Joint Distribution Function

DISTRIBUSI PROBABILITAS
MARGINAL & BERSYARAT
TI2131 TEORI PROBABILITAS
MINGGU KE-6
1
Joint Distribution Function
Distribusi peluang gabungan dari dua variabel
random X dan Y merupakan distribusi peluang
kejadian simultan keduanya, atau
f(x,y) = P(X=x,Y=y)
2
1
Definisi Joint Distribution
Function Diskrit
Fungsi f(x,y) adalah sebuah joint probability
distribution dari variabel random diskrit X dan Y jika:
1. f(x,y) > 0 untuk semua (x,y)
2.
∑x ∑y f (x , y ) = 1
3. P(X=x, Y=y) = f(x, y) untuk setiap daerah pada
bidang xy, P[(X,Y) ∈ A] = ∑A ∑ f (x , y )
3
Contoh Joint Distribution
Function Diskrit
Sebuah kelompok terdiri atas 3 pria dan 2 wanita.
Dari kelompok ini akan diundi dua orang yang akan
mewakili kelompok tersebut untuk tampil ke
panggung. Jika X merupakan variabel random yang
menunjukkan jumlah pria yang tampil dan Y
merupakan variabel random yang menunjukkan
jumlah wanita yang tampil, tentukan fungsi
probabilitas gabungan f(x,y)!
4
2
Definisi Joint Distribution
Function Kontinyu
Fungsi f(x,y) adalah sebuah joint density function
dari variabel random kontinu X dan Y jika:
f(x,y) > 0 untuk semua (x,y)
1.
2.
∞ ∞
∫ ∫ f (x , y ) dx dy
=1
− ∞− ∞
3.
P[(X,Y)∈A] =
∫∫A f (x , y ) dx dy
untuk setiap daerah A yang diberikan pada bidang xy
5
Contoh Joint Distribution
Function Kontinyu
Sebuah restoran memiliki fasilitas walk-in dan drive-in. Pada
suatu hari pengamatan yang dipilih secara random, tetapkan
X dan Y masing-masing sebagai proporsi waktu penggunaan
dari fasilitas walk-in dan drive-in. Diperkirakan joint density
function dari kedua variabel random ini adalah:
⎧2
⎪ (2 x + 3 y ), 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1
f ( x, y ) = ⎨ 5
⎪⎩ 0,
lainnya
a. periksalah apakah f(x,y) merupakan sebuah joint density
function!
b.berapa probabilitas walk-in sibuk lebih dari setengah hari
sedangkan drive in hanya sibuk kurang dari setengah hari?
6
3
Distribusi Marginal
Distribusi marjinal dari X saja dan dari Y saja adalah:
g(x) = ∑ f (x , y ) dan h(y) =
y
∑x f (x , y )
untuk kasus diskrit, dan
∞
∞
−∞
−∞
g(x) = ∫ f (x , y ) dy dan h(y) = ∫ f (x , y ) dx
untuk kasus kontinu.
7
Contoh Distribusi Marginal
Tentukan distribusi marjinal dari X dan Y pada
contoh pada slide no 12 di atas!
8
4
Distribusi Kondisional
Diberikan X dan Y sebagai dua variabel random, baik
diskrit maupun kontinu. Distribusi kondisional dari
variabel random Y, diberikan X = x, adalah:
f(y|x) =
f (x , y )
, g(x) > 0.
g (x )
Analog, distribusi kondisional dari variabel random X,
diberikan Y = y adalah:
f(x|y) =
f (x , y )
, h(y) > 0.
h (y )
9
Contoh Distribusi Kondisional
Joint density function untuk variabel random (X,Y), di
mana X merupakan proporsi tiket bisnis yang terjual (dari
tiket bisnis yang tersedia) dan Y proporsi tiket ekonomi
yang terjual (dari tiket ekonomi yang tersedia), adalah
⎧10 xy 2 ,
f(x,y) = ⎨
⎩ 0,
0 < x < y <1
untuk lainnya
Berapa probabilitas proporsi tiket ekonomi yang terjual
lebih dari setengah tiket ekonomi yang tersedia,
manakala tiket bisnis yang terjual kurang 25%?
10
5
Statistical Independence
Diberikan dua variabel random X dan Y, diskrit
ataupun kontinu, dengan joint distribution function,
f(x,y) dan distribusi marginal g(x) dan h(y),
berturut-turut. Variabel random X dan Y dikatakan
independen secara statistika, jika dan hanya jika:
f(x,y) = g(x)h(y)
untuk semua (x,y) dalam rentang yang ada.
11
Statistical Independence
(generalized)
Diberikan X1,X2, … , Xn adalah n variabel random,
diskrit atau kontinu, dengan joint probability
distribution f(x1,x2,…,xn) dan distribusi marginal-nya
berturut-turut f1(x1), f2(x2), …, f(xn). Variabel-variabel
random X1,X2, … , Xn dikatakan saling bebas secara
statistika jika dan hanya jika:
f(x1,x2,…,xn) = f1(x1) f2(x2) … f(xn)
12
6
Contoh Statistical
Independence
Diberikan waktu kedatangan antar order pada sebuah
usaha job shop adalah sebagai berikut:
x >0
⎧e − x ,
f(x) = ⎨
untuk lainnya
⎩ 0,
Jika X2, X3, dan X4 berturut-turut menunjukkan jarak
waktu order (dalam hari) dari tiga pelanggan yang
berbeda dan tidak berhubungan dengan pelanggan
sebelumnya (X2 berarti selisih waktu order masuk dari
pelanggan kedua terhadap pelanggan pertama, dan
seterusnya), tentukan probabilitas bahwa jarak waktu
13
dari masing-masing order kurang dari 2 hari!
7