑥 − 𝑥𝑜
𝑛
Orde n
Kita mencari nilai y berbasis pada nilai x0, dimana acuan x0 di cari
yang terdekat
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Pembuktian Deret Taylor
y = f(x) = 2x4 – 2x + 4
Cari y pada x = 0.5
Maka dengan cara biasa y = f(0.5) = 2(0.5)4 – 2(0.5) + 4 = 3.125
Perhitungan y(0.5) dengan deret Taylor.
Basis perhitungan pada x = 0
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
3
11/18/2013
• y = f(x) = 2x4 – 2x + 4
• f(0) = 0 – 0 + 4 = 4
• f‘(0) = 8x3 – 2 = - 2
• fii(0) = 24 x2 = 0
• fiii(0) = 48 x = 0
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑜 + 𝑓 ′ 𝑥𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 +
= 4 + (-2)0.5 + 0 + 0 +
0.5
24
4
𝑓′′ 𝑥𝑜
2!
𝑥 − 𝑥𝑜
2
. . .
(48)= 3.125
Kesimpulan: dengan Deret Taylor kita bisa
menentukan nilai x
• fiv (0) = 48
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
APLIKASI DERET TAYLOR
• Deret Taylor digunakan untuk Tujuan Khusus
• Contoh : Newton Raphson
• Newton Raphson menggunakan Deret Taylor untuk menemukan
akar persamaan kompleks.
• Newton Raphson mengambil Persamaan Deret Taylor hanya
sampai orde 1 saja.
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑜 + 𝑓 ′ 𝑥𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
4
11/18/2013
Akar persamaan : nilai-nilai variabel bebas yang memenuhi nilai pada
nilai variabel-variabel terikat tertentu.
Akar persamaan bisa lebih dari 1
Memiliki 3 akar persamaan
pada y = 0
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Misal xo adalah akar persamaan f(x), maka dapat ditulis
0 = 𝑓 𝑥𝑜 + 𝑓 ′ 𝑥𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜
Jika ℎ = 𝑥 − 𝑥𝑜 maka
ℎ = 𝑥 − 𝑥𝑜 = −
𝑥 = 𝑥0 −
𝑓 𝑥0
𝑓′ 𝑥0
𝑓 𝑥0
𝑓′ 𝑥0
Formula Rahpson
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
5
11/18/2013
APLIKASI Formula Rahpson:
Iterasi 1  𝑥1 = 𝑥0 −
Iterasi 2  𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓(𝑥0 )
𝑓′ (𝑥0 )
𝑓 𝑥1
𝑓′ 𝑥1
Iterasi n  𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 −
𝑓(𝑥𝑛−1 )
𝑓′ (𝑥𝑛−1 )
Syarat 𝑓 ′ 𝑥0 ≠ 0 atau 
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
CONTOH:
Cari nilai x yang memenuhi y = 5 pada
Iterasi 1:
persamaan
𝑓 𝑥
2 0
𝑥1 = 𝑥0 − ′ 0 = 0 −
4
𝑓
𝑥
0
y(x) = 2x – 2x + 4 = 5
2x4 – 2x – 1 = 0
𝑓 ′ 𝑥0 = 8𝑥 3 − 2 = 8.0 − 2
=-2
𝑓 ′ 𝑥0 ≠ 0 atau 
Iterasi 2:
𝑥2 = 𝑥1 −
2 −2
−2
0 −1
=−
1
2
𝑓 𝑥1
𝑓 ′ 𝑥1
1 2
1
2
−2 2 −1
1
2
=− −
3
2
8 −1 2 − 2
= −0.456552637
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
6
11/18/2013
Untuk 2 Variabel
Formula deret Taylor 2 variabel yang ditulis sampai orde 1
𝜕𝑔1
𝜕𝑔1
𝑔1 𝑥, 𝑦 = 𝑔1 𝑥0 , 𝑦0 +
ℎ+
𝑘
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑔2
𝑔2 𝑥, 𝑦 = 𝑔2 𝑥0 , 𝑦0 +
𝜕𝑥
ℎ+
𝜕𝑔2
𝜕𝑦
𝑘
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ
𝑦1 = 𝑦0 + 𝑘
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
Misal x0 dan y0 akar persamaan maka dapat dituliskan sebagai
berikut:
𝑔1 𝑥0 , 𝑦0 +
𝜕𝑔1
𝜕𝑥
𝜕𝑔1
𝜕𝑥 𝑥0 ,𝑦0
𝑔2 𝑥0 , 𝑦0 +
ℎ+
𝜕𝑔2
𝜕𝑥
𝜕𝑔2
𝜕𝑥 𝑥0 ,𝑦0
ℎ+
𝜕𝑦
𝑘=0
𝜕𝑔1
𝜕𝑦 𝑥 ,𝑦
0 0
ℎ+
ℎ+
𝜕𝑔1
𝜕𝑔2
𝜕𝑦
𝑘 = −𝑔1 𝑥0 , 𝑦0
𝑘=0
𝜕𝑔2
𝜕𝑦 𝑥 ,𝑦
0 0
𝑘 = −𝑔2 𝑥0 , 𝑦0
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
7
11/18/2013
Formula tsb digunakan untuk untuk mencari h dan k, kemudian
digunakan untuk menghitung x1 dan y1, x0 dan y0 harus ditentukan
memenuhi syarat yang ada
CONTOH:
Tentukan titik potong 2 fungsi berikut:
x2 + y2 = 16
x2 – y2 = 4
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
x0,y0 x2 + y2 = 16
x2 + y2 = 16
x=y
Untuk x = y
x2 + x2 = 16
x12 =  2 2; y12 =  2 2
x2 - y2 = 4
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
8
11/18/2013
Persamaan 1: x2 + y2 = 16
𝜕𝑔1
= 2𝑥0 + 0 − 0 = 2 2 2 = 4 2
𝜕𝑥 𝑥 ,𝑦
𝜕𝑔1
𝜕𝑦
0
0
= 0 + 2𝑦0 − 0 = 2 2 2 = 4 2
𝑥0 ,𝑦0
Persamaan 2: x2 – y2 = 4
𝜕𝑔1
= 2𝑥0 − 0 − 0 = 2 2 2 = 4 2
𝜕𝑥 𝑥 ,𝑦
𝜕𝑔1
𝜕𝑦
0
0
= 0 − 2𝑦0 − 0 = 2 2 2 = −4 2
𝑥0 ,𝑦0
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
𝑔1 𝑥0 , 𝑦0 = 2 2
𝑔1 𝑥0 , 𝑦0 = 2 2
Dari persamaan
𝜕𝑔1
𝜕𝑥 𝑥0 ,𝑦0
ℎ+
2
2
+ 2 2
− 2 2
𝜕𝑔1
𝜕𝑦 𝑥 ,𝑦
0 0
2
2
− 16 = 0
− 4 = −4
𝑘 = −𝑔1 𝑥0 , 𝑦0
4 2 ℎ+ 4 2 𝑘 =0
4 2 ℎ− 4 2 𝑘 =4
h=
4
, cari k, lanjutkan untuk x1 dan y1
8 2
MATERI KULIAH KALKULUS TEP – FTP – UB - 2012
9