Templat tesis dan disertasi

ANALISIS EMPIRICAL ORTHOGONAL FUNCTION (EOF)
BERBASIS SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD)
PADA DATA CURAH HUJAN INDONESIA
ISNAWATI LUJENG LESTARI
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Empirical
Orthogonal Function (EOF) Berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada
Data Curah Hujan Indonesia adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi
manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka dibagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2016
Isnawati Lujeng Lestari
NIM G551130221
RINGKASAN
ISNAWATI LUJENG LESTARI. Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF)
berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada Data Curah Hujan Indonesia.
Dibimbing oleh SRI NURDIATI dan ARDHASENA SOPAHELUWAKAN.
Curah hujan merupakan salah satu parameter atmosfer yang sulit diprediksi
karena mempunyai keragaman tinggi baik secara spasial maupun temporal. Sebagai
negara kepulauan, Indonesia mempunyai garis pantai yang panjang dan
berpegunungan, sehingga memengaruhi arus udara, perubahan cuaca, iklim, dan
hujan. Selain itu, Indonesia mempunyai variasi suhu kecil, sementara variasi curah
hujan yang cukup tinggi. Data curah hujan merupakan data yang memiliki dimensi
matriks yang cukup besar dan sulit untuk dianalisis. Oleh karena itu, dibutuhkan
cara yang tepat untuk menganalisis data tersebut agar diperoleh informasi yang
bermanfaat. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menganalisis data
tersebut adalah menggunakan teknik pereduksian dimensi yang dikenal dengan
Analisis Komponen Utama (AKU) atau disebut analisis Empirical Orthogonal
Function (EOF).
Analisis EOF merupakan suatu metode untuk menentukan pola-pola
dominan pada data yang berevolusi dalam ruang dan waktu. EOF atau AKU
dikatakan sebagai transformasi Hotelling yang merupakan suatu teknik untuk
menyederhanakan suatu himpunan data dengan mereduksi dimensi menjadi lebih
kecil dengan mempertahankan sebanyak mungkin variasi dalam himpunan data
asal. Peubah baru yang merepresentasikan data dengan dimensi yang lebih kecil
disebut dengan Komponen Utama, dalam penelitian ini disebut dengan mode EOF.
Secara aljabar, mode EOF yang diperoleh merupakan kombinasi linear dari semua
peubah asli yang memiliki varian terbesar secara berurutan dan tidak berkorelasi
dengan EOF sebelumnya.
Analisis EOF berbasis Singular Value Decomposition (SVD) pada
penelitian ini digunakan untuk mendapatkan pola-pola dominan pada data yang
berevolusi dalam ruang dan waktu. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji
metode EOF berbasis SVD untuk mereduksi data curah hujan Tropical Rainfall
Measuring Mission (TRMM) 3B43. Selanjutnya akan dianalisis pola dominan dari
data baik secara temporal maupun spasial, dan dihitung error norm matriks untuk
melihat nilai kesalahan dari mode EOF yang diperoleh.
Analisis EOF dilakukan terhadap data curah hujan TRMM 3B43 di
wilayah cakupan Indonesia dalam rentang waktu bulanan selama 204 bulan. Hasil
analisis menunjukkan bahwa lima nilai singular terbesar memiliki total varian
sebesar 90.03%. Hal ini menunjukkan bahwa seluruh data dapat diwakili dengan
lima mode EOF. Mode EOF pertama menjelaskan 30.68% dari total varian. Mode
EOF kedua sampai kelima masing-masing menjelaskan 19.89%, 16.82%, 11.43%
dan 11.19% dari total varian. Setiap mode EOF yang diperoleh menggambarkan
pola spasial, sedangkan vektor singular menggambarkan pola temporal. Efektifitas
dari lima mode EOF yang dihasilkan tersebut diuji untuk dapat menghampiri data
asli. Hampiran data asli diperoleh dengan menentukan nilai kesalahan dari hasil
reduksi menggunakan teknik error norm matriks.
Kata kunci: curah hujan TRMM 3B43, analisis empirical orthogonal function
(EOF), singular value decomposition (SVD), error norm matriks.
SUMMARY
ISNAWATI LUJENG LESTARI. An Empirical Orthogonal Function (EOF)
Analysis of Indonesian Rainfall Data based on Singular Value Decomposition
(SVD) Analysis. Supervised by SRI NURDIATI and ARDHASENA
SOPAHELUWAKAN.
Rainfall is one of atmospheric parameters that are difficult to predict
because it has a high diversity both spatially and temporally. Indonesia has a long
coastline and mountainous that affecting air currents, weather changes, climate,
and rain. Rainfall's data is data that has a dimensions matrix is large and difficult
to analysis. Therefore, it takes a correct way to analyze the data in order to obtain
useful information. One of it is using dimension reduction technique known as
Principal Component Analysis (PCA) also called Empirical Orthogonal Function
(EOF) Analysis.
Empirical Orthogonal Function (EOF) Analysis was used to reduce large
dimensional rainfall data. This method was used to obtain several dominant
patterns which varies in time and space. PCA or EOF said as Hotelling
transformation which is a technique to simplify a set of data, by reducing the
dimensions become smaller for analysis by retaining as much variation in the
original data set. The new variable that represents the data with smaller
dimensions called Principal Component in this study is called mode EOF. In
algebra, mode EOF or PC obtained is a linear combination of all the original
variables that have the greatest variance in sequence and did not correlate with
previous major components.
In this study, the EOF decomposition was calculated using Singular Value
Decomposition (SVD) approach to get the singular value and singular vectors
from the matrix data. Dimensionality reduction was applied on the original matrix
data by reconstructing the data matrix by using a series on increasing number of
modes, where the error matrix norm was used as the norm to measure its accuracy.
The EOF analysis was applied to the monthly Tropical Rainfall Measuring
Mission (TRMM 3B43) Indonesian rainfall data.
Analysis carried out on data Rainfall TRMM 3B43 in Indonesian produced
some mode EOF seen of the cumulative percentage of the total variance of bigger
than 80 percent. Analysis was produced 5 modes of EOF which could describe
90.03 percent of the total variance. This shows that most of the data can be
represented with five modes EOF. The first mode EOF contribute 30.68 percent of
the total variance. Mode EOF of the second to fifth respectively explaining 19.89
percent, 16.82 percent, 11.43 percent and 11.19 percent of the total variance. Each
mode EOF obtained describe the spatial pattern, while the singular vectors
describe temporal patterns. Effectiveness of the five EOF modes obtained was
maintained to be able to approach the original data. This approximation was
obtained by determining the error norm value of the reduction results using error
matrix norm technique.
Keywords: rainfall TRMM 3B43, analysis of empirical orthogonal function (EOF),
singular value decomposition (SVD), error norm matrix
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apapun tanpa izin IPB
ANALISIS EMPIRICAL ORTHOGONAL FUNCTION (EOF)
BERBASIS SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD)
PADA DATA CURAH HUJAN INDONESIA
ISNAWATI LUJENG LESTARI
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr Ir Fahren Bukhari, MSc
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu wa ta’ala atas
segala nikmat dan karunia-Nya. Sebesar apapun kesyukuran kita, tidak akan
pernah bisa menyamai kenikmatan yang telah Allah berikan. Maha Suci Engkau
dengan segala Kuasa-Mu. Atas Kuasa-Nya pula, tesis yang berjudul Analisis
Empirical Orthogonal Function (EOF) berbasis Singular Value Decomposition
(SVD) pada Data Curah Hujan Indonesia dapat penulis selesaikan. Penulisan tesis
ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains pada Program
Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian
Bogor.
Dalam proses penulisan tesis ini, penulis menyadari bahwa telah memperoleh
dorongan dan bantuan dari banyak pihak. Mulai dari material, moral, spiritual, dan
juga psikologis. Untuk itu, melalui kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima
kasih dan rasa hormat yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak A. Somad dan Ibu Syaf Rosidah selaku orang tua penulis.
2. Ibu Dr Ir Sri Nurdiati, MSc selaku ketua komisi pembimbing.
3. Bapak Dr Ardhasena Sopaheluwakan, BSc MSc selaku anggota komisi
pembimbing.
4. Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan.
5. Bapak Dr Ir Fahren Bukhari MSc selaku penguji luar komisi pembimbing.
6. Seluruh dosen dan staf pegawai tata usaha Departemen Matematika.
7. Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Pascasarjana Dalam Negeri (BPP-DN).
8. Seluruh keluarga yang selalu memberikan dorongan dan mendoakan untuk
keberhasilan penulis.
9. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman
angkatan tahun 2013 di program studi S2 Matematika Terapan.
10. Seluruh rekan–rekan Gugusan Mahasiswa Pascasarjana Matematika IPB
(GUMAPASTIKA).
11. Sahabat-sahabat yang tak dapat disebutkan satu persatu yang telah
banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga segala bantuan, bimbingan, dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
serta wawasan kita semua.
Bogor, Maret 2016
Isnawati Lujeng Lestari
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
ii
DAFTAR GAMBAR
ii
DAFTAR LAMPIRAN
iii
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
1
1
2
2
2
2 TINJAUAN PUSTAKA
Ruang Vektor
Matriks
Matriks Data
Nilai Singular
Ortogonalitas
Norm dan Error
Singular Value Decomposition (SVD)
Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF)
Aproksimasi matriks Rank rendah
3
3
4
5
5
5
6
7
7
8
3 METODE
3.1 Metode Penelitian
3.2 Data Penelitian
3.3 Langkah Penelitian
3.3.1 Alat Uji
3.3.2 Ekstraksi data TRMM 3B43
3.3.3 Reduksi data TRMM 3B43 menggunakan EOF berbasis SVD
8
8
9
9
9
10
10
4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data TRMM 3B43
Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF)
Rekonstruksi data hasil reduksi
12
12
13
20
5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
21
21
21
DAFTAR PUSTAKA
21
LAMPIRAN
23
RIWAYAT HIDUP
29
DAFTAR TABEL
1 Nilai singular dan persentase kumulatif analisis EOF
2 Nilai komponen utama hasil analisis EOF
3 Nilai Error Norm untuk masing-masing mode EOF
14
14
19
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Skema ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43
Skema analisis EOF menggunakan SVD
Skema langkah-langkah penelitian
Peta penyebaran data curah hujan Januari 2014 secara seluruh dunia
atau global 500LU – 500 LS dan 1800BB – 1800BT
Peta penyebaran data curah hujan Januari 2014 pembesaran dari kotak
kecil untuk wilayah Indonesia 600LU – 110 LS dan 950 BT – 1410 BT
Pola spasial mode EOF1
Pola spasial mode EOF2
Pola spasial mode EOF3
Pola spasial mode EOF4
Pola spasial mode EOF5
Deret waktu atau pola temporal koefisien vektor singular mode EOF1
sampai mode EOF5
Grafik respon perubahan mode EOF terhadap nilai kesalahan
Hasil rekonstruksi data curah hujan TRMM 3B43 Januari 2013
10
10
11
12
13
15
16
16
17
17
18
20
20
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
Algoritme ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43
Algoritme reduksi data menggunakan EOF berbasis SVD
Plot pola spasial
Plot pola temporal
Algoritme error norm matrix
Nilai error norm relatif
23
23
24
26
27
27
1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Curah hujan merupakan salah satu parameter atmosfer yang sulit
diprediksi karena mempunyai keragaman tinggi baik secara spasial maupun
temporal. Demikian halnya dengan curah hujan di wilayah maritim tropis seperti
Indonesia. Sebagai negara kepulauan, Indonesia mempunyai garis pantai yang
panjang dan berpegunungan, sehingga memengaruhi arus udara, perubahan cuaca,
iklim, dan hujan. Selain itu, Indonesia mempunyai variasi suhu kecil, sementara
variasi curah hujan yang tinggi. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode analisis
untuk menentukan pola–pola yang dominan dan memprediksi curah hujan di
Indonesia dengan menggunakan data yang tersedia.
Data curah hujan merupakan data yang memiliki dimensi matriks yang
cukup besar dan sulit untuk dianalisis. Oleh karena itu, dibutuhkan cara yang
tepat untuk menganalisis data tersebut agar diperoleh informasi yang bermanfaat.
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan suatu permasalahan yang berkaitan
dengan dimensi data matriks yang cukup besar. Salah satunya adalah dengan
mereduksi dimensi matriks data tersebut. Teknik pereduksian dimensi itu dikenal
dengan Analisis Komponen Utama (AKU) atau disebut analisis Empirical
Orthogonal Function (EOF).
Analisis EOF merupakan suatu metode untuk menentukan pola-pola
dominan pada data yang berevolusi dalam ruang dan waktu. AKU atau EOF
dikatakan sebagai transformasi Hotelling yang merupakan sebuah teknik untuk
menyederhanakan suatu himpunan data. Himpunan data tersebut direduksi
menjadi lebih kecil dengan mempertahankan sebanyak mungkin variasi dalam
himpunan data asal. Peubah baru yang merepresentasikan data dengan dimensi
yang lebih kecil disebut dengan Komponen Utama dalam penelitian ini disebut
sebagai mode EOF. Secara aljabar, mode EOF yang diperoleh merupakan
kombinasi linear dari semua peubah asli yang memiliki varian terbesar secara
berurutan dan tidak berkorelasi dengan komponen utama sebelumnya.
Analisis EOF diperkenalkan pertama kalinya dalam artikel Lorenz tahun
1956. Lorenz menganalisis Suhu Permukaan Laut (SPL) di wilayah Amerika
Serikat dan Kanada bagian Utara. Hasil dari penelitiannya adalah sebanyak 91%
keragaman SPL mampu dijelaskan oleh 8 komponen utama. Perkembangan
metode EOF dilanjutkan oleh Kutzbach (1967) menggunakan tiga peubah iklim
dalam analisis EOF, yaitu SPL, suhu permukaan, dan curah hujan di wilayah
Amerika Utara. Selanjutnya penelitian yang dilakukan oleh Lyons (1982) dengan
menggunakan EOF untuk analisis curah hujan di Hawai dan diperoleh mode
EOF1 hingga mode EOF3 yang dipengaruhi oleh angin pasat, angin tenggara, dan
hujan konvektif pada pola tahunannya.
Aldrian dan Susanto (2003) melakukan penelitian untuk daerah Indonesia
dengan menggunakan metode Double Correlation dan teknik EOF pada data ratarata bulanan tahun 1961-1992. Penelitian tersebut dihasilkan tiga tipe iklim untuk
seluruh wilayah Indonesia seperti yang dikenal saat ini, yaitu tipe monsunal,
ekuatorial, dan lokal. Penelitian lainnya dengan metode EOF dilakukan oleh
2
Nayagam, et al (2009) menganalisis curah hujan Northeast Monsoon (NEM)
dengan menggunakan analisis Wavelet.
Oleh karena itu, pada penelitian ini diberikan data curah hujan bulanan
Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM) 3B43 untuk wilayah cakupan
Indonesia. Analisis dilakukan menggunakan metode EOF berbasis Singular Value
Decomposition (SVD) untuk mereduksi data tersebut. Selanjutnya akan dianalisis
pola spasial dan pola temporal dari hasil reduksi data, dan dihitung error norm
matriks untuk melihat efektifitas dari mode EOF yang diperoleh.
Perumusan Masalah
Untuk memudahkan langkah-langkah penelitian dan metode penelitian,
maka dibuat rumusan penelitian sebagai berikut:
1. Bagaimana metode EOF berbasis SVD digunakan untuk mereduksi data
curah hujan TRMM 3B43 sehingga diperoleh beberapa mode EOF atau KU.
2. Bagaimana analisis pola dominan dari data curah hujan TRMM secara
temporal dan spasial.
3. Bagaimana efektivitas data hasil reduksi mampu menghampiri data asli
dengan melihat nilai kesalahan dari hasil reduksi data.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan permasalahan di atas maka tujuan yang ingin dicapai dalam
penelitian ini adalah:
1. Mengkaji metode EOF berbasis SVD untuk mereduksi data curah hujan
TRMM 3B43.
2. Menganalisis pola dominan dari data curah hujan TRMM secara temporal dan
spasial.
3. Menghitung error norm matriks untuk melihat nilai kesalahan hasil reduksi
menghampiri data asli.
Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah untuk mengidentifikasi karakteristik curah
hujan di wilayah Indonesia, sebagai komponen yang penting dalam memprediksi
curah hujan di masa mendatang.
3
2 TINJAUAN PUSTAKA
Ruang Vektor
Definisi 2.1 (Ruang Vektor)
Misalkan V adalah himpunan dengan pendefinisian operasi penjumlahan
dan operasi perkalian dengan skalar. Setiap pasangan elemen dan di dalam V
terdapat suatu elemen
yang tunggal juga berada di dalam V serta setiap
elemen di dalam V dan setiap skalar terdapat
yang tunggal juga berada di
dalam V. Himpunan V dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan
skalar ini dinamakan ruang vektor jika memenuhi aksioma berikut.
1.
.
)
(
)
2. (
.
3.
sehingga
.
( )
4.
terdapat ( )
sehingga
.
)
dan skalar .
5. (
)
6. (
dengan skalar dan skalar .
7. ( )
dengan skalar dan skalar .
8.
.
Elemen dalam V adalah vektor sedangkan symbol 0 menyatakan vektor nol.
(Leon 2014)
Definisi 2.2 (Kombinasi Linear)
Misalkan
adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor
dan
adalah skalar. Jumlah vektor-vektor yang berbentuk
disebut kombinasi linear dari
.
(Leon 2014)
Definisi 2.3 (Bebas Linear)
Vektor-vektor
dalam ruang vektor V disebut bebas linear
jika
mengakibatkan semua skalar-skalar
harus sama dengan nol.
(Leon 2014)
Definisi 2.4 (Bergantung Linear)
Vektor-vektor
dalam ruang vektor V disebut bergantung
linear jika terdapat skalar-skalar
yang tidak semuanya nol
sehingga
.
(Leon 2014)
Definisi 2.5 (Basis)
Vektor-vektor
membentuk basis untuk ruang vektor V jika
dan hanya jika
(i)
bebas linear
(ii) Merentang V .
(Leon 2014)
4
Definisi 2.6 (Dimensi)
Misalkan V adalah ruang vektor. Jika V memiliki basis yang terdiri atas n
vektor, maka V dikatakan memiliki dimensi n .
(Leon 2014)
Matriks
Definisi 2.7 (Matriks)
Matriks adalah himpunan skalar yang disusun menurut baris dan kolom.
( ).
Di notasikan
Definisi 2.8 (Matriks Identitas)
Matriks identitas adalah matriks
(
{
) yang berukuran
, dengan
.
(Leon 2014)
Definisi 2.9 (Rank Matriks)
Rank dari matriks dinotasikan
matriks .
( ) adalah dimensi dari ruang baris
(Leon 2014)
Definisi 2.10 (Transpos dari Suatu Matriks)
Transpos dari suatu matriks
yang berukuran
matriks yang
berukuran
yang didefinisikan oleh
untuk setiap dan . Transpos
dari dinotasikan oleh .
(Leon 2014)
Definisi 2.11 (Invers dari Suatu Matriks)
Suatu matriks yang berukuran
dikatakan taksingular jika terdapat
matriks Y sehingga
. Matriks B dikatakan invers multiplikatif dari
matriks . Invers multiplikatif dari matriks taksingular secara sederhana disebut
juga sebagai invers dari matriks dan dinotasikan dengan
.
(Leon 2014)
Definisi 2.12 (Determinan Matriks)
 
Matriks A  aij berorde n  n. Determinan dari A didefinisikan sebagai
skalar:
(1)
det A    p  a1 p1 a2 p2 ....anpn ,
p
dengan penjumlahan diambil dari n! permutasi p  p1 , p2 , ..., pn . Setiap notasi
a1 p1 a2 p2 ....anpn di persamaan (1) berisi tepat satu entri dari setiap baris dan setiap
kolom dari A. Determinan dari A dapat dinotasikan sebagai det A atau A.
Determinan dari matriks nonpersegi tidak dapat didefinisikan.
(Meyer 2000)
Definisi 2.13 (Matriks Singular dan Nonsingular)
Matriks A berukuran n  n merupakan matriks singular jika dan hanya
jika det A  0. Matriks A nonsingular jika dan hanya jika det A  0.
5
(Meyer 2000)
Definisi 2.14 (Matriks Diagonal)
Matriks diagonal adalah matriks berukuran
diagonal utama ialah nol. Matriks diagonal berukuran
[
dengan
yang semua unsur selain
dapat ditulis sebagai
]
disebut unsur diagonal utama.
(Anton & Rorres 2005)
Matriks Data
Data Iklim biasanya berupa data grid dalam bentuk matriks yang memiliki
level tiga dimensi dengan dua dimensi spasial dan satu dimensi waktu dalam
bidang F. Koordinat horizontal tersusun dari dua dimensi spasial yaitu untuk garis
dan garis bujur
menghasilkan
lintang
jumlah dari titik grid
koordinat vertikal disusun berdasarkan waktu
dan untuk bidang F dapat dituliskan:
(
)
dengan
dan
Secara umum untuk dimensi tiga
membutuhkan penyimpanan yang cukup banyak dan sulit untuk dianalisis. Oleh
karena itu, dapat ditransformasikan menjadi dimensi dua misalnya matriks data
berukuran nXp.
Grid data set yang terdiri atas ruang dan waktu X(n,p) mewakili nilai dari
bidang X pada ruang n dan waktu p. Nilai dari bidang pada titik grid nj dan waktu
diskret pi dinotasikan xij untuk
dan
sehingga bidang yang
diamati direpresentasikan dalam data matriks sebagai berikut :
[
]
(A.Hannachi 2009)
Nilai Singular
Misalkan matriks
dengan. Nilai–nilai singular dari
dari nilai eigen positif dati matriks
atau
.
adalah akar
(Leon 2014)
Ortogonalitas
Definisi 2.15 (Hasil Kali Skalar)
Misalkan
dengan
maka hasil kali skalar dari
adalah
dan
(Leon 2014)
6
Definisi 2.16 (Matriks Ortogonal)
Matriks persegi A dikatakan ortogonal jika transposnya sama dengan
inversnya A1  AT atau ekuivalen jika AAT  AT A  I .
(Anton & Rorres 2005)
Definisi 2.17 (Ortogonal)
Vektor–vektor dan
disebut ortogonal jika
.
(Leon 2014)
Norm dan Error
Definisi 2.18 (Vektor Norm )
Fungsi f : R n  R disebut norm vektor (vector norm) di R n jika
memenuhi ketiga aksioma berikut:
1) f x  0,
x  Rn ,
2) f x  y   f x  f  y , x, y  R n .
3) f x   f x,
( f ( x)  0, jika x  0 ).
  R, x  R n .
(Golub & Loan 1996)
Definisi 2.19 (Norm Matriks)
Fungsi f : R n p  R disebut norm matriks (matrix norm) jika untuk
setiap A, B  R n p dan   R memenuhi ketiga aksioma berikut:
4) f  A  0 dan f  A  0  A  0.
5) f  A  B  f  A  f B .
6)
f A   f  A .
Dalam hal ini, untuk memudahkan penulisan, norm matriks A ditulis A
sehingga A  f  A .
(Golub & Loan 1996)
Definisi 2.20 (Error Absolut dan Relatif )
Misalkan xˆ  R n merupakan aproksimasi untuk x  R n . Diberikan norm
vektor  maka dapat dibentuk formula error absolut di x̂ yaitu:
eabs  x  x̂ .
Jika x  0, maka formula error relatif di x̂ yaitu:
x  xˆ
erel 
.
x
(Golub & Loan 1996)
Definisi 2.21 (Norm Frobenius)
Untuk sebarang matriks X berukuran n x p, norm Frobenius (Frobenius
Norm) dari matriks X didefinisikan sebagai
‖ ‖
∑|
|
(
)
(Meyer 2000)
7
Singular Value Decomposition (SVD)
Misalkan X sebarang matriks berukuran n x p dengan Rank(X) = r. Singular
Value Decomposition (SVD) atau dekomposisi nilai singular dari X adalah
faktorisasi dalam bentuk:
( )
dengan
dan
[
] merupakan matriks ortogonal.
Matriks U berukuran n x n, V berukuran p x p, dan
[
] adalah matriks
(
) dan
berukuran n x p dengan
.
Diman
merupakan nilai singular dari matriks ,
dan
masing–masing
merupakan vektor singular kiri dan vektor singular kanan dari matriks . Oleh
karena itu, dapat dituliskan
[
]
( )
(Nicholson 2001).
Teorema 2.1
( )
Diberikan X sebarang matriks berukuran
dengan ciri
dan nilai singular
. Jika didefinisikan
dan seperti uraian
di atas, maka dan matriks ortogonal dan dapat didekomposisikan sebagai
Bukti dapat dilihat pada Leon (2014).
Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF)
Analisis EOF bertujuan untuk mentransformasikan p peubah asal yang
saling berkorelasi menjadi k buah komponen ortogonal (tidak berkorelasi).
Misalkan matriks berukuran n x p yang mengandung dataset dengan n
banyaknya peubah atau variabel dan p waktu. SVD dari X dengan Rank(X) = r
adalah faktorisasi seperti pada persamaan (2) sehingga diperoleh
∑
( )
( )
Matriks V dari persamaan (3) adalah matriks EOF atau koefisien vektor dan
adalah matriks skor EOF atau komponen utama. Skor komponen utama dapat
dituliskan
( )
Varian dari i komponen utama
adalah
∑
( )
dengan
merupakan nilai singular dari matriks X. Dalam prakteknya,
k mode EOF1 atau komponen utama pertama dengan
menjelaskan proporsi
varian terbesar. Mode EOF2 merupakan kombinasi linear dari seluruh variabel
yang diamati yang bersifat ortogonal terhadap mode EOF1 dan memiliki varian
terbesar kedua dan seterusnya. Oleh karena itu, mode EOF ke-k memiliki varian
maksimum ke-k dan tidak berkorelasi dengan mode EOF sebelumnya. Analisis
8
EOF digunakan untuk mencari (n x k) matriks skor komponen dari n objek
pengamatan dan p waktu.
(A. Hannachi 2009)
Aproksimasi Matriks Rank Rendah
Misalkan X matriks berukuran
dengan rank(X) = r dan SVD dari X
lebih kecil
dinyatakan sebagai persamaan (4). Jika nilai singular
dibandingkan dengan
maka dengan ‘membuang’ sebanyak
term
pada (4) akan memberikan aproksimasi untuk X dan memiliki rank yang lebih
kecil daripada r. Teorema aproksimasi dengan rank rendah (low rank
approximation) pertama kali dinyatakan dan dibuktikan oleh Eckart C, Young G
(1936). Pada beberapa jurnal teorema ini disebut dengan Eckart-Young Theorem.
dengan
Teorema tersebut menyebutkan bahwa jika matriks
( )
. dapat dibagi menjadi beberapa bagian
∑
( )
Persamaan (6) berkorespondensi dengan r pertama mode EOF atau KU. Jika
hanya m pertama mode EOF yang dipertahankan, maka :
̃
∑
Yang memberikan aproksimasi ke
aproksimasi yang meminimumkan
‖
̃‖
( )
.
̃ memberikan m rank terbaik pada
∑ ∑(
̂)
( )
3 METODE
Langkah–langkah yang digunakan untuk membahas permasalahan yang
diambil dalam penelitian ini akan dibahas pada bab ini. Di bagian ini disebutkan
metode yang digunakan untuk melakukan pereduksian data.
3.1 Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan studi literatur kemudian mengimplementasikan
metode EOF berbasis SVD untuk reduksi matriks data ke dalam program
komputer menggunakan software Matlab. Reduksi dilakukan terhadap data curah
hujan TRMM 3B43 wilayah cakupan Indonesia. Metode EOF berbasis SVD ini
bertujuan untuk menentukan pola–pola dominan pada data curah baik secara
spasial maupun temporal. Selain itu, untuk melihat nilai kesalahan dari reduksi
data yang diperoleh dihitung menggunakan teknik error norm matriks.
9
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data curah hujan Tropical
Rainfall Measuring Mission (TRMM) 3B43. Data ini merupakan data global
bulanan selama memiliki resolusi spasial
dan resolusi temporal
bulanan. Data TRMM 3B43 ini disponsori oleh NASA (National Aeronautics and
Space Administration) dan JAXA (Japan Aerospace Exploration Agency) dan
telah menumpulkan data dari November 1997 sampai saat ini. Data ini berupa
data digital compressed dengan format Hierarchical Data Format (HDF) dan
dapat diunduh dari website ftp://disc2.nascom.nasa.gov/data/s4pa/TRMM_L3/.
Reduksi data TRMM 3B43 dalam penelitian ini dilakukan sesuai dengan
domain wilayah Indonesia 60LU–110LS dan 950BT–1410 BT sehingga setiap satu
bulan terdapat matriks data berukuran
dengan jumlah pixel sebanyak
13505. Adapun rentang waktu yang akan diteliti yaitu selama 204 bulan berawal
dari bulan Januari 1998 sampai Desember 2014.
3.3 Langkah Penelitian
Langkah–langkah dalam penelitian ini terdiri atas tiga tahap, tahap pertama
adalah menyiapkan alat uji coba berupa program yang disusun menggunakan
bahasa pemrograman Matlab. Tahap kedua adalah ekstraksi data curah hujan
TRMM 3B43 yang dibentuk dalam suatu matriks data. Adapun tahap ketiga
dilakukan analisis data curah hujan menggunakan metode EOF berbasis SVD.
Pada tahap ini akan dihitung nilai error norm matriks dari hasil reduksi data.
1.
2.
3.
4.
5.
3.3.1 Alat Uji
Pada tahap ini, dilakukan langkah–langkah sebagai berikut:
Identifikasi masalah
Masalah pada penelitian ini adalah bagaimana metode EOF berbasis SVD
dapat digunakan untuk menganalisis variabilitas curah hujan wilayah
Indonesia secara spasial dan temporal, serta untuk mengetahui error norm
matriks dari mode EOF yang diperoleh.
Penentuan tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis variabilitas curah hujan
wilayah Indonesia secara spasial dan temporal menggunakan analisis EOF
dan mengetahui error norm matriks dari mode EOF.
Studi literatur
Studi literatur dilakukan dengan mengkaji karakteristik data TRMM 3B43
dan mengkaji metode Empirical Orthogonal Function (EOF) dengan
menggunakan metode Singular Value Decomposition (SVD). Pada bagian ini
juga dikaji tentang error norm matriks.
Penyusunan algoritme
Setelah melakukan studi literatur, langkah selanjutnya adalah penyusunan
algoritme untuk reduksi data dan penentuan mode EOF yang digunakan untuk
analisis pola spasial dan temporal.
Penyusunan program komputer
Algoritme yang telah disusun kemudian diimplementasikan dalam salah satu
bahasa pemograman komputer yaitu Matlab. Matlab dipilih karena fungsi–
fungsi yang berkaitan dengan SVD telah tersedia dan siap digunakan. Setelah
dijalankan program yang disusun diharapkan menerima input berupa matriks
10
data curah hujan wilayah cakupan Indonesia, program memberikan output
berupa plot data spasial dan pola temporal.
Selain program utama, disusun juga script Matlab lain yang digunakan untuk
menentukan nilai norm matrix dari hasil reduksi data.
3.3.2 Ekstraksi data TRMM 3B43
Pada tahap ini akan dijelaskan cara mengekstraksi data curah hujan TRMM
3B43. Data curah hujan TRMM 3B43 merupakan data global, sehingga perlu
dilakukan pemotongan data untuk menentukan variabel yang akan dianalisis.
Selanjutnya data di-reshape untuk setiap bulannya dan dibentuk matriks data .
Langkah ekstraksi data dapat dilihat pada flowchart di Gambar 1 berikut.
Data Global
TRMM 3B43
Data TRMM
3B43
Indonesia
Matriks data
(X)
Reshape data
urutan bulan
Gambar 1 Skema ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43
3.3.3 Reduksi data TRMM 3B43 Menggunakan EOF berbasis SVD
Pada tahap ini akan diterapkan teknik EOF berbasis SVD terhadap matriks
data curah hujan TRMM 3B43. Tahap reduksi dapat dilihat pada flowchart pada
Gambar 2 berikut.
Data Curah Hujan
(X)
r
n
X p  USV T  ui i vi k 
i 1
Tentukan nilai singular dan
vektor singular terbesar
y  U
Pola Spasial
1   2    r
m
p
vp
Pola Temporal
~ p
X   u j j vTj
j 1
Errorrel 
~
X X
X
Gambar 2 Skema Analisis EOF menggunakan SVD
Hasil dari metode EOF berbasis SVD tersebut diberikan plot masing–
masing mode EOF yang dihasilkan baik secara spasial dan temporal. Untuk
11
menentukan efektifitas hasil reduksi dari mode EOF yang dihasilkan, maka
digunakan error norm matriks untuk menghitung nilai kesalahan.
Dari uraian di atas, digambarkan langkah–langkah secara umum yang
dilakukan dalam penelitian ini seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut.
Mulai
- Identifikasi masalah
- Penentuan tujuan
- Studi literatur dan pengumpulan data
- Penyusunan algoritme
- Penyusunan program Matlab
Ekstraksi data curah hujan TRMM
3B43
Reduksi data menggunakan analisis
EOF berbasis SVD, dihitung
persentase variansnya serta plot pola
temporal dan pola spasial
Hitung hampiran hasil reduksi mode
EOF terhadap data asli menggunakan
analisis error norm matriks
Visualisasikan error norm relatif
Selesai
Gambar 3 Skema langkah-langkah penelitian
12
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini menjelaskan tentang hasil uji coba yang telah dilakukan untuk
menjawab pertanyaan yang diberikan pada perumusan masalah. Selain itu,
diberikan pula algoritme ekstraksi data dan pereduksian data menggunakan
metode EOF berbasis SVD. Selanjutnya dihitung nilai kesalahan dengan
menggunakan error norm matriks dari mode EOF hasil reduksi.
Eksplorasi data TRMM 3B43
Data yang diperoleh dari data TRMM 3B43 merupakan data global untuk
seluruh dunia. Oleh karena itu, perlu dilakukan ekstrasi data atau pemotongan data
pada wilayah cakupan Indonesia untuk menganalisis data yang akan digunakan
dalam penelitian. Berikut ini algoritme ekstrasi data curah hujan TRMM 3B43:
Algoritme 1
1. Penentuan domain wilayah Indonesia yang akan dianalisis yaitu 6 0 LU–110
LS dan 950 BT–410 BT.
2. Pemotongan data curah hujan TRMM 3b43 yang memiliki format HDF ke
dalam grid berukuran 185 x 73 sehingga jumlah pixel yang diperoleh 13505
untuk setiap bulannya selama 204 bulan atau selama 17 tahun.
3. Reshaping data yang sudah dipotong untuk setiap bulannya.
4. Pengurutan data yang sudah di-reshape berdasarkan urutan waktu (t).
5. Pembentukan matriks data (X).
Eksplorasi data diawali dengan menyajikan pola data yang tersedia dalam
bentuk visual berdasarkan grid data global. Gambar 4 menunjukkan ilustrasi
visual data TRMM 3B43 untuk seluruh dunia atau global dengan letak koordinat
500LU–500 LS dan 1800B–1800BB pada bulan Januari tahun 2014. Ukuran grid
data dengan koordinat tersebut yaitu 1440 x 400 pixel.
Gambar 4 Peta penyebaran data curah hujan Januari 2014 secara seluruh dunia
atau global 500LU – 500 LS dan 1800BB – 1800BT.
13
Gambar 5 Peta penyebaran data curah hujan Januari 2014 pembesaran dari kotak
kecil untuk wilayah Indonesia 60 LU – 110 LS dan 950 BT – 1410 BT.
Proses pemotongan data sesuai dengan domain wilayah Indonesia yaitu 60
LU–110 LS dan 950 BT–1410 BT, sehingga untuk setiap satu bulan diperoleh
matriks X berukuran 185 x 73 dengan jumlah pixel sebanyak 13505. Gambar 5
menunjukkan ilustrasi visual data curah hujan TRMM 3B43 untuk wilayah
Indonesia pada bulan Januari 2014.
Setelah dilakukan pemotongan untuk setip bulannya kemudian masing–
masing data di-reshape. Selanjutnya, diurutkan berdasarkan urutan waktu
sehingga diperoleh matriks berukuran 13505 x 204.
Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF)
Seperti yang telah dijelaskan dalam pendahuluan bahwa metode EOF
merupakan suatu metode yang digunakan untuk menentukan pola-pola dominan
pada data yang berevolusi pada pola spasial dan temporal. Data curah hujan yang
diukur dalam suatu pengamatan biasanya memiliki dimensi matriks data yang
sangat besar. Salah satu tujuan dari analisis EOF dalam penelitian ini adalah untuk
mereduksi data sehingga memudahkan analisis data baik secara temporal maupun
spasial. Oleh karena itu, dalam penelitian ini EOF berbasis SVD digunakan untuk
memperoleh nilai singular dan vektor singular serta komponen utama atau mode
EOF dari matriks data. Tahapan analisis metode EOF terhadap data curah hujan
TRMM 3B43 secara khusus akan disajikan dalam algoritme di bawah ini.
Algoritme 2 analisis EOF
1. Diberikan matriks data
.
2. Pereduksian matriks data dengan SVD
.
3. Penentuan nilai singular dari yang terbesar
.
4. Penentuan skor komponen utama atau mode EOF .
5. Penentuan proporsi varian dari i komponen utama berdasarkan persamaan (6).
6. Penentuan jumlah mode EOF yang digunakan berdasarkan ukuran persentase
kumulatif varian lebih dari 80%.
7. Analisis data secara spasial dan temporal.
14
8. Perhitung error norm matriks.
Pada bagian ini disajikan hasil perhitungan numerik yang diperoleh dari
metode EOF. Sebelum dilakukan analisis dari hasil reduksi data, terlebih dahulu
ditentukan berapa jumlah komponen utama yang akan digunakan sebagai analisis
selanjutnya. Terdapat banyak kriteria dalam pemilihan jumlah komponen utama
yang akan diikutsertakan ke dalam analisis EOF. Akan tetapi dalam penelitian ini
banyaknya komponen utama yang digunakan dilihat dari persentase varian
kumulatif. Menurut Jolliffe IT (2002) komponen utama hanya diikutsertakan jika
mempunyai proporsi varian kumulatif lebih dari 80%.
Tabel 1 Nilai singular dan persentase kumulatif analisis EOF
Persentase Varian
Mode EOF
Nilai Singular
Individual
Kumulatif
1
903.17
30.68
30.68
2
585.47
19.89
50.57
3
495.16
16.82
67.4
4
336.38
11.43
78.83
5
329.49
11.19
90.03
6
293.39
3.12
93.15
7
221.19
1.78
94.93
8
214.66
1.01
95.94
…
…
…
…
202
27.53
0.03
99.65
203
27.42
0.03
99.82
204
26.43
0.03
100
Berdasarkan Tabel 1 dapat dilihat bahwa lima nilai singular terbesar
menunjukkan persentase varian kumulatif sebesar 90.03%. Hal ini berarti bahwa
seluruh matriks data X dapat diwakili dengan lima mode EOF atau KU. Oleh
karena itu, analisis selanjutnya menggunakan lima mode EOF dengan varian
terbesar.
Tabel 2 Nilai komponen utama hasil analisis EOF
Grid
1
2
3
4
5
6
10
...
13505
EOF1
6.022
5.950
6.219
6.202
6.465
6.220
6.721
...
10.601
EOF2
-0.715
-1.016
-1.447
-1.304
-0.940
-0.903
-1.041
...
-5.787
EOF3
-2.398
-2.173
-2.144
-2.266
-2.392
-2.818
-3.054
...
3.628
EOF4
3.110
3.076
3.212
3.287
3.578
3.554
2.877
...
1.883
EOF5
-3.229
-3.258
-3.362
-3.557
-3.649
-4.085
-4.666
...
3.235
EOF6
5.087
5.165
4.843
4.535
4.559
4.279
4.316
...
1.863
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
EOF204
0.094
0.068
0.138
0.109
0.391
0.333
-0.066
...
-0.028
15
Skor komponen utama atau mode EOF yang diperoleh merupakan skor
yang menunjukkan besar kecilnya nilai atau kontribusi dari setiap komponen
utama terhadap masing-masing unit pengamatan. Nilai skor komponen utama
dapat bernilai positif maupun negatif. Nilai positif berarti suatu komponen utama
memberi kontribusi yang besar dan berpengaruh positif terhadap unit pengamatan
demikian pula sebaliknya. Dalam penelitian ini skor komponen utama diperoleh
dari hasil kali nilai singular vektor kiri dengan nilai singular. Tabel 2
menunjukkan nilai dari mode EOF atau skor komponen utama yang diperoleh dari
hasil reduksi data dengan menggunakan metode EOF berbasis SVD.
Secara umum, vektor singular mendeskripsikan hubungan daerah-daerah
yang memiliki variabilitas curah hujan yang besar. Daerah dengan curah hujan
varian yang bernilai positif dapat dibedakan dengan daerah yang memiliki varian
curah hujan yang bernilai negatif. Nilai positif menunjukkan curah hujan di atas
rata-rata, sedangkan nilai negatif menunjukkan curah hujan di bawah rata-rata.
Selanjutnya dari lima nilai singular terbesar yang diperoleh dari hasil reduksi
dianalisis baik secara spasial maupun temporal. Pola spasial tersebut dapat
dibentuk setelah mereshape kembali masing-masing dari mode EOF.
Gambar 6 Pola spasial mode EOF1
Pola spasial merupakan hasil visualisasi skor komponen utama dari
masing–masing mode EOF. Mode EOF1 menjelaskan varian data sebesar 30.68%
dari total varian. Gambar 6 menunjukkan keadaan curah hujan di wilayah
Indonesia selama 204 bulan. Curah hujan pada mode ini memiliki skala yang
berkisar di antara -30 sampai dengan 10. Mode EOF1 menjelaskan bahwa curah
hujan yang tinggi terdapat di sebagian besar wilayah Indonesia, namun sebagian
besar pulau Papua memiliki curah hujan yang cukup rendah.
16
Gambar 7 Pola spasial mode EOF2
Gambar 7 menunjukkan pola spasial untuk mode EOF2 dengan varian
curah hujan sebesar 19.89%. Curah hujan yang tinggi terdapat pada bagian barat
pulau Sumatra dan Jawa. Sebagian wilayah kalimantan dan Papua memiliki curah
hujan yang bernilai positif. Curah hujan pada mode ini bernilai positif dan negatif
dengan skala berkisar antara -15 sampai 15.
Gambar 8 Pola spasial mode EOF3
Mode EOF3 pada Gambar 8 menunjukkan curah hujan di wilayah barat
Indonesia cukup tinggi atau sangat dominan, sebaliknya wilayah timur Indonesia
memiliki curah hujan yang rendah. Pada mode ini nilai curah hujan berkisar di
antara -15 sampai 10.
Gambar 9 menunjukkan mode EOF4 yang memiliki nilai curah hujan
berkisar antara -8 sampai 6. Dapat di lihat dari Gambar 10 di sebagian besar
pulau–pulau besar di Indonesia memilik curah hujan yang cukup tinggi.
17
Gambar 9 Pola spasial mode EOF4
Gambar 10 menunjukkan pola spasial untuk mode EOF5. Mode ini
memiliki nilai curah hujan yang berkisar diantara -8 sampai 8 dan menjelaskan
sebagian besar wilayah Indonesia memiliki curah hujan yang rendah.
Gambar 10 Pola spasial mode EOF5
Total varian yang dijelaskan oleh lima komponen utama atau mode EOF
tersebut lebih dari setengah keseluruhan varian, karena pada analisis EOF ini
diambil keseluruhan data set dari 204 bulan. Lima mode EOF menjelaskan
90.03% dari varian curah hujan total yang merupakan nilai capaian cukup tinggi.
Vektor singular menunjukkan plot data time series atau pola temporal dari
analisis EOF. Gambar 11 menunjukkan variasi penampakan curah hujan tahunan
selama 17 tahun dari mode EOF. Dilihat dari proporsi varian, mode EOF1
memiliki varian terbesar yaitu sebesar 30.07% dari total varian. Grafik temporal
yang dihasilkan mode EOF1 pada Gambar 11a memperlihatkan siklus dengan
periode tahunan yang dominan berada di setiap titik puncaknya. Hal ini diduga
pengaruh fenomena musiman yang terjadi setiap tahunnya. Pada mode ini nilai
18
Gambar 11 Deret waktu atau pola temporal koefisien vektor singular mode
EOF1 sampai mode EOF5
tertinggi berada pada tahun 2002, artinya pada tahun tersebut curah hujan di
Indonesia banyak bervariasi dengan perubahan variannya cukup besar. Pola
tahunan juga terdapat pada mode EOF2 yang terlihat pada Gambar 11b.
Mode EOF3 yang terlihat pada Gambar 11c dengan proporsi varian
masing–masing 19.89% dan 16.82%. Selain itu, dapat ditunjukkan pula semakin
lemahnya variasi penampakan bulanan mode EOF4 pada Gambar 11d dan mode
EOF 5 pada Gambar 11e. Mode-mode tersebut menggambarkan pola bulanan
dengan proporsi varian 11.43% dan 11.19%.
19
Berdasarkan hasil dari analisis EOF, dapat diketahui seberapa besar analisis
EOF mampu mewakili matriks data yang sebenarnya. Jika mode EOF dari hasil
adalah
reduksi data menggunakan SVD maka reduksi dari matriks
. Karena nilai singular
atau varian Ʃ disusun dengan urutan terbesar ke yang terkecil maka suku-suku
yang nilai singularnya sangat kecil tidak banyak berpengaruh pada pola spasial
dari matriks data . Dari sini untuk menentukan nilai error norm matriks dari
matriks data , misalkan ̃
, dan
.
Oleh karena itu, nilai error norm matriks diperoleh dengan meminimumkan
̃‖
̂ ) Hasil perhitungan error norm matriks dapat
∑ ∑ (
‖
di lihat pada Tabel 3.
Tabel 3. Nilai Error Norm untuk masing-masing mode EOF
Mode
EOF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Error
0.6482
0.5482
0.3724
0.3648
0.3248
0.2449
0.2377
0.2082
0.2052
0.1877
0.1845
0.1765
0.1651
0.1598
0.1514
Mode
EOF
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Error
0.1112
0.1486
0.1446
0.1436
0.1387
0.1348
0.1323
0.1319
0.1273
0.1236
0.1215
0.1207
0.1162
0.1126
0.1121
Mode
EOF
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Error
0.1090
0.1077
0.1070
0.1055
0.1043
0.1031
0.1010
0.1003
0.0984
0.0967
0.0961
0.0948
0.0941
0.0931
0.0915
Tabel 3 menunjukkan nilai error norm matriks dari hasil perhitungan. Mode
EOF1 memiliki nilai error norm matriks sebesar 0.6482 artinya jika hanya
digunakan satu mode EOF maka nilai kesalahan sebesar 64.82%. Selanjutnya jika
digunakan 2 mode EOF, diperoleh nilai error norm sebesar 0.5482 atau tingkat
kesalahannya sebesar 54.82%, sehingga untuk 5 mode EOF tingkat kesalahannya
sebesar 32.48%. Oleh karena itu, langkah ini bertujuan untuk melihat keefektifan
suatu metode dalam mereduksi data curah hujan sehingga semakin kecil nilai
kesalahan yang diperoleh semakin baik hampiran data reduksi yang mampu
mewakili data asli. Besar kecilnya nilai error memperlihatkan representasi
kedekatan antara data asli dengan data hasil reduksi. Nilai kesalahan Ilustrasi
visual yang menggambarkan tingkat kesalahan tersebut ditunjukkan pada Gambar
12 dan nilai error norm relatif dapat dilihat pada Tabel 3 dan lebih lengkapnya
pada lampiran 7.
21
adalah matriks skor EOF atau komponen utama. Skor komponen utama dapat
dituliskan
Oleh karena itu, untuk merekonstruksi kembali matriks data hasil reduksi
menjadi matriks data asli dapat menggunakan persamaan
∑
( ) . Sebagai contoh Gambar 13 menunjukkan rekonstruksi matriks
data hasil reduksi menjadi matriks data asli untuk data curah hujan wilayah
Indonesia pada bulan Januari 2013.
5. SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Analisis EOF terhadap data curah hujan TRMM 3B43 untuk cakupan
wilayah Indonesia menghasilkan lima mode EOF. Mode EOF tersebut mampu
menjelaskan 90.03% dari total varian. Mode EOF1 memiliki proporsi varian
sebesar 30.68% dari total varian. Mode EOF selanjutnya secara berturut–turut
19.89%, 16.82%, 11.43% dan 11.19% dari total varian. Skor komponen utama
menunjukkan pola spasial dari hasil analisis EOF sedangkan vektor singular
menunjukkan plot data time series atau pola temporal dari analisis EOF. Hasil
perhitungan error norm matriks menunjukkan bahwa jika hanya digunakan lima
mode EOF maka nilai error norm matriks sebesar 32.48%. Oleh karena itu,
semakin banyak mode EOF yang digunakan maka nilai kesalahannya akan
semakin kecil.
Saran
Analisis Empirical Orthogonal Function (EOF) merupakan suatu metode
untuk menentukan pola-pola dominan pada data yang berevolusi dalam ruang dan
waktu serta data yang memiliki dimensi yang cukup besar. Pada penelitian
selanjutnya analisis EOF dapat di lanjutkan dengan menambahkan data dari
stasiun pengamatan curah hujan yang ada di Indonesia kemudian dapat di
bandingkan dengan hasil data curah hujan TRMM 3B43. Selain itu dapat pula
membandingkan metode EOF dengan metode matematika lainnya yang
berhubungan dengan pereduksian data misalnya menggunakan Analisis komponen
utama non linier atau analisis komponen utama kernel. Selanjutnya, dibandingkan
nilai efektifitas atau nilai kesalahan dari masing–masing metode.
DAFTAR PUSTAKA
Aldrian E. and Susanto RD. 2003. Identification of three dominant rainfall
regions within Indonesia and their relationship to sea surface temperature,
Int. J. Climatology, 23: 1435-1452.
Eckart C, Young G. 1936. The approximation of one matrix by another of lower
Rank. Psychometrika 1:211-218.
22
Hannachi A. 2009. A primer for EOF analysis of climate data: Department of
Meteorology, University of Reading, Reading RG6 6BB, U.K.
Jolliffe IT.2002. Principal Ccomponent Analysis. 2nd ed. New York: SpringerVerlag.
Kutzbach JE. 1967. Empirical eigenvectors of sea-level pressure, suface
temperature, and precipitation complexes over North America, Journal of
Applied Meteorology 6:791-802.
Leon SJ. 2014. Linear Algebra with Applications. 8th ed. New Jersey (USA):
Prentice Hall.
Lorenz EN. 1956. Empirical orthogonal function and statistical weather prediction.
Scientific Report 1:1-49.
Lyons SW. 1982. Empirical orthogonal function analysis of hawaiian rainfall
Journal Applied Meteorology 21: 1713 – 1729.
Meyer CD. 2000. Matrix Analysis & Applied Linear Algebra: Siam.
Navarra A, Simoncini V. 2010. A Guide to Empirical Orthogonal Function for
Climate Data Analysis: Springer.
Nayagam LR, Rajesh J, H.S Ram M. 2009. Variability and teleconnectivity of
northeast monsson ranifall over India. Global and Planetary Change
69:225-231
Nicholson WK. 2001. Elementary Linear Algebra. Singapore. McGraw-Hill.
23
Lampiran 1 Algoritme ekstraksi data curah hujan TRMM 3B43
function [z] = hjn(a,b)
z=zeros(13505,12*(b-a+1));
i=1;
for iterTahun = a:b;
tahun = iterTahun;
strTahun = num2str(tahun,'%04.f');
for iterBulan = 1:12
bulan = iterBulan;
strBulan = num2str(bulan,'%02.f');
kode = 01;
strKode = num2str(kode,'%02.f');
namaFile =
strcat('3b43.',strTahun,strBulan,strKode,'.7A.hdf'); %membaca file
baca = hdfread(namaFile, '/Grid/precipitation',
'Index', {[1 1],[1 1],[1440
400]});
X = baca(1100:1284, 156:228);
A = reshape(X,[],1);
z(:,i)=A;
i=i+1;
end
end
Lampiran 2 Algoritme reduksi data menggunakan EOF berbasis SVD
function [PC,V,l,U,S]=AKUL(z)
data = zscore(z);
[U,S,V]=svds(data);
r=6;
l=zeros(r,3);
l(:,1)=diag(S);
for i=1:r
l(i,2)=l(i,1)/sum(l(1:r,1))*100;
l(i,3)=sum(l(1:i,1))/sum(l(1:r,1))*100;
end
PC=U*S;
end
24
Lampiran 3 Plot pola spasial
%plot Spasial EOF Mode 1
t1 = reshape(PC(:,1),185,73);
xlon = 95:0.25:141;
ylat = -11:0.25:7;
[XLON,YLAT] = meshgrid(xlon,ylat);
surf(XLON,YLAT,t1'); view([0 90]); shading flat
load coast
hold on
plot3(long,lat,3000*ones(size(long)),'k');
axis equal tight
axis([95 141 -15 10]);
title('EOF Mode 1','FontWeight','bold','FontSize',12)
xlabel('Longitude');ylabel('Latitude')
title('Mode EOF1','FontWeight','bold','FontSize',12)
xlabel('Bujur','FontWeight','bold','FontSize',12);ylabel('Lintang'
,'FontWeight','bold','FontSize',12)
h = subplot(1,1,1);
set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12,
'XTickLabel',{'100BT','110BT','120BT','130BT','140BT'},'Xtick',[10
0 110 120 130
140],'YTickLabel',{'10LS','5LS','0','5LU','10LU'},'Ytick',[-10 -5
0 5 10]);
hold on
%plot Spasial EOF Mode 2
t2 = reshape(PC(:,2),185,73);
xlon = 95:0.25:141;
ylat = -11:0.25:7;
[XLON,YLAT] = meshgrid(xlon,ylat);
surf(XLON,YLAT,t2'); view([0 90]); shading flat
load coast
hold on
plot3(long,lat,1000*ones(size(long)),'k');
axis equal tight
axis([95 141 -15 10]);
title('Mode EOF2','FontWeight','bold','FontSize',12)
xlabel('Bujur');ylabel('Lintang')
title('Mode EOF2','FontWeight','bold','FontSize',12)
xlabel('Bujur','FontWeight','bold','FontSize',12);ylabel('Lintang'
,'FontWeight','bold','FontSize',12)
h = subplot(1,1,1);
25
set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12,
'XTickLabel',{'100BT','110BT','120BT','130BT','140BT'},'Xtick',[10
0 110 120 130
140],'YTickLabel',{'10LS','5LS','0','5LU','10LU'},'Ytick',[-10 -5
0 5 10]);
hold on
%plot Spasial EOF Mode 3
t3 = reshape(PC(:,3),185,73);
xlon = 95:0.25:141;
ylat = -11:0.25:7;
[XLON,YLAT] = meshgrid(xlon,ylat);
surf(XLON,YLAT,t3'); view([0 90]); shading flat
load coast
hold on
plot3(long,lat,1000*ones(size(long)),'k');
axis equal tight
axis([95 141 -15 10]);
title('Mode EOF3','FontWeight','bold','FontSize',12)
xlabel('Bujur','FontWeight','bold','FontSize',12);ylabel('Lintang'
,'FontWeight','bold','FontSize',12)
h = subplot(1,1,1);
set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12,
'XTickLabel',{'100BT','110BT','120BT','130BT','140BT'},'Xtick',[10
0 110 120 130
140],'YTickLabel',{'10LS','5LS','0','5LU','10LU'},'Ytick',[-10 -5
0 5 10]);
hold on
26
Lampiran 4 Plot pola temporal
figure;subplot(5,1,1)
l1=l(1,2);
plot(V(:,1));
title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM
3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14)
h = subplot(5,1,1);
set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12,
'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20
05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014'
},'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186
198]);
hold on
subplot(5,1,2)
l1=l(2,2);
plot(V(:,2));
title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM
3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14)
k = subplot(5,1,2);
set(k,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12,
'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20
05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014'
},'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186
198]);
hold on
figure;subplot(5,1,3)
l1=l(3,2);
plot(V(:,3));
title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM
3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14)
h = subplot(5,1,3);
set(h,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12,
'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20
05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014'
},'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186
198]);
hold on
subplot(5,1,4)
l1=l(4,2);
plot(V(:,4));
title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM
3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14)
k = subplot(3,1,2);
set(k,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12,
'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20
05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014'
},'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186
198]);
27
hold on
subplot(5,1,5)
l1=l(5,2);
plot(V(:,5));
title([num2str(l1,'%.1f'),'%Variance of TRMM
3B43'],'FontWeight','bold','FontSize',14)
d = subplot(5,1,5);
set(d,'XGrid','on','YGrid','on','FontWeight','bold','FontSize',12,
'XTickLabel',{'1998','1999','2000','2001','2002','2003','2004','20
05','2006','2007','2008','2009','2010','2011','2012','2013','2014'
},'Xtick',[6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186
198]);
hold on
Lampiran 5 Algoritme error norm matriks
function e = salah2(p, PC, V, data)
for i = 1:p
U1 = PC(:,1:i);
P1 = V(:,1:i);
xp = U1*P1';
e(1,i) =norm(data-xp)/(norm(data));
end
a = 1:1:p;
plot(a,e,'r-*')
end
Lampiran 6 Nilai error norm relatif
Mode
EOF
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Error
relatif
0.1207
0.1162
0.1126
0.1121
0.1112
0.109
0.1077
0.107
0.1055
0.1043
0.1031
0.101
0.1003
0.0984
0.0967
0.0961
0.0948
Mode
EOF
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
Error
relatif
0.0631
0.0624
0.0618
0.0616
0.0615
0.0611
0.0604
0.06
0.0596
0.0591
0.0588
0.0586
0.0585
0.058
0.0574
0.0569
0.0565
Mode
EOF
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
Error
relatif
0.0492
0.049
0.0485
0.0483
0.0479
0.0477
0.0474
0.0472
0.0466
0.0465
0.046
0.0459
0.0455
0.0454
0.0454
0.0451
0.0448
Mode
EOF
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
Error
relatif
0.0387
0.0384
0.0381
0.0377
0.0372
0.0368
0.0367
0.0363
0.0361
0.0358
0.0357
0.0353
0.035
0.0348
0.0344
0.034
0.0339
28
Mode
EOF
44
45
46
47
48
49
50
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
Error
relatif
0.0931
0.0915
0.0911
0.0901
0.0891
0.088
0.0875
0.0698
0.0692
0.0685
0.0677
0.0674
0.0668
0.0662
0.0658
0.0655
0.0651
0.0645
0.0642
0.0639
0.0635
0.0633
Mode
EOF
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
Error
relatif
0.0558
0.0557
0.055
0.0547
0.0543
0.054
0.0536
0.0535
0.053
0.0527
0.0523
0.0522
0.0518
0.0514
0.0512
0.051
0.0507
0.0505
0.0503
0.05
0.0497
0.0493
Mode
EOF
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
Error
relatif
0.0445
0.0444
0.0442
0.0439
0.0436
0.0433
0.0431
0.0427
0.0423
0.0422
0.0421
0.0417
0.0414
0.0412
0.0409
0.0407
0.0403
0.04
0.0398
0.0397
0.0394
0.0392
Mode
EOF
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
Error
relatif
0.0334
0.0332
0.0327
0.0323
0.0321
0.0317
0.0312
0.031
0.0305
0.0304
0.0293
0
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kecamatan Sumber Jaya Lampung Barat pada
tanggal 18 Februari 1991, sebagai anak pertama dari 2 bersaudara, dari pasangan
A.Somad dan Syaf Rosidah. Pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi
Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP)
Universitas Jember, lulus pada tahun 2013. Kesempatan untuk melanjutkan ke
program magister pada Program Studi Matematika Terapan IPB diperoleh pada
tahun 2013 dengan sponsor beasiswa pascasarjana dari Direktorat Jenderal
Pendidikan Tinggi (DIKTI) melalui program BPPDN.
Sebuah artikel akan diterbitkan pada bulan Januari 2016 dengan judul
Analisis Empirical Ortogonal Function (EOF) Berbasis Singular Value
Decomposition (SVD) pada Data Curah Hujan Indonesia pada Journal of
Mathematical Application (JMA). Artikel tersebut merupakan bagian dari tesis
penulis.