Metode Iterasi Gauss-Siedel Metode Gauss-Seidel

Pertemuan ke
ke--7
Persamaan Linier Simultan
25 Oktober 2012
Metode Iterasi GaussGauss-Siedel
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
Metode Gauss
Gauss--Seidel
• Merupakan metode iterasi.
iterasi.
• Prosedur umum:
umum:
- Selesaikan secara aljabar variabel tidak diketahui xi
masing--masing persamaan linier
masing
- Asumsikan suatu nilai awal pada setiap penyelesaian
- Selesaikan masingmasing-masing xi dan ulangi
- Hitung nilai mutlak dari kesalahan perkiraan relatif
setelah masingmasing-masing iterasi sehingga kurang dari
nilai toleransi.
toleransi.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
2
1
Metode Gauss
Gauss--Seidel
• Metode GaussGauss-Seidel Method membolehkan
pengguna untuk mengkontrol round
round--off error.
error.
• Metode eliminasi seperti Eliminasi Gauss dan
Dekompoisi LU rentan terhadap round
round--off error.
error.
• Juga,
Juga, bila bentuk dari masalah dapat dipahami,
dipahami,
dapat ditentukan nilai perkiraan awal yang lebih
dekat,, sehingga menghemat waktu iterasi.
dekat
iterasi.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
3
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Algoritma
• n persamaan dan n bilangan tak diketahui:
diketahui:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2
.
.
.
.
.
.
an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + ... + ann xn = bn
• Jika element diagonal tidak nol
nol,, tuliskan kembali masingmasingmasing persamaan untuk menyelesaikan bilangan yang tak
diketahui..
diketahui
• Misal:
Misal:
– Persamaan ke
ke--1, untuk menyelesaian x1,
dst..
– Persamaan ke
ke--2, untuk menyelesaikan x2, dst
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
4
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Algoritma
• Tulis kembali persamaan:
persamaan:
x1 =
c1 − a12 x 2 − a13 x3 …… − a1n x n
a11
Dari persamaan ke- 1
c2 − a21 x1 − a23 x3 …… − a2 n xn
a22
Dari persamaan ke-2
x2 =
⋮
xn −1 =
xn =
⋮
⋮
cn −1 − an −1,1 x1 − an −1, 2 x2 …… − an −1,n − 2 xn − 2 − an −1,n xn
Dari persamaan ke(n-1)
an −1,n −1
cn − an1 x1 − an 2 x2 − …… − an ,n −1 xn −1
Dari persamaan ke- n
ann
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
5
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Algoritma
• Bentuk umum persamaan yaitu
yaitu::
n
n
c1 − ∑ a1 j x j
x1 =
cn −1 −
j =1
j ≠1
xn −1 =
a11
∑a
n −1, j
xj
j =1
j ≠ n −1
an −1,n −1
n
n
c n − ∑ a nj x j
j =1
j ≠2
j =1
j≠n
c2 − ∑ a2 j x j
x2 =
a 22
xn =
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
a nn
6
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Algoritma
• Bentuk umum untuk sembarang baris keke-‘i’
‘i’
n
ci − ∑ aij x j
xi =
j =1
j ≠i
aii
, i = 1,2, …, n.
Bagaimana dan dimana persamaan ini dapat digunakan?
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
7
Metode Gauss
Gauss--Seidel
• Selesaikan bilangan
yang tidak diketahui.
diketahui.
• Asumsikan suatu nilai
perkiraan untuk [X]
 x1 
x 
 2
 ⋮ 
 
 xn-1 
 xn 
• Gunakan persamaan
yang telah ditulis ulang
untuk menyelesaiakn
masing--masing nilai xi.
masing
• Penting
Penting::
– Gunakan nilai terbaru
xi untuk setiap iterasi
persamaan berikutnya.
berikutnya.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
8
Metode GaussGauss-Seidel
• Hitung nilai absolut dari kesalahan relatif (|ε
(|εa|):
∈a i
xinew − xiold
=
×100
new
xi
• Kapan jawaban akan diperoleh?
– Hentikan iterasi bila nilai |εa| kurang dari nilai
kesalahan yang ditoleransikan untuk semua bilangan
tidak diketahui tersebut.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
9
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 1
Kecepatan dorong sutau roket untuk
tiga waktu berbeda adalah :
Table 1 Velocity vs. Time data.
Time, t (s) Kecepatan, v (m/s)
5
8
12
106.8
177.2
279.2
Data kecepatan pada Tabel 1 dapat didekati dengan persamaan
polinomial berikut :
v (t ) = a1t 2 + a2t + a3 , 5 ≤ t ≤ 12.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
10
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 1
1. Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks:
t12
2
t 2
t32

t1 1  a1   v1 

t 2 1 a2  = v2 
t3 1  a3  v3 
2. Sistem persamaan menjadi:
 25 5 1  a1  106.8 
 64 8 1 a  = 177.2 

  2 

144 12 1  a3  279.2
3. Perkirakan nilai awal:  a1  1
a  = 2
 2  
 a3  5
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
11
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 1
Tulis ulang persamaan:
 25 5 1  a1  106.8 
 64 8 1 a  = 177.2 

  2 

144 12 1  a3  279.2
a1 =
106.8 − 5a 2 − a 3
25
a2 =
177.2 − 64a1 − a 3
8
a3 =
279.2 − 144a1 − 12a 2
1
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
12
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 1
Gunakan nilai perkiraan awal untuk menghitung ai
Nilai awal:
a1 =
 a1  1
 a  =  2
 2  
 a3  5
a2 =
a3 =
106.8 − 5( 2) − (5)
= 3.6720
25
177.2 − 64(3.6720 ) − (5)
= −7.8510
8
279.2 − 144(3.6720 ) − 12(− 7.8510 )
= −155.36
1
Untuk menghitung a2, berapa banyak nilai perkiraan awal
yang diperlukan?
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
13
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 1
Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif
∈a i
xinew − xiold
=
× 100
xinew
Hasil iterasi ke-1 :
 a1   3.6720 
a  = − 7.8510
 2 

 a3   − 155.36 
3.6720 − 1.0000
∈a 1 =
x100 = 72.76%
3.6720
∈a 2 =
− 7.8510 − 2.0000
x100 = 125.47%
− 7.8510
∈a 3 =
− 155.36 − 5.0000
x100 = 103.22%
− 155.36
Nilai terbesar |εa| adalah
125.47%
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
14
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 1
 a1   3.6720 
  

Gunakan hasil dari iterasi ke-1: a 2  = − 7.8510
 a3   − 155.36 
Iterasi ke-2
Diperoleh nilai ai :
a1 =
106.8 − 5(− 7.8510 ) − 155.36
= 12.056
25
a2 =
a3 =
177.2 − 64(12.056 ) − 155.36
= −54.882
8
279.2 − 144(12.056 ) − 12(− 54.882 )
= −798.34
1
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
15
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 1
Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif pada
iterasi ke-2
∈a 1 =
∈a 2 =
∈a 3 =
12.056 − 3.6720
x100 = 69.543%
12.056
Hasil iterasi ke-2 :
 a1   12.056 
a  =  − 54.882
 2 

 a3  − 798.54
− 54.882 − (− 7.8510 )
x100 = 85.695%
− 54.882
− 798.34 − (− 155.36 )
x100 = 80.540%
− 798.34
Nilai terbesar |εa| adalah
85.695%
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
16
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 1
Hasil beberapa kali iterasi adalah sebagai berikut:
Iterasi
a1
3.6720
12.056
47.182
193.33
800.53
3322.6
1
2
3
4
5
6
∈a 1 %
a2
∈a 2 %
a3
72.767
69.543
74.447
75.595
75.850
75.906
−7.8510
−54.882
−255.51
255.51
−1093.4
−4577.2
−19049
125.47
85.695
78.521
76.632
76.112
75.972
−155.36
−798.34
−3448.9
3448.9
−14440
−60072
−249580
∈a 3 %
103.22
80.540
76.852
76.116
75.963
75.931
Catatan– Nilai kesalahan relatif tidak banyak berkurang pada setiap iterasi,
termasuk pula tidak konvergen pada nilai sebenarnya.
 a 1  0.29048
a  =  19.690 
 2 

a 3   1.0857 
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
17
Gauss--Seidel Method: Kelemahan
Gauss
Apa yang menyebabkan salah ?
Walaupun penghitungan dilakukan dengan benar, hasilnya
belum konvergen. Contoh 1 menunjukkan kelemahan dari
Metode Gauss-Siedel: tidak semua sistem persamaan
menghasilkan jawaban yang konvergen.
Apakah solusinya?
Satu dari sistem persamaan selalu konvergen dimana
koefisien matriks adalah dominan diagonal, yaitu jika [A]
dalam [A] [X] = [C] memenuhi kondisi :
n
n
aii ≥ ∑ aij
j =1
j ≠i
Untuk semua ‘i’ dan
aii > ∑ aij
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
j =1
j ≠i
paling tidak untuk
ke-‘i’
18
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 2
Diberikan persamaan berikut:
12 x1 + 3 x2 - 5 x3 = 1
x1 + 5 x2 + 3x3 = 28
3x1 + 7 x2 + 13x3 = 76
Gunakan nilai perkiraan
awal untuk iterasi ke-1 :
 x1  1
 x  = 0 
 2  
 x3  1
Koefisien matriksnya
adalah :
12 3 − 5
[A] =  1 5 3 
 3 7 13 
Apakah Metode GaussSiedel akan memberikan
hasil yang konvergen?
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
20
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 2
Cek apakah koefisien matriks dominan diagonal.
12 3 − 5
[A] =  1 5 3 
 3 7 13 
a11 = 12 = 12 ≥ a12 + a13 = 3 + − 5 = 8
a 22 = 5 = 5 ≥ a 21 + a 23 = 1 + 3 = 4
a33 = 13 = 13 ≥ a31 + a32 = 3 + 7 = 10
Semua koefisien matriks tidak sama, dan salah satu
baris bernilai lebih besar.
Oleh karen itu: Penyelesaian dengan Metode GaussSiedel akan konvergen.
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
21
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 2
Tulis kembali persamaan:
12 3 − 5  a1   1 
 1 5 3  a  = 28

  2  
 3 7 13   a3  76
 x  = 0 
 2  
 x3  1
1 − 3 x 2 + 5 x3
12
28 − x1 − 3 x3
x2 =
5
x1 =
x3 =
76 − 3 x1 − 7 x 2
13
Dengan nilai awal, lakukan
 x1  1
iterasi ke-1:
x3 =
x1 =
1 − 3(0 ) + 5(1)
= 0.50000
12
x2 =
28 − (0.5) − 3(1)
= 4.9000
5
76 − 3(0.50000 ) − 7(4.9000 )
= 3.0923
13
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
22
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 2
Nilai absolut kesalahan relatif:
∈a 1 =
0.50000 − 1.0000
× 100 = 100.00%
0.50000
∈a 2 =
4.9000 − 0
× 100 = 100.00%
4.9000
∈a 3 =
3.0923 − 1.0000
× 100 = 67.662%
3.0923
Nilai terbesar dari kesalahan relatif adalah 100%
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
23
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 2
 x1  0.5000
 x  = 4.9000

 2 
 x3  3.0923
Hasil iterasi ke-1
Substitusi nilai x ke persamaan :
1 − 3(4.9000 ) + 5(3.0923)
x1 =
= 0.14679
12
x2 =
28 − (0.14679 ) − 3(3.0923)
= 3.7153
5
x3 =
76 − 3(0.14679 ) − 7(4.900 )
= 3.8118
13
Hasil Iterasi ke-2
 x1  0.14679
 x  =  3.7153 
 2 

 x3   3.8118 
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
24
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 2
Nilai absolut dari kesalahan relatif pada Iterasi ke-2
∈a 1 =
0.14679 − 0.50000
× 100 = 240.61%
0.14679
∈a 2 =
3.7153 − 4.9000
× 100 = 31.889%
3.7153
∈a 3 =
3.8118 − 3.0923
× 100 = 18.874%
3.8118
Nilai terbesar dari kesalahan relatif adalah 240.61%, yaitu lebih
besar dari hasil Iterasi ke-1.
Apakah ini bermasalah?
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
25
Metode Gauss
Gauss--Seidel: Contoh 2
Lanjutkan Iterasi dan diperoleh hasil:
Iterasi
a1
1
2
3
4
5
6
0.50000
0.14679
0.74275
0.94675
0.99177
0.99919
∈a 1 %
100.00
240.61
80.236
21.546
4.5391
0.74307
Hasil akhir Iterasi :  x1  0.99919
 x  =  3.0001 
 2 

 x3   4.0001 
a2
∈a 2 %
a3
4.9000
3.7153
3.1644
3.0281
3.0034
3.0001
100.00
31.889
17.408
4.4996
0.82499
0.10856
3.0923
3.8118
3.9708
3.9971
4.0001
4.0001
∈a 3 %
67.662
18.876
4.0042
0.65772
0.074383
0.00101
Hasil penyelesaian eksak .
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
Department of Civil Engineering
 x1  1
 x  =  3
 2  
 x3  4
26