BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran

Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK
Bab 4 Penaksiran
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
“Orang Biologi Tidak Anti Statistika”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Silabus
Distribusi normal, penaksiran parameter, penaksiran titik dan
penaksiran selang, selang kepercayaan untuk mean dan proporsi.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Tujuan
1
Mempelajari distribusi normal dan menghitung peluang suatu
p.a berdistribusi normal standar
2
Memahami konsep penaksiran titik dan penaksiran selang
3
Menghitung selang kepercayaan untuk mean dan proporsi
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Ilustrasi
Definisi Distribusi Normal
Ilustrasi
Perhatikan fungsi peluang dari X , p.a yang menyatakan kandungan
serum trigliserida dalam tubuh. Distribusi peluangnya tidak simetri
dan menceng ke kanan (skew to the right atau positively skewed)
sbb (Gb 4.1):
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Ilustrasi
Definisi Distribusi Normal
densitas
0
50
100
150
serum trigliserida (mg/dL)
Figure: Fungsi peluang serum trigliserida
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Ilustrasi
Definisi Distribusi Normal
Sedangkan fungsi peluang dari tekanan darah diatolik (DBP diastolic blood presure) pada laki-laki usia 35-44 tahun adalah
seperti gambar berikut (Gb 4.2). Area A, B, C berturut-turut
menyatakan peluang terjadinya hipertensi ringan, sedang dan
berat. Umumnya DBP terjadi disekitar 80 mm Hg, dimana
kemudian kemungkinannya berkurang seiring dengan berubahnya
nilai DBP yang jauh dari 80.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
0.03
Ilustrasi
Definisi Distribusi Normal
A
densitas
0.02
B
C
0.01
0
50
80
90 100 110
DBP
Figure: Fungsi peluang tekanan darah diatolik
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Ilustrasi
Definisi Distribusi Normal
Fungsi peluang dari peubah acak yang menyatakan Berat Badan
Lahir berikut fungsi distribusinya saat BB-nya 88 atau P(X ≤ 88)
(Gb 4.3). Area tersebut memiliki arti khusus dalam kebidanan atau
obstetrics dimana 88 adalah nilai batas atau cutoff point yang
digunakan untuk mengidentifikasi bayi BBLR.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Ilustrasi
Definisi Distribusi Normal
0.02
densitas
0.01
60
88
120
Berat Badan Lahir (BBL)
Figure: Fungsi peluang Berat Badan Lahir
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Ilustrasi
Definisi Distribusi Normal
Definisi Distribusi Normal
Misalkan X peubah acak berdistribusi normal dengan parameter µ
dan σ 2 . Fungsi peluangnya adalah
1
1
2
fX (x) = √
exp − 2 (x − µ) , −∞ < x < ∞,
2σ
2πσ
Notasi: X ∼ N(µ, σ 2 ), dengan mean µ = E (X ) dan variansi
σ 2 = Var (X ).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Ilustrasi
Definisi Distribusi Normal
Contoh: fungsi peluang untuk distribusi normal dengan mean 50
dan variansi 100 (Gb 4.4).
0.04
f(x) 0.03
0.02
σ
σ
0.01
0.00
40
50
60
(µ-σ)
µ
(µ+σ)
x
Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Ilustrasi
Definisi Distribusi Normal
Distribusi N(0, 1) adalah kasus khusus dari distribusi N(µ, σ 2 )
dengan mean 0 dan variansi 1. Distribusi ini disebut juga distribusi
normal standar/baku (Gb 4.5). Sifatnya adalah simetrik disekitar
0. Sifat empirik yang penting dari distribusi normal baku adalah
P(−1 < X < 1) = 0.6827,
P(−1.96 < X < 1.96) = 0.95,
P(−2.576 < X < 2.576) = 0.99.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Ilustrasi
Definisi Distribusi Normal
0.04
68% area
f(x) 0.03
95% area
0.02
99% area
0.01
0.00
-2.58 -1.96 -1
0
1 1.96 2.58
(µ)
x
Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal standar
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Ilustrasi
Definisi Distribusi Normal
Contoh/Latihan
1
Diketahui Z ∼ N(0, 1). Tentukan nilai c dari persamaan
peluang berikut:
(a) P(Z > c) = 0
(b) P(|Z | ≤ c) = 0.25
(c) P(−c < Z < 2 c) = 0.68
(d) P(c ≤ Z < 0) = 0.324
2
Misalkan diameter pohon dari suatu spesies tertentu adalah
peubah acak berdistribusi normal dengan mean 8 (inchi) dab
deviasi standar 2 (inchi). Hitung peluang bahwa sebuah
pohon memiliki diameter yang tak wajar yaitu lebih dari 12.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Definisi
Misalkan suatu populasi memiliki mean µ. Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn
sampel acak dari populasi tersebut. Penaksir untuk µ (disebut
penaksir sampel) adalah
X̄ =
n
1 X
Xi ,
n
i=1
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
dengan sifat
E (X̄ ) = µ, Var (X̄ ) = σ 2 /n,
√
dimana deviasi standarnya adalah σ/ n yang disebut standard
error of mean atau “sem” atau standard error. Standard error
adalah ukuran kuantitatif dari variablitas mean sampel yang
diperoleh dari sampel acak (berulang) berukuran n dari populasi
yang sama.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Teorema Limit Pusat
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari populasi dengan mean µ
dan variansi σ 2 . Maka, untuk n besar,
X̄ ∼ N(µ, σ 2 /n),
meskipun distribusi populasinya tidak normal.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Contoh. Hitung peluang bahwa mean BBL dari sampel berukuran
10 akan berada diantara 98 dan 126 (diketahui data populasi:
mean 112 dan deviasi standar 20.6).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Solusi:
P(98 < X̄ < 126) = Φ
126 − 112
√
20.6/ 10
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
−Φ
98 − 112
√
20.6/ 10
= ···
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Perhatikan transformasi peubah acak:
Z=
X̄ − µ
√ ,
σ/ n
dimana Z berdistribusi normal standar. Akibatnya, 95% nilai Z
akan berada diantara -1.96 dan 1.96. Dengan kata lain, 95% mean
sampel berada di selang
√ √
µ − 1.96 σ/ n , µ + 1.96 σ/ n
Catatan:
Dalam praktiknya, nilai σ tidak diketahui dan harus ditaksir oleh
deviasi standar sampel s.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Distribusi t
Jika X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak berdistribusi normal dengan mean
µ dan variansi σ 2 , maka
X̄ − µ
√ ∼ tn−1 ,
S/ n
berdistribusi t dengan derajat kebebasan (degrees of freedom)
n − 1, dimana
P(td < td,u ) = u.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Selang Kepercayaan untuk Mean
100%(1 − α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval
(CI) untuk mean dari distribusi normal dengan variansi tidak
diketahui adalah
√
√ x̄ − tn−1,1−α/2 s/ n , x̄ + tn−1,1−α/2 s/ n
atau dituliskan
√
x̄ ± tn−1,1−α/2 s/ n
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Contoh/Latihan
1
Tentukan persentil ke-5 (atas) atau persentil ke-95 dari
distribusi t dengan derajat kebebasan 23.
2
Hitung 95% selang kepercayaan untuk mean BBL berdasarkan
sampel berukuran 10. Diketahui: x̄ = 116.9; s = 21.7.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Selang Kepercayaan untuk Mean - Sampel Besar
Nilai pendekatan 100%(1 − α) selang kepercayaan (SK) atau
confidence interval (CI) untuk mean dari distribusi normal (sampel
besar) dengan variansi tidak diketahui adalah
√ √
x̄ − z1−α/2 s/ n , x̄ + z1−α/2 s/ n
dengan ukuran sampel n > 200.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Catatan:
Panjang SK dipengaruhi oleh nilai n, s, dan α. Jika:
n membesar, maka panjang SK...
s membesar, maka panjang SK...
α mengecil, maka panjang SK...
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Mean
Teorema Limit Pusat
SK untuk Mean
Contoh/Latihan
1
Hitung 95% dan 99% selang kepercayaan untuk mean
temperatur berdasarkan sampel berukuran 10 dan 100.
Diketahui: x̄ = 97.2; s = 0.189.
2
Pandang soal no 1. Hitung 95% SK dengan s = 0.4.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Proporsi
SK untuk Proporsi
Misalkan Xi p.a Bernoulli dengan peluang “sukses” p. Kita dapat
menghitung
E (Xi ) = p, Var (Xi ) = p(1 − p).
P
Untuk sejumlah n p.a Bernoulli, X = ni=1 Xi , kita dapatkan p.a
Binomial dengan E (X ) = · · · dan Var (X ) = · · · .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Proporsi
SK untuk Proporsi
Pandang X p.a Binomial dengan parameter n dan p. Penaksir
untuk p adalah p̂ atau proporsi sampel, yaitu
p̂ =
n
1 X
Xi = X /n,
n
i=1
dengan
E (p̂) = · · · , Var (p̂) = · · ·
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Proporsi
SK untuk Proporsi
Untuk n besar, berdasarkan TLP, maka p̂ berdistribusi normal
dengan mean p dan variansi p(1 − p)/n. Dengan demikian,
100%(1 − α) selang kepercayaan untuk p adalah
p
p
p̂ − z1−α/2 p̂(1 − p̂)/n , p̂ + z1−α/2 p̂(1 − p̂)/n
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran
Silabus dan Tujuan
Distribusi Normal
Penaksiran Titik dan Selang
Penaksiran untuk Distribusi Binomial
Penaksir Proporsi
SK untuk Proporsi
Contoh/Latihan
1
Tentukan 95% SK untuk proporsi penderita kanker pada
10000 wanita berusia 50-54 tahun, dimana diketahui 400
diantaranya menderita kanker.
2
Lakukan perhitungan diatas untuk α = 0.01 dan sampel
berukuran n = 1000.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
BI5106 ANALISIS BIOSTATISTIK Bab 4 Penaksiran