Statistics for Business and Economics, 6/e

Statistika
Chapter 3
Describing Data: Numerical
Topik
 Ukuran kecenderungan pusat, variasi dan bentuk data
 Mean, median, modus
 Range, variance dan standard deviation, coefficient of
variation
 Symmetric dan skewed distribution
 Ukuran Ringkasan Populasi
 Mean, variance, and standard deviation
 Covariance and coefficient of correlation
Ukuran Data Numerik
Data Numerik
Ukuran Pusat
Variasi
Mean-Rata2
Range
Median
Variansi
Modus
Standard Deviasi
Coefficient Variasi
Ukuran Pusat Data
Overview
Pusat Data
Mean
Median
Modus
n
x
x
i
i1
n
Arithmetic
average
Nilai tengah
data terurut
Nilai observasi
yang paling
sering keluar
Mean Arithmetic
 Mean arithmetic (mean) adalah ukuran pusat data yang
paling umum dipakai
 For a population of N values:
N
x
x1  x 2    x N
μ

N
N
i
i1
Nilai2
Populasi
Ukuran Populasi
 For a sample of size n:
n
x
x
i1
n
i
x1  x 2    x n

n
Nilai2 sampel
Ukuran Sampel
Arithmetic Mean
 Ukuran pusat yang paling sering dipakai
 Mean = Jumlah data dibagi banyak data
 Dipengaruhi oleh nilai ekstrim (outlier)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mean = 3
1  2  3  4  5 15

3
5
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mean = 4
1  2  3  4  10 20

4
5
5
Median
 Median adalah nilai tengah data terurut (50% di atas, 50% di
bawah)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Median = 3
Median = 3
 Tidak dipengaruhi nilai ekstrim
Finding the Median
 Letak Median:
n 1
Median  Data terurut ke
2
 Jika banyaknya data ganjil, median adalah data tengahnya
 Jika banyaknya data genap, median adalah rata-rata dua data
tengah
 Catatan : Ingat bahwa
n 1
bukan nilai median, hanya
2
posisi data terurut untuk median
Modus






Suatu ukuran pusat
Nilai yang paling sering keluar
Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim
Dapat digunakan untuk data numerik maupun kategorik
Mungkin tidak ada modus
Mungkin ada beberapa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Mode = 9
0 1 2 3 4 5 6
No Mode
Contoh
 Lima rumah di perbukitan dekat pantai
$2,000 K
Harga Rumah:
$2,000,000
500,000
300,000
100,000
100,000
$500 K
$300 K
$100 K
$100 K
Ringkasan Statistik
 Mean: ($3,000,000/5)
= $600,000
 Median: nilai tengah data terurut
= $300,000
 Mode: nilai paling sering muncul
= $100,000
Mana yang “terbaik” ?
 Mean paling umum digunakan jika tidak ada data
ekstrim
 Median sering digunakan juga, karena tidak sensitif
terhadap nilai ekstrim.
 Contoh: Median harga rumah lebih mewakili data
harga rumah pada contoh di atas
Shape of a Distribution
 Describes how data are distributed
 Measures of shape
 Symmetric or skewed
Left-Skewed
Symmetric
Right-Skewed
Mean < Median
Mean = Median
Median < Mean
Measures of Variability
Variation
Range

Interquartile
Range
Variance
Standard
Deviation
Coefficient
of Variation
Measures of variation give
information on the spread
or variability of the data
values.
Same center,
different variation
Range
 Ukuran variasi data yang tersederhana
 Selisih data terbesar dan data terkecil :
Range = Xterbesar – Xterkecil
Contoh:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Range = 14 - 1 = 13
13 14
Kelemahan Range
 Tidak memperhitungkan distribusi data
7
8
9
10
11
12
Range = 12 - 7 = 5
7
8
9
10
11
12
Range = 12 - 7 = 5
 Sensitif terhadap outlier
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5
Range = 5 - 1 = 4
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120
Range = 120 - 1 = 119
Population Variance
 Rata-rata dari kuadrat deviasi data terhadap meannya
N
 Variansi Populasi:
σ 
2
Where
μ = rata-rata populasi
N = banyaknya data
xi = data variabel X
 (x  μ)
i
i1
N -1
2
Sample Variance
 Rata-rata dari kuadrat deviasi data terhadap meannya
n
 Variansi Sampel:
s 
2
Dimana
X = arithmetic mean
n = banyak data
Xi = data variable X
 (x  x)
i1
i
n -1
2
Standard Deviasi
 Ukuran variasi yang paling sering digunakan
 Variasi dari mean
 Mempunyai unit yg sama dengan data asli
Populasi
Sampel
N
σ
2
(x

μ)
 i
i1
N -1
n
S
2
(x

x
)
 i
i1
n -1
Menghitung
Standard Deviasi Sampel
Sampel
Data (xi) :
10
12
14
n=8
s
15
17
18
18
24
Mean = x = 16
(10  X )2  (12  x)2  (14  x)2    (24  x)2
n 1

(10  16)2  (12  16)2  (14  16)2    (24  16)2
8 1

126
7

4.2426
Ukuran sebaran data
terhadap rata-rata
Ukuran variasi
Standard deviasi kecil
Standard deviasi besar
Perbandingan Dev Standard
Data A
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20 21
Mean = 15.5
s = 3.338
20 21
Mean = 15.5
s = 0.926
20 21
Mean = 15.5
s = 4.570
Data B
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Data C
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Kelebihan Variansi dan Dev
Standard
 Setiap nilai dalam data digunakan dalam
perhitungan
 Nilai data yang jauh dari rata-rata memberikan
bobot kuadrat yang lebih (demikian juga
sebaliknya)
The Empirical Rule
 If the data distribution is bell-shaped, then
the interval:
 μ  1σ contains about 68% of the values in
the
population or the sample
68%
μ
μ  1σ
The Empirical Rule

μ  2σ contains about 95% of the values in
the population or the sample

contains about 99.7% of the values
μ in3σ
the population or the sample
95%
99.7%
μ  2σ
μ  3σ
Excel output
Microsoft Excel
descriptive statistics output,
Data harga rumah:
Harga rumah:
$2,000,000
500,000
300,000
100,000
100,000
Covariansi Sampel
 Covariansi mengukur kekuatan hubungan linear antara dua variabel
 Covariansi Populasi :
N
Cov (x , y)   xy 
 (x  
i
x
)(y i   y )
i1
N
 Covariansi Sampel:
n
Cov (x , y)  s xy 
 (x  x)(y
i
i1
n 1
i
 y)
Umur
B. Pressure
23
125
26
140
29
146
33
160
38
167
42
170
50
188
55
195
60
200
Di dunia kedokteran,
diketahui bahwa ada
kecenderungan umur dengan
tekanan darah.
Makin bertambah umur
seseorang, makin bertambah
tekanan darahnya…
Hitunglah kovariansi u data di
atas
Chap 3-28
Interpreting Covariance
 Covariansi antara dua variabel:
Cov(x,y) > 0  x dan y cenderung bergerak searah
Cov(x,y) < 0  x and y cenderung bergerak berlawanan
Cov(x,y) = 0  x and y bergerak independen
 Kelemahan Kovariansi
 Kovariansi hanya mampu menentukan arah hubungan
 Tidak mampu menentukan besar kecilnya hubungan
 Perlu dicari ukuran hubungan dua variabel yang lebih
terstandard, shg mampu menentukan besar kecilnya
hubungan
Chap 3-30
Coefficient of Correlation
 Measures the relative strength of the linear relationship
between two variables
Population
correlation coefficient
Cov (x , y)
ρ
σXσY
Population
correlation coefficient
r
SX,Y
sX sY
Koefisien Korelasi-r
 Unit bebas
 Nilai antara –1 dan 1
 Semakin mendekati –1, semakin kuat hubungan
kebalikannya
 Semakin mendekati 1, semakin kuat hubungan searahnya
 Semakin mendekati 0, semain lemah hubungan linearnya
Scatter Plots of Data
Y
Y
Y
X
X
r = -1
r = -.6
Y
r=0
Y
Y
r = +1
X
X
X
r = +.3
X
r=0
Umur
B. Pressure
23
125
26
140
29
146
33
160
38
167
42
170
50
188
55
195
60
200
Di dunia kedokteran,
diketahui bahwa ada
kecenderungan umur dengan
tekanan darah.
Makin bertambah umur
seseorang, makin bertambah
tekanan darahnya…
Hitunglah korelasi u data di
atas
Chap 3-34