RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Mata Pelajaran
Kelas / Semester
Pertemuan ke
Alokasi Waktu
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Indikator
: Matematika
: XII / 5
: 1, 2, 3, 4 dan 5
: 6 x 45 menit
: Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dan kuadrat.
: Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan
pertidaksamaan linear.
: a. Persamaan linear ditentukan penyelesaiannya.
b. Pertidaksamaan linear ditentukan penyelesaiannya.
I. Tujuan :
A. Menjelaskan pengertian persamaan linear.
B. Menyelesaikan persamaan linear.
C. Menjelaskan pengertian pertidaksamaan linear.
D. Menyelesaikan pertidaksamaan linear.
II. Materi Ajar :
1. Persamaan Linier
Persamaan linier didefisikan sebagai suatu persamaan yang peubah (variabel)
dari persamaan tersebut dengan pangkat tertingginya satu.
Bentuk Umum
: ax + b = 0 , dimana a,b  R, a  0
Sifat-sifat :
(i). Nilai persamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dan
dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.
(ii). Jika salah satu elemen dipindah ruas, maka :
a. penjumlahan berubah menjadi pengurangan dan sebaliknya.
b. perkalian berubah menjadi pembagian dan sebaliknya.
Contoh 1 :
5x + 3
=8
5x + 3 – 3 = 8 – 3 ( kedua ruas dikurangi 3 )
5x
=5
5x . 1/5 = 5 . 1/5 ( kedua ruas dikalikan 1/5 )
x =1
2. Pertidaksamaan Linier
Pertidaksamaan linier adalah suatu kalimat terbuka yang menggunakan salah
satu lambang ketidaksamaan dengan pangkat tertinggi untuk variabelnya adalah
satu
.
Bentuk Umum
:
ax + b < 0
ax + b > 0
ax + b  0
ax + b  0
dimana a, b  R, a  0.
1
Sifat-sifat pertidaksamaan
1.
Jika kedua ruas sistem pertidaksamaan masing-masing ditambah,
dikurangi, dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama,
maka tanda sistem pertidaksamaan tidak berubah.
2.
Jika kedua ruas sistem pertidaksamaan masing-masing, dikali atau
dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda sistem
pertidaksamaan berubah.
Contoh permasalahan :
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : 3x + 8 ≤ 6x
–2!
Jawab :
3x + 8 ≤ 6x – 2
3x + 8 – 6x ≤ 6x – 2 – 6x kedua ruas dikurangi dengan : 6x
- 3x + 8 ≤ - 2
- 3x + 8 – 8 ≤ - 2 – 8 Kedua ruas dikurangi dengan : - 8
- 3x ≤ - 10
3 x
10
≥
3
3
kedua ruas dibagi dengan : - 3
maka tanda pertidaksamaan berubah.
x≥
10
atau x ≥ 3 13
3
Jadi himpunan penyelesaian : { x  x ≥ 3 13 }
.III.
A.
B.
A.
Metode Pembelajaran :
Pendekatan kontekstual
Diskusi Informasi
Tanya Jawab
IV. Langkah-langkah Pembelajaran
A. Kegiatan Awal : Tanya jawab tentang pengertian persamaan dan pertidaksamaan.
B. Kegiatan Inti :
1. Merumuskan pengertian persamaan linear.
2. Menyelesaikan persamaan linear.
3. Merumuskan pengertian pertidaksamaan linear.
4. Menyelesaikan pertidaksamaan linear.
5. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan persamaan
dan pertidaksamaan linear.
C. Kegiatan Akhir
1. Peserta didik membuat rangkuman.
2. Guru memberi penghargaan pada peserta yang aktif.
V. Alat / Bahan / Sumber Belajar
A. Modul Persamaan dan Pertidaksamaan
B. Referensi lain yang relevan
VI. Penilaian
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
2
a. 6x + 8 = 12 – 4x, x  bilangan rasional !
3x  6
 3 x  7 untuk xR !
b.
4
2. Harga 1 kg telur adalah lima kali harga 1 kg terigu. Surti membeli 3 kg telur dan 10
kg terigu dengan harga Rp 20.000,00.Tentukan harga per kg masing-masing barang!
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x + 8  6x – 2 !
Jawab :
3x  6
 3x  7
4
3x  6
 4  (3 x  7)  4
4
3x + 6 = 12x – 28
3x – 12x = -28 – 6
-9x = -34
7
x 3
9
Jadi himpunan penyelesaiannya
 7
adalah : 3 
 9
1. a. 6x + 8 = 12 – 4x
b.
6x + 4x = 12 – 8
10x = 4
x
= 2/5
Jadi himpunan penyelesaiannya
adalah :  2/5 .
2. Pemisalan :
harga 1 kg terigu
:x
harga 1 kg telur
: 5x
Maka : 3 kg telur + 10 kg terigu = 20.000
3(5x) + 10x
= 20.000
25x
= 20.000
x
= 800
Jadi harga 1 kg terigu = Rp 800,00
Harga 1 kg telur
= Rp 4.000,00
3. 3x + 8  6x – 2
3x + 8 – 6x  6x – 2 – 6x
kedua ruas dikurangi dengan 6x
-3x + 8  – 2
-3x + 8 – 8  – 2 – 8
kedua ruas dikurangi dengan -8
-3x  –10
3x  10
kedua tanda berubah
1
x  3
3
1
Jadi himpunan penyelesaian : x x  3 
3
Mengetahui,
Klaten, ……………………….2007
Kepala Sekolah
Guru Mata Pelajaran Matematika
(…………………………………)
NIP. …………………………….
(…………………………………)
NIP. …………………………….
3
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Mata Pelajaran
Kelas / Semester
Pertemuan ke
Alokasi Waktu
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
pertiIndikator
: Matematika
: XII / 5
: 6, 7, 8, 9, 10, 11 dan 12
: 6 x 45 menit
: Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dan kuadrat.
: Menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan
daksamaan kuadrat.
: a. Persamaan kuadrat ditentukan penyelesaiannya.
b. Pertidaksamaan kuadrat ditentukan penyelesaiannya.
I. Tujuan :
A. Menjelaskan pengertian persamaan kuadrat.
B. Menyelesaikan persamaan kuadrat.
C. Menjelaskan pengertian pertidaksamaan kuadrat.
D. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
II. Materi Ajar :
1.
Persamaan Kuadrat
2
Bentuk Umum :
ax  bx  c  0 ; a,b,c  R, a  0.
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat :
(i). Memfaktorkan
Dasar: Tentukan 2 bilangan yang jumlahnya = b dan hasil kalinya = ac.
Contoh :
Carilah akar-akar persamaan kuadrat : x 2  3x  4  0
Penyelesaian :
Dua buah bilangan yang jumlahnya -3 dan hasil kalinya -4 adalah 1 dan -4.
2
x  3x  4  0
Sehingga :
2
x  x  4x  4  0


x(x  1)  4(x  1)  0

(x  4)( x  1)  0

x1 = 4 dan x2 = -1

Jadi akar-akarnya adalah : -1 dan 4.
(ii). Melengkapi kuadrat sempurna
Langkah Penyelesaian :
1. Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
2. Bagi kedua ruas dengan koefisien x2
3. Tambah kedua ruas dengan ( ½ koefisien x ) 2 .
4. Ubahlah ruas kiri ke bentuk ( ax  b ) 2.
4
Contoh :
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat : 2 x 2  5x  3  0
Penyelesaian :
2
2

2 x  5x  3  0
2 x  5x   3
x
2

5
2
5
x
3
2
3
1 5 2
1 5 2
x  { (  )}    { (  )}
2
2
2
2
2
2
3
5 2
5 2
2 5
x  x  ( )    ( )
4
4
2
2
x
2

5 2
) 
4
5 2
(x  ) 
4
5
(x  )  
4
1
(x 
maka x1 =
4
 24  25
16
1
16
1
4

5
4
6

4

3
2
dan x2 = 
Jadi akar-akarnya adalah : 1 dan
1
4

5
4

4
4
1
3
2
(iii). Rumus ABC
Bentuk Umum :
x 1.2 
2
ax  bx  c  0 ; a,b,c  R, a  0.
 b  b 2  4ac
2a
atau x 1.2 
b D
2a
dimana D = b 2  4ac
Contoh :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2  2 x  1  0 .
Penyelesaian :
 ( 2 )  ( 2 ) 2  4.2.( 1)
2  12
22 3
 x 1.2 
4
4
1 1
1 1
Jadi akar-akarnya : x 1   3 dan x 2   3
2 2
2 2
x 1.2 
2.2
 x 1.2 
(iv). Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :
1. Apabila D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai 2 akar real dan berbeda.
2. Apabila D = 0 maka persamaan kuadrat mempnyai 2 akar kembar.
3. Apabila D < 0 maka persamaan kuadrat mempunyai akar imajiner.
4. x 1  x 2  
5. x 1 . x 2 
b
a
c
a
5
Contoh iv. a :
Tentukan p agar persamaan kuadrat 2x 2  px  4  0 mempunyai dua akar kembar !
Penyelesaian : Syarat akar kembar D = 0
b 2  4ac = 0
(-p)2 – 4.2.4 = 0
p2 = 32
p =  42
Jadi nilai p = - 42 atau p = 42
Contoh iv. b :
Salah satu akar dari persamaan kuadrat x2 + px – 6 = 0 adalah 3, tentukanlah p dan
salah satu akar yang lain !
Penyelesaian :
x2 + px – 6 = 0
x1 . x2 =
c
a
x1 + x2 = 
3. x2
x2
=-6
=-2
b
a
3–2=-p
p=-1
Contoh iv. c :
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 3x2 – 2x – 3 = 0 adalah  dan .
Tentukanlah nilai dari
1 1

 
=…
Penyelesaian : 3x2 – 2x – 3 = 0
1 1

 
x 1 x 2
x 1 .x 2
=
1
1

x1 x2
b
a
=
c
a


1
1

x1 x2
x 1 x 2
x 1 .x 2
=
=
x2
x
+ 1
x 1 .x 2 x 1 .x 2
( 2 )
b
2
=
=
3
3
c
2. Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk Umum :
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
ax 2  bx  c  0
a,b,cR;a0
ax 2  bx  c  0
Cara Penyelesaian :
Pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara mencari harga-harga
nol ( yaitu mencari nilai x yang membuat persamaan kuadratnya = 0 ).
Kemudian pasangan harga-harga nol tersebut pada garis bilangan untuk
menentukan daerah penyelesainnya.
6
Contoh 2. a :
Tentukan himpunan penyelesaian dari : x2 + x – 5  0 !
Penyelesaian :
x2 + x – 5  0
(x – 1) (x + 5) = 0
x – 1 = 0 atau x + 5 = 0
x = 1 atau x = - 5
+++++++
+
-5
--------
1
+++++++
+
Jadi Himpunan penyelesaiannya : { x  x  - 5 atau x  1 }
Contoh 2. b :
Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3x2 – 2x – 5 < 0 !
Penyelesaian :
Harga-harga nol dari 3x2 – 2x – 5 < 0 yaitu :
3x2 – 2x – 5 = 0
2
3x + 3x – 5x – 5 = 0
3x.(x + 1) – 5 ( x + 1) = 0
(3x – 5) . (x + 1) = 0
+++++
-----+++++
3x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x=
5
atau x = 1
3
Jadi himpunan penyelesaiannya :
-1
5/3
: { x  - 1 < x < 5/3 }
III. Metode Pembelajaran :
A. Pendekatan kontekstual
B. Diskusi Informasi
C. Tanya Jawab
IV. Langkah-langkah Pembelajaran
A. Kegiatan Awal : Mengadakan tanya jawab tentang pengertian persamaan dan
pertidaksamaan kuadrat.
B. Kegiatan Inti :
1. Merumuskan pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
2. Menjelaskan akar-akar persamaan kuadrat dan sifat-sifatnya.
3. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
D. Kegiatan Akhir
A. Peserta didik membuat rangkuman.
B. Guru memberi penghargaan pada peserta yang aktif.
V. Alat / Bahan / Sumber Belajar
A. Modul Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
B. Referensi lain yang relevan
7
VI. Penilaian
1. Carilah akar-akar persamaan kuadrat dari :
a. x2 – 3x – 4 = 0
b. 2x2 – 2x – 1 = 0
2. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat dari 3x2 – 2x – 3 = 0 adalah p dan q.
1 1
Tentukan nilai dari  !
p q
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x2 – 2x – 5 < 0 !
4. Tentukan p agar persamaan kuadrat 2x2 – px + 4 = 0 mempunyai dua akar kembar !
Jawab :
1. a. x2 – 3x – 4 = 0
(x – 4)(x + 1) = 0
x1 = 4 dan x2 = -1
Jadi akar-akarnya adalah -1 dan 4.
b. 2x2 – 2x – 1 = 0
a = 2 ; b = -2 ; c = -1
x1.2 
x1.2 
 b  b 2  4ac
2a
  2
 22  4. 2 (1)
2. 2
2  12
4
2 2 3
x 1.2 
4
x 1.2 
Jadi akar-akarnya :
x1 
1 1
1 1

3 dan x 2  
3
2 2
2 2
2. 3x2 – 2x – 3 = 0
x2
x
1 1
1 1
1 1


 1

=
 =
x1  x 2 x 2  x 1
x1 x 2
p q x1 x 2
x1  x 2
b/a
2
 b  (2)
=

=
= 
c/a
c
3
3
x1  x 2
8
3. Harga-harga nol dari 3x2 – 2x – 5 < 0 adalah 3x2 – 2x – 5 = 0
(3x – 5)(x + 1) = 0
5
x = atau x = 1
3
Jadi himpunan penyelesaiannya : x -1 < x < 5/3
4. Syarat akar kembar D = 0
b2 – 4ac = 0
(-p)2 – 4.2.4 = 0
p2 = 32
p =  4 2 Jadi nilai p = - 4 2 atau p = 4 2
Klaten, ……………………….2007
Guru Mata Pelajaran Matematika
Mengetahui,
Kepala Sekolah
(…………………………………)
NIP. …………………………….
(…………………………………)
NIP. …………………………….
9
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Mata Pelajaran
Kelas / Semester
Pertemuan ke
Alokasi Waktu
Standar Kompetensi
: Matematika
: XII / 5
: 13, 14, 15, 16 dan 17
: 6 x 45 menit
: Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dan kuadrat.
: Menerapkan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
: a. Persamaan kuadrat disusun berdasarkan akar-akar yang di
ketahui.
b. Persamaan kuadrat baru disusun berdasarkan akar-akar
persamaan kuadrat lain.
c. Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat diterapkan dalam
menyelesaikan masalah program keahlian.
Kompetensi Dasar
Indikator
I. Tujuan :
A. Menyelesaikan persamaan kuadrat apabila diketahui akar-akarnya.
B. Menyelesaikan persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat yang
lain.
II. Materi Ajar :
(v).
Menyusun persamaan kuadrat baru.
Perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat :
2
ax  bx  c  0 (apabila kedua ruas dibagi dengan koefisien x2 = a)
x2 
b
c
x  0
a
a
terdapat rumus : x 1  x 2  
:
sehingga :
x2 
b
b
maka  (x 1  x 2 )
a
a
c
x1 . x2 
a
b
c
x  0
a
a

… Rumus I )
x 2  ( x 1  x 2 ) x  x 1 .x 2  0
2

x  x 1 .x  x 2 .x  x 1 .x 2  0

x (x  x 1 )  x 2 (x  x 1 )  0

… Rumus II)
(x  x 1 ) (x - x 2 )  0
Jadi apabila peersamaan kuadrat mempunyai akar-akar x1 dan x2 maka persamaan
kuadrat tersebut dapat disusun dengan :
I. x 2  (x 1  x 2 ) x  x 1 .x 2  0
atau
II. (x  x 1 ) (x - x 2 )  0
Contoh v. a :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1 dan 2 !
Penyelesaian :
x1 = - 1 dan x2 = 2
10
maka : x 2  (x 1  x 2 ) x  x 1 .x 2  0
x 2  ( 1  2) x  ( 1).2  0
x2  x  2  0
Contoh v. b :
Susunlah persamaan kuadrat yang jumlah akar-akarnya –3 dan hasil kalinya 4!
Penyelesaian : x 1  x 2  3 dan x 1 . x 2  4
x 2  ( x 1  x 2 ) x  x 1 .x 2  0
x 2  (3) x  4  0
x 2  ( x 1  x 2 ) x  x 1 .x 2  0
III. Metode Pembelajaran :
A. Pendekatan kontekstual
B. Diskusi Informasi
C. Tanya Jawab
IV. Langkah-langkah Pembelajaran
A. Kegiatan Awal : Tanya jawab tentang berbagai jenis penyelesaian persamaan
kuadrat.
B. Kegiatan Inti :
1. Menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar yang diketahui.
2. Menyusun persamaan kuadrat berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat
yang lain.
3. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan persamaan
dan pertidaksamaan kuadrat.
C. Kegiatan Akhir
1. Peserta didik membuat rangkuman.
2. Guru memberi penghargaan pada peserta yang aktif.
V. Alat / Bahan / Sumber Belajar
A. Modul Persamaan dan Pertidaksamaan
B. Referensi lain yang relevan
VI. Penilaian
1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1 dan 2 !
2. Tentukan m agar persamaan kuadrat (m + 1)x2 – 2x – 2m + 1 = 0 mempunyai dua
akar real dan berbeda !
Jawab :
1. x1 = -1 dan x2 = 2 maka
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
x2 – (-1 + 2)x + (-1) . 2 = 0
x2 – x + 2 = 0
2. Syarat D > 0
b2 – 4ac > 0
(-2)2 – 4.(m+1)(-2m+1) > 0
11
4 + 8m2 + 4m – 4 > 0
8m2 + 4m > 0
2m2 + m > 0
m(2m + 1) > 0
-1/2 > m > 0
Klaten, ……………………….2007
Guru Mata Pelajaran Matematika
Mengetahui,
Kepala Sekolah
(…………………………………)
NIP. …………………………….
(…………………………………)
NIP. …………………………….
12
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Mata Pelajaran
Kelas / Semester
Pertemuan ke
Alokasi Waktu
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Indikator
: Matematika
: XII / 5
: 18, 19, 20, 21 dan 22
: 6 x 45 menit
: Memecahkan masalah berkaitan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dan kuadrat.
: Menyelesaikan sistem persamaan.
: a. Sistem persamaan linear dua dan tiga variabel dapat
ditentukan penyelesaiannya.
b. Sistem persamaan dengan dua variabel, satu linear dan
satu kuadrat dapat ditentukan penyelesaiannya.
I. Tujuan :
A. Menjelaskan pengertian Sistem Persamaan Linear.
B. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua variabel secara eliminasi dan
substitusi.
C. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga variabel secara eliminasi dan
substitusi.
II. Materi Ajar :
A.Sistem persamaan linear adalah suatu system persamaan yang variabel-variabel dari
persamaan tersebut berpangkat satu. Sistem persamaan linear 2 variabel dan 3 variabel
dapat diselesaikan dengan : substitusi, eliminasi, gabungan sliminasi-substitusi dan
determinan matriks.
1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.
Bentuk umum sistem persamaan linear adalah :
a1 x  b1 y  c1
a2 x  b2 y  c2 ,
dengan a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1dan c 2 merupakan konstanta.
Jika c 1  0 , c 2  0 maka system persamaan disebut persamaan homogen, tetapi
apabila c 1  0 , c 2  0 maka sistem persamaan disebut persamaan non-homogen.
Contoh :
Homogen
: 2x + 6y = 0
5y – 2x = 0
Non-homogen
: 3x – 4y = 8
4x + 3y = 21
a.
Metode Substitusi
Penyelesaian system persamaan dengan metode substitusi adalah dengan
mengganti variabel persamaan yang satu dengan variabel dari persamaan
yang lainnya.
Contoh : Tentukan himpunan Penyelesaian dari :
2x + 3y = 2
pers. 1
x – y =1
pers. 2
Jawab :
Pers. 1 :
2 x + 3y = 2
2x = 2 – 3y
13
x =
2  3y
2
Disubstitusikan ke pers. 2
x–y =1
2  3y
2
=1
2 – 3y = 2
– 3y = 0
y =0
dari y = 0 , maka nilai x :
x=
2  3.0
x=1
2
maka himpunan penyelesaiannya : {1,0}
b.
Metode Eliminasi
Eliminasi artinya menghilangkan salah satu variabel dari system persamaan
linear, dengan cara menyamakan konstanta variabel yang dihilangkan serta
menggunakan operasi penjumlahan atau pengurangan.
Contoh : Tentukan himpunan Penyelesaian dari 2x + 3y = 2
x – y =1
Jawab :
2x + 3y = 2 x 1   2x + 3y = 2
x – y = 1 x 2   2x – 2y = 2 5y
=0
y
=0
2x + 3y = 2 x 1   2x + 3y = 2
x – y = 1 x 3   3x – 3y = 3 +
5x
=5
x
=1
Jadi himpunan penyelesaian : { 1 , 0 }
c.
Metode Gabungan Eliminasi-Substitusi
Contoh : Tentukan himpunan Penyelesaian dari 2x + 3y = 2
x – y =1
2x + 3y = 2 x 1   2x + 3y = 2
x – y = 1 x 2   2x – 2y = 2 5y
=0
y
=0
Setelah mendapatkan nilai y = 0, maka untuk mendapatkan nilai y
menggunakan metode substitusi :
x – y =1
x – 0 =1
x=1
Jadi himpunan penyelesaian : { 1 , 0 }
Jawab :
2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Bentuk Umum
:
ax + by + cz = d, dimana a,b,c,d  R, a  0, b  0, c  0
px + qy + rz = s, dimana p,q,r,s  R, p  0, q  0, r  0
14
kx + ly + mz =n, dimana k,l,m,n  R, k  0, l  0, m  0
Untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan linear 3 variabel menggunakan
metode :
Metode Elimiasi-Substitusi
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
4x + 8y + z = 2
x + 7y – 3z = - 14
2x – 3y + 2z = 3
Jawab :
Dari pers. 1 dan pers. 2 dieliminasi untuk variabel z
4x + 8y + z = 2 x 3  12x + 24y + 3y
=6
x + 7y – 3z
= - 14
x 1 
13x + 31y
=-8
Dari pers. 1 dan pers. 3 dieliminasi untuk variabel z
4x + 8y + z
= 2 x 28x + 16y + 2z = 4
2x – 3y + 2z
= 3 x 12x – 3y + 2z = 3 6x + 19y
=1
Dari pers. 4 dan pers. 5 dieliminasi x
13x + 31y
=-8
x 6 
78x + 186y
6x + 19y = 1 x 13  78x + 247y = 13 - 61y = - 61
y =1
y = 1 disubstitusikan ke pers. 4
13x + 31y
=-8
13x + 31 . 1 = - 8
13x = - 39
 x =-3
y = 1 dan x = -3 disubstitusikan ke pers. 1
4x + 8y + z
=2
4 . (-3) + 8 . 1 + z = 2
- 12 + 8 + z = 2
z = 2 – 8 + 12
z =6
Maka himpunan penyelesaian : { -3 , 1 , 6 }
pers. 1
pers. 2
pers. 3
x + 7y – 3z
……pers. 4
= - 14 +
…… pers. 5
= - 48
3. Sistem Persamaan dengan Dua Variabel, Satu Linear dan Satu Kuadrat.
Sistem persamaan dua variabel dengan satu persamaan linear dan satu persamaan
kuadrat dapat diselesaikan dengan metode substitusi.
ax 2  by 2  cxy  dx  ey  f  0
Adapun bentuk umum :
…
bentuk
kuadrat
px  qy  r  0
… bentuk linear
dimana : a , b , c , d , e , f , p , q , r  bilangan real.
15
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
x–y+6=0
x2–y=0
Dasar : untuk menyelesaikan permasalahan soal di atas adalah
mengsubstitusikan salah satu variabel sistem persamaan linear ke sistem
persamaan kuadrat.
Penyelesaian : dari persamaan linear : x – y + 6 = 0
dapat diubah ke bentuk : x = y – 6 (i) atau y = x + 6 (ii)
Setelah mendapatkan bentuk di atas maka siswa dapat terserah mengsubstitusikan
salah satunya kedalam persamaan kuadrat.
Substitusi pers (i) : x = y - 6
x2–y=0
(y – 6)2 – y = 0
y2 – 12y + 36 – y = 0
y2 – 13y + 36 = 0
(y – 9) (y – 4) = 0
y1 = 9 atau y2 = 4
Setelah didapat nilai y maka mencari nilai x
:
x =y–6
x =y–6
x1 = y1 – 6
x2 = y2 – 6
x1 = 9 – 6
x2 = 4 – 6
x1 = 3
x1 = - 2
Jadi himpunan penyelesaiannya : {(3,9), (2,4)}
Substitusi pers. (ii) : y = x + 6
x2–y=0
x 2 – (x + 6) = 0
x2–x–6=0
(x – 3) (x + 2) = 0
x1 = 3 atau x2 = - 2
Setelah didapat nilai x maka mencari nilai y
:
y=x +6
y=x +6
y=3 +6
y=-2 +6
y1 = 9
y1 = 4
Jadi himpunan penyelesaiannya : {(3,9), (2,4)}
III. Metode Pembelajaran :
A. Pendekatan kontekstual
B. Diskusi Informasi
C. Tanya Jawab
IV. Langkah-langkah Pembelajaran
A. Kegiatan Awal : Tanya jawab tentang pengertian persamaan dan pertidaksamaan
linear da kuadrat.
B. Kegiatan Inti :
1. Memberi contoh sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabel.
2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode eliminasi, substitusi,
atau keduanya.
3. Memberi contoh sistem persamaan dengan dua variabel, satu linear dan satu
kuadrat.
4. Menyelesaikan sistem persamaan dengan dua variabel, satu linear dan satu
kuadrat.
C. Kegiatan Akhir
1. Peserta didik membuat rangkuman.
2. Guru memberi penghargaan pada peserta yang aktif.
16
V. Alat / Bahan / Sumber Belajar
A. Modul Persamaan dan Pertidaksamaan
B. Referensi lain yang relevan
VI. Penilaian
1. Tentukan himpunan penyelesaian 2x + 3y = 2 dan x – y = 1 !
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x + 8y + z = 2
x + 7y – 3z = -14
2x – 3y + 2z = 3.
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari :
x–y+6=0
x2 – y = 0
Jawab :
1. Pers.1 : 2x + 3y = 2
2x = 2 – 3y
23y
x=
2
Disubstitusikan ke persamaan 2 :
x – y=1
23y
=1
2
2 – 3y = 2
-3y = 0
y =0
Dari y = 0 maka nilai x = 1, maka himpunan penyelesaiannya : 1, 0
2. Dari pesamaan 1 dan persamaan 2 dieliminasi untuk variabel z
4x + 8y + z = 2 x3 12x + 24y + 3z = 6
x + 7y – 3z = -14 x1 x + 7y – 3z = -14 +
13x + 31y
= -8 persamaan 4
Dari pesamaan 1 dan persamaan 3 dieliminasi untuk variabel z
4x + 8y + z = 2 x2 8x + 16y + 2z = 4
2x – 3y + 2z = 3 x1 2x - 3y + 2z = 3 6x + 19y
=1
persamaan 5
Dari pesamaan 4 dan persamaan 5 dieliminasi untuk variabel x
13x + 31y = -8 x6  78x + 186y = -48
9x + 19y = 1 x13 78x + 247y = 13 -61y = -61
y = 1
y = 1 disubstitusikan ke persamaan 4
13x + 31y = -8
13x + 31 . 1 = -8
13x = -39
x = -3
y = 1 dan x = -3 substitusikan ke persamaan 1
17
4x + 8y + z = 2
-12 + 8 + z = 2
z=6
Maka himpunan penyelesaiannya : -3, 1, 6
3. x – y + 6 = 0  x = y – 6
x–y+6=0 y=x+6
x2 – y = 0
x2 – y = 0
2
(y – 6) – y = 0
x2 – (x + 6) = 0
y2 – 12y + 36 – y = 0
x2 – x – 6 = 0
2
y – 13y + 36 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
(y – 9)(y – 4) = 0
x1 = 3 atau x2 = -2
y1 = 9 atau y2 = 4
Sehingga,
Sehingga,
y=x+6
y=x+6
x=y–6
x=y–6
y=3+6
y = -2 + 6
x1 = y1 – 6
x2 = y2 – 6
y1 = 9
y2 = 4
x1 = 9 – 6
x2 = 4 – 6
Jadi himpunan penyelesaian :
x1 = 3
x2 = -2
(3,9), (-2,4)
Jadi himpunan penyelesaian: (3,9), (-2,4)
Klaten, ……………………….2007
Guru Mata Pelajaran Matematika
Mengetahui,
Kepala Sekolah
(…………………………………)
NIP. …………………………….
(…………………………………)
NIP. …………………………….
18