barisan fibonacci dan bilangan phi

Matematikawan
terbesar
pada abad pertengahan adalah
Leonardo dari Pisa, Italia (1180 –
1250). Ia lebih dikenal dengan
nama Fibo-nacci. Artinya, “anak
Bonaccio”. Menara Pisa yang
terkenal
sampai
sekarang
dibangun pada masa hidupnya,
tetapi
ia
belum
sempat
mengagumi kemegahannya.
Fibonacci
awal bulan
ke-
1
Meskipun Leonardo lahir di
Pisa, tetapi ia lebih banyak
menyerap ilmu pengetahuan dari
orang-orang Timur, karena ia
ikut ayahnya yang bekerja di
Aljazair.
Dialah salah seorang yang telah berjasa memperkenalkan
angka Hindu-Arab dengan sistem desimal dan angka nolnya,
meskipun pada saai tu banyak ditentang.
Ia menulis sebuah buku Aljabar, Liber Abaci (Buku tentang
Abacus), yang sebenarnya merupakan buku pegangan bagi
pedagang dalam aritmetika dan aljabar. Buku yang
diselesaikannya pada tahun 1202 itu memuat masalah
sebagai berikut:
Misalkan pertumbuhan jumlah kelinci mengikuti keadaan sebagai berikut.
Sepasang kelincui menjadi dewasa dalam waktu satu bulan, dan setiap
bulan berikutnya berturut-turut setiap bulan melahirkan sepasang anak
kelinci, jantan dan betina. Bila tidak ada kelinci yang mati, bagaimanakah
perkembangan jumlah pasangan kelinci itu pada setiap awal bulan?
Situasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram sebagai
berikut:
1
Tambah
Jumlah
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI
1
2
+0
1
3
+1
2
4
+1
3
5
+2
5
6
+3
8
7
+5 13
8
+8 21
Terlihat, bahwa banyaknya pasangan kelinci pada setiap
awal bulan berturut-turut adalah:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ................................... (1)
Barisan di atas disebut barisan Fibonacci. Dimulai dari
suku ketiganya, setiap suku barisan itu dapat diperoleh dari
menjumlahkan dua suku tepat sebelumnya. Jika suku-suku
barisan Fibonacci dilambangkan dengan Fn, maka diperoleh
bentuk umum:
Fn+2 = Fn+1 + Fn ;
F1 = 1 dan F2 = 1. .......... (2)
Fibonacci sendiri tidak banyak menyelidiki lebih lanjut
tentang barisan dari masalah yang dikemukakannya itu. Ia
juga tidak memberi nama barisannya sebagai Barisan
Fibonacci. Nama itu Barisan Fibonacci baru muncul pada
abad ke-19 dan diperkenalkan oleh Lucas, seorang
matematikawan Perancis. Lucas mengembangkan barisan
semacam atau yang mempunyai sifat seperti Barisan
Fibonacci, yang selanjutnya disebut Barisan Lucas, yaitu:
1, 3, 4, 7, 11, 18, ................................. (3)
2
L3 = F2 + F4, yaitu: 4 = 1 + 3
L4 = F3 + F5, yaitu: 7 = 2 + 5
L5 = F4 + F6, yaitu: 11 = 3 + 8
Sifat dasarnya sama dengan Barisan Fibonacci. Yang
berbeeda suku keduanya. Jika suku ke-n Barisan Lucas
dapat dilambangkan dengan Ln maka:
L1 = 1 dan L2 = 3. .......... (4)
Ln+2 = Ln+1 + Ln ;
M
L49 = F48 + F50, yaitu:
17393796001 = 4807526976 + 12586269025
Hubungan Barisan Fibonacci dan Barisan Lucas
Limapuluh suku pertama Barisan Fibonacci dan Barisan
Lucas adalah sebagai berikut:
Tabel 1. Limapuluh suku pertama
Barisan Fibonacci dan Barisan Lucas
F1
1 L1
1
F2
1 L2
3
F3
2 L3
4
F4
3 L4
7
F5
5 L5
11
F6
18
8 L6
F7
L
13
29
7
F8
21 L8
47
F9
34 L9
76
F10
55 L10
123
F11
89 L11
199
F12
144 L12
322
F13
233 L13
521
F14
377 L14
843
F15
610 L15 1364
F16
987 L16 2207
F17 1597 L17 3571
F18 2584 L18 5778
F19 4181 L19 9349
F20 6765 L20 15127
F21 10946 L21 24476
F22 17711 L22 39603
F23 28657 L23 64079
F24 46368 L24 10368
F25 75025 L25 16776
Dari tabel di atas terlihat
F26
121393 L26
F27
196418 L27
F28
317811 L28
F29
514229 L29
F30
832040 L30
F31
1346269 L31
F32
2178309 L32
F33
3524578 L33
F34
5702887 L34
F35
9227465 L35
F36
14930352 L36
F37
24157817 L37
F38
39088169 L38
F39
63245986 L39
F40 102334155 L40
F41 165580141 L41
F42 267914296 L42
F43 433494437 L43
F44 701408733 L44
F45 1134903170 L45
F46 1836311903 L46
F47 2971215073 L47
F48 4807526976 L48
F49 7778742049 L49
F50 1258626902 L50
di antaranya bahwa:
Dapat diduga bahwa: Ln = Fn–1 + Fn+1 ..................... (5)
Diperoleh juga bahwa untuk n ≥ 3,
271443
439204
710647
1149851
1860498
3010349
4870847
7881196
12752043
20633239
33385282
54018521
87403803
141422324
228826127
370248451
599074578
969323029
1568397607
2537720636
4106118243
6643838879
1074995712
2
1739379600
2814375312
L2= F1 + F3, yaitu: 3 = 1 + 2
3
F3 ×
F4 ×
F5 ×
F6 ×
F7 ×
F8 ×
L3 =
L4 =
L5 =
L6 =
L7 =
L8 =
F6, yaitu:
F8, yaitu:
F10, yaitu:
F12, yaitu:
F14, yaitu:
F16, yaitu:
2×4=8
3 × 7 = 21
5 × 11 = 55
8 × 18 = 144
13 × 29 = 377
21 × 47 = 987
M
F25 × L25 = F16, yaitu:
75025 × 167761 = 12586269025
Dapat diduga bahwa, untuk n ≥ 3 berlaku hubungan:
Fn × Ln = F2n, ................................................... (6)
Persamaan Diophantus (yaitu persamaan yang hanya
memperhatikan
bilangan
rasional
positif
sebagai
jawabannya) dengan bentuk 5x2 + 4 = y2 ternyata
penyelesaiannya adalah bilangan-bilangan bulat hanya
apabila x dan y adalah Bilangan Fibonacci dan y adalah
Bilangan Lucas dengan nomor suku yang sama.
Misalnya untuk
n = 1, maka x = 1 dan y = 1
n = 2, maka x = 1 dan y = 3
n = 3, maka x = 2 dan y = 4
Bila dipilih satu di antara + 4 atau – 4, akan dipenuhi
hubungan:
5Fn2 + 4 = Ln2 ................................................... (7)
Perhatikan contoh berikut:
n = 1, 5F12 – 4 = L12 , yaitu 5 × 1 – 4 = 12
n = 2, 5F22 + 4 = L22 , yaitu 5 × 1 +4 = 32
n = 3, 5F32 – 4 = L32 , yaitu 5 × 22 – 4 = 42
4
n = 4, 5F42 + 4 = L42 , yaitu 5 × 32 + 4 = 72
n = 5, 5F52 – 4 = L52 , yaitu 5 × 52 – 4 = 112
n = 6, 5F62 + 4 = L62 , yaitu 5 × 82 + 4 = 182
M
n = 49, 5F492 – 4 = L492 , yaitu 5 × 77787420492 – 4
5 × 60508827864880718401 – 4
= 302544139324403592005 – 4
= 302544139324403592001
= 173937960012
n = 50, 5F502 + 4 = L502 , yaitu 5 × 125862690252 + 4
5 × 158414167969674450625 + 4
= 792070839848372253125 + 4
= 792070839848372253129
= 281437531232
Dengan kata lain, kuadrat sebuah suku Barisan Bilangan
Lucas dikurangi 4 (jika nomor sukunya ganjil ) atau
ditambah 4 (jika nomor sukunya genap), besarnya adalah
lima kali kuadrat suku Barisan Bilangan Fibonacci pada
nomor baris yang sama.
Ternyata juga bahwa hanya 1 dan 3 saja bilangan-bilangan
yang merupakan suku persekutuan antara kedua barisan.
Barisan Fibonacci dan Bilangan Keemasan
Dari suku-suku Barisan Fibonacci pada Tabel 1 diperoleh
pula hasil bagi dua suku berurutan seperti pada Tabel 2
sebagai berikut.
Fn
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
Fn : Fn–1
Fn : Fn+1
1
1.000000000
1 1.000000000 0.500000000
2 2.000000000 0.666666667
3 1.500000000 0.600000000
5 1.666666667 0.625000000
8 1.600000000 0.615384615
13 1.625000000 0.619047619
21 1.615384615 0.617647059
34 1.619047619 0.618181818
55 1.617647059 0.617977528
Fn
F21
F22
F23
F24
F25
F26
F27
F28
F29
F30
10946
17711
28657
46368
75025
121393
196418
317811
514229
832040
Fn : Fn–1
1.618033999
1.618033985
1.618033990
1.618033988
1.618033989
1.618033989
1.618033989
1.618033989
1.618033989
1.618033989
89 1.618181818 0.618055556 F31
1346269 1.618033989 0.618033989
144 1.617977528 0.618025751 F32
2178309 1.618033989 0.618033989
233 1.618055556 0.618037135 F33
3524578 1.618033989 0.618033989
377 1.618025751 0.618032787 F34
5702887 1.618033989 0.618033989
610 1.618037135 0.618034448 F35
9227465 1.618033989 0.618033989
987 1.618032787 0.618033813 F36 14930352 1.618033989 0.618033989
1597 1.618034448 0.618034056 F37 24157817 1.618033989 0.618033989
2584 1.618033813 0.618033963 F38 39088169 1.618033989 0.618033989
4181 1.618034056 0.618033999 F39 63245986 1.618033989 0.618033989
6765 1.618033963 0.618033985 F40 102334155 1.618033989 0.618033989
Terlihat bahwa untuk setiap n yang semakin besar
nilai Fn : Fn–1 untuk n yang berurutan selalu naik dan turun
secara bergantian dan semakin mendekati atau sama
dengan1,618033989, nilai pendekatan sampai dengan
delapan
tempat
desimal
dari
1,6180339887498948482045868343656... Sebaliknya nilai Fn
: Fn+1 yang nilainya juga bergantian naik dan turun, semakin
mendekati atau sama dengan 0,618033989, nilai pendekatan
sampai
dengan
8
tempat
desimal
dari
bilangan
0,6180339887498948482045868343656. Untuk setiap nilai n
ganjil dan semakin besar, nilai Fn : Fn–1 dan Fn : Fn+1
cenderung turun mendekati
nilai batasnya dari atas,
sedangkan untuk setiap nilai n genap, nilai Fn : Fn–1 dan Fn :
Fn+1 cenderung naik mendekati nilai batasnya dari bawah.
Kedua nilai batas tersebut selisihnya adalah 1.
Bilangan 1,6180339887498948482045868343656...
dikenal sebagai bilangan keemasan. Bilangan itu
dilambangkan dengan Φ (phi).
Jadi Φ = 1,6180339887498948482045868343656...
F11
F12
F13
F14
F15
F16
F17
F18
F19
F20
Fn : Fn+1
0.618033990
0.618033988
0.618033989
0.618033989
0.618033989
0.618033989
0.618033989
0.618033989
0.618033989
0.618033989
5
Rumus Umum Suku ke-n Barisan Fibonacci.
Untuk menentukan rumus suku ke-n Barisan Fibonacci,
berikut ini disampaikan penjabaran menurut Binet.
Jika diperhatikan nilai perbandingan antara sukusukunya yang berurutan, tampak adanya faktor yang
mempengaruhi besar nilai sebuah suku, yaitu oleh bilangan
yang diperoleh dari hasil bagi dua suku yang dikenal sebagai
Φ tersebut di atas. Barisan yang setiap hasil bagi un : un–1
6
merupakan konstanta adalah barisan geometri dengan suku
umumnya adalah un = arn–1.
Dari (10) dan (11) diperoleh A =
Untuk menentukan rumus umum barisan Fibonacci
kita berasumsi bahwa Fn merupakan suatu fungsi suatu
variabel, misalnya x, yang berderajat n, sehingga:
Fn = Cxn
n
1  1 + 5 
1
Fn =
−


5  2 
5
.....................................................
5
1
5
, sehingga
n
2n 5
5
dan B = –
1 − 5 

 atau
 2 


1 (1 + 5 )n − (1 − 5 )n
Fn =
(8)
1
........................... (12)
Daaari (2) dan (8) diperoleh hubungan:
Cxn+ 2 = Cxn+ 1 + Cxn
Karena x1 =
Jika kedua ruas dibagi Cxn diperoleh:
5 −1
1− 5
. Bentuk (11) dapat diubah menjadi: Fn =
= –
2
2
x2 = x + 1 ⇔ x2 – x – 1 = 0
1± 1+ 4
x1,2 =
2
φn − (− 1 )n
φ
5
1+ 5
1− 5
x1 =
dan x2 =
2
2
Bentuk umum suku ke-n dari Fn dapat diubah menjadi
n
n
1 + 5 


 + B 1 − 5 
atau: Fn = A 
 2 
 2 




dengan F1 = F2 = 1.
n=1⇒ A
F2
n


1 + 5 
 −  1 − 5  ............................... (14)
Ln = 
 2 
 2 




n
.......................... (9)
Barisan Dua Langkah
disubstitusikan ke persaman (9)
1+ 5
1− 5
+B
= 1 ..................................... (10)
2
2
2
........................................... (13)
Dengan cara rumus suku ke-n barisan Lucas 1, 3, 4,
7, 11, 18, ... adalah
n
Fn = Ax1n + Bx 2
Jika nilai F1 dan
diperoleh:
1
2
1+ 5
= 1,61803398... = Φ, maka
=
=
2
φ
1+ 5
2
1 + 5 


 + B 1 − 5  = 1
n = 2 ⇒ A
 2 
 2 




Misalkan disusun barisan dengan suku ketiga
diperoleh melalui cara yang sama seperti pada Barisan
Fibonacci, sedangkan kedua suku awalnya dipilih sembarang
bilangan. Jika suku ke-n-nya dilambangkan dengan un, maka
barisannya dikenal dengan Barisan Dua Langkah (Two Steps
Sequence), yang rumus umumnya:
un+2 = un+1 + un ;
........................................
(15)
u1 dan u2 bilangan tertentu.
6+2 5
6−2 5
+B
=1
4
4
3+ 5
3− 5
A
+B
= 1 ..................................... (11)
2
2
A
Contoh:
1) 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, ...
2) 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, ...
3) 4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, ...
7
8
setiap barisan dua langkah memiliki sifat yang sama, yaitu
1
lim (Fn +1 : Fn ) = Φ dan lim (Fn : Fn +1 ) =
φ
n→ ∞
n→ ∞
4) 5, 3, 8, 11, 19, 30, 49, 79, ...
5) 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ...
Fakta pertama dari berisan dua langkah ternyata sangat
unik. Perhatikanlah barisan yang terbentuk dari hasil
pengurangan setiap suku dengan suku di depannya.
Kemudian dengan melakukan hal serupa, akan diperoleh
hasil yang berbeda hanya pada beberapa suku pertama, 4,
5, 9, 14, 23, 37, 60, ...
1) 1,
4,
5,
9,
14,
23,
37,
3
1
4
5
9
14 23
–2
3
1
4
5
9 ...
5
–2
3
1 4
...
Setiap barisan memiliki bagian barisan:
1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, ...
Barisan dua langkah pada contoh terakhir di atas yaitu:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ...
dinamakan Barisan Lucas, sesuai nama penyusun awalnya
dan pemberi nama bagi Barisan Fibonacci.
Barisan Lucas
60, ...
Seperti dissebutkan di atas, Barisan Lucas adalah barisan
dua langkah dengan suku pertama dan kedua berturutturut 1 dan 3.
Berikut ini dipaparkan 40 pasangan pertama suku-suku
Barisan Fibonacci dan Barisan Lucas.
2) 3,
2,
5,
7,
12,
19,
31,
50, ...
–1
3
2
5
7
12
19
...
4
–1
3
2
5
7
...
–5
4
–1
3
2 ...
Setiap barisan memiliki bagian barisan:
3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, ....
Ln
Fn
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
F14
F15
L16
F17
F18
F19
F20
Hal di atas sesungguhnya bukan hal yang mengejutkan.
Perhatikan kembali secara umum:
un+2 = un + un+1
⇔ un+2 – un+1 = un
Dengan mengganti n → n – 1 diperoleh:
un+1 – un = un–1
Ini menunjukkan bahwa barisan yang sukiu-sukunya
yang berurutan terbentuk oleh hasil pengurangan setiap
suku dengan suku di depannya adalah juga barisan dua
langkah.
Fakta berikutnya menunjukkan, bahwa ternyata berapa pun
suku pertama dan kedua ditentukan, untuk n yang semakin
besar nilai un+1 : un semakin mendekati Φ dan un : un +1
1
. Dengan demikian maka
semakin mendekati 1 – Φ =
φ
9
10
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
L9
L10
L11
L12
L13
L14
L15
L16
L17
L18
L19
L20
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
199
322
521
843
1364
2207
3571
5778
9349
15127
Ln
Fn
F21
F22
F23
F24
F25
F26
F27
F28
F29
F30
F31
F32
F33
F34
F35
F36
F37
F38
F39
F40
10946
17711
28657
46368
75025
121393
196418
317811
514229
832040
1346269
2178309
3524578
5702887
9227465
14930352
24157817
39088169
63245986
10233415
5
L21
L22
L23
L24
L25
L26
L27
L28
L29
L30
L31
L32
L33
L34
L35
L36
L37
L38
L39
L40
24476
39603
64079
103682
167761
271443
439204
710647
1149851
1860498
3010349
4870847
7881196
12752043
20633239
33385282
54018521
87403803
14142232
4
22882612
7
= (Fn–2 + Fn–3) + Fn–2 (mengganti Fn–1 dengan Fn–2 + Fn–3)
= 2 Fn–2 + Fn–3
Fakta yang tampak pada tabel di atas di antaranya:
F1 + F3
F2 + F4
F3 + F5
F4 + F6
F5 + F7
Dapat diduga bahwa:
=1+2
=
=1+3
=
=2+5
=
=3+8
=
= 5 + 13
=
Fn + Fn+2 = Ln+1
3
4
7
11
18
Perhatikan juga yang berikut ini:
Fn
Ln
1
1
1
2
1
3
3
2
4
4
3
7
5
5
11
F10
6
8
18
F12
7
13
29
F14
M
Dengan memperhatikan paparan di
diduga bahwa: Fn × Ln = F2n (n ∈ A)
=
=
=
=
=
= 2(Fn–3 + Fn–4) + Fn–3(mengganti Fn–2 dengan Fn–3 + Fn–
L2
L3
L4
L5
L6
4)
= 3 Fn–3 + 2Fn–4
= 3(Fn–4 + Fn–5)+ 2Fn–4 (mengganti Fn–3 dengan Fn–4 +
Fn–5)
F2n
1
3
8
21
55
=
=
=
=
=
144
=
377
=
F2
F4
F6
F8
Dengan memperhatikan bentuk di atas dan dari rumus
rekursifnya diperoleh bahwa: F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3,
F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, dan seterusnya Dapat diduga pula
bahwa:
Fn = Fk+1 Fn–k + Fk Fn–k–1, untuk 1 ≤ k < n
atau
Jika m = n maka diperoleh:
Fn+n = Fn+1 Fn + Fn Fn–1.
F2n = Fn (Fn+1 + Fn–1)
atas dapat
Rumus-rumus:
1.
Salah satu sifat yang dapat diamati di antaranya ialah:
F2n =
Telah ditunjukkan bahwa Barisan Fibonacci termasuk
barisan dua langkah yang rumus rekursifnya Fn+2 = Fn +
Fn+1,
rumus
umum
suku
ke-n
adalah
Fn
=
2n 5
F2n = Fn(Fn+1 + Fn) ........................................ (17)
Bukti:
Sifat-sifat Barisan Fibonacci
(1 + 5 )n − (1 − 5 )n
Fm+n = Fm+1 Fn + Fm Fn–1. ........................... (16)
=
(1 + 5 )2n − (1 − 5 )2n
22n 5
(1 + 5 )n − (1 − 5 )n
dengan F1 = F2 = 1.
= Fn ×
2n 5
Fn(Fn+1 + Fn)
11
12
(1 + 5 )n + (1 − 5 )n
2n
(1 + 5 )n − (1 − 5 )n + 2(1 − 5 )n
Dari hubungan di atas diperoleh:
Fn = Fn–1 + Fn–2
×
2n 5
× 5
n
n
= (1 + 5 ) − (1 − 5 ) ×  (1 +


2n 5
=
5 )n +1 − (1 − 5 )n +1
2n +1 5
)n (1− 5 )− ((1+
(
(1+ 5 )(1+ 5 )2n − (1+ 5 )(1− 5 )
+
)n + ((1+
5 )(1− 5 )
7.
(1+ 5 )n −(1− 5 )n 
2n 5
5 )(1− 5


)n (1−
5) +
22n +1( 5 )2
(
)n + ((1+
(1+ 5 )2n − 2 (1+ 5 )(1− 5 )
Fn+1 – Fn = Fn–1
Fn+1 – Fn
)
5 )+ (1− 5 )n
(2n 5 )
2
2.
Fn+1 × Fn–1 – Fn2 = (–1)n
=
F1 + F2 + F3 + …+ Fn = Fn+2 – 1
Bukti:
=
Diandaikan rumus di atas benar untuk n = k, maka
F1 + F2 + F3 + …+ Fk= Fk+2 – 1
( 1 + 5 ) n +1 − ( 1 − 5 ) n + 1
2 n +1 5
–
(1 + 5 )n − (1 − 5 )n
2n 5
(1 + 5 )(1 + 5 ) n − (1 − 5 )(1 − 5 ) n
2 .2 n 5
–
(1 + 5 )n − (1 − 5 )n
2n 5
=
(1 + 5 )(1 + 5 ) n − (1 − 5 )(1 − 5 ) n − 2(1 + 5 ) n + 2(1 − 5 ) n
Dibuktikan rumus benar untuk n = k + 1.
Berarti harus dibuktikan bahwa:
F1 + F2 + F3 + …+ Fk + Fk+1 = Fk+3 – 1
2 .2 n 5
Bukti:
F1 + F2 + F3 + …+ Fk + Fk+1
= Fk+2 – 1+ Fk+1
= Fk+1+Fk+2– 1; sedangkan Fk+1+Fk+2=
Fk+3
= Fk+3– 1
(terbukti)
Dicoba untuk n = 1:
F1 = F3 – 1; sedangkan pada barisan Fibonacci F1 = 1
dan F3 = 2
=
=
=
=
( −1 + 5 )(1 + 5 ) n + (1 + 5 )(1 − 5 ) n
2 .2 n 5
( −1 + 5 )(1 + 5 )(1 + 5 ) n −1 + (1 + 5 )(1 − 5 )(1 − 5 ) n −1
2 .2 n 5
( 5 − 1)(1 + 5 ) n −1 + (1 − 5)(1 − 5 ) n −1
4 .2 n − 1 5
( 1 + 5 ) n −1 − ( 1 − 5 ) n −1
2 n −1 5
1 = 2 – 1 benar
Karena benar untuk n = k dan n = k + 1 serta benar
untuk n = 1 maka benar untuk setiap nilai n.
Rumus-rumus berikuit ini dapat Anda buktikan
sendiri kebenarannya seperti kedua contoh di atas.
= Fn–1
Beberapa catatan:
1. Dapat ditunjukkan, bahwa Fn genap hanya bila n
kelipatan 3.
3.
F2n+1 = (Fn+1)2 +( Fn)2
2. Untuk setiap n, nilai satuan pada Fn+60 dan Fn sama.
4.
F2n =
(Fn+1)2
5.
F1 + F3 + F5 + …+ F2n–1 = F2n – 1
3. Dua Bilangan Fibonacci berurutan merupakan
pasangan prima relatif (pembagi persekutuannya
hanya sebuah, yaitu 1).
6.
F2 + F4 + F6 + …+ F2n = F2n+1 – 1
–(
Fn–1)2
13
14
4. Untuk setiap Bilangan Fibonacci Fn yang merupakan
bilangan prima, maka n pastilah juga prima.
15