konsistensi pada geometri euclid dan geometri

KONSISTENSI PADA GEOMETRI EUCLID DAN
GEOMETRI HIPERBOLIK
(Jurnal 9)
Memen Permata Azmi
Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika
Universitas Pendidikan Indonesia
Setelah beberapa pertemuan mempelajari tentang geometri euclid dan geometri
hiperbolik, pada pertemuan ke - 9 yaitu pada hari rabu 30 Oktober 2013 yang diajarkan oleh
Prof. Jozua, kami diajak untuk mengingat kembali apa yang telah kami pelajari sebelumnya.
Kami diharapkan mampu menelaah dua hal yaitu antara geometri euclid dan geometri
hiperbolik untuk mencari persamaan dan perbedaannya. Tujuannya untuk mencari konsistensi
aturan-aturan apa saja yang konsisten pada geometri euclid dan geometri hiperbolik.
Konsistensi maksudnya jika tidak ada aksioma (aturan) dari sistem itu yang bertentangan satu
dengan yang lainnya.
Terdapat dua aturan yang konsisten pada geometri euclid dan geometri hiperbolik,
yang pertama yaitu: konsistensi pada postulat geometri euclid kecuali postulat ke-5, dan yang
kedua pada geometri euclid dan geometri hiperbolik terdapat titik tengah pada sebuah
segmen. Tetapi dari hasil telaah yang paling mengejutkan bagi saya mengenai geometri
hiperbolik yaitu jumlah sudut dalam segitiga kurang dari 180 0, karena sepengetahuan saya
ketika belajar mengenai segitiga sudah terbiasa diajarkan bahwa jumlah sudut dalam segitiga
adalah tepat 1800. Namun ketepatan jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 0 hanya bisa
dibuktikan pada geometri euclid, tetapi tidak bisa dibuktikan pada geometri netral atau
hiperbolik karena pada geometri netral tidak mengikutsertakan postulat paralel atau tidak
menggunakan postulat ke-5 euclid.
Berikut saya uraikan penjelasan lebih rincinya mengenai konsistensi pada geometri
euclid dan geometri hiperbolik berdasarkan apa yang telah kami pelajari pada pertemuan ini.
Pertama, konsistensi pada geometri euclid dan geometri hiperbolik, kedua-duanya
konsisten pada postulat geometri euclid yaitu postulat 1, 2, 3 dan 4, kecuali pada postulat ke5 euclid. Postulat euclid 1, 2, 3, dan 4 adalah:
1. Melalui dua titik sebarang dapat dibuat garis lurus.
2. Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis lurus.
3.
Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis lingkaran.
4. Semua sudut siku-siku sama.
Sedangkan postulat ke-5 eucllid yang ekuivalen pada postulat John Playfair yang tidak
memiliki konsistensi pada geometri euclid gan geometri hiperbolik, yaitu:
melalui titik P diluar garis l2 hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan l2.
P
l1
l2
Artinya l1 ∥ l2, melalui, sehingga jumlah sudut dalam segitiga = 1800.
Pembuktian jumlah sudut dalam segitiga euclid adalah 180o.
C
1
A
2
B
bukti :
1. Pandang titik A, di luar garis BC,
2. Menurut postulat playfair, hanya ada 1 garis l yang melalui A dan sejajar BC
3. Akibat : ∠2 = ∠B dan ∠1 = ∠C
4. Sedangkan ∠1 + ∠A + ∠2 = 180o
Maka terbukti, ∠C + ∠A + ∠B = 180o
Sedangkan pada geometri hiperbolik, EB ∥ AB dan AF ∥ AB dimana kesejajaran pada
geometri hiperbolik tidak berjarak sama dan jumlah sudut dalam segitiga kurang dari 1800.
Pembuktian jumlah sudut dalam segitiga hiperbolik < 1800:
A
G
E
D
H
F
B
C
Bukti:
1. Tentukan D dan E sebagai titik tengah AB dan AC.
2. Buat garis melalui D dan E
3. Buat dari A, AF ⊥ DE di F
4. Pada sinar FD, tentukan G sehingga GD = FD
5. Pada sinar FE, tentukan H sehingga EH = EF
6. ∠BGD = ∠AFD = 900, DG = AF dan ∠GBD = ∠FAD berdasarkan teorema Sd-S-Sd
maka ∆ADF ≅ ∆BDG (Sd-S-Sd).
7. Analog ∠H = 900, maka ∠HCE = ∠FAE dan CH = AF
8. Maka segiempat HGBC = segiempat saccheri. Alas = GH dan ∠ puncak = B dan C.
9. ∠GBC + ∠HCB < 1800
∠GBD + ∠DBC + ∠HCE + ∠ECB < 1800
∠DAF + ∠DBC + ∠EAF + ∠ECB < 1800
(∠DAF + ∠EAF) + ∠DBC + ∠ECB < 1800
Perhatikan segitiga ABC
∠A + ∠B + ∠C < 1800 . Terbukti bahwa sudut dalam segitiga hiperbolik < 1800.
Kedua, Konsistensi pada geometri euclid dan geometri hiperbolik adalah terdapat titik
tengah pada sebuah segmen.
Berikut adalah gambar titik tengah E pada segmen AB pada geometri euclid:
A
E
B
Kontruksi titik tengah segmen AB pada geometri euclid:
1. Gunakan titik A sebagai titik pusat lingkaran A dan segmen AB sebagai sebagai jari-jari.
2. Gunakan titik B sebagai titik pusat lingkaran B dan segmen AB sebagai sebagai jari-jari.
3. Tandai titik potong lingkaran A dan B sebagai titik C dan D.
4. Hubungkan titik C ke A, titik C ke B dan titik C ke D.
5. Tandai titik potong segmen AB dengan segmen CD.
6. Berdasarkan teorema Sd-S-Sd, ∆CAE ≅ ∆CBE sehingga AE=BE. Berarti E merupakan
titik tengah AB.
Berikut adalah gambar hasil konstruksi titik tengah E pada segmen AB:
Sedangkan pada geometri hiperbolik gambar titik tengah segmen PQ adaalah T:
Q
P
T

Pandang segmen PQ yang terletak pada garis yang melalui lingkaran. Berikut adalah analisis
dalam mengkonstruksikan suatu titik T di PQ sedemikian sehingga PT = QT:
1. Di titik P dan Q, konstruksi garis-garis yang membuat sudut-sudut yang sama dengan
garis PQ, sedemikian sehingga berpotongan di titik S.
2. Pandang ∠PSQ, buat garis baginya.
3. Garis bagi ini memotong PQ di titik T.
4. ∆PST ≅ ∆QST (Sd-S-Sd)
5. Kesimpulan: PQ = QT atau T adalah titik tengah PQ.
Timbul pertanyaan, bagaimanakah membuat garis bagi ∠PSQ?
1. Konstruksikan garis singgung di S terhadap kedua lingkaran yang masing-masing
memuat PS dan QS.
2. Buat garis bagi ∠PSQ (Garis bagi euclid).
3. Buat busur yang menyinggung garis bagi di S, dengan membuat garis yang melalui S dan
tegak lurus dengan garis bagi (Garis bagi euclid).
4. Tentukan invers dari S, yaitu S’.
5. Tentukan sumbu SS’.
6. Sumbu SS’ berpotongan dengan garis yang tegak lurus garis bagi (garis bagi euclid)
dipusat lingkaran yang memuat busur lingkaran sehingga garis bagi (hiperbolik) ∠PSQ.
Berikut adalah gambar hasil konstruksi titik tengah T pada segmen PQ: