matematika - New Page 2

Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
PANDUAN MATERI
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2004/2005
SMA/MA
MATEMATIKA
PROGRAM STUDI IPA
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN
PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN
©
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
KATA PENGANTAR
Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan persiapan penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian
Sekolah/Madrasah Tahun Pelajaran 2004/2005, Pusat Penilaian Pendidikan Balitbang Depdiknas
menyiapkan panduan materi untuk setiap mata pelajaran yang diujikan pada Ujian Nasional dan
Ujian Sekolah. Panduan tersebut mencakup:
1. Gambaran Umum Format dan Bentuk Ujian
2. Standar Kompetensi Lulusan (SKL) dan Ruang Lingkup Materi
3. Contoh Spesifikasi Soal
4. Pedoman Penskoran
Panduan ini dimaksudkan sebagai pedoman bagi sekolah/madrasah dalam mempersiapkan
penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah, serta sebagai informasi dan acuan bagi
peserta didik, guru, dan pihak-pihak terkait dalam menghadapi Ujian Nasional dan Ujian
Sekolah/Madrasah.
Semoga panduan ini digunakan sebagai acuan oleh semua pihak yang terkait dalam
penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah Tahun Pelajaran 2004/2005.
Jakarta, Januari 2005
Kepala Pusat Penilaian Pendidikan,
Balitbang Depdiknas
Bahrul Hayat, Ph.D.
NIP. 131 602 652
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
i
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
DAFTAR ISI
Halaman
Kata Pengantar ...........................................................................................................
Daftar Isi ....................................................................................................................
i
ii
Gambaran Umum.......................................................................................................
Standar Kompetensi Lulusan .....................................................................................
1
2
Ruang Lingkup dan Ringkasan Materi ......................................................................
4
•
Standar Kompetensi Lulusan 1 ......................................................................
4
•
Standar Kompetensi Lulusan 2 ......................................................................
25
•
Standar Kompetensi Lulusan 3 ......................................................................
36
•
Standar Kompetensi Lulusan 4 ......................................................................
42
•
Standar Kompetensi Lulusan 5 ......................................................................
49
•
Standar Kompetensi Lulusan 6 ......................................................................
55
•
Standar Kompetensi Lulusan 7 ......................................................................
62
•
Standar Kompetensi Lulusan 8 ......................................................................
79
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
ii
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
GAMBARAN UMUM
•
Pada ujian nasional tahun pelajaran 2004/2005, bentuk tes Matematika
tingkat SMA/MA berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda,
sebanyak 30 soal dengan alokasi waktu 120 menit.
•
Acuan yang digunakan dalam menyusun tes ujian nasional adalah
kurikulum 1994 beserta suplemennya, dan standar kompetensi lulusan.
•
Materi yang diujikan untuk mengukur kompetensi tersebut meliputi:
eksponen, logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma,
persamaan kuadrat, pertidaksamaan kuadrat, sistem persamaan liniear,
matriks, program liniear, vektor, notasi sigma, barisan dan deret
bilangan, fungsi komposisi, fungsi invers, suku banyak, dan teorema
sisa, lingkaran ellips, parabola, hiperbola, transformasi, bangun ruang,
ukuran pemusatan, ukuran penyebaran, peluang, fungsi trigonometri,
persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, logika matematika, limit,
diferensial, dan integral.
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
1
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Standar Kompetensi Lulusan
Standar Kompetensi Lulusan (SKL)
1. Siswa mampu melakukan operasi hitung
aljabar, menyelesaikan persamaan dan
pertidaksamaan, serta menggunakannya
dalam kehidupan sehari-hari.
Ruang Lingkup Materi
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Bentuk pangkat dan akar
Eksponen dan logaritma
Persamaan kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat
Sistem persamaan linear dan kuadrat
Program linear
Matriks
Vektor
Suku banyak
2. Siswa mampu menyatakan dan mengkaji •
hubungan antara dua himpunan yang dapat •
dirumuskan sebagai fungsi atau barisan •
bilangan, serta menggunakannya dalam
kehidupan sehari-hari.
Fungsi linear dan fungsi kuadrat
Fungsi komposisi dan fungsi invers
Barisan dan deret
3. Siswa mampu memahami sifat dan konsep •
kedudukan titik, garis, dan bidang dalam
ruang, dan mampu menghitung unsur-unsur
yang terkait dengan sudut, garis dan bidang
dalam ruang, serta menggunakannya untuk
menyelesaikan masalah.
Ruang dimensi tiga
4. Siswa mampu mengolah, menyajikan, •
menafsirkan data, dan menggunakan kaidah •
pencacahan untuk menentukan nilai peluang
kejadian, serta menggunakannya dalam
kehidupan sehari-hari.
Statistika
Peluang
5. Siswa mampu memahami konsep dan •
mampu menghitung unsur-unsur yang
terkait dengan segitiga, khususnya sudut
dan
identitas
trigonometri,
serta
menggunakannya untuk menyelesaikan
masalah.
Trigonometri
6. Siswa mampu memahami dasar-dasar •
logika dan mampu menarik kesimpulan dari
serangkaian premis yang diberikan.
Logika matematika
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
7. Siswa mampu memahami konsep irisan •
kerucut dan sifat-sifatnya, efek transformasi •
serta mampu menggunakannya untuk
menyelesaikan masalah.
Irisan kerucut
Transformasi
8. Siswa mampu memahami konsep dan •
mampu menghitung limit fungsi di suatu •
titik, turunan, dan integral.
•
Limit
Turunan
Integral
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
3
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
RUANG LINGKUP DAN RINGKASAN MATERI
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 1
Siswa mampu melakukan operasi hitung aljabar, menyelesaikan persamaan dan
pertidaksamaan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
Ruang Lingkup
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Bentuk pangkat dan akar
Eksponen dan logaritma
Persamaan kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat
Sistem persamaan linear dan kuadrat
Program linear
Matriks
Vektor
Suku banyak
Ringkasan Materi
I. 1. Eksponen, Logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma.
A. Sifat-sifat eksponen
p
q
1. a × a = a
p+q
2. a p : a q = a p − q
q
3.  a p  = a p .q


p
ap
a
5.   = p
b
b
6. a0 = 1
7. a -p =
1
ap
p
4.
DEPDIKNAS
(a.b )
p
= a p .b p
q p
a = aq
8.
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
4
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
B. Sifat-sifat logaritma
1. a log b + a log c = a log bc
b
2. a log b − a log c = a log
c
a
a
n
3. log b = n log b
4. a log b × b log c = a log c
c log b
a
5. log b =
c log a
C. Bentuk persamaan eksponen
1. Jika a f ( x ) = 1 maka f ( x ) = 0
2. Jika a f ( x ) = a p maka f ( x ) = p
3. Jika a f ( x ) = a g ( x ) maka f ( x ) = g ( x )
4. Persamaan eksponen yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.
D. Pertidaksamaan eksponen
1. Untuk 0 < a < 1
a. Jika a f ( x ) ≥ a g ( x ) maka f ( x ) ≤ g ( x )
b. Jika a f ( x ) ≤ a g ( x ) maka f ( x ) ≥ g ( x )
2. Untuk a > 1
a. Jika a f ( x ) ≥ a g ( x ) maka f ( x ) ≥ g ( x )
b. Jika a f ( x ) ≤ a g ( x ) maka f ( x ) ≤ g ( x )
E. Bentuk persamaan logaritma
1. Jika a log f ( x ) = a log p maka f ( x ) = p
2. Jika a log f ( x ) = a log g( x ) maka f ( x ) = g (x )
dengan syarat : f ( x ) > 0 dan g (x ) > 0
3. Persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.
F. Pertidaksamaan logaritma
1. Untuk 0 < a < 1
a. Jika a log f ( x ) ≥ a log g( x ) maka f ( x ) ≤ g ( x )
b. Jika a log f ( x ) ≤ a log g( x ) maka f ( x ) ≥ g ( x )
2. Untuk a > 1
a. Jika a log f ( x ) ≥ a log g( x ) maka f ( x ) ≥ g ( x )
b. Jika a log f ( x ) ≤ a log g( x ) maka f ( x ) ≤ g ( x )
dengan syarat : f ( x ) > 0 dan g ( x ) > 0
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
5
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Latihan dan Pembahasan
Contoh:
1. Nilai x yang memenuhi persamaan 4 x + 3 =
2
9
9
c.
e.
a. −
5
5
5
2
4
d.
b. −
5
5
4 x +5
8
adalah ….
Pembahasan :
4
4 x + 3 = 8 x +5
x +5
x+3
2
3
4
2
= 2
3x + 15
2x + 6 =
4
5x = −9
9
x = −
5
( )
( )
Kunci : A
Contoh:
2. Himpunan penyelesaian 2 log( x 2 − 3x + 2) < 2 log(10 − x) , x ∈ R adalah ….
a. { x | −2 < x < 1 atau 2 < x < 4 }
b. { x | x < 1 atau x > 2 }
c. { x | −2 < x < 4 }
d. { x | x > 10 }
e. { }
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
6
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
syarat :
⊗ x 2 − 3x + 2 > 0
Pembahasan :
2log( x 2 − 3 x + 2 ) < 2log( 10 − x )
x 2 − 3x + 2 < 10 − x
(x − 2) (x − 1) > 0
x 2 − 2x − 8 < 0
(x − 4) (x + 2) < 0
−2< x< 4
−2< x< 4
x < 1 atau x > 2
⊗ 10 − x > 0
x < 10
-2
4
x < 1 atau x > 2
1
x < 10
2
10
− 2 < x < 1 atau 2 < x < 4
Kunci : A
2
3. Nilai x yang memenuhi 3 x − 3 x + 4 < 9 x −1 adalah ….
c. − 3 < x < 2
e. − 1 < x < 2
a. 1 < x < 2
d. − 2 < x < 3
b. 2 < x < 3
Pembahasan :
2
3 x − 3 x + 4 < 9 x −1
2
3 x − 3 x + 4 < 3 2(x − 1)
x 2 − 3x + 4 < 2 x − 2
x 2 − 5x + 6 < 0
(x − 2)(x − 3) < 0
2< x<3
Kunci : B
2
4. Jika x1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan :  3log x  − 3.3 log x + 2 = 0 ,


maka x1 . x 2 = ….
a. 2
c. 8
e. 27
b. 3
d. 24
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
7
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2
Pembahasan :  3log x  − 3.3 log x + 2 = 0


 3log x − 2  3 log x − 1 = 0



3log x = 2 atau 3log x = 1
x = 9 atau x = 3
x1 . x 2 = 9 . 3 = 27
Kunci : E
I. 2. Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat.
A. Persamaan Kuadrat
1. Bentuk Umum : ax 2 + bx + c = 0 , a, b, dan c ∈ R dan a ≠ 0
2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara
a. memfaktorkan
b. melengkapi kuadrat sempurna
− b ± b 2 − 4ac
c. menggunakan rumus ABC : x1.2 =
2a
3. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat :
ax 2 + bx + c = 0 mempunyai : akar real berlainan jika D > 0
akar real sama jika D = 0
akar tidak real jika D < 0
D adalah diskriminan ax 2 + bx + c = 0 , D = b 2 − 4ac
4. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :
Akar-akar persamaan ax 2 + bx + c = 0 adalah x dan x .
1
2
b
c
dan x1 . x 2 =
x1 + x 2 = −
a
a
5. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya dengan cara :
a. perkalian faktor : (x − x1 ) (x − x 2 ) = 0
b. menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut :
x 2 − ( x + x )x + x .x = 0
1
2
1 2
6. Menyusun persamaan kuadrat baru jika akar-akarnya diketahui
mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang
diketahui.
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
8
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
B. Pertidaksamaan Kuadrat
1. Bentuk Umum : ax 2 + bx + c < 0 , bisa juga menggunakan tanda >, ≤
atau ≥ , a,b, dan c ∈ R , a ≠ 0
2. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis
bilangan atau grafik fungsi kuadrat.
3. Pemakaian diskriminan persamaan kuadrat .
Menentukan koefisien persamaan kuadrat yang akarnya memenuhi sifat
tertentu.
misal : akar real, akar tidak real, akar berkebalikan, dan sebagainya.
Latihan dan Pembahasan
1. Jika x1 dan x 2 akar-akar persamaan x 2 + px + 1 = 0 , maka persamaan kuadrat
2
2
yang akar-akarnya
+
dan x1 + x 2 adalah ….
x1 x 2
a. x 2 − 2 p 2 x + 3 = 0
d. x 2 − 3 px + p 2 = 0
b. x 2 + 2 px + 3 p 2 = 0
c. x 2 + 3 px + 2 p 2 = 0
e.
x2 + p2x + p = 0
Pembahasan :
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β .
2( x1 + x 2 )
2
2
+
=
α =
= − 2 p dan β = x1 + x 2 = − p
x1 x 2
x1 x2
Jadi persamaan kuadrat baru : (x − α )( x − β) = 0
(x − (− 2 p ))(x − (− p )) = 0
(x + 2 p )(x + p ) = 0
x 2 + 3 px + 2 p 2 = 0
Kunci : C
2. Jika x1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 + x − p = 0 , p konstanta
x
x
positif, maka 1 + 2 = ….
x 2 x1
1
1
1
c. 2 −
e. 2 +
a. − 2 −
p
p
p
1
1
b.
−2
d.
p
p
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
9
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Pembahasan :
x 2 + x 2 2 ( x1 + x 2 )2 − 2 x1 x 2 1 + 2 p
x1 x 2
+
= 1
=
=
x 2 x1
x1 x 2
x1 x 2
−p
1
= − −2
p
Kunci : A
3. Persamaan kuadrat x 2 + (m − 2)x + 9 = 0 mempunyai akar-akar nyata. Nilai m
yang memenuhi adalah ….
a. m ≤ −4 atau m ≥ 8
c. m ≤ −4 atau m ≥ 10
e. − 8 ≤ m ≤ 4
b. m ≤ −8 atau m ≥ 4
d. − 4 ≤ m ≤ 8
Pembahasan :
Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata jika D ≥ 0
b 2 − 4ac ≥ 0
(m − 2)2 − 4.1.9 ≥ 0
m 2 − 4m + 4 − 36 ≥ 0
2
m − 4m − 32 ≥ 0
(m − 8)(m + 4) ≥ 0
m ≤ −4 atau m ≥ 8
++
++
-4
8
Kunci : A
4. Persamaan x 2 (1 − m ) + x(8 − 2m ) + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai
m = ….
a. − 2
c. 0
e. 2
3
3
b. −
d.
2
2
Pembahasan :
Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar jika D = 0
D=0
b 2 − 4ac = 0
(8 − 2m )2 − 4(1 − m ) .12 = 0
64 − 32m + 4m 2 − 48 + 48m = 0
4m 2 + 16m + 16 = 0
m 2 + 4m + 4 = 0
(m + 2)2 = 0
m = −2
Kunci : A
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
10
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
I. 3. Sistem Persamaan Linear.
Bentuk Umum :
A. Sistem Persamaan Linear 2 peubah
a1 x + a 2 y = a3

 b1 x + b2 y = b3
B. Sistem Persamaan Linear 3 peubah
a1x + a2 y + a3 z = a4

 b1x + b2 y + b3 z = b4
c x +c y +c z = c
2
3
4
 1
C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Dengan cara :
1. Substitusi
2. Eliminasi
3. Determinan
4. Matriks
Latihan dan Pembahasan
 x + y =1

1. Himpunan penyelesaian :  y + z = 6
2 x + y + z = 4

adalah {(x , y , z )} .
Nilai dari x + z = ….
c. 1
e. 3
a. −5
b. −3
d. 2
Pembahasan :
x + y =1
y+z =6
x − z = −5
y+z =6
2x + y + z = 4
− 2x = 2
x = −1
x − z = −5
z = −1 + 5 = 4
∴ x + z = −1 + 4 = 3
Kunci : E
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
11
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
5
x +

2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan : 
3 −
 x
adalah {(x0 , y 0 )}. Nilai x0 − y 0 = ….
8
2
a. 8
c.
e.
15
15
6
b. 2
d.
15
Pembahasan :
5 4
+ = 13
×1
x y
3 2
− = 21
x y
×2
4
= 13
y
2
= 21
y
5 4
+ = 13
x y
6 4
− = 42
x y
11
= 55
x
1
11 1
x=
= → xo =
55 5
5
3 2
− = 21
x y
2
= 15 − 21 = −6
y
2
1
1
y=
= − → yo = −
−6
3
3
3+5 8
1
1
=
Nilai x0 − y 0 = − (− ) =
5
3
15
15
Kunci : C
I. 4. Program linear
Program linear adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum suatu bentuk linear
(bentuk atau fungsi obyektif atau fungsi tujuan) pada daerah himpunan penyelesaian
suatu sistem pertidaksamaan linear.
Nilai optimum tersebut dapat ditentukan dengan cara :
1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.
2. Menentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah tersebut.
3. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik sudut tersebut.
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
12
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Latihan dan Pembahasan
1. Nilai minimum fungsi objektif (5 x + 10 y ) pada himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah
terasir gambar di bawah adalah…
Y
a.
b.
c.
d.
e
32
24
400
320
240
200
160
16
0
16
36
X
48
Pembahasan :
Y
32
24
16
Hp
A
B
0
16
36
g1
48
g2
X
g3
Persamaan garis yang melalui (16, 0) dan (32, 0)
2 x + y = 32 ……. ( garis g1 )
Persamaan garis yang melalui (36, 0) dan (0, 24)
2 x + 3 y = 72 ……( garis g 2 )
Persamaan garis yang melalui (48, 0) dan (0, 16)
x + 3 y = 48 ……..( garis g 3 )
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
13
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
A adalah titik potong garis g1 dan g 2
2x + y = 32
2x + 3 y = 72
−2 y = −40
y = 20
B adalah titik potong garis g 2 dan g 3
2x + 3 y = 72
x + 3 y = 48
x = 24
2 x + y = 32
2 x = 12
x=6
Koordinat titik A (6, 20)
x + 3 y = 48
3 y = 24
y =8
Koordinat titik B (24, 8)
Koordinat titik sudut pada daerah penyelesaian
(0, 32), (6, 20), (24, 8), dan (48, 0)
Nilai optimum :
Bentuk obyektif : 5x + 10y
Pada titik (0, 32)
(6, 20)
(24, 8)
(48, 0)
5.0 + 10.32 = 320
5.6 + 10.20 = 230
5.24 + 10.8 = 200
5.48 + 10.0 = 240
Nilai minimum
∴ Nilai minimum = 200
Kunci : D
2. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua
jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp 200,00 dengan
keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp 300,00 dengan
keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp 100.000,00
dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan
terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah ….
a. 30%
c. 34%
e. 40%
b. 32%
d. 36%
Pembahasan :
Misal banyaknya kue jenis I = x buah dan kue jenis II = y buah
200 x + 300 y ≤ 100000
x + y ≤ 400
Sistem pertidaksamaan linear :
x≥0
y≥0
40
× 200 = 80
Laba kue I = 40% =
100
30
Laba kue II = 30% =
× 300 = 90
100
⊗ Bentuk obyektif : 80 x + 90 y
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
14
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Daerah himpunan penyelesaian :
Garis 2 x + 3 y = 1000
Titik potong dengan sumbu X adalah (500, 0) dan sumbu Y adalah (0,
1000
)
3
Garis x + y = 400
Titik potong dengan sumbu X adalah (400, 0) dan sumbu Y adalah (0, 400)
Titik potong :
Y
2 x + 3 y = 1000 × 1
x + y = 400 × 2
400
1000
3
(200, 200)
Hp
0
400
500
X
2 x + 3 y = 1000
2 x + 2 y = 800
y = 200
x = 200
(200, 200)
Bentuk obyektif : 80x + 90y
Koordinat titik-titik sudut dan nilai optimum bentuk obyektif
(0, 0)
800.0 + 90.0 = 0
(400, 0)
80.400 + 90.0 = 32000
(200, 200)
80. 200 + 90.200 = 34000
maksimum
1000
1000
)
80.0 + 90.
= 30000
(0,
3
3
34000
Laba maksimum Rp 34.000,0 =
× 100% = 34%
100000
Kunci : C
3. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan :
4 x + 2 y ≤ 60
2 x + 4 y ≤ 48
x ≥ 0 , y ≥ 0 adalah ….
a. 120
c. 116
e. 112
b. 118
d. 114
Pembahasan :
Daerah himpunan penyelesaian :
garis 4 x + 2 y = 60
Titik potong dengan sumbu X adalah (15, 0) dan sumbu Y adalah (0, 30)
garis 2 x + 4 y = 48
Titik potong dengan sumbu X adalah (24, 0) dan sumbu Y adalah (0, 12)
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
15
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Y
30
12
0
15
24
X
Titik potong garis
4 x + 2 y = 60 × 1
1
2 x + 4 y = 48 ×
2
4 x + 2 y = 60
x + 2 y = 24
3 x = 36
x = 12
y=6
(12, 6)
⊗ Bentuk obyektif : z = 6 x + 8 y
Koordinat titik sudut- titik sudut : (0, 0), (15, 0), (0, 12), (12, 6)
Nilai optimum : z = 6 x + 8 y pada titik :
(0, 0)
z = 6.0 + 8.0 = 0
(15, 0)
z = 6.15 + 8.0 = 90
(0, 12)
z = 6.0 + 8.12 = 96
maksimum
(12, 6)
z = 6.12 + 8.6 = 120
Kunci : A
I. 5. Matriks
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam
baris dan kolom.
a b 

Misal : Matriks A = 
c d 
e f 

Matriks B = 
g h
a c 

1. Transpose Matriks A = A t = 
b d 
a b   e f   a ± e b ± f 
 ± 
 = 

2. A ± B = 
 c d   g h  c ± g d ± h
3. k ⋅ A = k  a b  =  ka kb  , k = konstanta
 c d   kc kd 
 a b  e f   ae + bg af + bh 

 = 

4. A ⋅ B = 
 c d  g h   ce + dg cf + dh 
5. Determinan matriks A = Det. A = A = ad − bc
Matriks A disebut Matriks Singular jika det. A = 0
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
16
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
1  d − b


ad − bc  − c a 
1 1
 , I adalah matriks identitas
7. A . I = I . A = A, I = 
 0 0
8. A . A -1 = A -1 . A = I
6. Invers Matriks A = A −1 =
-1
9. Jika AX = B, maka X = A . B
Jika XA = B, maka X = B . A
X adalah matriks
-1
Latihan dan Pembahasan
 2 0
1 2
 dan B = 
 .
1. Diketahui matriks A = 
−
1
3
0
2




Matriks C yang memenuhi ABC = I dengan I matriks identitas adalah ….
 2 4
1  2 4
1  2 4





c.
e. 
a.
4  −1 4
6  −1 4
 −1 4
 1

b.  6
− 1

 12
1

3
1

3
1

d.  3
1

 12
1
− 
3
1 

6 
Pembahasan :
ABC = I
 2 0


 − 1 3
1

0
2

−1
2
1
 C = 
2
0
4
1
 C = 
4
0
0

1 
0

1 
−1
 2 4 1 0
 

C = 
 −1 4 0 1
1  4 − 4 1 0



=
12  1 2   0 1 
1

= 3
1

 12
1
− 
3
1 

6 
Kunci : D
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
17
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
4 − 9 
 , B =
2. Diketahui matriks A = 
3 − 4 p
matriks A – B = C −1 , nilai 2p = ….
a. –1
b. –
c.
1
2
1
2
 5 p − 5

 , dan C =
3 
 1
 − 10 8 

 . Jika
 − 4 6 p
e. 2
d. 1
Pembahasan :
A – B = C −1
4 − 9 

 –
3 − 4p
4 − 5p

 2
−1
 5 p − 5   − 10 8 

 =

3   − 4 6 p 
 1
−4 
6 p − 8 
1


 =
− 4 p − 3
− 60 p + 32  4 − 10 
−8
–4 =
− 60 p + 32
–8 = 240p – 128
240p = 120
1
p=
2
2p = 1
Kunci : D
 4 3   a b  16 3 
 × 
 = 
 .
3. Diketahui hasil kali matriks 
c
d
9
7
1
2

 
 

Nilai a+b+c+d = ….
a. 6
c. 8
e. 10
b. 7
d. 9
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
18
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Pembahasan :
 4 3   a b  16 3 

 
 = 

1 2  c d   9 7
 a b  1  2 − 3  16 3 
 


 = 
 c d  5 −1 4   9 7
 a b  1  5 − 15 


 = 
 c d  5  20 25 
a = 1, b = -3, c = 4, dan d = 5
a+b+c+d=1–3+4+5=7
Kunci : B
I.6. Vektor
1. Vektor adalah besaran yang mempunyai panjang (besar) dan arah.
2. Jika suatu titik A( a1 , a 2 , a3 ) dalam ruang (juga pada bidang) dan O titik pangkal,
 a1 
 
maka OA = a adalah vektor posisi dari titik A dan dapat ditulis OA = a =  a 2  atau
a 
 3
OA = a = a 1 i + a 2 j + a 3 k
3. Vektor dapat dijumlahkan dengan aturan jajar genjang atau aturan segitiga.
A (a1, a2, a3)
a
0
b
B (b1, b2, b3)
 b1 − a 1 
AB =  b 2 − a 2  dan AB =
 b3 − a 3 
DEPDIKNAS
OA + AB = OB
AB = OB − OA
AB = b − a
(b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
19
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
 a1 
 b1 
 
 
4. Jika a =  a 2  dan b =  b2  , maka:
a 
b 
 3
 3
 a1 + b1 


a + b =  a 2 + b2 
a +b 
3 
 3
(i).
(ii). Untuk m = bilangan real (skalar)
 a1   m a1 
  

m a = m  a2  =  m a2 
a  m a 
3
 3 
5. Jika OA = a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ,
OB = b = b1 i + b 2 j + b 3 k dan P terletak pada AB dengan perbandingan :
(
AP : PB = m : n atau m PB = n AP
maka : OP = p =
 a1 
 b1 
 
 
6. Jika a =  a 2  dan b =  b 2  , maka
a 
b 
 3
 3
)
n OA + m OB
m+n
a . b = a1 b1 + a 2 b2 + a3 b3
( )
b cos ∠ a , b
atau a . b = a
( )
a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
cos ∠ a , b =
( )
cos ∠ (a , b ) = –1
cos ∠ (a , b ) = 0
Untuk cos ∠ a , b = 1
2
2
a1 + a 2 + a 3
2
2
2
b1 + b 2 + b 3
2
a dan b berimpit searah
a dan b berimpit berlawanan
a ⊥ b
a .b = 0
Jika c = proyeksi vektor a pada vektor b
a .b
maka c =
b . (Proyeksi vektor)
2
b
7.
a
c
b
dan
c =
a .b
b
. (Proyeksi skalar)
Contoh:
1
5
 10 
 
 
 
Diketahui vektor a =  2  , b =  4  , dan c =  6  , maka 2a − 3b + c = ….
 4
0
 − 2
 
 
 
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
20
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
 2
 − 15 
 10 
 




Jawab : 2a =  4  , − 3b =  − 12  , dan c =  6 
8
 0
 −2 
 




 2 − 15 + 10   − 3 

  
2a − 3b + c =  4 − 12 + 6  =  − 2 
 8 + 0 − 2   6

  
Latihan dan Pembahasan
1. Diketahui titik A(5, 7, 2) dan B(−3, −1, 6). Titik D membagi AB di luar dengan
perbandingan −1 : 3. Panjang AD = ….
30
c.
36
d.
42
a.
34
d.
38
b.
Pembahasan :
−b+3a
AD : DB = −1 : 3, sehingga d =
=
−1+ 3
 5
 − 3
 
 
−  −1 + 3  7 
 2
 6
 
 
2
 9 


=  11
 0 


 9   5  4
    

AD =  11 −  7  =  4 
 0   2  − 2
    

AD AD = 16 + 16 + 4 = 36
Kunci : C
2. Jika vektor a dan vektor b membuat sudut 60 0 , a = 4 dan b = 10 , maka
(
)
a . b + a = ….
a. 23
b. 24
DEPDIKNAS
c. 36
d. 24 3
e. 36 3
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
21
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Pembahasan :
a . b + a = a .b + a . a
( )
= a
b cos 60 0 + a
2
1
2
= 4 . 10 . + 4
2
= 36
Kunci : C
3. Proyeksi skalar vektor a pada b adalah 6.
 x 
 − 2
 
 
Vektor a =  − 4  dan b =  1  serta a = 89 , maka nilai x = ….
 y 
 2
 
 
a. –6
b. –3
c. 3
d. 6
Pembahasan:
− 2x − 4 + 2 y
6=
4 +1+ 4
e. 8
18 = −2 x − 4 + 2 y
22 = −2 x + 2 y
11 = − x + y
y = x + 11
a = 89
89 = x 2 + 16 + y 2
89 = x 2 + 16 + (11 + x )2
89 = x 2 + 16 + 121 + 22 x + x 2
2 x 2 + 22 x + 48 = 0
x 2 + 11x + 24 = 0
( x + 3) ( x + 8 ) = 0
x = –3 atau x = –8
Kunci : B
I. 7. Suku banyak
Bentuk Umum Suku banyak :
a n x n + a n −1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 +….+ a1 x + a0
a = konstanta
n = bilangan cacah
Suku banyak sering dinyatakan dengan f (x )
Nilai suku banyak f ( x ) untuk x = k adalah f (k )
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
22
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Teorema Sisa
⊗ Jika suku banyak f (x ) dibagi (x − a ) maka sisanya adalah f (a ) .
Suku banyak f (x ) dapat ditulis dalam bentuk :
f(x) = (x – a) . H(x) + S
(x – a)
H(x)
S
S
=
=
=
=
pembagi
hasil bagi
sisa
f(a)
⊗ Jika f ( x ) dibagi oleh pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n –1.
Misal : pembagi = fungsi kuadrat
Sisa = fungsi linear
Teorema faktor
⊗ Suku banyak f ( x ) mempunyai faktor (x − a ) jika dan hanya jika f (a ) = 0
Latihan dan Pembahasan
1. Jika suku banyak P(x) = 2 x 4 + ax 3 – 3 x 2 + 5x + b dibagi oleh  x 2 − 1


memberi sisa (6 x + 5) maka a . b = ….
a. –6
c. 1
e. 8
b. –3
d. 6
Pembahasan :
Sisa = S = f(x) = 6x + 5
Pembagi  x 2 − 1 = (x + 1) (x − 1)


dibagi (x + 1) , maka sisa f(–1) = –1
dibagi (x − 1) , maka sisa f(1) = 11
P(x) dibagi (x + 1) sisanya P(–1) = f(–1) = –1
P(x) = 2 x 4 + ax 3 – 3 x 2 + 5 + b
P(–1) = 2 – a – 3 – 5 + b = –1
– a + b = 5 ……….(1)
P(x) dibagi (x − 1) sisanya P(1) = f(1) = 11
P(1) = 2 + a – 3 + 5 + b = 11
a + b = 7 ……….(2)
Persamaan 1 : – a + b = 5
Persamaan 2 : a + b = 7
2b = 12
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
23
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
b= 6
a= 1
a.b= 1.6 = 6
Kunci : D
2. Diketahui (x + 1) salah satu faktor dari suku banyak :
f ( x ) = 2 x 4 – 2 x 3 + px 2 – x – 2. Salah satu faktor yang lain adalah ….
a.
b.
(x − 2)
(x + 2)
c.
d.
(x − 1)
( x − 3)
e.
( x + 3)
Pembahasan :
Jika (x + 1) faktor dari f (x ) , maka f (− 1) = 0
f ( x ) = 2 x 4 – 2 x 3 + px 2 – x – 2
f (− 1) = 2 + 2 + p + 1 – 2 = 0
p = –3
f ( x ) = 2 x 4 – 2 x 3 + 3x2 – x – 2
-1
2
2
2
2
-2
-3
-1
-2
-2
4
-1
2
-4
1
-2
0
4
0
2
0
1
0
∴ faktor yang lain adalah (x − 2)
Kunci : A
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
24
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 2
Siswa mampu menyatakan dan mengkaji hubungan antara dua himpunan yang dapat
dirumuskan sebagai fungsi atau barisan bilangan, serta menggunakannya dalam
kehidupan sehari-hari.
Ruang Lingkup
• Fungsi linear dan fungsi kuadrat
• Fungsi komposisi dan fungsi invers
• Barisan dan deret
Ringkasan Materi
II. 1. Notasi Sigma, Barisan Bilangan, dan Deret
A. Notasi Sigma
Notasi sigma atau ∑ digunakan untuk menyatakan operasi penjumlahan
bilangan berurutan.
Sifat-sifat Notasi ∑ :
n
n
1. ∑ i = ∑ p
i=m p=m
n
n
2. ∑ k.i = k ∑ i , k = konstanta
i=m
i=m
n
n
a −1
3. ∑ i + ∑ k.i = ∑ k.i
i =m
i=m i=a
n+a
n−a
4.
∑ (i − a ) = ∑ (i + a )
i =m+a
i =m−a
n
n
n
5. ∑ ai ± ∑ bi = ∑ (ai ± bi )
i=m
i=m
i=m
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
25
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
B. Barisan dan Deret Aritmetika
⊗ Barisan Aritmetika
U1 , U 2 , U 3 , … , U n
a , a + b , a + 2b , … , a + (n − 1)b
⊗ Deret Aritmetika
U1 + U2 + U3 + … + U n
a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n –1) b)
keterangan :
U1 = a = suku pertama
b = U2 – U1 = beda
U n = a + (n − 1)b = suku ke–n
n
n
S n = {2a + (n − 1)b} = (a + U n ) = Jumlah n suku pertama
2
2
U n = Sn − Sn - 1
C. Barisan dan Deret Geometri
⊗ Barisan Geometri
U1 , U 2 , U 3 , … , U n
a , ar , ar 2 , … ar n −1
⊗ Deret Geometri
U1 + U2 + U3 + … + U n
a + ar + ar 2 + … + ar n −1
keterangan :
U1 = a = suku pertama
U2
r =
= rasio
U1
U n = ar n −1 = suku ke–n
a r n − 1
 , r >1
Sn = 
n
r −1
a1 − r n 
 , 0 < r <1
Sn = 
n
1− r
S n = Jumlah n suku pertama
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
26
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
D. Deret Geometri tak hingga
Suatu deret geometri mempunyai jumlah sampai tak hingga jika − 1 < r < 1 ,
r≠0
a
S∞ =
1− r
S ∞ = Jumlah sampai tak hingga
a = suku pertama
r = rasio
Latihan dan Pembahasan
100
100
1. Nilai dari ∑ 2k + ∑ (3k + 2 ) = ….
k =1
a. 25450
b. 25520
k =1
c. 25700
d. 50500
e. 50750
Pembahasan :
100
100
k =1
100
k =1
∑ 2k + ∑ (3k + 2 ) =
100
∑ (2k + 3k + 2) = ∑ (5k + 2) = 7 + 12 + 17 + … + 502
k =1
k =1
selanjutnya penjumlahan di atas dapat dicari dengan menggunakan rumus
jumlah n suku pertama deret aritmetika.
7 + 12 + 17 + … + 502 = …
a=7
b=5
U n = 502
a + (n − 1)b = 502
7 + (n − 1)5 = 502
7 + 5n − 5 = 502
5n = 500
100
n = 100 (n dapat ditentukan dari indeks atas ∑ )
k =1
1
n(a + U n )
2
S100 = 50(7 + 502)
= 25450
Sn =
Kunci : A
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
27
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2. Suku kedua suatu barisan geometri adalah 2 dan suku kelima adalah
ketujuh adalah ….
34
64
c.
a.
84
243
32
34
d.
b.
81
243
Pembahasan :
U 2 = ar = 2
16
U 5 = ar 4 =
27
U 5 ar 4
8
=
=
U2
27
ar
8
r3 =
27
ar = 2
e.
16
. Suku
27
32
243
2
3
2 2 3
a = = . =3
r 1 2
r=
6
64
2
U 7 = ar 6 = 3 ⋅   =
243
3
Kunci : C
3. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n = n 2 +
aritmetika tersebut adalah ….
1
a. − 5
c. 2
2
1
b. − 2
d. 2
2
Pembahasan :
DEPDIKNAS
e.
5
5
n . Beda dari deret
2
1
2
5
n
2
5
1
S1 = 1 + = 3 = a
2
2
S2 = 4 + 5 = 9
U n = S n − S n −1
U 2 = S 2 − S1
1
1
U2 = 9 − 3 = 5
2
2
Sn = n 2 +
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
28
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
1
1
beda = b = U 2 - U1 = 5 − 3 = 2
2
2
Kunci : C
4. Empat bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan
pertama dan keempat adalah 46 dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah
144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah ….
a. 40
c. 98
e. 190
b. 50
d. 100
Pembahasan :
Misal bilangan tersebut a , a + b , a + 2b , a + 3b .
a (a + 3b ) = 46
a 2 + 3ab = 46
(a + b ) (a + 2b ) = 144
a 2 + 3ab + 2b 2 = 144
46 + 2b 2 = 144
2b 2 = 98
b=7
a 2 + 3ab = 46
a 2 + 21a − 46 = 0
(a + 23)(a − 2) = 0
a=2
∴ ke-4 bilangan tersebut 2, 9, 16, 23
Jumlah ke-4 bilangan tersebut = 2+9+16+23 = 50
Kunci : B
5.
Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri.
Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54
orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah ….
a. 324 orang
c. 648 orang
e. 4.374 orang
b. 486 orang
d. 1.458 orang
Pembahasan :
U1 = 6
U 3 = 54
U3 ar 2 54
r2 = 9
=
=
6
U1
a
U 6 = ar 5 = 6 ⋅ 35 = 1.458 orang
r =3
Kunci : D
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
29
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang
bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah ….
7
4
1
c.
e.
a.
4
7
4
3
1
d.
b.
4
2
Pembahasan :
Misal deret tersebut a , ar , ar 2 , ar 3 , ar 4 , ar 5 , … , ar n −1
S∞ = 7
ar = 31 − r 2 


a
=7
7(1 − r )r = 31 − r 2 


1− r
a = 7(1 − r )
7 r − 7 r 2 = 3 − 3r 2
S∞genap = 3
ar
1− r2
=3
4r 2 − 7 r + 3 = 0
(4r − 3)(r − 1) = 0
3
, r =1
4
3
r=
4
1 7
 3
a = 71 −  = 7. =
4 4
 4
r=
Kunci : A
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
30
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
II. 2. Fungsi kuadrat, Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers.
A. Fungsi Kuadrat
1. Bentuk Umum : f ( x ) = ax 2 + bx + c , a , b dan c ∈ R dan a ≠ 0
2. Grafik fungsi kuadrat disebut parabola, dengan persamaan :
y = ax 2 + bx + c
3. Nilai maksimum atau nilai minimum y = ax 2 + bx + c adalah y = −
D
4a
b
2a
4. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya :
a. mempunyai titik balik maksimum/minimum ( p , q )
adalah y = f ( x ) = α( x − p )2 + q
untuk x = −
b. memotong sumbu X di (x1 ,0 ) dan (x 2 ,0 )
adalah y = f ( x ) = α( x − x1 )( x − x 2 )
B. Komposisi Fungsi :
1. Komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi (lebih) secara berturutan.
2. Notasi Komposisi Fungsi :
A
B
f
x
g
y
C
z
x ∈ A , y ∈ B , dan z ∈ C
f ( x ) = y , g( y ) = z dan h( x ) = z
h( x ) = g ( f ( x )) = ( g o f )( x )
h
g o f ( x ) = komposisi fungsi f dilanjutkan dengan fungsi g.
3. Sifat Komposisi Fungsi :
f og ≠ go f
f o I = I o f = f , I adalah fungsi identitas
( f o g ) o h = f o (g o h )
C. Fungsi Invers
A
x
B
f
y
f -1
x ∈ A dan y ∈ B
f ( x ) = y , f −1 ( y ) = x
f −1 adalah fungsi invers dari f.
Fungsi f mempunyai fungsi invers jika f korespondensi satu-satu.
Sifat Fungsi Invers :
1. f o f −1 = f −1 o f = I
2.
DEPDIKNAS
(g o f )−1 =
f −1 o g −1
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
31
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Latihan dan Pembahasan
1. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum − 2 untuk x = 3 dan untuk
x = 0 nilai fungsi itu 16. Fungsi kuadrat itu adalah ....
d. f ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 16
a. f ( x ) = x 2 + 6 x + 8
b.
c.
f (x ) = x 2 − 6 x + 8
f ( x ) = 2 x 2 + 12 x + 16
e.
f ( x ) = 2 x 2 − 12 x − 16
Pembahasan :
Fungsi kuadrat dengan nilai minimum − 2 untuk x = 3
adalah f ( x ) = α( x − 3)2 − 2
f (0) = α(0 − 3)2 − 2 = 16
9α = 18
α=2
∴Fungsi kuadrat f (x ) = 2(x − 3)2 − 2
f ( x ) = 2 x 2 − 12 x + 16
f (0 ) = 16
Kunci : D
2. Nilai maksimum dari fungsi f ( x ) = −2 x 2 + (k + 5)x + 1 − 2k adalah 5.
Nilai k yang positif adalah .…
a. 1
c. 7
e. 9
b. 5
d. 8
Pembahasan :
 b 2 − 4ac 
−D

Nilai maksimum adalah y =
= −
4a
4a
f ( x ) = −2 x 2 + (k + 5)x + 1 − 2k
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
32
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
 b 2 − 4ac 
 =5
Nilai maksimum : y = − 
4a
(k + 5)2 − 4(− 2)(1 − 2k )


=5
−
4(− 2)
−  k 2 + 10k + 25 + 8 − 16k 

 =5
−8
k 2 − 6k + 33 = 40
k 2 − 6k − 7 = 0
(k + 1)(k − 7 ) = 0
k = −1 atau k = 7
Kunci : C
3. Diketahui fungsi f ( x ) = 6 x − 3 dan g ( x ) = 5 x + 4
Jika ( f o g )(a ) = 81 maka nilai a = ….
a. –2
c. 1
e. 3
b. –1
d. 2
Pembahasan :
f ( g (a )) = 81
f (5a + 4 ) = 81
6(5a + 4 ) − 3 = 81
30a = 60
a=2
Kunci : D
4. Diketahui f ( x − 1) =
1
x −1
, x ≠ dan f −1 ( x ) adalah invers dari f ( x ) .
2x − 1
2
Rumus f −1 (2 x − 1) = ….
−x−2
1
a.
, x≠−
2x + 1
2
− x +1
3
, x≠−
b.
4x + 3
4
DEPDIKNAS
x −1
1
, x≠−
2x + 1
2
3
− 2x + 1
d.
, x≠−
4x + 3
4
c.
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
e.
x +1
, x≠2
2x − 4
33
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Pembahasan :
x −1
f ( x − 1) =
2x − 1
(x + 1) − 1
f (x ) =
2( x + 1) − 1
x
f (x ) =
2x + 1
Misal :
f ( x ) = y maka f −1 ( y ) = x
x
y=
2x + 1
2 xy + y = x
2 xy − x = − y
x(2 y −1) = − y
x=
−y
2y −1
−y
2y −1
−x
f −1 ( x ) =
2x − 1
− (2 x − 1)
f −1 (2 x − 1) =
2(2 x − 1) − 1
− 2x + 1
=
4x − 3
f −1 ( y ) =
Kunci : D
5. Ditentukan g ( f ( x )) = f ( g ( x )) .
Jika f (x ) = 2 x + p dan g (x ) = 3 x + 120 , maka nilai p = ….
a. 30
c. 90
e. 150
b. 60
d. 120
Pembahasan :
g ( f ( x )) = f ( g ( x ))
g (2 x + p ) = f (3 x + 120 )
3(2 x + p ) + 120 = 2(3 x + 120 ) + p
6 x + 3 p + 120 = 6 x + 240 + p
2 p = 120
p = 60
Kunci : B
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
34
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
6. Fungsi f : R → R didefinisikan sebagai f ( x ) =
Invers dari fungsi f adalah f −1 ( x ) = ….
4x − 1
2
4x + 1
a.
, x≠−
c.
, x≠
3x + 2
3
2 − 3x
4x + 1
2
4x − 1
, x≠
d.
, x≠
b.
3x − 2
3
3x − 2
Pembahasan :
2
3
2
3
e.
4x + 1
2
, x≠−
3x + 2
3
Misal : f ( x ) = y , maka f −1 ( y = x )
Cara II :
Cara I :
2x − 1
3x + 4
2x − 1
y=
3x + 4
f (x ) =
Menggunakan rumus :
ax + b
cx + d
− dx + b
f −1 ( x ) =
cx − a
2x − 1
f (x ) =
3x + 4
− 4x − 1
f −1 ( x ) =
3x − 2
4x + 1
f −1 ( x ) =
2 − 3x
f (x ) =
3xy + 4 y = 2 x − 1
3xy − 2 x = −4 y − 1
x(3 y − 2 ) = −4 y − 1
− 4y −1
3y − 2
− 4y −1
f −1 ( y ) =
3y − 2
4x + 1
f −1 ( x ) =
2 − 3x
x=
2x − 1
4
, x≠− .
3x + 4
3
Kunci : C
Kunci : C
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
35
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 3
Siswa mampu memahami sifat dan konsep kedudukan titik, garis, dan bidang dalam
ruang, dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan sudut, garis dan
bidang dalam ruang, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
Ruang Lingkup
• Ruang dimensi tiga
Ringkasan Materi
Dimensi Tiga.
A. Irisan :
Irisan bidang α dengan bangun ruang adalah bidang datar yang dibatasi oleh
garis potong-garis potong bidang α dengan sisi-sisi bangun ruang tersebut.
Irisan bidang dapat digambarkan dengan cara :
1. Menggunakan sumbu Afinitas
2. Menggunakan diagonal bidang irisan
B. Garis tegak lurus bidang
g
Garis g tegak lurus pada bidang α, jika garis g
tegak lurus pada dua garis yang berpotongan
yang terletak pada bidang α.
h
l
α
C. Jarak
1. Jarak antara dua titik
A
B
Jarak titik A dan titik B = panjang ruas
garis AB
2. Jarak antara titik dan garis
A
B
DEPDIKNAS
Jarak titik A dan garis g = panjang ruas garis
AB (AB tegak lurus g)
gg
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
36
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
3. Jarak antara titik dan bidang
A
Jarak titik A dan bidang α = panjang ruas
garis AB (AB tegak lurus bidang α)
B
α
4. Jarak antara dua garis sejajar
A
gg
Garis g sejajar h.
Jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB
(AB tegak lurus g dan h)
hh
B
5. Jarak antara dua garis bersilangan
gg
hh
A
Garis g bersilangan dengan garis h.
Jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB.
(AB tegak lurus garis g dan garis h)
B
α
6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar
A
gg
Garis g sejajar dengan bidang α.
Jarak antara garis g dan bidang α = panjang
ruas garis AB.
(AB tegak lurus garis g dan bidang α)
B
α
7. Jarak antara dua bidang yang sejajar
A
α
β
DEPDIKNAS
Bidang α sejajar dengan bidang β.
Jarak bidang α dan bidang β = panjang ruas
garis AB.
(AB tegak lurus bidang α dan bidang β)
B
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
37
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
D. Proyeksi
1. Proyeksi titik pada garis
A
Titik B adalah proyeksi titik A pada garis g.
(AB tegak lurus g)
gg
B
2. Proyeksi titik pada bidang
A
Titik B adalah proyeksi titik A pada bidang
α. (AB tegak lurus bidang α)
B
α
3. Proyeksi garis pada bidang
1. Garis g menembus bidang α
B
A
Garis BA menembus bidang α di titik A.
Titik B′ adalah proyeksi titik B pada bidang α.
Proyeksi garis BA pada bidang α = ruas garis
AB′.
B
α
2. Garis g sejajar bidang α
α
A
B
A
B
gg
Titik A dan B pada garis g.
Titik A′ dan B′ berturut-turut proyeksi titik
A dan B pada bidang α.
Proyeksi garis g pada bidang α = ruas garis
A′ B′
E. Sudut
1. Sudut antara dua garis yang bersilangan
g
hh
α
DEPDIKNAS
gg'
hh'
Garis g dan h bersilangan.
∠ (g, h) = ∠ (g', h) = ∠ (g, h')
= ∠ (g', h')
dimana g' // g dan h' // h
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
38
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2. Sudut antara garis dan bidang
B
A
Garis BA menembus bidang α di titik A.
Titik B′ adalah proyeksi titik B pada bidang α,
garis AB′ proyeksi AB pada bidang α.
∠ (BA, bidang α) = ∠ (BA, AB′)
B
α
3. Sudut antara dua bidang.
α
(α, β) garis potong bidang α dengan bidang β.
AB tegak lurus (α, β)
BC tegak lurus (α, β)
Sudut antara bidang α dan bidang β adalah :
∠ (AB, BC) = ∠ ABC
A
(α, β )
B
C
β
Latihan dan Pembahasan
1. Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong
EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah ….
a. 2 3 cm
c. 3 2 cm
e. 6 cm
b. 4 cm
d. 2 6 cm
Pembahasan :
H
G
HS tegak lurus DH
HS tegak lurus AS
Jadi HS = jarak DH ke AS
S
E
F
D
A
C
2
2
6 + 6 = 72 = 6 2 cm
1
1
HS = HF = . 6 2 = 3 2 cm
2
2
HF =
B
Kunci : C
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
39
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2.
Pada kubus ABCD. EFGH, jika θ adalah sudut antara bidang ACF dan ACGE,
maka sin θ = ….
1
1
1
e.
c.
2
6
a.
2
2
2
1
1
b.
d.
3
3
3
2
Pembahasan :
H
AC adalah garis potong bidang ACF dan ACGE
FM tegak lurus AC
MN tegak lurus AC
Sudut antara bidang ACF dan ACGE adalah ∠ FMN.
∆ FMN siku-siku di N
G
N
E
F
D
θ
C
M
A
B
Misal : AB = a cm
FH = a 2 cm
1
NF = a 2 cm
2
Perhatikan : ∆ FBM
1
BF = a cm, MB = a 2 cm
2
2
1

a2 +  a 2  =
2

3 2 1
a = a 6
2
2
1
a 2
NF 2
1
=
=
3
sin ∠ FMN = sin θ =
MF 1
3
a 6
2
Kunci : B
MF =
3. Pada kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jarak titik B ke
diagonal ruang AG adalah ….
a. 3 6 cm
c. 3 3 cm
e.
3 cm
b. 2 6 cm
d. 2 3 cm
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
40
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Pembahasan :
H
G
N
E
F
P
C
D
A
AE // CG
∠ (CG, AFH) = ∠ (AE, AFH)
AP = proyeksi AE ke AFH
∠ (AE, AFH) = ∠ (AE, AP) = ∠ EAP atau ∠ EAN.
EN 3 2 1
=
=
2
tan ∠ EAN =
AN
6
2
B
Kunci : D
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
41
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 4
Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan menggunakan kaidah
pencacahan untuk menentukan nilai peluang kejadian, serta menggunakannya dalam
kehidupan sehari-hari.
Ruang Lingkup
• Statistika
• Peluang
Ringkasan Materi
III. 1. Statistika.
Rumus ukuran pemusatan (rata-rata, modus, median, dan kuartil) dan
ukuran penyebaran (simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam antar
varians, dan simpangan baku)
A. Untuk data tunggal :
Dari data : x1 , x 2 , x3 , … , x n
x + x 2 + ....x n 1 n
1. Rata-rata = Mean = x = 1
= ∑ xi
n
n i =1
2. Modus adalah ukuran yang paling banyak muncul.
3. Median adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi 2 bagian
sama banyak.
4. Kuartil adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi 4 bagian
sama banyak.
Kuartil terdiri atas Q1, Q2, dan Q3. Q2 = median
5. Jangkauan = ukuran terbesar – ukuran terkecil.
6. Jangkauan antar kuartil = Q3 – Q1
7. Jangkauan semi interkuartil = Simpangan kuartil
1
= Simpangan kuartil = Qd = (Q 3 - Q1 )
2
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
42
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
n
1
8. Simpangan rata-rata = S r =
n
S
i =1
n
2 1
9. Ragam (Variansi) = S =
n
10. Simpangan baku = S =
∑ xi − x
∑ (xi − x )2
i =1
2
1
n
=
n
∑ (xi − x )2
i =1
B. Untuk data kelompok :
n
∑ fi X i
1. Mean = rata-rata = rataan = x = i =1
n
∑ fi
i =1
 S1 
 . i
2. Modus = M o = t b + 
 S1 + S 2 
t b = tepi bawah kelas modus
S1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
S 2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
i = interval
kelas modus = kelas dengan frekuensi terbesar
3. Kuartil
 n∑ f − f 
kn 

Q n = tbn +  4
i
f Qn




n = 1, 2, 3
Q n = kuartil ke-n
tbn = tepi bawah kelas Q n
∑ f = jumlah frekuensi
f kn = frekuensi kumulatif sebelum kelas Q n
f Qn = frekuensi di kelas Q n
i = interval
4. Simpangan rata-rata = S R
5. Ragam = (Varians) = S
DEPDIKNAS
2
=
1
=
n
1
n
n
∑ f k xk − x
k =1
n
∑ f k (xk − x )2
k =1
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
43
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
6. Simpangan baku = S =
S
2
=
1
n
n
∑ f k ( x k − x )2
k =1
Latihan dan Pembahasan
1.
Nilai
19 - 27
28 - 36
37 - 45
46 - 54
55 - 63
64 - 72
73 - 81
Median data pada tabel adalah ….
a. 46,3
b. 46,8
c. 47,1
d. 47,3
e. 47,8
Frekuensi
4
6
8
10
6
3
3
Pembahasan :
Nilai
Frekuensi
19 – 27
28 – 36
37 – 45
46 – 54
55 – 63
64 – 72
73 – 81
4
6
8
10
6
3
3
Frekuensi
Kumulatif
6
10
18
28
34
37
40
∑ f = 40
Kelas Median pada frekuensi
kumulatif untuk ( ∑ f = 20)
⇒ kelas interval 46 – 54
t b 2 = 46 – 0,5 = 45,5
f k 2 = 18
f Q 2 = 10
i=9
∑ f = 40
 2 ⋅ ∑ f − fk2 


Jadi Median = Q2 = t b 2 +  4
 ⋅ i
f Q2



20 − 18
.9 = 47,3
= 45,5 +
10
Kunci : D
2. Modus dari histogram di samping adalah ….
f
12
12
8
8
5
4
0
DEPDIKNAS
2
6
4
3
a.
b.
c.
d.
e.
47,5
46,5
46,4
45,2
44,7
29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
44
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Pembahasan :
 S1 
 .i
Modus = M o = t b + 
+
S
S
2
 1
 4 
= 44,5 + 
. 5
4+6
= 46,5
frekuensi terbesar = 12
t b = 44,5
S1 = 12 – 8 = 4
S 2 = 12 – 6 = 6
i=5
Kunci : B
3. Histogram pada gambar menunjukkan nilai test matematika di suatu kelas.
f
Nilai rata-rata = ….
a. 69
b. 69,5
c. 70
d. 70,5
e. 71
18
14
12
4
2
0
57
62
67
72
77
Nilai
Pembahasan :
Titik tengah
(x)
57
62
67
72
77
Frekuensi
(f)
2
4
18
14
12
114
248
1206
1008
924
∑ f = 50
∑ fx = 3500
f.x
Nilai rata-rata =
∑ f ⋅ x 3500
=
50
∑f
= 70
Kunci:C
III. 2. Peluang
A. Kaidah Pencacahan
Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan kejadian
berikutnya dapat terjadi dalam q cara berlainan, maka kedua kejadian
tersebut dapat terjadi dalam (p × q) cara.
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
45
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Faktorial :
n!=1×2×3×…×n
0!=1
1!=1
B. Permutasi
Banyak permutasi (susunan berurutan) k unsur dari n unsur adalah
n!
P(n, k ) = nPk =
, k≤n
(n − k )!
Permutasi dengan beberapa unsur sama
Banyak susunan dari n unsur dengan p unsur sama, q unsur sama, dst, …
n!
adalah …
p!× q!× ...
C. Kombinasi
Banyak kombinasi (susunan) k unsur dari n unsur adalah
n!
C(n, k ) = nC k =
, k≤n
k!(n − k )!
D. Teorema Binomial Newton
(x+y) n = C(n,0) x n + C(n,1) x n −1 y + C(n,2) x n − 2 y 2 +….. + C(n,n) y n .
E. Peluang suatu kejadian
k
atau
n
n(A)
P(A) =
n(S)
Peluang suatu kejadian A = P(A) =
k = hasil kejadian A
n = seluruh hasil yang mungkin terjadi
n(A) = banyak anggota himpunan A
n(S) = banyak anggota himpunan ruang sampel
F. Kisaran Nilai Peluang
0 ≤ P(A) ≤ 1
G. Frekuensi Harapan Kejadian A = Fh (A)
Fh (A) = P(A) × N
P(A) = peluang kejadian A
N = banyak percobaan
Peluang komplemen kejadian A = P(A′) = 1–P(A)
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
46
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
H. Peluang Kejadian Majemuk
1. Peluang gabungan dua kejadian
P(A U B) = P(A) + P(B) − P(A I B)
2. Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas
P(A U B) = P(A) + P(B)
3. Peluang kejadian yang saling bebas stokastik
P(A I B) = P(A) × P(B)
4. Peluang kejadian bersyarat (peluang kejadian A setelah B terjadi)
P(A I B)
P(A | B) =
atau P(A I B) = P(A | B) × P(B)
P(B)
Latihan dan Pembahasan
\
1. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus.
Seseorang berangkat dari kota A ke C melalui B kemudian kembali lagi ke
A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A ia tidak mau menggunakan
bus yang sama, banyak cara perjalanan orang tersebut adalah …
a. 12
c. 72
e. 144
b. 36
d. 96
Pembahasan :
A
B
C
Banyak cara perjalanan orang tersebut adalah 4×3×2×3 = 72
Kunci : C
2. Suatu kelas terdiri dari 40 orang. Peluang seorang siswa lulus tes
matematika adalah 0,4. Peluang seorang siswa lulus tes fisika adalah 0,2.
Banyak siswa yang lulus tes matematika atau fisika adalah ….
a. 6 orang
c. 14 orang
e. 32 orang
b. 7 orang
d. 24 orang
Pembahasan :
4
10
2
p( f ) = 0,2 =
10
m dan f kejadian saling lepas,
p( m ) = 0,4 =
P( m U f ) = P( m ) + P( f ) =
DEPDIKNAS
4
2
6
+
=
10 10 10
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
47
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Banyak siswa yang lulus =
6
× 40 = 24 orang
10
Kunci : D
3. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang muncul jumlah mata
dadu 9 atau 10 adalah ….
5
8
11
c.
e.
a.
36
36
36
7
9
d.
b.
36
36
Pembahasan :
Misal : A kejadian muncul jumlah mata dadu 9
B kejadian muncul jumlah mata dadu 10
A = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} → P(A) =
B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} → P(B) =
4
36
3
36
A dan B kejadian saling lepas,
4
3
7
+
=
P(A U B) = P(A) + P(B) =
36 36 36
Kunci : B
4. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan rupiah dan 2
keping ratusan rupiah. Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima
ratusan rupiah dan 3 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil
secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam
ratusan rupiah adalah ….
5
8
30
a.
c.
e.
56
28
56
6
29
d.
b.
28
56
Pembahasan :
Misal : A kejadian terambilnya uang ratusan rupiah di dompet pertama
B kejadian terambilnya uang ratusan rupiah di dompet kedua
A dan B kejadian saling bebas,
P(A I B) = P(A) . P(B)
2 3
.
=
7 4
6
=
28
Kunci : B
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
48
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 5
Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait
dengan segitiga, khususnya sudut dan identitas trigonometri, serta menggunakannya
untuk menyelesaikan masalah.
Ruang Lingkup
• Trigonometri
Ringkasan Materi
V.1. Rumus-rumus segitiga dalam trigonometri
A. Hubungan antara sin a, cos a, dan tan a
1. sin 2 a + cos 2 a = 1
sin a
2. tan a =
cos a
B. Pada setiap segitiga berlaku :
1. Aturan sinus :
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
C
a
2. Aturan kosinus :
b
a 2 = b 2 + c 2 − 2 bc cos A
c
A
B
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C
3. Luas segitiga ABC
1
= b ⋅ c ⋅ sin A
2
1
= a ⋅ c ⋅ sin B
2
1
= a ⋅ b ⋅ sin C
2
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
49
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
V.2. Rumus-rumus Trigonometri
Rumus trigonometri untuk
1. Jumlah dan selisih dua sudut
cos (a ± b) = cos a cos b m sin a sin b
sin (a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
tan a ± tan b
tan (a ± b) =
1 m tan a tan b
2. Sudut rangkap
sin 2 a = 2 sin a cos a
cos 2 a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a
2 tan a
tan 2 a =
1 − tan 2 a
3. Perkalian sinus dan kosinus
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a − b)
2 sin a sin b = cos (a − b) − cos (a + b)
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a − b)
2 cos a sin b = sin (a + b) − sin (a − b)
4. Penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus
cos a + cos b = 2 cos 1 (a + b ) cos 1 (a − b )
2
cos a − cos b = − 2 sin
sin a + sin b = 2 sin
sin a − sin b = 2 cos
1 (a + b )
2
2
sin 1 (a − b )
1 (a + b ) cos
2
1 (a + b ) sin
2
2
1 (a − b )
2
1 (a − b )
2
V.3. Grafik fungsi trigonometri
b

1. f(x) = a cos (kx + b) = a cos k  x + 
k

b

2. f(x) = a sin (kx + b) = a sin k  x + 
k

b

Untuk menggambar grafik y = f(x) = a cos k  x +  atau
k

b

y = f(x) = a sin k  x +  digunakan langkah-langkah sebagai berikut :
k

a. gambar grafik y = cos x atau y = sin x
b. kalikan semua ordinatnya dengan k
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
50
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
b
b
jika positif,
k
k
b
b
geser grafik ke kanan sejauh jika negatif
k
k
2π
d. periode grafik adalah
k
c. geser grafik ke kiri sejauh
V.4. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri
⊗ Persamaan trigonometri
1. Persamaan dasar trigonometri
x = a + k.2 π
a. sin x = sin a,
x = ( π − a ) + k.2 π
b. cos x = cos a, x = ± a + k.2 π
c. tan x = tan a, x = a + k.π
2. Persamaan yang dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan
Misal : sin 2x + cos x = 0
2 sin x cos x + cos x = 0
cos x (2 sin x + 1) = 0 …. dan seterusnya.
3. Persamaan yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat
Misal :
2 cos 2 x − sin x − 1 = 0
(
)
2 1 − sin 2 x − sin x − 1 = 0
2 sin 2 x + sin x − 1 = 0 …. dan seterusnya.
4. Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = C,
dapat diselesaikan dengan a 2 + b 2 ≥ C 2
⊗ Pertidaksamaan trigonometri
Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan
1. Menggambar grafiknya
2. Menggunakan garis bilangan
Latihan dan Pembahasan
1. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, dan
adalah .…
1
1
1
21
c.
5
e.
5
a.
5
5
3
1
1
21
d.
5
b.
6
6
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
21 cm
51
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Pembahasan :
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos α
C
a2 + c2 − b2
2ac
36 + 25 − 21 40 2
=
=
=
2×5× 6
60 3
x 2
y2 = 9 − 4 = 5
=
r 3
y= 5
cos α =
6
21
α
5
A
B
sin α =
y
5
=
r
3
Kunci : E
2. Diketahui A adalah sudut lancip dan cos 1 A =
2
x +1
.
2x
Nilai sin A adalah ….
a.
b.
x2 −1
x
x
2
x +1
c.
x2 −1
d.
x2 +1
e.
x2 +1
x
Pembahasan :
sin 2 1 A + cos 2 1 A = 1
2
2
x +1
x −1
sin 2 1 A = 1 − cos 2 1 A = 1 −
=
2
2
2x
2x
x −1
sin 1 A =
2
2x
sin A = 2 sin 1 A cos 1 A
2
= 2.
x −1
=
2x
2
x +1
=
2x
x2 −1
x
Kunci : A
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
52
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
3. Persamaan grafik di samping adalah ….
π

a. y = 2 sin  x − 
2

π

b. y = sin  2 x − 
2

π

c. y = 2 sin  x + 
2

π

d. y = sin  2 x + 
2

e. y = 2 sin (2 x + π)
y
Y
2
π
2
π
2
π
x
X
3π 2π
2
2
Pembahasan :
Grafik pada gambar tersebut dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik
π
ke kiri, dan mengalikan setiap y dengan 2, periodenya
y = sin x sejauh
2
tetap 2π.
π
∴ Jadi y = 2 sin  x + 
2

Kunci : C
3. Untuk 0 ≤ x < 360, himpunan penyelesaian dari sin x 0 − 3 cos x 0 − 3 = 0
adalah ….
a. {120, 180}
c. {30, 270}
e. {0, 300, 360}
b. {90, 210}
d. {0, 300}
Pembahasan :
sin x 0 − 3 cos x 0 − 3 = 0
sin x 0 − 3 cos x 0 = 3
k = 1+ 3 = 2
1
tan α = −
3
α di kwadran II
α = 1500
sin x 0 − 3 cos x 0 = 3
2 cos ( x − 150)0 = 3
cos ( x − 150 )0 = 1 3
2
x − 150 = 30 atau 330
x = 180 atau 120
Kunci : A
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
53
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
(
)
(
)
4. Himpunan penyelesaian sin x + 20 0 + sin x − 70 0 − 1 ≤ 0
Untuk 0 0 ≤ x ≤ 360 0 adalah ….
{x | 0 ≤ x ≤ 70 atau 160 ≤ x ≤ 360 }
{x | 25 ≤ x ≤ 70 atau 135 ≤ x ≤ 160 }
{x | x ≤ 70 atau x ≥ 160 }
{x | 70 ≤ x ≤ 160 }
{x | 20 ≤ x ≤ 110 }
0
a.
0
0
b.
0
d.
e.
0
0
0
)
(
0
0
0
Pembahasan :
0
0
0
c.
(
0
)
sin x + 20 0 + sin x − 70 0 − 1 ≤ 0
(
)
(
)
2 sin (x − 25 0 ) cos (45 0 ) ≤ 1
1
sin (x − 25 0 ) ≤
2
sin x + 20 0 + sin x − 70 0 ≤ 1
2
x − 25 0 = 45 0 atau 135 0
x = 70 0 atau 160 0
I
II
0
0
III
0
70
0
160
(
360
)
1
2 ≤ 0
2
Yang memenuhi adalah daerah I dan III
Yang diminta : sin x − 25 0 −
{
0
0
0
∴ x | 0 ≤ x ≤ 70 atau 160 ≤ x ≤ 360
0
}
Kunci : A
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
54
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 6
Siswa mampu memahami dasar-dasar logika dan mampu menarik kesimpulan dari
serangkaian premis yang diberikan.
Ruang Lingkup
• Logika matematika
Ringkasan Materi
VI.1. Pernyataan kalimat terbuka serta ingkarannya
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja,
tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Contoh : 7 adalah bilangan ganjil (benar)
Malang adalah ibu kota Jawa Timur (salah).
Pernyataan dinotasikan dengan huruf p, q, r, s, …
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah/variabel dan belum
dapat ditentukan nilai benar atau salah.
Jika peubah/variabel diganti dengan konstanta maka menjadi suatu pernyataan.
Contoh : 3 + x = 8,
Jika x diganti dengan 5 maka kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.
Ingkaran adalah pernyataan baru dengan nilai kebenaran berlawanan dengan nilai
pernyataan semula, dinotasikan dengan ″~″
Contoh : Pernyataan p : 6 > 2 (B) maka ~ p : 6 ≤ 2 (S)
p : 4 + 1 = 5 (B) maka ∼ p : 4 + 1 ≠ 5 (S)
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
55
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
VI.2. Operasi logika (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi).
A. Konjungsi
Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis p ∧ q.
Dua pernyataan p dan q (p ∧ q) bernilai benar, hanya jika komponen p dan q
bernilai benar.
Tabel kebenaran dari p ∧ q
p
q
p∧q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
B. Disjungsi
Disjungsi dari pernyataan p atau q dinotasikan dengan p ∨ q
Disjungsi dua pernyataan p atau q bernilai salah, hanya jika komponenkomponennya bernilai salah.
Tabel kebenaran dari p ∨ q
p
q
p∨q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
C. Implikasi
Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan lambang ″p → q″
Implikasi p → q bernilai salah, hanya jika p benar dan q salah
Tabel kebenaran implikasi p → q
p
q
p→q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
56
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
D.
Biimplikasi
Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan lambang ″p ↔ q″.
Biimplikasi dua pernyataan benar, hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran
yang sama
Tabel kebenaran biimplikasi p ↔ q
p
q
p↔q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
VI.3. Pernyataan Majemuk
A. Pernyataan Majemuk yang ekuivalen
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk
tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Contoh :
1. Tunjukkan bahwa : p → q ≡ ~ p ∨ q
Jawab :
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
∼p
S
S
B
B
∼p ∨ q
B
S
B
B
p→q
B
S
B
B
sama
terbukti
2. Tunjukkan bahwa : p ∧ ∼ q ≡ ∼ (q ∨ ∼p)
Jawab :
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
∼p
S
S
B
B
∼q
S
B
S
B
p ∧ ∼q
S
B
S
S
q ∨ ∼p
B
S
B
B
sama
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
∼ (q ∨ ∼p)
S
B
S
S
terbukti
57
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
B. Negasi Pernyataan Majemuk
• Negasi Konjungsi dan Disjungsi
∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q
Hukum De Morgan
∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q
Dapat ditunjukan pada tabel berikut :
p
q
∼p
∼q
p∧q
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
B
B
S
∼(p ∧ q)
S
B
B
B
∼p ∨ ∼q
S
B
B
B
sama
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
∼p
S
S
B
B
∼q
S
B
S
B
p∨q
B
B
B
S
∼(p ∨ q)
S
S
S
B
∼p ∧ ∼q
S
S
S
B
sama
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
∼p
S
S
B
B
∼q
S
B
S
B
p→q
B
S
B
B
∼(p → q)
S
B
S
S
p ∧ ∼q
S
B
S
S
sama
Contoh:
Tentukan Negasi dari :
1. Jika 3 2 = 9 maka 6 + 2 > 7
Jawab : ~(p → q) ≡ p ∧ ∼q
Negasi dari jika 3 2 = 9 maka 6 + 2 > 7 adalah 3 2 = 9 dan 6 + 2 ≤ 7
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
58
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2.
Jika Mandor tidak datang maka semua kuli senang
Jawab :
Negasinya adalah : Mandor tidak datang dan ada kuli yang tidak
senang.
VI.4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi lain yaitu :
q → p, yang disebut konvers dari p → q
∼p → ∼q , disebut invers dari p → q
∼q → ∼p , disebut kontraposisi dari p → q
Hubungan tersebut dapat ditunjukan dalam tabel berikut :
P
q
∼p
∼q
p→q
q→p
∼p → ∼q
B
B
S
S
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
B
B
B
∼q → ∼p
B
S
B
B
sama
sama
Contoh: Tentukan konvers, invers, dan kontroposisi dari implikasi
Jika harga BBM naik, maka semua harga barang naik.
Jawab: Konversnya ialah
Jika semua harga barang naik, maka harga BBM naik.
Inversnya adalah
Jika harga BBM tidak naik, maka ada harga barang yang tidak naik
Kontraposisinya adalah
Jika ada harga barang yang tidak naik maka harga BBM tidak naik.
VI.5. Penarikan Kesimpulan
1. Prinsip Modus Ponens
q
Premis 1 : p
Premis 2 : p
Konklusi :
∴ q
benar
benar
benar
Contoh: Jika 3x = 12 maka x = 4 benar
benar
3x = 12
∴ x = 4 benar
2.
Prinsip Modus Tollens
Premis 1 : p
q
Premis 2 :
∼q
Konklusi :
∴∼p
DEPDIKNAS
benar
benar
benar
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
59
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Contoh :
Jika segitiga ABC sama kaki, maka ∠ Α = ∠ B
∠A≠∠B
∴Segitiga ABC bukan segitiga sama kaki
3. Prinsip Silogisma
Premis 1 : p
Premis 2 : q
Konklusi ∴ p
q
r
r
benar
benar
benar
benar
benar
benar
Contoh: Selidikilah sah tidaknya argumentasi berikut :
p
∼q
p
∴
∼q
Jawab: Untuk menyelidikinya dibuat tabel kebenaran dari {(p → ∼q) ∧ p} → ∼q
Cara 1.
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
∼q
S
B
S
B
p → ∼q
S
B
B
B
(p → ∼q) ∧ p
[(p → ∼q) ∧ p] → ∼q
S
B
B
B
S
B
S
B
→ nilai selalu benar jadi argumentasi sah
Cara 2.
p
q
∼q
p → ∼q
B
B
S
S
B
S
B
B
S
B
S
B
S
S
B
B
Pada baris ke-2
Premis 1 → benar
Premis 2 → benar
Konklusi → benar
→ argumentasi sah
Contoh:
1. Invers dari pernyataan (p ∧ ∼q) → p adalah ….
Jawab :
p → q inversnya adalah ∼p → ∼q
Jadi invers dari (p ∧ ∼q) → p adalah ∼(p ∧ ∼q) → ∼p atau (∼p ∨ q) → ∼p
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
60
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2. Ingkaran pernyataan “Beberapa peserta UAN membawa kalkulator “ adalah …
Jawab :
“Semua peserta UAN tidak membawa kalkulator“
Latihan dan Pembahasan
1. Diketahui p dan q adalah suatu pernyataan dari penarikan kesimpulan berikut
2. p → q
3. p → q
1. p → q
p→ r
p
∼q
∴q→ r
∴q
∴ ∼p
Argumentasi yang sah adalah ….
a. hanya 1
c hanya 2 dan 3
e. 1, 2, dan 3.
b. hanya 1 dan 2
d. hanya 1 dan 3
Jawab:
1.
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
∼p
∼q
S
S
B
B
S
B
S
B
p
B
B
B
B
S
S
S
S
q
B
B
S
S
B
B
S
S
r
B
S
B
S
B
S
B
S
p→q
B
B
S
S
B
B
B
B
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
p→q
B
S
B
B
p→q
B
S
B
B
sah
2.
p→r
B
S
B
S
B
B
B
B
q→r
B
S
B
B
B
S
B
B
Tidak sah
3.
sah
(Modus Ponens)
Kunci : D
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
61
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 7
Siswa mampu memahami konsep irisan kerucut dan sifat-sifatnya, efek transformasi
serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
Ruang Lingkup
• Irisan kerucut
• Transformasi
Ringkasan Materi
VII.1. Irisan Kerucut
A. Lingkaran
1. Persamaan lingkaran
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dengan jari-jari r adalah
x2 + y2 = r 2
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r adalah
(x − a )2 + ( y − b )2 = r
c. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 ,
2
2
1 
 1
 1 
 1 
pusatnya  − A, − B  dan R =  − A  +  − B  − C
2 
 2
 2 
 2 
2.
Jari-jari lingkaran
y
Y
M (a, b)
R
R
M (a, b)
b)
(a,
M
R
DEPDIKNAS
+
Ax
Lingkaran menyinggung sumbu X maka R = b
xX
Lingkaran menyinggung sumbu Y maka R = a
+
By
0
C=
Lingkaran menyinggung garis Ax + By + C = 0,
Aa + Bb + C
maka R =
A 2 + B2
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
62
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
R
P (c, d )
maka R =
M (a, b)
B
A
Titik P(c, d) pada lingkaran,
R
R=
(c − a )2 + (d − b )2
1
AB
2
3. Kedudukan garis terhadap lingkaran
a. Garis memotong lingkaran di dua
titik berlainan, maka D > 0
b. Garis menyinggung lingkaran,
maka D = 0
c. Garis tidak memotong lingkaran,
maka D < 0
4. a. Persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran.
Persamaan garis singgung di titik (x1 , y1 ) pada lingkaran
(i)
(ii)
x 2 + y 2 = r 2 adalah xx1 + yy1 = r 2
(x − a )2 + ( y − b )2 = r 2
adalah (x − a )( x1 − a ) + ( y − b )( y1 − b ) = r 2
(iii) x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah
1
1
xx1 + yy1 + A( x + x1 ) + B( y + y1 ) + C = 0
2
2
b. Persamaan garis singgung dengan gradien tertentu.
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran
(i)
2
x 2 + y 2 = r 2 adalah y = mx ± r 1 + m
(ii)
(x − a )2 + ( y − b )2
2
= r 2 adalah y − b = m( x − a ) ± r 1 + m
(iii) x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah
y + b = m( x + a ) ±
DEPDIKNAS
(1 + m )(
2
1
4
A 2 + 14 B 2 − C
)
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
63
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
c. Persamaan garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (–1, 7) pada
lingkaran x 2 + y 2 = 25
Jawab :
Persamaan garis yang melalui (–1, 7) dengan gradien m adalah :
y − 7 = m( x + 1)
y = mx + m + 7
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran x 2 + y 2 = 25
adalah y = mx ± 5 1 + m 2 .
mx + m + 7 = mx ± 5 1 + m 2
m + 7 = ± 5 1+ m2
(m + 7)2 = 25 (1 + m2)
m 2 + 14m + 49 − 25 − 25m 2 = 0
24m 2 − 14m − 24 = 0
12m 2 − 7m − 12 = 0
(4m + 3) (3m – 4) = 0
3
4
m1 = atau m2 = −
3
4
Jadi persamaan garis singgungnya adalah
∴ 4 x − 3 y + 25 = 0 atau 3x + 4 y − 25 = 0
Latihan dan Pembahasan
1. Persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 4) dengan pusat (−4, 1) adalah ….
a.
x 2 + y 2 − 8 x − 2 y − 41 = 0
b. x 2 + y 2 + 8 x − 2 y − 41 = 0
c.
d. x 2 + y 2 + 8 x + 2 y − 41 = 0
e.
x 2 + y 2 + 8 x − 2 y + 41 = 0
x 2 + y 2 − 8 x + 2 y − 41 = 0
Pembahasan :
R=
(- 4 - 3)2 + (1 − 4)2
= 49 + 9 = 58
Persamaan lingkaran: (x + 4)2 + ( y − 1)2 = 58
x 2 + 8 x + 16 + y 2 − 2 y + 1 − 58 = 0
x 2 + y 2 + 8 x − 2 y − 41 = 0
Kunci: B
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
64
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2. Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan menyinggung garis
x − 2 y + 8 = 0 adalah ….
(x + 1)2 + ( y − 2)2 = 5
(x + 1)2 + ( y + 2)2 = 5
(x − 1)2 + ( y − 2)2 = 5
a.
b.
c.
d.
e.
(x − 1)2 + ( y + 2)2 = 5
(x + 1)2 − ( y − 2)2 = 5
Pembahasan :
R=
1.1 + 2(−2) + 8
1+ 4
= 5
( 1,
2)
x-
2
8
y+
=0
Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2)
dan R = 5 adalah (x − 1)2 + ( y − 2)2 = 5
Kunci: C
3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 − 2 x − 10 y + 17 = 0 yang
sejajar dengan garis 3x + 4 y + 2 = 0 adalah ….
d. 3x – 4y = 8
a. 3x + 4y = 38
e. 3x – 4y = –8
b. 3x + 4y = –8
c. 3x – 4y = 38
Pembahasan :
R = 12 + 5 2 − 17 = 3 , Pusat (1, 5)
3
gradien garis 3x + 4 y + 2 = 0 adalah m1 = −
4
3
4
Persamaan garis singgung yang sejajar garis 3x + 4 y + 2 = 0 pada lingkaran
gradien yang sejajar garis singgung adalah m2 = −
dengan pusat (1, 5) dan R = 3 adalah y − b = m( x − a ) ± r 1 + m 2
( y − 5) = − 3 (x − 1) ±
4
3 1+
9
16
3
3 15
y–5=– x+ ±
4
4 4
4 y − 20 = −3x + 3 ± 15
4 y = −3x + 38 atau 4 y = −3x + 8
Kunci: A
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
65
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
B. Parabola
1.a.
Persamaan parabola yang berpuncak di (0, 0) dan fokus di :
(i).
(p, 0) adalah y 2 = 4 px , p > 0
(ii). (−p, 0) adalah y 2 = −4 px , p > 0
(iii). (0, p) adalah x 2 = 4 py , p > 0
(iv). (0, −p) adalah x 2 = − 4 py , p > 0
1.b. Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) dan fokus di :
(i).
(a + p, b) adalah ( y − b )2 = 4 p( x − a ) , p > 0
(ii). (a − p, b) adalah ( y − b )2 = −4 p( x − a ) , p > 0
(iii). (a, b + p) adalah (x − a )2 = 4 p( y − b ) , p > 0
(iv) . (a, b − p) adalah (x − a )2 = −4 p( y − b ) , p > 0
2.
Kedudukan garis terhadap parabola; sama seperti pada lingkaran.
3.a.
Persamaan garis singgung di titik (x1 , y1 ) pada parabola
(i)
(ii)
y 2 = 4 px adalah yy1 = 2 p ( x + x1 )
y 2 = −4 px adalah yy1 = −2 p( x + x1 )
(iii) x 2 = 4 py adalah xx1 = 2 p( y + y1 )
(iv)
x 2 = −4 py adalah xx1 = −2 p ( y + y1 )
( y − b )2 = 4 p(x − a ) adalah ( y − b )( y1 − b ) = 2 p(x + x1 − 2a )
(vi) ( y − b )2 = −4 p( x − a ) adalah ( y − b )( y1 − b ) = −2 p ( x + x1 − 2a )
(vii) (x − a )2 = 4 p( y − b ) adalah (x − a )( x1 − a ) = 2 p ( y + y1 − 2b )
(viii) ( y − a )2 = −4 p( y − b ) adalah (x − a )( x1 − a ) = −2 p ( y + y1 − 2b )
(v)
b. Persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien tertentu
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola
p
(i). y 2 = 4 px adalah y = mx +
m
p
(ii). y 2 = −4 px adalah y = mx −
m
(iii). x 2 = 4 py adalah y = mx − m 2 p
(iv). x 2 = −4 py adalah y = mx + m 2 p
(v).
DEPDIKNAS
( y − b )2 = 4 p(x − a ) adalah
y − b = m( x − a ) +
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
p
m
66
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
( y − b )2 = −4 p(x − a ) adalah
(vi).
y − b = m( x − a ) −
p
m
(vii). (x − a )2 = 4 p( y − b ) adalah y − b = m( x − a ) − m 2 p
(viii). (x − a )2 = −4 p( y − b ) adalah y − b = m( x − a ) + m 2 p
Persamaan garis singgung pada parabola y 2 = 4 x melalui titik (−1, 0)
Penyelesaian : p = 1
Persamaan garis singgung dengan gradien m melalui (−1, 0) adalah
y − 0 = m( x +1 )
y = mx + m
c.
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada parabola y 2 = 4 x
1
adalah y = mx +
m
1
mx + m = mx +
m2 = 1
m = ±1
m
Jadi persamaan garis singgungnya adalah : y = x + 1 atau y = −x − 1
Latihan dan Pembahasan
1. Persamaan parabola dengan puncak (2, −3) dan fokus (0, −3) adalah ….
y 2 + 6 y − 8x + 7 = 0
a.
d. y 2 − 6 y − 8 x + 7 = 0
b. y 2 + 6 y − 8 x − 7 = 0
e.
y 2 + 6 y + 8x − 7 = 0
c. y 2 − 6 y + 8 x + 7 = 0
Pembahasan :
Yy
p=2
0
2
(0, -3)
(2, -3)
p=2
X
x
( y − b ) = −4 p(x − 2)
( y + 3)2 = −8(x − 2)
2
y 2 + 6 y + 9 = −8 x + 16
y 2 + 6 y + 8x − 7 = 0
Kunci : E
2. Persamaan parabola dengan puncak (−2, 3), sumbu simetri sejajar sumbu X dan
melalui (2, 7) adalah ….
a.
b.
DEPDIKNAS
( y − 3)2 = 2(x + 2)
( y − 3)2 = −2(x − 2)
c.
d.
( y − 3)2 = 4(x + 2)
( y − 3)2 = 4(x − 2)
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
e.
( y − 3)2 = −4(x + 2)
67
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Pembahasan :
Y
(2, 7)
Persamaan parabola : ( y − 3)2 = 4 p( x + 2) melalui (2, 7)
(-2, 3)
X
maka (7 − 3)2 = 4 p(2 + 2)
16 = 16p
p=1
∴Persamaan parabola :
( y − 3)2 = 4(x + 2)
Kunci : E
3. Persamaan garis singgung pada parabola ( y + 4 )2 = 12( x − 1) yang tegak lurus
garis 2x − 6y + 5 = 0 adalah ….
Pembahasan :
m1 . m2 = −1
1
. m 2 = −1
3
m2 = −3
( y + 4)2 = 12(x − 1)
4p = 12
p=3
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
68
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Persamaan garis singgung dengan gradien = −3 adalah
3
y + 4 = −3( x − 1) +
−3
y = −3x + 2 − 4
y + 3x + 2 = 0
C.
Elips
Titik pusat (0, 0)
Persamaan elips
x2
a2
Sumbu utama
+
y2
b2
Titik pusat (h, k)
2
=1
2
 y−k
 x−h
 = 1
 + 

 b2 
 a2 
Sumbu x
Garis y = k
Fokus
(c, 0) dan (−c, 0)
(c+h, k) dan (−c+h, k)
Puncak
(a, 0) dan (−a, 0)
(a+h, k) dan (−a+h, k)
Garis singgung
di titik (x1 , y1 )
Gradien m
xx1
a
2
+
yy1
b
2
=1
y = mx ± a 2 m 2 + b 2
(x − h )(x1 − h ) ( y − k )( y1 − k )
+
a2
b2
=1
y − k = m( x − h ) ± a 2 m 2 + b 2
Bentuk Umum persamaan elips : Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
Titik pusat (0, 0)
Persamaan elips
y2
a2
Sumbu utama
+
x2
b2
Titik pusat (h, k)
2
2
 y−k   x−h
 2  + 2  =1
 a   b 
=1
Sumbu y
Garis x = h
Fokus
(0, c) dan (0, −c)
(h, c+k) dan (h, −c+k)
Puncak
(0, a) dan (0, −a)
(h, a+k) dan (h, −a+k)
Garis singgung
di titik (x1 , y1 )
Gradien m
yy1
a
2
+
xx1
b
2
=1
y = mx ± b 2 m 2 + a 2
( y − k )( y1 − k ) (x − h )(x1 − h )
a2
+
b2
=1
y − k = m( x − h ) ± b 2 m 2 + a 2
• Hubungan antara a, b, dan c :
a2 = b2 + c2
a = 1 sumbu panjang(mayor)
b=
2
1
2
sumbu pendek (minor)
2c = jarak dua fokus
• Kedudukan garis terhadap elips, sama seperti pada lingkaran dan parabola
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
69
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
•
Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar elips
Misal :
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (−2, −1) pada elips 5 x 2 + y 2 = 5
Penyelesaian :
• Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−2, −1) adalah :
y + 1 = m (x + 2)
y = mx + 2m −1
• Persamaan garis singgung dengan gradien m pada elips 5 x 2 + y 2 = 5 adalah
y = mx ± a 2 + b 2 m 2
5x 2 + y 2 = 5
x2 +
y2
=1
5
a2 = 5
y = mx ± 5 + m 2
mx + 2m − 1 = mx ± 5 + m 2
(2m − 1)2 = 5 + m 2
4m 2 − 4m + 1 = 5 + m 2
3m 2 − 4m − 4 = 0
(3m + 2)(m − 2) = 0
2
m1 = − , m2 = 2
3
∴Jadi persamaan garis singgungnya :
2 x + 3 y + 7 = 0 atau y = 2 x + 3
Latihan dan Pembahasan
1. Salah satu koordinat fokus elips 9 x 2 + 25 y 2 + 18 x − 100 y = 116 adalah ….
a. (5, 2)
c. (3, 2)
e. (−2, 3)
d. (−1, 6)
b. (−3, 2)
Pembahasan :
(
) (
)
9 x 2 + 2 x + 1 + 25 y 2 − 4 y + 4 = 116 + 9 + 100
(x + 1)2 + ( y − 2)2
25
9
=1
25 = 9 + c 2
c=4
Koordinat fokus (−1 + 4, 2) dan (−1−4, 2)
= (3, 2) dan (−5, 2)
Kunci : C
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
70
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2. Elips yang berpuncak di titik (0, ± 6) melalui titik (3, 2) persamaannya
adalah….
a.
x2 9y2
+
=1
36
48
c.
x2 8y2
+
=1
36
81
b.
y 2 8x 2
+
=1
36
81
d.
y2 9y2
+
=1
36
48
e.
x2 6y2
+
=1
36
40
Pembahasan :
Elips dengan puncak (0, ±6), persamaannya :
y2
a2
+
x2
b2
=1
y2 x2
+
=1
36 b 2
Melalui (3, 2), maka :
4
9
+
=1
36 b 2
9
8
=
b2 9
b2 =
81
8
y 2 8x 2
∴Persamaan elips :
+
=1
36
81
Kunci: B
3. Salah satu persamaan garis singgung pada elips x 2 + 4 y 2 − 4 x − 8 y − 92 = 0
yang bersudut 135 0 dengan sumbu X positif adalah ….
c. x + 3 − 5 5
e. − x − 3 − 5 5
a. − x + 3 + 5 5
b. − x − 3 + 5 5
d. x − 3 − 5 5
Pembahasan :
(x
2
)
(
2
)
− 4 x + 4 + 4 y 2 − 2 y + 1 = 92 + 4 + 4
(x − 2)2 + 4( y − 1)2 = 100
(x − 2)2 + ( y − 1)2 = 1
100
25
m = tan 135 0 = −1
Persamaan garis singgung dengan m = −1 adalah
y − 1 = −1( x − 2) ± 100.1 + 25
y −1 = −x + 2 ± 5 5
y = − x + 3 + 5 5 atau y = − x + 3 − 5 5
Kunci : A
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
71
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
D.
Hiperbola
Titik pusat O(0,0)
Persamaan
hiperbola
Sumbu utama
Fokus
Puncak
Asimtot
Garis singgung
di titik (x1 , y1 )
Gradien m
x
2
−
y
2
=1
Titik pusat (h, k)
(x − h )2 − ( y − k )2
a2 b2
Sumbu x
(c, 0) dan (−c, 0)
(a, 0) dan (−a, 0)
b
y=± x
a
xx1 yy1
−
=1
a2 b2
=1
b2
y=k
(c+h, k) dan (−c+h, k)
(a+h, k) dan (−a+h, k)
b
y − k = ± (x − h )
a
(x − h )(x1 − h ) ( y − k )( y1 − k )
−
=1
a2
b2
y = mx ± a 2 m 2 − b 2
y − k = m( x − h ) ± a 2 m 2 − b 2
a2
Bentuk Umum persamaan hiperbola : Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
Titik pusat (0, 0)
Persamaan
hiperbola
Sumbu utama
y2
a2
−
x2
b2
=1
Titik pusat (h, k)
( y − k ) 2 − (x − h ) 2 = 1
a2
b2
Sumbu y
x=h
Fokus
(0, c) dan (0, −c)
(h, k+c) dan (h, k−c)
Puncak
(0, a) dan (0, −a)
a
y= ± x
b
yy1 xx1
−
=1
a2 b2
(h, k+a) dan (h, k−a)
a
y − k = ± (x − h )
b
( y − k )( y1 − k ) (x − h )(x1 − h )
−
=1
a2
b2
y = mx ± a 2 − b 2 m 2
y − k = m( x − h ) ± a 2 − b 2 m 2
Asimtot
Garis singgung
di titik (x1 , y1 )
Gradien m
• Hubungan antara a, b, dan c :
c2 = a2 + b2
c
> 1 , e = eksentrisitas
a
• Kedudukan garis terhadap hiperbola, sama seperti pada lingkaran, parabola, dan
elips.
e=
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
72
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
•
Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar hiperbola
Misal :
Tentukan persamaan garis singgung di titik (−1, 1) pada hiperbola 4 x 2 − 8 y 2 = 32
x2 y2
−
=1
8
4
•Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−1, 1) adalah:
y −1 = m(x + 1) atau y = mx+ m +1
Penyelesaian : Hiperbola 4 x 2 − 8 y 2 = 32
•Persamaan garis singgung dengan gradien m pada hiperbola
x2 y2
−
=1
8
4
2
adalah y = mx ± 8m − 4
mx + m + 1 = mx ± 8m 2 − 4
7 m 2 − 2m − 5 = 0
m 2 + 2m + 1 = 8m 2 − 4
(7m + 5)(m − 1) = 0
m= −
5
atau m = 1
7
Persamaan garis singgungnya :
5x 2
y = − + atau 7 y = −5 x + 2
7 7
dan y = x + 2
Latihan dan Pembahasan
1. Persamaan hiperbola dengan jarak dua fokus = 20, sumbu utama adalah sumbu X,
dengan pusat O dan asimtot membentuk sudut 300 dengan sumbu X positip
adalah ….
a.
x2 y2
−
=1
125 75
c.
x2 y2
−
=1
75 25
b.
x2 y2
−
=1
125 25
d.
y2 x2
−
=1
125 75
e.
y2 x2
−
=1
75 25
Pembahasan :
2c = 20
tan 30 0 =
tan 30 0 =
DEPDIKNAS
c = 10
1
3
b
a
b
1
=
a
3
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
73
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
c2 = a2 + b2
a=b 3
100 = 3b 2 + b 2
a = 5 3 ; sumbu utama adalah sumbu X
b 2 = 25
Persamaan hiperbola adalah :
x2 y2
−
=1
75 25
b=5
Kunci : C
2. Salah satu persamaan asimtot hiperbola 9 x 2 − 16 y 2 − 72 x + 32 y = 16 adalah ….
c. 4 x + 3 y + 2 = 0
e. 4 y − 3 x − 2 = 0
a. 4 x − 3 y + 2 = 0
d. 4 y − 3x + 8 = 0
b. 4 x + 3 y − 2 = 0
Pembahasan :
9 x 2 − 8 x + 16 − 16 y 2 − 2 y + 1 = 16 + 144 –16
(
)
(
(x − 4)2 − ( y − 1)2
16
9
)
=1
a=4
b=3
Asimtot :
y −1 = ±
3
(x − 4)
4
3
x − 3 + 1 → 4 y − 3x + 8 = 0
4
3
y 2 = − x + 3 + 1 → 4 y + 3x − 16 = 0
4
y1 =
Kunci : D
(x − 1)2 − ( y − 2)2
3. Salah satu persamaan garis singgung pada hiperbola
yang tegak lurus garis x − y + 7 = 0 adalah ….
c. y = − x + 1
a. y = − x − 5
d. y = x + 5
b. y = − x − 1
8
e.
4
=1
y = x +1
Pembahasan :
Gradien garis x − y + 7 = 0 adalah m1 = 1
Gradien garis singgung yang tegak lurus garis tersebut adalah m2 = −1
Jadi persamaan garis singgungnya adalah :
y − 2 = −1(x − 1) ± 8.(− 1)2 − 4
y − 2 = −x + 1 ± 2
y = − x + 5 atau y = − x + 1
Kunci : C
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
74
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
VII.2. Transformasi
1. Jenis-jenis transformasi
a. Translasi (pergeseran)
b. Refleksi (pencerminan)
c. Rotasi (perputaran)
d. Dilatasi (perkalian atau perbesaran)
2. Setiap matriks transformasi dapat ditentukan dengan mencari hasil suatu
transformasi titik (1, 0) dan (0, 1). Peta (bayangan) titik (1, 0) sebagai kolom
pertama matriks, sedangkan peta (bayangan) titik (0, 1) sebagai kolom kedua.
Contoh: Karena refleksi terhadap sumbu X maka peta titik (1, 0) petanya
adalah (1, 0), sedangkan peta titik (0, 1) adalah (0, −1). Jadi matriks
1 0 
 .
yang bersesuaian dengan refleksi terhadap sumbu X adalah 
 0 −1
3. Komposisi transformasi
a. Komposisi dua translasi berturutan T1 dilanjutkan T2 dapat diganti dengan
translasi tunggal.
T1 o T2 ( x, y ) = (T1 o T2 )( x, y )
a
c
a +c

Misal : T1 =   , T2 =   maka T1 o T2 = 
b
d 
b + d 
b. Komposisi dua refleksi berturutan menghasilkan translasi dua kali jarak
antara dua sumbu. Urutan refleksi menentukan arah translasi.
Jika M1 = refleksi terhadap garis x = a
M 2 = refleksi terhadap garis x = b
M o M1
→ P ′ (2 (b − a ) + x, y )
maka : P( x, y ) 2 
M o M2
P( x, y ) 1 
→ P ′ (2 (a − b ) + x, y )
Jika M1 = refleksi terhadap garis y = c
M 2 = refleksi terhadap garis y = d
M o M1
→ P ′ ( x, 2 (d − c ) + y )
maka : P( x, y ) 2 
M o M2
P( x, y ) 1 
→ P ′ ( x, 2 (c − d ) + y )
c. Komposisi dua refleksi berturutan terhadap dua sumbu yang berpotongan
(tegak lurus atau tidak tegak lurus) dapat diganti dengan suatu rotasi yang :
1. Berpusat pada titik potong dua sumbu
2. Bersudut dua kali sudut antara dua sumbu
3. Arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
75
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Misal:
X = refleksi terhadap sumbu X
berpotongan tegak lurus
Y = refleksi terhadap sumbu Y
H = Rotasi sebesar π pusat O
X o Y (a, b ) = Y o X (a, b ) = H (a, b )
d. Komposisi dua rotasi yang sepusat sebesar θ1 dilanjutkan θ 2 dapat diganti
dengan rotasi sebesar (θ1 + θ 2 ) dengan pusat yang sama.
Contoh :
Tentukan peta titik (2, 4) karena rotasi pusat O sebesar 20 0
dilanjutkan 40 0 .
 x ′   cos 60 0
Jawab :   = 
0
 y ′   sin 60
− sin 60 0  x 
 
cos 60 0  y 
 1
− 12 3  2 
 
=  2
 4 
1
1
3
2
2
 
1 − 2 3 

= 

3
+
2


e. Komposisi transformasi dengan matriks.
Contoh :
Tentukan peta titik (2, 4) karena refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan
π
terhadap garis y = x dan dilanjutkan rotasi pusat O bersudut .
4
 x′ 
−  2
Jawab :   = R σ, π o M y = x o X  
4
 4
 y′
( )(
) ( )
π
π

− sin   0 1   1 0 
 cos
4
4 
 

=

 sin π cos π   1 0   0 −1
4
4 

1
1

2 −
2   0 − 1  2 
2
  

=  12

2 1 2  1 0   4
2
2

− 3 2 

= 

−
2


DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
 2
 
 4
76
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
f. Luas bangun suatu hasil transformasi.
a b 
 , hasilnya
Suatu bangun A ditransformasikan dengan matriks 
c d 
A ′ dengan luas A′ = ad − bc luas A
Contoh : Hitung luas ∆ ABC dengan A(3, 1), B(7, 1), dan C(7, 4) karena
 3 1
 .
transformasi oleh matriks 
 2 2
1
Jawab : L = ⋅ 3 ⋅ 4 = 6
2
L = A ′B′C′ = 6 - 2 ⋅ 6 = 24 satuan luas
g. Peta suatu kurva oleh suatu transformasi.
Contoh : Tentukan persamaan bayangan garis x + 3 y + 2 = 0 oleh
 2 3
 .
transformasi yang berkaitan dengan matriks 
1 2
Jawab :
Misal : (a, b) pada kurva x + 3 y + 2 = 0 , maka a + 3b + 2 = 0
 2 3
 ,
Jika (a ′, b ′) adalah peta (a, b) karena tranformasi 
1 2
a
1  2 − 3  a ′ 
 

maka   =
 b  4 − 3  − 1 2  b ′ 
a = 2a′ − 3b′
b = − a ′ + 2 b′
sehingga : a + 3b + 2 = 0
(2 a′ − 3 b′) + 3 (− a ′ + 2 b′) + 2 = 0
− a ′ + 3b ′ + 2 = 0
∴Petanya adalah : − x + 3 y + 2 = 0
Contoh:
1. Tentukan bayangan titik (4, 2) karena rotasi pusat O sebesar π, dilanjutkan
dilatasi pusat (1, 2) dengan faktor skala 2.
Jawab : (4, 2) R(0, π) (−4, − 2)
 x ′ − a = k ( x − a )

Titik (−4, −2) karena [A(1, 2), 2] adalah 
 y ′ − b = k ( y − b )
x ′ − 1 = 2(− 4 − 1) → x ′ = −9
y ′ − 2 = 2(− 2 − 2) → y ′ = −6
∴Petanya adalah (−9, −6)
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
77
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2. Tentukan bayangan titik (2, −3) karena refleksi terhadap garis x = 3,
dilanjutkan x = 5.
Jawab:
M1 = refleksi terhadap x = 3
M 2 = refleksi terhadap x = 5
M oM
(2, − 3) 2 1 → (2(5 − 3) + 2, − 3) = (6, − 3)
Latihan dan Pembahasan
1. Garis y = −3x + 1 dirotasikan dengan R O, 90  , kemudian direfleksikan


terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah ….
c. 3y = −x − 1
e. y = 3x − 1
a. 3y = x + 1
d. y = −x − 1
b. 3y = x − 1
0
Pembahasan :
 x'   1 0  0 − 1 x 
 

  = 
 y'   0 − 1 1 0  y 
 0 − 1 x 
 
= 
 − 1 0  y 
 x
1  0 1  x' 
 

  =
 y  0 − 1  1 0  y' 
 x   y' 
  =  
 y   x' 
x = − y'
y = − x'
Bayangannya adalah:
y = –3x + 1
− x' = −3( y' ) + 1
− x' = −3 y' + 1
3y = x + 1
Kunci : A
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
78
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 8
Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung limit fungsi di suatu titik,
turunan, dan integral.
Ruang Lingkup
• Limit
• Turunan
• Integral
Ringkasan Materi
VIII.1. Limit Fungsi
A. Limit Fungsi Aljabar
Pengertian lim f(x) = L adalah nilai f(x) dapat dibuat dekat ke L jika x dibuat
x→ a
dekat ke a (perlu diperhatikan arti dekat).
Contoh : a. lim 5 = 5
x→2
b. lim x = 2
x→2
Pada penyelesaikan soal limit, hasil yang harus dihindari adalah :
0 ∞
, , ∞ − ∞, 0 . ∞, 0 0 , ∞ 0 , 1∞ (hasilnya tak tentu).
0 ∞
B. Teorema Limit
a. Diketahui f(x) = c (konstanta),
maka :
lim f(x) = c
x→ a
b. lim {f(x) ± g(x)} = lim f(x) ± lim g(x)
x →a
x→ a
x→ a
c. lim {f(x) . g(x)} = lim f(x) . lim g(x)
x→ a
x→ a
x→a
d. lim . c f(x) = c . lim f(x)
x→ a
DEPDIKNAS
x →a
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
79
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
lim f(x)
f (x ) x → a
e. lim
, dengan lim g (x) ≠ 0
=
x→ a
lim g(x)
x → a g (x )
x→a
Jika p(x) dan q(x) suatu suku banyak, maka :
p( x ) p(a )
=
, dengan q (a) ≠ 0
q(a )
x → a q(x )
lim
Contoh:
1.
(
)
lim x 3 + 3 x − 6 = lim x 3 + lim 3 x – lim 6
x→2
3
2. lim
x→0
3.
x→2
x→ 2
= 23 + 3 . 2 – 6
= 8
2
2
x + 3x + 4 x
3
2
x − 2x + x
x→2
= lim
x + 3x + 4
x→0
2
x − 2x + 1
0+0+4
=4
=
0 − 0 +1
9+ x − 9− x
= lim
x →0
x
x →0
lim
= lim
x →0
= lim
9+ x − 9− x
.
x
(` 9 + x ) − (9 − x )
9+ x + 9− x
9+ x + 9− x
(
)
(
)
x 9+ x + 9− x
2x
x 9+ x + 9− x
2
2 1
= =
= lim
x →0
9+ x + 9− x 6 3
x →0
4.
lim  x 2 + 3 x − x 2 − 5 x 

x → ∞
= lim
x→∞
= lim
x →∞
= lim
x →∞
DEPDIKNAS
2
2
x + 3x − x − 5 x .
x 2 + 3x + x 2 + 5x
x 2 + 3x + x 2 + 5x
2
2
x + 3 x −  x − 5 x 


2
2
x + 3x + x + 5 x
8x
2
2
x + 3x + x + 5 x
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
80
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
8
= lim
3
5
+ 1+
x
x
• Limit Fungsi Trigonometri
x →∞
1+
lim
sin x
=1
x
lim
x
=1
sin x
x→0
x→0
=
8
=4
1+1
lim
tan x
=1
x
lim
x
=1
tan x
x→0
x→∞
Dari ketentuan di atas diperoleh :
sin ax a
=
lim
bx
b
x →0
tan ax a
=
bx
b
x →0
lim
sin ax a
=
b
x → 0 tan bx
lim
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan adalah :
» sin2 A + cos2 A = 1
» cos A = sin (90o – A)
» cot A = tan (90o – A)
» sin 2A = 2 sin A cos A
» cos 2A = 1 – 2 sin2 A
= 2 cos2 A – 1
= cos2 A – sin2 A
Contoh:
1. lim
x→0
sin 4 x
x
Jawab :
lim
x→0
DEPDIKNAS
sin 4 x 4
.
x→0
x
4
sin 4 x
= lim
. 4
x→0
4x
sin 4 x
= lim
. lim 4
x→0
4x
x →0
= 1. 4 = 4
sin 4 x
=
x
lim
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
81
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2. lim
1 − cos x
x →0
x
2
Jawab : Jika x disubstitusikan maka hasilnya
0
, sehingga bentuk itu harus diubah
0
menjadi :
2
2
1 − 1 − 2 sin 12 x 
2 sin 12 x


lim
= lim
2
2
x→0
x →0
x
x
1
sin 12 x sin 2 x 12 12
.
.1 . 1
= lim 2
x →0
x
x
2
2
= lim 2
x →0
= 2
sin 1 x 1
2 .
.
1x
1 .x 4
2
sin 12 x
2
sin 1 x
lim 1 2 . lim
x →0
x x →0
2
= 2.1.1 .
=
3. lim
x →0
sin 12 x
1
2
x
1
x →0 4
. lim
1
4
1
2
tan x − sin x
x
3
Jawab : Jika x = 0 disubstitusikan maka hasilnya
diubah menjadi :
sin x
− sin x
sin x(1 − cos x )
= lim
lim cos x 3
3
x →0
x →0
cos x . x
x
sin x 1 − cos x
1
.
.
= lim
x →0 cos x
x2
x
1
2 sin 2 12 x 2
1
sin x
. lim
. lim
.
= lim
1
x →0
x→0
x→0 cos x
x
x2
2
0
, sehingga bentuk tersebut
0
1
2
1
2
1
sin x
. lim
x →0
x→0 cos x
x
1
sin 2 x
sin 12 x
. lim 1
= lim 1
x →0
x →0
x
x
2
2
= lim
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
82
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
1
x →0 2
= lim
=1.1.1.1.
=
1
2
1
2
VIII.2. Hitung Diferensial
A. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri
Misal : y = f(x). Turunan fungsi y terhadap x, ditulis dengan y ′(x) = f ′(x) atau
dy
df
f ( x + h) − f ( x)
atau
didefinisikan sebagai f ′( x) = lim
.
dx
dx
h
h→0
Nilai fungsi turunan f ′ untuk x = a adalah :
f (a + h ) − f (a )
f ′(a ) = lim
h
h→0
Rumus–rumus turunan:
f ( x)
f ′(x)
n
x
nx n −1 , n bilangan Rasional
anx n −1 , n bilangan Rasional
cos x
sin x
cos x
– sin x
Operasi aljabar fungsi turunan :
a. y = f (x) ± g (x), maka y′ = f ′ (x) ± g′ (x)
b. y = c f (x), maka y′ = c f ′ (x)
c. y = f(x) . g(x), maka y′ = f ′ (x) g (x) + f (x) g′ (x)
f (x )
f ′( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′( x )
d. y =
, maka y ′ =
g (x )
(g (x ))2
axn
Contoh:
Tentukan turunan dari :
a. y = (2x + 3)(3x – 5)
b. y =
DEPDIKNAS
− 2 x + 3x 2
x 2 + 3x
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
83
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Jawab :
a. y = (2x + 3)(3x – 5)
cara 1 : y = 6x2 – x – 15
y′ = 12x – 1 atau dengan
cara 2 : y = (2x + 3)(3x – 5)
y′ = 2(3x – 5) + (2x + 3)3
= 6x – 10 + 6x + 9 = 12x – 1
b. y =
− 2 x + 3x 2
x 2 + 3x
(
− 2 + 6 x )(x 2 + 3 x ) − (− 2 x + 3 x 2 )(2 x + 3)
y′ =
(x 2 + 3x )2
6 x 3 + 16 x 2 − 6 x − (6 x 3 + 5 x 2 − 6 x )
=
(x 2 + 3x )2
=
11x 2
(x 2 + 3x )2
B. Persamaan garis singgung
Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) melalui titik (a, f(a)) adalah
y – f(a) = f′ (a) (x – a)
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 4 – 3x + x2 di titik
dengan absis 3.
Jawab : gradien garis singgungnya adalah y′ = –3 + 2x
Gradien di titik dengan absis 3 adalah y′ = –3 + 6 = 3
Ordinat titik singgung y = 4 – 3 . 3 + 9 = 4
Persamaan garis singgung dengan gradien 3 di titik (3, 4) adalah :
y – 4 = 3(x – 3)
y = 3x – 5
C. Fungsi naik dan fungsi turun
Syarat yang berkaitan dengan fungsi naik dan fungsi turun
Jika f adalah fungsi yang kontinu dan diferensiabel pada interval (a, b), maka :
• Jika f′ (x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f konstan pada interval (a, b).
• Jika f′ (x) > 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f naik pada interval (a, b).
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
84
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
• Jika f′ (x) < 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f turun pada interval (a, b).
• Jika f′ (x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f tidak turun pada interval (a, b).
• Jika f′ (x) ≤ 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f tidak naik pada interval (a, b).
Contoh:
Tentukan interval, dimana fungsi :
a. naik
b. turun, jika fungsi f (x) = x3 – 6x2 + 9x + 2
Jawab :
a. Fungsi f (x) naik, maka f′ (x) > 0
f′ (x) = 3x2 – 12x + 9
+++ - - - - - - +++
3x2 – 12x + 9 > 0
1
3
2
3 (x – 4x + 3) > 0
(x – 3)(x – 1) > 0
f (x) naik untuk x > 3 atau x < 1
b. f (x) turun jika f′ (x) < 0
3x2 – 12x + 9 < 0
3 (x2 – 4x + 3) < 0
(x – 3)(x – 1) > 0
f (x) turun untuk 1 < x < 3
+++ - - - - - - +++
1
3
D. Nilai−nilai Stasioner
Titik dengan x = a yang memenuhi persamaan f′ (a) = 0 disebut titik stasioner
Jenis Titik Stasioner
♦ Titik maksimum
x<a
f ( x)
Naik
f ′ (x)
Positif
f ′′ (x)
DEPDIKNAS
x>a
Turun
Nol
negatif
Negatif
♦ Titik minimum
x<a
f ( x)
Turun
f ′ (x)
Negatif
f ′′ (x)
x=a
x=a
x>a
Naik
Nol
Positif
Positif
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
85
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
♦Titik balik di x= a
x<a
x=a
f ′ (x)
Naik
f ′′ (x)
Positif
f ′ (x)
Turun
f ′′ (x)
Negatif
x>a
Turun
Nol
Negatif
Naik
Nol
Positif
Contoh:
Tentukan nilai stasioner dan jenisnya fungsi f (x) = x3 (x – 4) + 5
Jawab : f (x) = x4 – 4x3 + 5
f′ (x) = 4x3 – 12x2
Nilai stasioner diperoleh jika f ′( x ) = 0
4x3 – 12x2 = 0
4x2 (x – 3) = 0
x = 0 atau x = 3
Jadi f (0) = 5
f (3) = 81 – 108 + 5
= –22
Jenisnya :
−
x
4x2
x–3
0
+
−
f′ (x)
+
x=0
0
0+
0
+
0
−
0
−
Belok
−
3
+
−
−
x=3
3
3+
0
+
0
+
0
+
Balik minimum
Jadi titik belok di (0, 0) dan Nilai balik minimum adalah f (3) = –22
∴ Titik balik minimum (3, −22)
E. Menggambar Grafik
Langkah-langkahnya adalah menentukan :
∗ Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat
∗ Titik stasioner dan jenisnya
∗ Beberapa titik
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
86
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Contoh:
Gambarlah kurva y = 2x2 – 5x + 2
Jawab :
Titik potong dengan sumbu Y → x = 0
→y=2
Titik potong (0, 2)
Titik potong dengan sumbu X → y = 0
2x2 – 5x + 2 = 0
1
(2x – 1)(x – 2) = 0 → x = atau x = 2
2
Titik stasioner dan jenisnya
5
y′ = 4x – 5
x=
y′ = 0
4
y ″ = 4 > 0 → minimum
2
5
9
5
5
atau y = 2 ⋅   − 5  + 2 = −
4
8
4
4
9
5
Koordinat titik balik minimum  , − 
8
4
→ y minimum untuk x =
Sketsa:
∗ Beberapa titik
untuk x = −1
x= 3
yY
(-1,9)
9
y = 9→ (−1, 9)
y = 5→ (3, 5)
(3,5)
01
9 2
8
5
4
2
x
X
F. Turunan kedua dan pemakaiannya
Contoh :
Sehelai karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm.
Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x cm.
Dari bangun yang didapat dibuat kotak tanpa tutup yang tingginya x cm.
Tentukanlah ukuran kotak agar volumenya maksimum !
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
87
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Jawab :
x
x
5
2x
8 2x
Volum = (8x – 2x)(5 – 2x)(x)
= 40x – 26x2 + 4x3
Nilai stasioner V’(x) = 0
40 – 52x + 12x2 = 0
3x2 – 13x + 10 = 0
(3x – 10)(x – 1) = 0
10
x=
atau x = 1
3
(tidak mungkin)
V″ = –52 + 24 x
V″ (x = 1) = –52 + 24 = –28 < 0 → maksimum
Vmaks = 40 – 26 + 4
= 18 dm3
∴Jadi panjang kotak 6 dm, lebar 3 dm, dan tinggi 1 dm.
Latihan dan Pembahasan
dy
−1
, maka
= ….
sin x
dx
a. cosec x
c. - cosec x
b. cosec x cotan x
d. - cotan x cosec x
1. Jika y =
e. sec x tan x
Pembahasan :
− (− 1) cos x
dy
=
= cosec x cotan x
2
dx
sin x
Kunci : B
2. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 2x3 – 4x + 3 pada titik yang
berabsis − 1 adalah ….
c. y = −2x − 3y
e. y = − 2x – 2y
a. y = 2x + 3y
d. y = −2x − 1
b. y = 3x + 7
Pembahasan : x = −1 maka y = 2 (−1)3 – 4(-1) + 3 = 5
y′ = gradien = 6x2 – 4
Di titik x = -1 adalah m = 6 – 4 = 2
Persamaan garis melalui (−1, 5) dengan gradien 2 adalah
y – 5 = 2 (x + 1)
y = 2x + 7
Kunci : B
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
88
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
3. Nilai maksimum dari f (x) = 2x3 + 5x2 – 4x dalam interval −3 ≤ x ≤ −1
adalah ….
a. 28
b. 27
c. 19
d. 12
e. 7
Pembahasan :
f ′ (x) = 6x2 + 10x - 4
0 = 3x2 + 5x − 2
(3x − 1)(x + 2) = 0
1
x = atau x = −2
3
tidak terletak dalam
interval (tidak memenuhi)
f″(x) = 12x + 10
f″ (−2) = –24 + 10 = –14 < 0 → maksimum
f (–2) = 2.( –2)3 + 5.( –2)2 – 4 (–2) = –16 + 20 + 8 = 12
Kunci : B
VIII.3. Integral
A. Integral tak tentu
Integral merupakan operasi invers dari turunan.
Jika F′(x) = f(x) dan f kontinu, maka : ∫ f ( x) dx = F( x) + C → (C = kostanta)
Rumus−rumus
a.
b.
c.
d.
e.
∫ f( x) dx = F( x) + C
∫ k dx = kx + C
n
k
n+1
∫ kx dx = n + 1 x + C , dengan n ≠ −1
∫ { f ( x) + g ( x)} dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx
∫ { f ( x) − g ( x)} dx = ∫ f ( x) dx − ∫ g ( x) dx
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
89
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Contoh:
1. Selesaikan ∫ (2 x + 3)( x − 5) dx
Jawab :
∫ (2 x + 3)( x − 5) dx = ∫ (2 x
=
2.
∫
− 7 x − 15) dx
2 3 7 2
x − x − 15 x + C
3
2
(x + 2 x )
x
3
2
2
∫
2
3
2
dx = (x + 4 x + 4 x) x
− 12
dx
1
= ∫ (x 2 + 4 x + 4x 2 ) dx
=
3
1
1
4 2
4
+1
+1
2
2
x
+
x
+
x
+c
3
1
2
2 +1
2 +1
5
3
2 2
8
x + 2x 2 + x 2 + C
5
3
2 2
8
= x x + 2x 2 + x x + C
5
3
=
B. Penerapan Integral tak tentu
Contoh:
1. Tentukan persamaan kurva dengan gradien garis singgung di titik (x, y) sama
dengan 2x − 3, dan kurva melalui titik (1, −3)!
Jawab :
dy
= (2 x − 3)
dx
dy = 2x − 3 dx
∫ dy = ∫ (2 x − 3) dx
y = x2 − 3x + C
Kurva melalui (1, −3), maka −3 = 1 − 3 + C → C = 1
∴Persamaan kurvanya adalah : y = x2 – 3x – 1
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
90
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan V m per detik. Pada saat t detik
persamaan kecepatannya adalah V = 8 t − 1. Pada saat t = 1, posisi benda yaitu
S = 6 m.
a. Tentukan persamaan posisi benda sebagai fungsi t!
b. Berapa jauh posisi benda pada saat t = 4?
Jawab : a. S(t ) = ∫ (8 t − 1) dt = 4t 2 − t + C
b. S(4) = 4 (4)2 – 4 + 3 = 63 m
Diketahui : S(l) = 6, jadi :
4(1)2 – (1) + C = 6
C=3
maka : S = 4t2 – t + 3
C. Integral tertentu
Teorama Dasar Integral
b
b
f ( x) dx = F(x) a = F(b) − F(a)
a
dengan F ′(x) = f (x)
∫
[ ]
Sifat−sifat Integral Tertentu
b
a
(i)
f
(
x
)
dx
=
−
∫
∫ f ( x) dx
a
b
a
(ii) ∫ f ( x) dx = 0
a
b
c
b
(iii) ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx , dengan a < c < b
a
a
c
b
b
(iv) ∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx , k = konstanta
a
a
b
b
b
(v) ∫ { f ( x) ± g ( x)} dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx
a
a
a
b
(vi) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka ∫ f ( x) dx ≥ 0
a
b
(vii) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka ∫ f ( x) dx ≤ 0
a
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
91
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
Contoh:
3
1.
∫
2
3
(6 x + 4 x) dx = 2 x + 2 x
2
1
3
1
[
]
3
2
= 2 (3 ) + 2 (3 ) − 2 (1)3 + 2 (1)2 = 68


2
2.
2
∫ (x −
1
2
1
x2
) dx = ∫ ( x 2 − x − 2 ) dx
1
=
1 3 1
x +
x
3
2
1
1   1  8 1 4 11
1
=  (2 )3 +  −  + 1 = + − =
2  3  3 2 3 6
3
D. Beberapa penggunaan Integral
a. Luas daerah
yY
Yy
1
y = f (x)
2
x=a
x=b
xX
Y
y = f (x)
x=a
x=b
X
x
b
∫
L = − f ( x) dx =
b
L = ∫ f ( x) dx
a
a
Yy
b
y
Y
3
∫ f ( x) dx
a
4
y = f (x)
y=d
x=a
y=c
Xx
x = f (y)
d
Luas =
∫
f ( y ) dy
x=b
x
X
b
L=
c
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
∫
a
x=c
c
f ( x) dx +
∫ f ( x) dx
b
92
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
y
Y
yY
5
x=b
x=a
y1 = f1( x)
6
y2 = ( f2( x))
y1= f1 (x)
y2= f2 (x)
a
Xx
b
∫
L = ( y1 - y2 ) dx
a
atau
bb
LL == ((yf11-( xy)2 )−dxf 2(x))dx
(x)) dx
aa
L=
b
Xx
b
∫ ( f1 ( x ) − f 2 ( x )) dx
a
∫∫
Latihan dan Pembahasan
1. Hitung luas daerah antara kurva y = x3 – x2 – 6x dan sumbu X
Pembahasan :
Titik potong dengan sumbu X→ y = 0 maka x3 – x2 – 6x = 0
x(x2 – x – 6) = 0
x(x – 3)(x + 2) = 0
Koordinat titik potong dengan sumbu X : (0, 0), (−2, 0), dan (3, 0)
yY
untuk x = −1 →(−2 < x < 0),
maka y +
I
xX
-2
0
3
untuk x = 2 →(0 < x < 3),
II
maka y –
0
Luas I =
∫
−2
3
Luas II =
∫
1
1
2
(3x – x – 6x) dx = x4 – x3 − 3 x
4
3
3
(x3 – x2 – 6x) dx =
0
L = LI + LII =
DEPDIKNAS
0
2
1 4 1 3
2
x – x − 3x
4
3
=
−2
3
0
=
16
3
63
4
253
satuan luas
12
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
93
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
2. Hitung luas daerah antara kurva y = x2 – 5x dan y = −x2 + 3x – 6
Pembahasan :
yY
3
1 2
3
0
5
Batas integral yaitu titik potong dua kurva
x2 – 5x = −x2 + 3x – 6
2x2 – 8x + 6 = 0
x2 – 4x + 3 = 0
(x – 3)(x – 1)
x = 3 atau x = 1
2
xX
Grafik y = x – 5x adalah parabola terbuka ke atas
memotong sumbu X di (0, 0) dan (5, 0)
Grafik y = −x2 + 3x – 6 parabola terbuka kebawah
tidak memotong sumbu X karena D < 0
3
memotong sumbu Y di (0, −6) dan sumbu simetri x =
2
-6
3
Luas daerah yang diarsir =
∫
{(−x2 + 3x – 6) – (x2 – 5x)} dx
∫
(−2x2 + 8x – 6) dx
1
3
=
1
3
=−
8
2 3

x + 4 x 2 − 6 x  = satuan luas
3
3
1
b Volum benda putar
Y
1. Volum benda putar yang terjadi
jika daerah antara kurva y = f(x),
garis x = a, garis y = b, dan sumbu X
diputar mengelilingi sumbu X adalah
b
y=f
(x)
x
a
b
V = π ∫ (f(x))2 dx
a
Y
2. Volum benda putar yang terjadi
jika daerah antara kurva x = f(y),
garis y = c, garis y = d dan sumbu Y
diputar mengelilingi sumbu Y adalah
d
V=π
∫
{f(y)}2 dy
c
DEPDIKNAS
y
x = f (y)
d
c
xX
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
94
X
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
3. Volum benda putar yang terjadi
jika daerah antara dua kurva y1 = f1(x)
dan y2 = f2(x), garis x = a, garis x = b
diputar mengelilingi sumbu X adalah
2
2
∫ [(f1 (x )) − (f 2 (x )) ]
y
Y
y1 = f1 (x)
y2 = f2 (x)
b
V=π
dx
a
a
x
b
(dengan catatan f1 (x) > f2 (x), dimana a < x < b)
4. Volum benda putar yang terjadi
Jika daerah antara dua kurva x1 = f1(y)
dan x2 = f2(y), garis y = c, garis y = d
diputar mengelilingi sumbu Y adalah
∫ [( f1 ( y ))
d
V=π
2
− ( f 2 ( y ))
2
y
f 2 ( y)
f 1 ( y)
d
] dy
c
c
(dengan catatan f1 (y) > f2 (y)
dimana c < y < d
x
Latihan dan Pembahasan
1. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x + 1,
sumbu y, garis x = 2 dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh
3600.
2
Pembahasan :V =
∫
2
∫
2
π(x + 1) dx = π
0
(x2 + 2x + 1) dx
0
2
26
1

π
= π  x 3 + x 2 + x  =
3
 0 3
2. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara xy2 = 2, y = 1,
y = 4 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y.
2
Pembahasan : x = 2
y
4
2
4
 2 
Volume = ∫ π 2  dy = π ∫ 4 y −4 dy
1 y 
1
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
95
X
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
4
5
 4

= π  − y − 3  = 1 π satuan volum
16
 3
 1
3. Hitunglah volum benda putar yang terjadi jika daerah antara dua kurva
y = x2, y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu X.
Pembahasan :
2
V = π ∫ {(x + 2)2 − (x2) 2 }dx
2
y
Y
y=
x+
−1
2
y = x2
= π ∫ (x2 + 4x − + 4 – x4) dx
−1
2
2
1 
1
= x3 + 2x 2 + 4x − x 5 
5  -1
3
1
-2
-1
1
2
Xx
 1 3
32   1
1 
=  .2 + 2.4 + 4.2 −  −  − + 2 − 4 + 
5   3
5 
 3
2
= 14 π satuan volum
5
E. Aturan Rantai
Misal : y = f(x) dan u = g(x)
atau y = f(g(x)), maka
y ′ = f ′ (g(x)), maka y ′ = f ′ (g(x)) . g ′ (x)
Dengan notasi Leibniz dapat ditulis :
dy dy du
=
.
dx du dx
Contoh :
Tentukan turunan pertama dari :
1. y = (x2 + 2x)7
Jawab :
Cara 1 : y ′ = 7(x2 + 2x)6 (2x + 2)
= (14x + 14)(x2 + 2x)6
Cara 2 :
DEPDIKNAS
y = u7, u = x2 + 2x
dy
du
= 7u6,
= 2x + 2
du
dx
dy
= 7u6 (2x + 2)
dx
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
96
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
= 7(x2 + 2x)6 (2x + 2)
= (14x + 14)(x2 + 2x)6
2. y = sin3 x
Jawab :
Cara 1 : y = sin3 x = (sin x)3
y ′ = 3 sin2 x cos x
3
= sin x sin 2x
2
Cara 2 : y = u3 , u = sin x
dy
du
=3u2 ,
= cos x
du
dx
dy
= 3u2.cos x = 3 sin2 x cos x
dx
3
= sin x sin 2x
2
F. Integral fungsi Trigonometri
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x dx = − cos x + C
2
∫ sec x dx = tan x + C
∫ cosec x dx = − cotan x + C
2
∫ sec x tan x dx = sec x + C
∫ cosec x cotan x dx = − cosec x + C
Latihan dan Pembahasan
1. Selesaikanlah !
∫ ( 3 sin x – 5 cos x) dx
Pembahasan :
∫ ( 3 sin x – 5 cos x) dx = −3 cos x − 5 sin x + C
2.
∫ (x
3
+ sec2 x) dx
Pembahasan :
∫ (x
3
DEPDIKNAS
+ sec2 x) dx =
1 4
x + tan x + C
4
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
97
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
3.
∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx
Pembahasan :
∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx = sec x + 2 cos x + C
1
sin (ax + b) + C
a
1
∫ sin (ax + b) dx = − a cos (ax + b) + C
1
2
∫ sec (ax + b) dx = a tan (ax + b) + C
1
2
∫ cos ec (ax + b) dx = − a cotan (ax + b) + C
1
∫ sec (ax + b) tan (ax + b) dx = a sec (ax + b) + C
1
∫ cos ec(ax + b) cotan (ax + b) dx = − a cosec (ax + b) + C
∫ cos (ax + b) dx =
a.
Latihan dan Pembahasan
Selesaikan !
1. ∫ sec 2 (4x + π) dx
2.
3.
4.
5.
∫ sin x dx
∫ ( 3 sin 2x + cos 3x) dx
∫ sin 3x cos 4x dx
3
∫ sin x dx
2
Jawab :
1.
∫ sec
2
(4x + π) dx
2.
∫ sin
2
x dx =
1
1
tan (4x + π) + C
4
1
∫( 2−2
cos 2x) dx
1
1 1
x − . sin 2x + C
2
2 2
1
1
= x − sin 2x + C
2
4
=
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
98
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
3.
∫ ( 3 sin 2x + 4 cos 3x) dx
3
4
= − cos 2x + sin 3x + C
2
3
4.
∫ sin 3x cos 4x dx
1
= ∫ {(sin 7x + sin ( −x) )} dx
2
1
2
=
∫ (sin 7x − sin x) dx
1
1
= − cos 7x + cos x + C
2
2
5.
∫ sin
3
x dx
∫ sin x(sin x)dx
1 1
= ∫ sin x( − cos 2x) dx
2 2
2
=
=
1
2
1
∫ sin x dx − 2 ∫ sin x cos 2x dx
1
1 1
= − cos x − ∫ (sin 3x – sin x) dx
2
2 2
1
1
1
= − cos x − cos 3x + cos x + C
2
2
4
G. Integral Substitusi
∫ f (x) dx = F(x) + C
Jika u = g(x)
maka : ∫ f (g(x)) o g′ (x) dx = F(g(x)) + C
Contoh :
1. ∫ ( 4x + 5)8 dx
cara a : misal u = 4x + 5
du
du
= 4 → dx =
dx
4
→ ∫ ( 4x + 5)8 dx =
=
DEPDIKNAS
∫u
8
.
du
1 9
=
u +C
4
4.9
1
(4x + 5)9 + C
36
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
99
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
cara b :
∫ ( 4x + 5)
8
dx =
=
2.
1
∫ 4 (4x + 5)
8
d (4x + 5)
1
(4x + 5)9 + C
36
15x 2
2
3
-4
∫ (x 3 − 1) 4 dx = ∫ 15 x (x − 1) dx
cara a : misal u = (x3 − 1)
du
du
= 3x 2 → dx =
dx
3x 2
→ ∫ 15 x2 (x3 − 1)-4 dx = ∫ 15 x2 u-4.
du
3x 2
5 −3
5
u + C =− 3 +C
−3
3u
5
=−
+C
3( x 3 − 1) 3
=
cara b :
∫ 5 (x
3
− 1)-4 d(x3 − 1)
5
(x3 − 1)-3 + C
−3
5
=−
+C
3( x 3 − 1) 3
=
3.
cos x
dx =
4
x
∫ sin
∫ cos x sin
-4
x dx
cara a : misal u = sin x
du
du
= cos x → dx =
dx
cos x
→ ∫ cos x u 4 .
du
cos x
1 -3
u +C
3
1
=−
+C
3 sin 3 x
= −
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
100
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
cara b :
∫ cos x sin
-4
x dx =
∫ sin
−4
x d sin x
1 -3
sin x + C
3
1
=−
+C
3 sin 3 x
= −
H. Integral Parsial
∫ u dv = uv − ∫ v du
Contoh : Selesaikan !
1. ∫ x sin 3x dx
u dv
u=x
dv = sin 3x dx
du = dx
v=
1
∫ sin 3x dx = − 3 cos 3x
1
1
∫ sin 3x dx = − 3 xcos 3x + ∫ 3 cos 3x dx
1
1
= − xcos 3x + sin 3x + C
3
9
1
2.
∫ x 4 x + 3 dx = ∫ x(4 x + 3) 2 dx
1
u=x
dv = (4 x + 3) 2 dx
du = dx
v=
∫
1
(4 x + 3) 2 dx
1
1
= ∫ (4 x + 3) 2 d (4 x + 3)
4
3
1
= (4 x + 3) 2
6
1
∫ x (4 x + 3) 2 dx =
3
3
1
1
x (4 x + 3) 2 − ∫ (4 x + 3) 2 dx
6
6
3
3
1
1 1
= x (4 x + 3) 2 − . ∫ (4 x + 3) 2 d (4 x + 3)
6
6 4
3
5
1
1 1 1
= x (4 x + 3) 2 − . . (4 x + 3) 2 + C
6
6 2 5
3
1
1


= (4 x + 3) 2  x − (4 x + 3) + C
6

 10
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
101
Panduan Materi Matematika SMA/MA (IPA)
3.
∫x
2
cos x dx
dv = cos x dx
u = x2
du = 2x dx
v = sin x
2
= x . sin x − 2 ∫ x sin x dx
u=x
dv = sin x
du = dx
v = −cos x
2
= x sin x −2 (−x + ∫ cos x dx)
= x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
x2
cos x
2x
sin x
2
-cos x
0
-sin x
di-integral-kan
diintegralkan
didiferensialkan
di-diferensial-kan
Catatan :
Jika fungsi u turunan ke–k nya sama dengan nol (0) dan integralnya ada,
maka dapat diselesaikan dengan cara praktis dari Tanzalin.
Contoh : ∫ x 2 cos x dx =
∴Jadi x2 cos x dx = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
4.
∫
−1
x3
x2 +1
dx = ∫ x 3 ( x 2 + 1) 2 dx
2
= ∫ x . x( x
2
−1
+ 1) 2
u
dv
1
u = x2
misal :
dx
dv = x(x2 + 1 ) 2 dx
1
v = (x2 + 1 ) 2
du = 2x dx
∫x
3
2
(x + 1 )
−
1
2
2
2
1
2
dx = x (x + 1 ) −
1
= x2 (x2 + 1 ) 2 −
1
2
∫ (x
2
1
2
+ 1 ) . 2x dx
1
2
2
∫ ( x + 1 ) 2 d(x + 1)
3
2
= x (x + 1 ) − (x2 + 1 ) 2 + C
3
2
DEPDIKNAS
2
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
102