View/Open - Repository | UNHAS
advertisement
STUDI NUMERIK SIFAT FISIS GAS MONOATOMIK MENGGUNAKAN METODA MONTE CARLO Muh. Rizal Rahman, Tasrief Surungan, Sri Suryani Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin Jurusan Fisika FMIPA Universitas Hasanuddin Jl. Perintis Kemerdekaan KM 10 Tamalanrea, Makassar 90245 E-mail: [email protected] Sari Bacaan Studi numerik sifat fisis gas monoatomik unsur argon (Ar) telah dilakukan menggunakan metoda Monte Carlo Algoritma Metropolis untuk menghitung energi dan panas jenisnya. Hasil yang diperoleh menunjukkan adanya pengaruh jumlah partikel dan temperatur terhadap energi total gas. Jumlah partikel menyebabkan penurunan energi potensial pasangan partikel gas sementara temperatur menyebabkan kenaikan energi kinetik partikel gas. Energi total cenderung menurun karena energi potensial pasangan cenderung negatif dibanding energi kinetik. Sebaliknya, energi total cenderung naik karena energi potensial pasangan cenderung lebih kecil dari energi kinetik. Nilai rata – rata panas jenis (Cv) yang diperoleh adalah 0,324 J/Kg, berbeda secara signifikan dengan nilai eksperimen, yaitu 0,312 kJ/Kg26. Kata kunci : Gas monoatomik, metoda Monte Carlo, Algoritma Metropolis, energi total, panas jenis. Abstract Numerical Study of physical properties of monoatomic Argon (Ar) gas has been conducted by using Monte Carlo Method with Metropolis Algorithm, in order to calculate its total energy (H) and specific heat (Cv). The result shows that particle number and temperature influence gas total energy. Particle number causes coupled potential energy decreases while temperature causes gas kinetic energy increases. Total energy decreases because coupled potential energy is negative compared by kinetic energy. On the other hand, total energy dominantly increases because coupled potential energy is smaller than kinetic energy. The obtained average specific heat value is 0,324 J/Kg, significantly different from experimental value, that is 0,312 kJ/Kg26. Keywords: Monoatomic gas, Monte Carlo method, Metropolis Algorithm, total energy, specific heat. PENDAHULUAN Gas adalah salah satu dari empat keadaan materi yang mendasar (padat, cair, gas, dan plasma). Gas juga dapat didefinisikan sebagai suatu fase benda dalam ikatan molekul yang sangat renggang pada suhu tertentu, biasanya merupakan titik uap suatu zat. Gas mempunyai kemampuan untuk mengalir dan dapat berubah bentuk. Namun berbeda dari cairan yang mengisi pada besaran volume tertentu, gas selalu mengisi suatu volume ruang, mereka mengembang dan mengisi ruang di mana pun berada. Gas merupakan sebuah sistem yang mengandung banyak partikel seperti sistem gas pada keadaan standar, dalam 1 m3 gas mengandung kira – kira 3 x 1019 partikel. Untuk mendeskripsikan sifat sistem seperti itu, maka diperlukan sifat rata – rata partikel sistem karena tidak mungkin mengambil informasi sifat setiap partikel dalam sistem tersebut. Penelitian ini dilakukan berangkat dari sifat rata – rata partikel tersebut dengan menggunakan metode pendekatan statistik yang dikenal sebagai mekanika statistik atau termodinamika statistik. Teori ini mula – mula dikembangkan oleh Boltzmann di Jerman dan Gibbs di Amerika Serikat, kemudian dimodifikasi oleh Bose dan Einstein serta oleh Fermi dan Dirac. Sifat fisis gas pada pada studi ini berupa interaksi antarmolekul pada gas monoatomik dari unsur Ar. Sifat fisis yang akan dihitung adalah energi total sistem yang terdiri atas energi potensial antarmolekul dan energi kinetik dengan menggunakan metode Monte Carlo Algoritma Metropolis serta kaitannya dengan pengaruh jumlah partikel dan temperatur. GAS MONOATOMIK Istilah monoatomik merupakan kombinasi dari kata “mono” dan “atom” yang berarti atom tunggal. Istilah ini biasa dipakai untuk gas misalnya gas monoatomik. Gas monoatomik terdiri dari atom tunggal dimana atom – atomnya tidak berikatan satu sama lain. Satu – satunya unsur yang stabil dengan atom tunggal pada temperatur dan tekanan standar (STP) adalah gas mulia1. Unsur yang termasuk gas mulia adalah helium, neon, argon, kripton, dan radon. Gas mulia yang lebih berat dapat membentuk senyawa kimia sedangkan unsur yang lebih ringan bersifat non-reaktif atau inert. Contohnya helium yang merupakan gas mulia yang paling sederhana dan hanya mempunyai 2 elektron. Semua unsur gas mulia berupa gas pada suhu kamar dan mendidih hanya beberapa derajat di atas titik leburnya. Gas mulia mempunyai titik lebur serta titik didih yang sangat rendah. Titik didih helium mendekati nol absolut (0 K). Titik didih hanya beberapa derajat di atas titik lelehnya. Seperti yang telah diketahui, gas mulia terdapat sebagai atom tunggal. Gaya tarik – menarik antaratomnya hanyalah gaya London (gaya dispersi) yang lemah. Oleh karena itu, gas mulia hanya akan mencair atau menjadi padat jika energi partikelnya menjadi sangat lemah, yaitu pada suhu yang sangat rendah. Dari atas ke bawah, seiring dengan bertambahnya massa atom relatif, gaya dispersi makin besar dan titik leleh serta titik didihnya pun meningkat2. PERSAMAAN GERAK LAGRANGE DAN HAMILTON Persamaan gerak partikel dapat dinyatakan dengan persamaan Lagrange 1. Persamaan ini meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel. Energi kinetik partikel dalam koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi potensial partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari posisi. Jika didefinisikan Lagrangian adalah selisih antara energi kinetik dan energi potensial yang dinyatakan sebagai berikut. (1) β =π−π dan persamaan Lagrange dinyatakan sebagai, π πβ πβ ( ) − ππ = 0 ππ‘ ππΜ (2) untuk gerak partikel di dalam medan gaya konservatif.3 Persamaan gerak partikel dapat juga dinyatakan dalam bentuk persamaan Hamilton sebagai berikut ππΏ (3) π» = ∑ ππΜ −πΏ πππΜ π atau (4) π» = π + π dimana T adalah energi kinetik dan π adalah energi potensial yang merupakan fungsi dari q (koordinat umum). Untuk sistem gerak partikel dalam ruang maka π = 1 2π (ππ₯2 + ππ¦2 + ππ§2 ) dan V merupakan fungsi dari ππ₯ , ππ¦ , ππ§ pada koordinat kartesian. Persamaan Hamilton merupakan energi total dari sistem dengan syarat3: ο· Transformasi ke koordinat umum tidak mengandung waktu ο· Sistemnya konservatif . Persamaan Hamilton dalam bentuk kanonik dinyatakan dengan4, ππ» ππ» πΜ π = πππ πΜπ = πππ πππ (5) POTENSIAL LENNARD-JONES Potensial Lennard Jones merupakan model potensial standar yang digunakan dalam simulasi molekuler untuk fluida sederhana dalam bentuk model matematika sederhana yang mendeskripsikan interaksi antara atom – atom atau molekul – molekul netral10,11. Model ini mendeskripsikan jumlah energi pasangan dari semua interaksi atom – atom tak terikat yang mungkin. Model ini banyak digunakan karena kemudahan dalam penggunaannya 11. Gambar 2.2. Grafik Potensial Lennard Jones7 Bentuk umum potensial Lennard – Jones adalah π 12 π ππΏπ½ (πππ ) = 4π ∑ [( ) πππ π,π=1 6 π − ( ) ] πππ (6) Potensial Lennard-Jones model ini sering disebut potensial 12-6 karena pangkat 12 dan 6 yang ada pada persamaannya. Suku dengan pangkat 12 dan pangkat 6 masing – masing mewakili energi potensial tolak dan energi potensial tarik. Konstanta σ dan π mewakili sifat fisis dari sistem yang dimodelkan8,9. Konstanta σ adalah jarak tertentu dimana energi potensial antarpartikel bernilai nol, misalkan untuk helium σ = 2,57 Å. Sementara π adalah kedalaman 1 sumur fungsi energi potensial pada π = 26 σ (potensial pada posisi minimum). Dengan kata lain, konstanta ini merupakan ukuran kekuatan interaksi lemah antara dua partikel. METODA MONTE CARLO Metoda Monte Carlo adalah metoda statistik yang digunakan untuk menghitung rerata majelis (ensambel) dari suatu besaran fisis dalam mekanika statistik1. Ada dua jenis masalah yang dikembangkan dengan metode ini. Pertama, masalah yang mempunyai sifat stokastik. Kedua, masalah determinasi kompleks pada persamaan matematika tertentu yang tidak mudah diselesaikan secara keseluruhan dengan metode determinasi langsung. Metode ini didasarkan pada teori probabilitas. Dengan mengambil sejumlah sampel tertentu dari suatu sistem dan meneliti sampel itu, dapatlah diperkirakan sistem itu secara keseluruhan dari sifat rata – rata yang terdapat pada sampel tersebut. Tujuan utama metode Monte Carlo pada penelitian ini adalah untuk memperoleh nilai dari objek fisika yang diamati melalui sebuah sampel yang sesuai pada ruang konfigurasi (microstate) sistem12. Konfigurasi sampel dibangkitkan secara acak melalui proses Markov, yang membangkitkan konfigurasi baru berdasarkan konfigurasi umum. Algoritma Metropolis Ada begitu banyak algoritma yang digunakan dalam metode Monte Carlo yang salah satunya adalah algoritma Metropolis. Algoritma Metropolis merupakan varian dari metoda Monte Carlo, yaitu tidak memilih secara acak kemudian dibobot dengan exp(−π/ππ΅ π), namun memilih distribusi dengan peluang exp(−π/ππ΅ π), dan membobotnya secara merata13. Sejumlah N partikel diletakkan pada suatu distribusi sembarang, misalnya pada tiap kisi yang beraturan. Kemudian tiap partikel secara berurutan dipindahkan. Pada setiap pemindahan satu partikel, perubahan energi βω dari distribusi itu dihitung.Jika βω bernilai negatif berarti terjadi penurunan energi akibat pemindahan satu partikel itu, maka pemindahan itu dibolehkan dan partikel diletakkan pada posisi yang baru. Jika βω bernilai positif, pemindahan diperbolehkan dengan peluang exp(−π/ππ΅ π). Pada umumnya dasar dari teknik pencuplikan terdiri dari titik pilihan secara acak dari berbagai konfigurasi ruang dari sistem14. Jumlah yang besar dari sebaran partikel digenerasikan secara acak untuk semua ukuran, kemudian energi rata – rata dikalkulasi dari data – data tersebut. Walaupun begitu, teknik ini cenderung mengalami masalah yang sama secara eksak pada pengambilan titik sampel yaitu sering mengambil daerah yang tidak penting dalam ruang fase. 15 Perubahan dari susunan partikel – partikel secara acak menghasilkan sebaran tertentu dan pada temperatur tinggi susunan partikel terlihat lebih acak. Untuk menghindari masalah ini, pada umumnya digunakan “Importance Sampling” yang hanya mencuplik data yang lebih penting dan bekerja dengan mengaplikasikan bobot dari ruang mikro 14. Untuk mengaplikasikan bobot tersebut, persamaan π ln π (7) ⟨π⟩ = ππ΅ π ( ) ππ dimodifikasi menjadi π Μ = ∑π ππ π −π½π π (8) Jika prosedur simulasi dapat dimodifikasi maka probabilitas dalam ruang mikro menurut Boltzmann16 : ππ = π −π½ππ π (9) dimana Ni adalah probabilitas dari sistem dalam ruang mikro, maka π Μ = 1 ∑ ππ π (10) π Konsep dari Algoritma Metropolis adalah perubahan probabilitas dari sistem yang ada dalam ruang mikro25. Probabilitas transisi ini didasarkan pada berbagai kondisi keseimbangan yang menerangkan bahwa probabilitas perpindahan dari sebuah ruang o yang lama ke ruang n yang baru harus sebanding dengan probabilitas kebalikan dimana transisi terjadi. Ekspresi ini secara matematik dapat ditulis17: π΅π π (π → π) = π΅π π (π → π) (11) dimana Ni adalah probabilitas yang terjadi di dalam ruang mikro dan π merepresentasikan probabilitas transisi seperti π (π → π) = πΆ(π → π) π πππ(π → π) (12) dimana πΆ merepresentasikan probabilitas generasi transformasi (π → π)dari semua kemungkinan transformasi dan acc adalah probabilitas yang diterima dalam transisi ini. Kemudian menggunakan persamaan – persamaan (9), (11), dan (12) untuk menemukan perbandingan dari probabilitas yang diterima: πππ(π → π) ππ = = π −π½(ππ − ππ ) πππ(π → π) ππ (13) Ada beberapa cara untuk mengimplementasikan kondisi keseimbangan ini dan salah satunya adalah Algoritma Metropolis. Generasi adalah ruang mikro coba (n) dari arus ruang mikro (o), dengan ketetapan πΆ adalah sebuah konstanta. Kemudian, menerima ruang mikro coba yang berpindah dengan sebuah probabilitas yang diberikan oleh18 πππ(π → π) = π΅π π΅π , ketika Nn< No πππ(π → π) = π, ketika Nn> No (14) (15) Persamaan ini menjelaskan bahwa bagaimana ruang transisi n harus dipilih ketika dalam orde ruang o sebagai syarat supaya algoritma dapat bekerja secara efektif. METODE Alat dan bahan yang digunakan dalam penelitian ini adalah 1. 2. 3. Satu set komputer dengan sistem operasi Linux Ubuntu 14 Paket aplikasi compiler bahasa C/C++ (GNU Compiler dan General Collection Compiler atau GCC). Komputer yang mampu menjalankan pemrograman parallel (Hugrid UNHAS, http://www.hugrid.unhas.ac.id) Studi ini menggunakan metode Monte Carlo algoritma Metropolis. Metode ini merupakan metode numerik non deterministik dimana konfigurasi suatu sistem tergantung pada sistem sebelumnya. Dalam analisis sistem gas, sistem dipandang sebagai sekumpulan posisi partikel dalam 3 dimensi yang menghasilkan konfigurasi partikel. Probabilitas konfigurasi ini bergantung pada konfigurasi sebelumnya. Prosedur simulasi program yang digunakan dalam penelitian ini mengikuti langkah – langkah sebagai berikut : 3. 4. Menetapkan konfigurasi awal sistem dan menghitung energi Vπ ada posisi acak dalam kotak simulasi Mengubah konfigurasi inisial sistem dengan memindahkan partikel pada posisi tertentu kemudian mencatat koordinatnya dan menghitung energi Vπ sistem Menghitung selisih energi βV = Vπ − ππ Jika βπ ≤ 0, konfigurasi diterima 5. Jika βπ ≥ 0, hitung perbandingan probabilitasnya 6. Bandingkan 1. 2. 7. ππ ππ dengan jumlah random r. Jika π ≤ ππ ππ ππ ππ = π −π½(βπ) , maka terima konfigurasi baru. Jika tidak, tetap pada konfigurasi awal. Mengulangi langkah 2 – 6 sampai jumlah keadaan mikro mencapai 500 ribu keadaan dengan set parameter untuk tiap eksekusi program : a. Jumlah partikel divariasikan mulai dari 5, 10, 15, 20 dan 25 partikel untuk volume kotak simulasi 10 Å dan T = 298 K b. Nilai T divariasikan mulai dari 298 K, 348 K, 398 K, 448 K dan 498 K untuk volume kotak simulasi 10 Å dan jumlah partikel 5 HASIL DAN PEMBAHASAN Energi Total Energi total (π») terdiri dari energi potensial rata – rata dan energi kinetik sistem. Energi total dihitung setelah mendapatkan nilai energi potensial rata – rata pada simulasi ini dengan rumus sebagai berikut. (16) π» = πΈπ + πΜ πΏπ½ Energi potensial rata – rata, πΜ πΏπ½ , merupakan besaran yang dihitung dari keadaan mikro yang dibangkitkan melalui sejumlah N partikel pada sebuah sampel Energi tersebut dihitung dengan rumus sebagai berikut πΜ πΏπ½ = π1 + π2 + π3 + β― + ππ π½π’πππβ πππππππ πππππ (17) V1, V2, V3, ..., dan Vn masing – masing adalah energi potensial dari keadaan mikro yang diterima melalui algoritma Metropolis. Pada setiap konfigurasi yang diterima, telah dihitung nilai energi potensial. Nilai itulah yang dijumlahkan dan dirata – ratakan seperti yang dibahas di atas. Jumlah keadaan mikro yang dibangkitkan pada simulasi ini mencapai 500 ribu keadaan dan yang diterima mencapai 90 %. Hal itu sesuai dengan tujuan metode Monte Carlo yaitu memperoleh nilai dari objek fisika yang diamati melalui sebuah sampel yang sesuai pada ruang konfigurasi (microstate) sistem. Sebelum merata – ratakan nilai energi potensial yang diperoleh, grafik hubungan antara jumlah keadaan mikro dan energi potensial telah mencapai keadaan equilibrium seperti gambar 4.1. Hal ini merupakan syarat menghitung energi potensial rata – rata sistem14. Gambar 4.1. Grafik hubungan jumlah keadaan mikro dengan energi sistem dalam keadaan equilibrium Energi kinetik (Eπ ) dihitung dengan rumus Eπ = dimana 3 ππ π 2 π΅ (18) N = jumlah partikel, k = konstanta Boltzmann dan T = temperatur. Setelah melakukan simulasi pada temperatur 298 K, diperoleh data energi seperti pada tabel berikut. Tabel 4.1. Data Energi potensial rata – rata, energi kinetik dan energi total untuk variasi jumlah partikel Jumlah Partikel 5 10 15 20 25 πΜ πΏπ½ Eπ π» (J) -0,614168E-23 -2,7563E-23 -6,30681E-23 -10,8216E-23 -13,925E-23 (J) 3,1001E-23 6,2002E-23 9,30031E-23 12,4004E-23 15,5005E-23 (J) 2,48593E-23 3,44391E-23 2,9935E-23 1,5788E-23 1,57553E-23 Simulasi juga dilakukan pada temperatur yang berbeda – beda dengan jumlah partikel 5 dan diperoleh nilai energi seperti pada tabel berikut. Tabel 4.2. Data Energi potensial rata – rata, energi kinetik dan energi total untuk variasi temperatur Temperatur (K) 298 348 398 448 498 πΜ πΏπ½ Eπ (J) 3,1001E-23 3,62025E-23 4,1404E-23 4,66056E-23 5,18071E-23 (J) -0,614E-23 -0,588E-23 -0,580E-23 -0,577E-23 -0,550E-23 π» (J) 2,48593E-23 3,03235E-23 3,56043E-23 4,08363E-23 4,63047E-23 Hubungan jumlah partikel dan temperatur terhadap energi sistem dapat dilihat pada grafik berikut. 20 15 Energi (E-23 J) 10 5 Ek 0 5 10 15 20 25 <V> -5 -10 H Gambar 4.2. Grafik hubungan jumlah partikel dengan energi sistem Pada gambar 4.2 di atas, energi total sistem mengalami kenaikan pada jumlah partikel 5 -15 dan 10. Kemudian, cenderung menurun pada jumlah partikel 15, 20 dan 25. Sementara itu, grafik hubungan temperatur terhadap energi total pada gambar 4.3 menunjukkan nilai energi total naik -20 secara linear. Jumlah Partikel Gambar 4.2. Grafik hubungan jumlah partikel dengan energi sistem Energi total cenderung menurun pada gambar 4.2 diakibatkan oleh energi potensial yang cenderung negatif dari energi kinetik. Sebaliknya pada gambar 4.3 nilai energi total naik secara linear seiring dengan bertambahnya nilai temperatur. Faktor temperatur mempengaruhi nilai energi kinetik sistem. Semakin besar temperatur, maka semakin besar energi kinetik sistem dan pada akhirnya mempengaruhi nilai energi total sistem. Hal serupa juga terjadi pada pertambahan jumlah partikel yang diikuti oleh kenaikan energi kinetik. 6 5 H (E-23 J) 4 3 Ek H 2 <V> 1 0 298 348 -1 398 448 498 Temperatur (K) Gambar 4.3. Grafik hubungan temperatur dengan energi sistem Panas jenis, sebagaimana diketahui adalah besaran fisis yang menyatakan jumlah panas yang diperlukan untuk menaikkan temperatur6. Panas jenis dari sistem dinyatakan sebagai berikut: πΆπ£ = x 10 -26 π»2 − π»1 π (π2 − π1 ) (4.4) Nilai panas jenis (Cv) yang diperoleh pada simulasi dengan jumlah partikel 5 ( m = 33,18 Kg ) dan variasi temperatur disajikan pada tabel berikut. Tabel 4.3. Data energi total dan panas jenis Temperatur (K) 298 348 398 448 498 π» (J) 2,48593E-23 3,03235E-23 3,56043E-23 4,08363E-23 4,63047E-23 cv (J/Kg K) 0,329363366 0,329363366 0,318315019 0,315367667 0,329624500 Berdasarkan tabel data panas jenis untuk variasi temperatur di atas, dilakukan pengujian kebenaran simulasi dengan membandingkan nilai kapasitas panas gas argon yang dihasilkan dalam simulasi dengan kapasitas panas gas argon yang telah diperoleh secara eksperimen yaitu 0,312 kJ/Kg K6. KESIMPULAN Studi numerik sifat fisis gas monoatomik dari unsur argon (Ar) telah dilakukan menggunakan metoda Monte Carlo Algoritma Metropolis untuk menghitung energi total (H) dan panas jenis (cv) gas Argon. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa adanya pengaruh jumlah partikel dan temperatur terhadap energi total gas. Jumlah partikel menyebabkan penurunan energi potensial pasangan partikel gas sementara temperatur menyebabkan kenaikan energi kinetik partikel gas. Energi total cenderung menurun karena energi potensial pasangan cenderung negatif dibanding energi kinetik. Sebaliknya, energi total cenderung naik karena energi potensial pasangan cenderung lebih kecil dari energi kinetik. Nilai panas jenis (Cv) yang diperoleh rata – rata sebesar 0,324 J/Kg, masih belum mendekati nilai eksperimen dengan baik yaitu 0,312 kJ/Kg6. SARAN Jumlah maksimal partikel yang bisa digunakan pada studi ini masih sangat sedikit sehingga diperlukan jumlah yang lebih banyak. Oleh karena itu, volume kotak simulasi juga perlu disesuaikan dengan penambahan jumlah partikel agar nantinya diperoleh jumlah yang ideal untuk menghitung energi total gas dan panas jenis dengan menggunakan metoda Monte Carlo Algoritma Metropolis. DAFTAR PUSTAKA 1. Tasrief Surungan. 2011. Diktat Kuliah Fisika Statistik. Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Hasanuddin 2. Stote, R., et all. CHARMM Molecular Dynamics Simulations, http://www.ch.embnet.org/MD_tutorial/ 3. Bansawang B.J.. 2013. Diktat Kuliah Mekanika. Makassar: Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Hasanuddin 4. Helbert Goldstein. 1950. Classical Mechanics.Addison-Wesley Publishing Company,INC.Massachusetts, USA 5. Hafsemi Rafsenjani, dkk. 2013. Metode Lagrange dan Mekanika Hamilton 6. Wira Bahari Nurdin, Rian Andrianto.2012.Simulasi Sifat Fisis Model Molekuler Dinamik Gas Argon dengan Potensial Lennard-Jones.Jurusan Fisika FMIPA Universitas Hasanuddin: Makassar 7. http://atomsinmotion.com/book/chapter5/md (30 November 2015, 16 56 wita) 8. Anuj Chaudhri.2005. Molecular Dynamics Study of Argon Flow in a Carbon Nanotube 9. F.Cuadros.1995. A New Procedure for Determining Lennard Jones Interaction Parameters. Departamento de Fisica, Universidad Catolica del Norte, Antofagasta, Chile 10. Morgan Groves, B.S. 2012. Molecular Dynamics: Hooke-Lennard-Jones Hybrid Method.Graduate Faculty of Texas Tech University 11. Peter Atkins and Julio de Paula. 2006. Physical Chemistry for the Life Sciences. W.H. Freeman and Company, New York, NY,. 12. Aree Witoelar. 2002. Perancangan dan Analisa Simulasi Dinamika Molekul Ensambel Mikrokanonikal dan Kanonikal dengan Potensial Lennard Jones. Departemen Teknik Fisika Fakultas Teknologi Industri ITB 13. Gould H. And Tobochnik J. 1986. An Introduction to Computer simulation Method. Application to Physical System, Department of Physics Clarck University and Department of Physics Kalamadzoo College. 14. http://chryswoods.com/intro_to_mc/part1/running.html (5 Mei 2016, 21.27 Wita) 15. Hasenbursch M. 2002. Monte Carlo Studies of The Three Dimensional Ising Model. Institut Fur Physic Humboldt Universitat zu Berlin Imvalidenstr. 110D-10115 ed. Germany: Berlin, 16. Ketut Parsa. 2015. Sifat – sifat Fisis Gas Mulia.www.academia.edu/5621851/Sifat gas mulia 17. Ali Lukman. 2006. Pemakaian Metode Simulasi Monte Carlo Pada Model Ising Dua Dimensi.Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Hasanuddin: Makassar 18. Coddington P. 2002. Distributed and High Performance Computing. Monte Carlo Simulation of The Isimg Model [Serial online] March-June:7045 [Internet] Avalaible from: URL: http: / [email protected]