bab 2 fungsi vektor

BAB 2 FUNGSI VEKTOR
2.1 Fungsi Vektor dan Kurva Ruang
Fungsi bernilai vektor atau fungsi vektor adalah fungsi yang daerah
asalnya berupa himpunan bilangan real dan daerah hasilnya berupa
himpunan vektor. Fungsi vektor r(t) yang nilanya adalah vektor tiga
dimensi dapat dinotasikan dengan
r(t) =f (t), g(t), h(t) = f (t)i + g(t)j + h(t)k
dengan f, g dan h adalah fungsi bernilai real, dan disebut fungsi komponen
dari r.
CONTOH 1
Jika
r (t )  t 2 , ln(2  t ), t  1
tentukan fungsi komponen dan daerah asal dari r.
Limit dari suatu fungsi vektor r didefinisikan dengan cara mengambil limit
dari fungsi-fungsi komponennya, yaitu
lim r (t )  lim f (t ), lim g (t ), lim h(t )
t a
t a
t a
asalkan limit dari fungsi komponen ada.
t a
CONTOH 2
Carilah
lim r (t ) dengan r(t )  (1  t 2 ), tet ,
t 0
sin t
t
Fungsi vektor r dikatakan kontinu di a,
lim r (t )  r ( a )
t a
Jadi, r kontinu di a jika hanya jika fungsi-fungsi komponennya kontinu di a.
Jika r fungsi kontinu pada selang I, maka himpunan C yang terdiri dari
semua titik (x,y,z) di ruang, dengan
(*)
x = f (t)
y = g(t)
z = h(t)
dan t berubah-ubah sepanjang selang I, disebut kurva ruang. Persamaan
(*) disebut persamaan parametrik dari C dan t disebut parameter.
CONTOH 3
Jelaskan kurva yang didefinisikan oleh fungsi vektor
1. r(t) =1 + t, 2 +5t, -1 + 6t
2. r(t) = t2 – 2t, t + 1
CONTOH 4
Carilah fungsi vektor yang menyatakan kurva perpotongan dari silinder
x2 + y2 = 1 dan bidang y + z = 2.
LATIHAN (dikumpulkan paling lambat 6 oktober 2015)
1.
Carilah daerah asal dan fungsi vektor dari:
a.
b.
2.
3.
4.
r(t) =t2, t – 1, 5 + t
𝐫 𝑡 = ln 𝑡 𝐢 +
𝑡
𝐣
𝑡−1
+ 𝑒 −𝑡 𝐤
Carilah limit dari:
a.
lim 𝑒 −3𝑡 𝐢 +
b.
lim
𝑡→0
1+𝑡 2
𝑡→∞ 1−𝑡
𝑡2
𝑠𝑖𝑛2 𝑡
−1
𝑡,
2 , 𝑡𝑎𝑛
𝐣 + cos 2𝑡 𝐤
1−𝑒 −2𝑡
𝑡
Tentukan persamaan vektor dan persamaan parametrik dari segmen garis PQ, jika:
a.
P(2, 0, 0) dan Q(6, 2, -2)
b.
P(-1, 2, -2) dan Q(-3, 5, 1)
Carilah fungsi vektor yang menyatakan kurva perpotongan dari:
a.
Silinder x2 + y2 = 1 dan bidang z = xy.
b.
Hiperboloid z = x2 - y2 dan silinder x2 + y2 = 1