teknik komputasi

Pertemuan VIII: NILAI PRIBADI DAN VEKTOR PRIBADI
TEKNIK KOMPUTASI
MATERI
1. Menetapkan nilai pribadi dan vektor pribadi
 Mencari
persamaan karakteristik atas matriks
bujursangkar A
 Mencari nilai pribadi
 Mencari vektor pribadi
 Implementasi
2. Penyelesaian persamaan diferensial linear
dengan koefisien konstan dengan matrix
 Mengubah
persamaan diferensial linear dengan
koefisien konstan ke bentuk persamaan matrix
 Penyelesaian persamaan diferensial bentuk matrix
 Implementasi
7.1 PERSAMAAN KARAKTERISTIK (1)






Tinjau persamaan linear:
Ax = b
A: matrix bujursangkar
Dapat dinyatakan bahwa:
Ax = λIx
I: matrix satuan
Sehingga:
(A – λI)x = 0
Selanjutnya: (A – λI) = 0
Harga determinan dari (A – λI) berupa polinomial derajat n,
yaitu:
det (A – λI) = λn + c1 λn-1 + c2 λn-2 + ..... + cn-1 λ + cn = 0
Persamaan diatas disebut persamaan karakteristik, dengan
derajat polinomial n sama dengan derajat matrix A.
7.1 PERSAMAAN KARAKTERISTIK (2)



Akar-akar polinomial itu merupakan akar persamaan
karakteristik. Lebih lanjut, akar-akar persamaan karakteristik
itu diberi simbol λ1, λ2, λ3, ...., λn (ada n akar) dan dinamai nilai
pribadi ( eigen value ).
Dari Ax = λx, dapat dioperasikan :
A2x = λ2x
A3x = λ3x
dst
Aix = λix
Harga x dalam pasangan diatas, x dinamai vektor pribadi
(eigen vector ).
7.1 PERSAMAAN KARAKTERISTIK (3)


Menentukan bentuk polinomial persamaan karakteristik
sampai derajat 3 dapat dilakukan dengan sederhana yaitu
menggunakan determinan biasa.
Contoh:
a 11 a 12
A  a 21 a 22
a 31 a 32
a 13 
a 23 
a 33 
λ 0 0 
λI  0 λ 0
0 0 λ 
a 11-λ
a 12
a 13
det (A - λ I)  a 21
a 22-λ
a 23
a 31
a 32
a 33-λ
 (a 11  λ) (a 22  λ) (a 33  λ)  a 31 a 12 a 32  a 21 a 32 a 13
- (a 11 - λ) a 32 a 23  (a 33  λ) a 21 a 12 - (a 22 -  ) a 31 a 13  0
7.1 PERSAMAAN KARAKTERISTIK (4)


Sehingga diperoleh
λ3 + c1 λ2 + c2 λ + c3 = 0
Untuk polinomial persamaan karakteristik yang berderajat ≥ 4,
dapat ditentukan secara lebih efektif dan efisien dengan
menggunakan rumus Newton sebagai berikut :
 1

2
 1
 2
1

2
 3
 



 

 n 1  n  2
3
1


 n 3
  c1 
 1 
 c 
 
N O L
2
 
 2
 c 3 
 3 
 
 

4
c
  4
 4 
  
  
 
 
 
     
  
 
   n  c n 
 n
7.1 PERSAMAAN KARAKTERISTIK (5)


Dengan αi = tr(Ai)
Trace matrix A ditulis dengan notasi tr(A) adalah merupakan
jumlah elemen diagonal dari matrix A.
Contoh perhitungan mencari αi:
5 4 3 2 1
4 4 3 2 1


A  3 3 3 2 1


2
2
2
2
1


1 1 1 1 1
 1  tr(A 1 )  (5  4  3  2  1)  15
7.1 PERSAMAAN KARAKTERISTIK (6)
 2  tr(A 2 )
55 50 41 29 15
50 46 38 27 14


2
A   41 38 32 23 12


29
27
23
17
9


15 14 12 9 5 
 2  tr(A 2 )  (55  46  32  17  5)  155

Dan seterusnya sampai , sehingga diperoleh:
 3  tr(A 3 )  1884
 4  tr(A 4 )  23219
 5  tr(A 5 )  28655
7.1 PERSAMAAN KARAKTERISTIK (7)



Apabila harga-harga sudah diperoleh maka harga-harga ci
dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan Newton,
sehingga persamaan karakteristik diperoleh, yaitu:
λn + c1 λn-1 + c2 λn-2 + ..... + cn-1 λ + cn = 0
Harga-harga λi (= eigen value) dapat dicari dari penyelesaian
persamaan bentuk polinomial seperti diatas dengan
menggunakan algoritma mencari akar-akar polinomial.
Vektor-vektor pribadi xi dapat dicari dari penyelesaian
persamaan-persamaan:
Axi = λixi , i = 1, 2, 3, ....., n.
7.1 PERSAMAAN KARAKTERISTIK (8)

Maka akan diperoleh pasangan-pasangan harga nilai pribadi
dan vektor pribadi sebagai berikut:
(λ1, x1), (λ2, x2), (λ3, x3), ......., (λi, xi), ....., (λn, xn)

Sebagai pasangan nilai pribadi dan vektor pribadi dari A.
Dengan kita susun vektor-vektor pribadi itu membentuk kolomkolom matrix T, maka diperoleh :
T  x1

x2
x3  x n 
Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa AT = TD
D : adalah merupakan matrix diagonal dengan nilai elemenelemen diagonalnya adalah d11 = λ1, d22 = λ2, d33 = λ3, ....., dnn =
λn .
7.1 PERSAMAAN KARAKTERISTIK (9)


Dapat diperoleh bahwa :
A = TDT-1
Juga D = T-1AT
Dari pernyataan di atas, dapat kita lihat bahwa terdapat
similaritas antara matrix A dengan matrix D.
7.2 MENGHITUNG PASANGAN NILAI PRIBADI DAN
VEKTOR PRIBADI (1)




Menghitung n buah pasangan besaran Nilai Pribadi dan Vektor
Pribadi (λ, x) apabila dilakukan secara manual sangat rumit
dan melelahkan.
Dengan bantuan menggunakan sofware tools MATLAB,
kerumitan komputasi serta waktu yang melelahkan itu dapat
diatasi.
Dengan MATLAB, untuk menghitung Nilai Pribadi dan Vektor
Pribadi cukup ditulis dengan instruksi  T , D  eig  A
Contoh : misal matrix A
 5 8 16 
A   4 1
8 
- 4 - 4 - 11
7.2 MENGHITUNG PASANGAN NILAI PRIBADI DAN
VEKTOR PRIBADI (2)

Maka diperoleh bahwa :
T=

0.816497
-0.57735
-0.75726
0.408248
-0.57735
0.650944
-0.40825
0.57735
0.053159
D=
1
0
0
0
-3
0
0
0
-3
Pasangan Nilai Pribadi dan Vektor Pribadi dapat ditulis dalam
bentuk berikut:
λ1=1
λ2 = -3 λ3 = -3
T=
0.816497
-0.57735
-0.75726
0.408248
-0.57735
0.650944
-0.40825
0.57735
0.053159
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (1)


d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Diberikan : matrix bujur sangkar A (n baris x n kolom).
Soal
: tetapkan x agar d x  A x dengan x(0) diketahui
dt
Jawab
: x(t) = exp(At) * x(0)
Nilai-nilai exp(At) * x(0) dapat dihitung dengan menggunakan
paket MATLAB.
Aplikasi: Persamaan diferensial linear dengan koefisien
konstan
Tinjaulah persamaan diferensial linear dalam besaran real u
terhadap variabel bebas t sebagai berikut :
u(4) + 8u(3) + 28u’’ + 48u’ + 27u = 0
Dengan keadaan awal diketahui :
u(0) = 1 u’(0) = -2
u”(0) = 1.5 u(3)(0) = 2
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (2)


d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Persamaan diferensial ini dirumuskan dalam bentuk matrix
dengan mendefinisikan vektor y ≡ (yi) Є R4 sebagai berikut :
y1 = u
y2 = u’
y3 = u”
y4 = u(3)
Oleh karenanya y(0) = [ 1 -2 1.5 2 ]T.
Dari kenyataan itu, persamaan diferensial itu dapat ditulis:
y1’ = y2
y2’ = y3
y3’ = y4
y4’ = -27y1 – 48y2 – 28y3 – 8y4
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (3)

d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Diungkapkan dalam rumusan matrix, diperoleh y’ = Ay, dengan :
1
0
0
 0
 0

0
1
0

A
 0
0
0
1


27
48
28
8


y1’ = y2
y2’ = y3
y3’ = y4
y4’ = -27y1 – 48y2 – 28y3 – 8y4
Matrix A memiliki ( i = √-1 )
1  - 2  i 5
2  - 2  i 5
3  - 3  4  - 1
0.5 
 - 0.0216  0.0274i  0.0216  0.0274i 0.0349
 0.0180  0.1032i  0.0180  0.1032i  0.1048  0.5

T
 0.2668  0.1661i
0.2668  0.1661i
0.3143
0.5 


 0.9051  0.2643i  0.9429  0.5
 - 0.9050.2643i

Solusi atas persamaan ini adalah y(t) = exp(At)*y(0) dapat
diperoleh lewat bantuan MATLAB.
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (4)
Contoh persoalan
 1). Selesaikan :
y  3y  2y  0
y (0)  0
y(0)  1
Jawaban:
Definisikan:
y  x1
y  x 1  x 2
y  x 2  - 3x 2 - 2x 1
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Dalam notasi matrix :
x  A x
;
x (0)  1 0
T
 x 1   0 1   x 1 
 x   - 2 - 3  x  ;
  2
 2 
 x 1 (0)  1
 x (0)  0
 2   
0 1
 0 
A

λ
I


0  
- 2 - 3



1 
A -  I  

 2  3  
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (5)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Persamaan karakteristik :
det (A -  I)  2  3  2  0
   2  1  0
1  - 2 ; 2  - 1
Nilai Pribadi: λ1 = -2, λ2 = -1
1
T
1

D 1
0
1  1
1

2   2  1
0  - 2 0 


2   0 - 1
Maka jawaban penyelesaian adalah :
x(t) = exp(At) . x(0)
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (6)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
 x (0)  1
x (0)   1    
 x 2 (0) 0
0 1  
exp(At)  exp  
(t) 

 - 2  3 
 dengan bantuan MATLAB, x(t) sebagai jawaban dapat
diperoleh.
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (7)

d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
2). Persamaan Diferensial:
u  20u  40u  25u  0
u(0)  1 ; u (0)  - 2 ; u(0)  1.5
Nyatakan persamaan di atas dalam bentuk matrix!
Jawaban :
u  - 20u  40u  25u
Persamaan diferensial diubah dalam notasi berikut :
u  x1
u  x 1  x 2
u  x 2  x 3
u  x 3  - 20x 3 - 40x 2 - 25x 1
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (8)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Syarat awal :
u(0)  x 1 (0)  1
u (0)  x 2 (0)  - 2
1
x(0)   - 2 
1.5
u(0)  x 3 (0)  1.5
Persamaan dalam bentuk matrix:
1
0   x1 
 x 1   0
x    0
 x 
0
1
2
  
  2
 x 3  - 2.5 - 40 - 20  x 3 
dan
Jawaban fungsi penyelesaian
x(t) = exp(At) * x(0)
1
x(0)   - 2 
1.5
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (9)

d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
3). Bila persamaan diferensial:
u  20u  40u  25u  f (t)
u(0)  1 ; u (0)  - 2 ; u(0)  1.5
Nyatakan persamaan di atas dalam bentuk matrix!
Jawaban:
1
0   x 1  0
 x 1   0
x    0
 x   0 f (t)
0
1
 2 
  2  
 x 3  - 2.5 - 40 - 20  x 3  1
x  A x  B f (t) .......................................(i )
1
dengan x (0)   - 2 
1.5
Atau
Persamaan (i) : Persamaan
keadaan
f(t) : Stimulus
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (10)

d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Contoh perhitungan dengan secara manual :
Diketahui : matrix A
3 3 2
A   1 1 - 1
- 1 - 3 0 
Akar persamaan karakteristiknya adalah: -2, 2, 4.
Tentukanlah :
Persamaan karakteristiknya
Nilai pribadi dan vektor pribadinya
Matrix T dan D, serta kebenarannya
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (11)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Jawaban:
a.Persamaan Karakteristiknya adalah :
(λ +2)( λ – 2)( λ – 4) = 0
λ3 – 4 λ2 - 4 λ + 16 = 0
b.Nilai pribadi dari matrix A merupakan akar- akar persamaan
karakteristik matrix tersebut.
Nilai-nilai pribadinya adalah : λ1 = -2; λ2 = 2; λ3 = 4
Vektor pribadi untuk λ1 = -2
Ax = λ I x
 3 3 2   x 1  - 2 0 0   x 1 
 1 1 - 2  x    0 - 2 0   x 

  2 
  2
- .1 - 3 0   x 3   0 0 - 2  x 3 
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (12)
d
x  Ax
dt
3x 1  3x 2  2x 3   - 2x 1 
x 
 - - 2x   0
x
2x
1
2
3
2

 
 - x 1
 - 2x 3 
- 3x 2
5x 1  3x 2  2x 3 
x 
0
3x
2x
2
3
 1
- x 1  3x 2  2 x3 
misal : x1 = 1
5x1 + 3x2 + 2x3 = 0
3x2 + 2x3 = -5... (persamaan 1)
x1 + 3x2 – 2x3 = 0
3x2 − 2x3 = -1... (persamaan 2)
DENGAN X(0)
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (13)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Dengan cara eliminasi persamaan 1dan 2 diperoleh :
3x2 + 2x3 = -5
3x2 + 2(1) = -1 _
4x3 = -4
x3 = -1
Dengan cara mensubstitusi x3 = 1 pada persamaan 1
diperoleh:
3x2 + 2x3 = -5
3x2 + 2(-1) = -5
3x2 = -3
x2 = -1
Jadi vektor untuk λ1 = -2 adalah :
1
X 1  k - 1
- 1
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (14)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Vektor pribadi untuk λ2 = 2
Ax = λ I x
 3 3 2   x 1  2 0 0  x 1 
 1 1 - 2  x    0 2 0   x 

  2 
  2
- .1 - 3 0   x 3  0 0 2  x 3 
3x 1  3x 2  2x 3   2x 1 
 x 1  3x 2  2x 3 
x 
 - 2x   0   x
0
x
2x
x
2x
1
2
3
2
1
2
3

 



 - x 1 - 3x 2
  2x 3 
 - x 1 - 3x 2  2 x3 
misal : x1 = 1
x1 + 3x2 + 2x3
3x2 + 2x3
x1 − x2 – 2x3
− x2 − 2x3
=0
= -1...(persamaan 1)
= 0
= -1...(persamaan 2)
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (15)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Dengan cara mensubstitusi x2 = -1 pada persamaan 1
diperoleh:
3x2 + 2 x3 = -1
3(-1) + 2 x3 = -1
2x3 = 2
x3 = 1
Jadi vektor untuk λ2 = 2 adalah
1
X 2  k - 1
 1 
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (16)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Vektor pribadi untuk λ3 = 4
Ax = λ I x
 3 3 2   x 1  4 0 0  x 1 
 1 1 - 2  x   0 4 0   x 

  2 
  2
- .1 - 3 0   x 3  0 0 4  x 3 
3x 1  3x 2  2x 3   4x 1 
- x 1  3x 2  2x 3 
 x
 - 4x   0   x
0
3x
2x
3x
2x
1
2
3
2
1
2
3

 



 - x 1
  4x 3 
 - x 1
- 3x 2
- 3x 2  4 x3 
misal : x1 = 1
−x1 + 3x2 + 2x3 = 0
3x2 + 2x3 = 1…. (persamaan 1)
−x1 − 3x2 – 4x3 = 0
− 3x2 − 4x3 = 1...(persamaan 3)
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (17)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Dengan cara eliminasi persamaan 1dan 3 diperoleh:
3x2 + 2 x3 = 1
−3x2 − 4 x3 = 1 +
−2x3 = 2
x3 = -1
Dengan cara mensubstitusi x3 = -1 pada persamaan 1
diperoleh:
3x2 + 2x3 = 1
3(-1) + 2(-1) = 1
3x2 = 3
x2 = 1
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (18)
d
x  Ax
dt
Jadi vektor untuk λ3 = 4 adalah :
1
X 3  k  1 
- 1
c.Matrix T :
T  x1
x2
1 1 1
x 3    1 - 1 1 
 - 1 1  1
Matrix D :
1
D   0
 0
0
2
0
0   2 0 0
0    0 2 0
3   0 0 4
DENGAN X(0)
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (19)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Matrix T dan D di atas dikatakan benar jika memenuhi
persamaan berikut ini:
AT =TD
3
AT   1
- 1
1
TD   1
 - 1
2  1
1 - 2  1
- 3 0   - 1
1 1   2
- 1 1   0
1  1  0
3
1
-1
1
0
2
0
Terbukti bahwa :
4
 2 2
AT  TD   2 - 2 4 
 2
2  4
1   2
1    2
 1  2
0  2
0   2
4  2
4
- 2 4 
2  4
2
4
- 2 4 
2  4
2
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (20)

d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Contoh 2
Ubahlah persamaan diferensial ini dalam bentuk matrix!
d 4x
d 3x
d 2x
dx
2 4  6 3  6 2  3  x  5 cost;
dt
dt
dt
dt



x (0)  x (0)  x(0)  x(0)  1
Jawaban :




d 4x
d 3x
d 2x
dx
2 4  6 3  6 2  3  x  5 cos t  2 x  6 x  6 x  3 x  x  5 cos t
dt
dt
dt
dt



x (0)  x(0)  x(0)  x(0)  1
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (21)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Definisikan :
x  y1




x  y1  y2
x  y 2  y3
 

x  y 3  y4
 

x  y4  
1
2
y1  y 2  3 y 3  3 y 4  5 cos t
2
3
Sehingga persamaan diferensial di atas jika dituangkan dalam
bentuk matrix menjadi:

y  Ay  B x f (t )
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (22)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
 
1
0
0   y1   0 
 y1   0
 y   0 
y   0
0
1
0
  2     × 5cos t
 2   
0
0
1   y3   0 
 y3   0
    1 / 2  3 / 2  3  3  y   1 
  4   2 
 y 4  
di mana :
1
1
y (0)   
1

1
d
x  Ax
dt
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (23)

DENGAN X(0)
Contoh 3 :
a. Ubahlah persamaan diferensial berikut ini ke bentuk
persaman matrix: 3 x x 3 x  2 x  0


x(0)  1; x(0)  2; x  3
b.Bagaimana bentuk persamaan karakteristiknya
c..Bagaimana bentuk persamaan jawabannya
Jawaban :
a.Definisikan
x  y1




x  y1  y2
x  y 2  y3
 

x  y3  
2
1
y1  y 2  y 3
3
3
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (24)
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
Persamaan menjadi:

y1  y 2

y 2  y3

2
1
y1  y 2  y 3
3
3
y (0) T  1 2 3
y3  
Dalam rumus matrix persamaan defernsial di atas menjadi:
 
1 0   y 1   y 1 ( 0)   1 
 y 1   0
  y  ;  y (0)  2
y    0
0
1
  2  2   
 2 
 y   2 / 3 1 1 / 3  y 3   y 3 (0)  3
 3 
7.3 MENYELESAIKAN
DIKETAHUI (25)
b.
d
x  Ax
dt
DENGAN X(0)
1 0 
1
0 
 0
 0 0 
 
A   0
0 1   I   0  0   [A - I] =  0

1 
 2 / 3 1 1 / 3
 0 0  
 2 / 3 1 1 / 3   
Persamaan karakteristiknya menjadi:
Det [A − λI] = (−λ) (−λ) ((1/3) − λ) + (1) (1) (−2/3) + (0) (0) (1) −
{(0) (−λ) (2/3) + (1) (1) (−λ) + (1/3 − λ) (0) (1)}
1 2
2
1 2
2
3
3
      (  )         0
3
3
3
3
1
2
 3  2     0
3
3
 33  2  3  2  0
c. Jawaban fungsi penyelesaian matrix di atas adalah :
x(t) = exp (At) * x(0)
 0
1 0   1 

  

x(t )  exp   0
0 1   t    2
  2 / 3 1 1 / 3  3
   

Dengan bantuan matlab :
>> syms x t
>> x=exp([0 1 0; 0 0 1; -2/3 1 1/3]*t)*[1;2;3]
diperoleh hasil sebagai berikut:
4  2  exp( t )



x(t )  
3  3  exp( t )

exp( 2 / 3  t )  2  exp( t )  3  exp(1 / 2  t )