ii. himpunan - Simponi MDP

1. Definisi
Kumpulan objek-objek yang berbeda dan
mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama.
Setiap objek yang terdapat dalam
himpunan disebut anggota atau unsur atau
elemen.
Anggota-anggota himpunan ditulis dalam
tanda kurung kurawal.
2. Penyajian Himpunan
4 cara menyajikan himpunan :
Tabulasi atau enumerisasi
Simbol-simbol baku
Notasi pembentuk himpunan
(set builder)
Diagram Venn
Tabulasi atau Enumerisasi
Metode tabulasi adalah cara menulis
atau menyatakan himpunan dengan
jalan menuliskan semua anggotanya.
Jika A adalah himpunan bilangan
1,2,3,4 maka himpunan tersebut
ditulis dalam bentuk A = { 1, 2, 3, 4}
Simbol-simbol Baku
Simbol baku yang biasa digunakan untuk
mendefinisikan himpunan yang sering
digunakan antara lain :
 P = himpunan bilangan bulat positif
 Z = himpunan bilangan bulat.
 Q = himpunan bilangan rasional.
 R = himpunan bilangan riil.
Notasi Pembentuk Himpunan
Himpunan dinyatakan dengan menulis
syarat yang harus dipenuhi oleh
anggotanya.
Notasi:{x | syarat yang harus dipenuhi x }
A adalah himpunan bilangan bulat positif
lebih kecil dari 5.
A = { x | x  P, x < 5 }
A = { 1, 2, 3, 4 }
Diagram Venn
Diagram Venn menyajikan himpunan
secara grafis.
Diagram Venn terdiri dari himpunan
atau himpunan-himpunan yang
dilambangkan dengan lingkaran dan
himpunan semesta dilambangkan
dengan persegi panjang.
Contoh :
A = {1, 2, 3, 4 }
B = {3, 4, 5, 6, 7, 8 }
S mempunyai anggota bilangan asli < 10
3. Kardinalitas
Kardinalitas menunjukan jumlah anggota
suatu himpunan.
Jika terdapat himpunan A, maka kardinal
A ditulis dengan lambang n (A) atau |A |.
Contoh : A={x | x bilangan prima, x  10}
A={2, 3, 5, 7 }
maka
|A | = 4
4. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang
tidak mempunyai anggota.
Himpunan kosong dilambangkan dengan
 atau { }.
Contoh :
K={x | x bilangan ril, x2 + 1 = 0}
Maka |K | =  atau { }
5. Himpunan Bagian (subset)
Sebuah himpunan dapat merupakan bagian
dari himpunan lain.
Anggota yang terkandung pada himpunan
tersebut juga terkandung pada himpunan
yang lain.
Himpunan A dikatakan himpunan bagian
dari himpunan B jika dan hanya jika setiap
elemen A merupakan elemen dari B.
Notasi : A  B
Diagram Venn Himpunan Bagian
A
B
Suatu himpunan merupakan himpunan
bagian dari himpunan itu sendiri.
Jika terdapat suatu himpunan L, maka
berlaku L  L.
Himpunan kosong merupakan himpunan
bagian dari suatu himpunan.
Jika terdapat himpunan kosong dan
himpunan M, maka berlaku   M.
6. Kesamaan Himpunan
Himpunan A dikatakan sama dengan
himpunan B jika dan hanya jika A adalah
himpunan bagian B dan B merupakan
himpunan bagian A.
Dengan menggunakan lambang
matematika.
A = B  A  B dan B  A
7. Ekivalensi Himpunan
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan
himpunan B jika dan hanya jika kardinal A
= kardinal B.
Dengan menggunakan lambang
matematika,
A  B  A = B
8. Himpunan Saling Lepas
Himpunan A dan B dikatakan saling
lepas jika keduanya tidak mempunyai
anggota yang sama.
Dalam bentuk lambang dapat ditulis :
A // B.
Diagram Venn Himpunan Saling Lepas
9. Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa adalah suatu himpunan A
yang anggota-anggotanya merupakan suatu
himpunan bagian A, termasuk himpunan
kosong dan himpunan A itu sendiri.
Himpunan kuasa dari himpunan A
dilambangkan dengan :
P (A) atau 2A
10. Operasi Himpunan.
Irisan
Irisan dari himpunan A dan B adalah
himpunan semua unsur yang termasuk
di dalam A dan di dalam B.
Irisan dari himpunan A dan himpunan
B dilambangkan A  B.
Diagram Venn Operasi Irisan
Gabungan
Gabungan himpunan A dan himpunan
B adalah semua unsur yang termasuk
di dalam A atau di dalam B.
Gabungan dari himpunan A dan
himpunan B dilambangkan A  B.
A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }
Diagram Venn Operasi Gabungan
Komplemen
Himpunan komplemen adalah
himpunan semua unsur yang tidak
termasuk dalam himpunan yang
diberikan.
Jika himpunannya A maka himpunan
komplemennya dilambangkan A’ atau
Diagram Venn Komplemen
Selisih
Selisih himpunan A dan B adalah
semua unsur A yang tidak termasuk di
dalam B.
Selisih himpunan A dan himpunan B
dilambangkan A – B atau A  B’
Diagram Venn Operasi Selisih
Beda Setangkup
Beda setangkup himpunan A dan
himpunan B adalah himpunan yang
anggota-anggotanya hanya
merupakan anggota himpunan A saja
atau B saja.
Diagram Venn Beda Setangkup
Perkalian Kartesian
Jika terdapat himpunan A dan himpunan B
maka perkalian kartesian A x B adalah
himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan pasangan terurut dengan
komponen pertama berasal dari himpunan
A dan komponen kedua berasal dari
himpunan B.
A x B ={(a,b) | a  A dan b  B }
Contoh Perkalian Kartesian
Misal :
Maka :
A = { 1, 2, 3 }
B = { a, b }
A x B = {(1,a) ,(1,b) ,(2,a) ,(2,b),
(3,a) , (3,b)}
Pasangan berurut (a,b) berbeda dengan
(b,a), dengan kata kain (a,b)  (b,a)
Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu
A x B  B x A, dengan syarat A atau B
tidak kosong
Jika A = Ø atau B = Ø,
maka A x B = B x A = Ø
Jika A dan B merupakan himpunan
berhingga, maka : |A x B | = | A | . | B |