3/8/2007 Fisika I 1

Keep running
VEKTOR
3/8/2007
Fisika I
1
Keep running
BAB I : VEKTOR
Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu
besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah
perpindahan.
Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di
(misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal
handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh
dicetak tebal.
Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R
cetak
tebal
r
A ). Dalam
huruf yang
b
R
a
3/8/2007
Fisika I
2
Keep running
PENJUMLAHAN VEKTOR
Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan
vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan
vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c.
Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan
ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua,
vektor S. Maka resultan vektornya, vektor
T, adalah
menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.
b
S
R
T=R+S
c
T
a
3/8/2007
Fisika I
3
Keep running
BESAR VEKTOR RESULTAN
Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S
dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :
(1.1)
T = R2 + S2 − 2RS cos θ
θ
S
R
T=R+S
T
Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan
vektor S
3/8/2007
Fisika I
4
Keep running
PENGURANGAN VEKTOR
Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai
penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B
adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi
arahnya berlawanan.
D
D=A–B
B
-B
A
3/8/2007
Fisika I
5
Keep running
CONTOH
Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian
bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh
10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu !
B
40 km
U
10 km
S
20 km
3/8/2007
Fisika I
6
Keep running
CONTOH
40 km
Jawab :
B
C
20 km
10 km
A
D=
B
A+
+C
10 km
40 km
Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan
kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan
vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.
Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :
40 2 + 10 2 = 10 17 m
3/8/2007
Fisika I
7
Keep running
VEKTOR SATUAN
Vektor satuan didefenisikan sebagai : r =
R
R
(1.2)
Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah
satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor
dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor
satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R.
Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di
mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam
vektor satuan.
•Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif
•Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif
•Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif
3/8/2007
Fisika I
8
Keep running
PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS
Rz
R
Ry
Rx
Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk
Vektor dalam 2 Dimensi
2
2
2
Besar vektor R adalah : R = R x + R y + R z
Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan
dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing
sumbu koordinat.
3/8/2007
Fisika I
9
Keep running
CONTOH
Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :
a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis
b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X
c. Panjang vektor
Jawab :
y
(-2,5)
ujung
Ry
θ
(2,2)
pangkal
x
Rx
a. Vektor perpindahan :
R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j
R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j
3/8/2007
Fisika I
10
Keep running
CONTOH
y
(-2,5)
ujung
Ry
θ
(2,2)
pangkal
x
Rx
b.
Sudut yang dibentuk :
θ = tan
c.
−1
Ry
Rx
⎛3⎞
= tan −1 ⎜ ⎟ = 37 o
⎝4⎠
Besar vektor R = R x 2 + R y 2 = 3 2 + 4 2 = 5 satuan
3/8/2007
Fisika I
11
Keep running
PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS
Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi +
yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j.
Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :
R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j
yA + y B
yB
yA
(1.3)
B
A
+
B
B
A
xB xA
A
xA + x B
3/8/2007
Fisika I
12
Keep running
CONTOH
Diketahui dua buah vektor.
A = 3i + 2j
B = 2i − 4j
Tentukan :
-B
a. A + B dan ⏐A + B⏐
A−B
b. A − B dan ⏐A − B⏐
A
Jawab :
a. A + B = 3i + 2j + 2i − 4j
B
A+
= 5i − 2j
B
⏐A + B⏐ = 5 2 + ( −2) 2 = 29
b. A − B = 3i + 2j − (2i − 4j) = i + 6j
⏐A − B⏐ = 12 + 6 2 = 37
3/8/2007
Fisika I
13
Keep running
SOAL
1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan
arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan
vektor satuannya!
2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan :
a. Vektor perpindahan benda tersebut
b. Jarak perpindahan
c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh
vektor satuannya
3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga
berlaku cA = 10 satuan !
4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan :
a. A + B - C
b. ⏐A + B + C⏐
3/8/2007
Fisika I
14
Keep running
SOLUSI
1.
R = Rxi + Ryj
Diketahui :
Rx = R cos θ = 4 cos 60o = 2 3 satuan
Ry = R sin θ = 4 sin 60o = 2 satuan
Dengan demikian R = 2i + 2 3 j satuan
Vektor satuan :
r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ 3 j
Y
R
θ
3/8/2007
60o
X
Fisika I
15
Keep running
SOLUSI
Y
2.
2
R
1
X
5
a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan
titik akhir (x2,y2) = (5,0).
Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j.
2
2
2
2
R
+
R
b. R =
x
y = 4 +2 =2 5 m
R
2 5
5
=
i−
j
c. r =
R
5
5
3/8/2007
Fisika I
16
Keep running
SOLUSI
2
2
3. Besar vektor A = 3 + 4 = 5 satuan
Dengan demikian nilai c = 2 satuan
4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j
b. ⏐A + B + C⏐ = ⏐2i + 4j - 7i + 8j⏐ = ⏐-5i + 12j⏐
⏐-5i + 12j⏐ = 5 2 + 122 = 13 satuan
3/8/2007
Fisika I
17
Keep running
PERKALIAN SKALAR
Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua
buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :
A . B = AB cos θ
(1.4)
Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k,
maka :
A . B = axbx + ayby + azbz
(1.5)
Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial,
fluks magnet, dan lain-lain.
A
θ
3/8/2007
Fisika I
B
18
Keep running
PERKALIAN SKALAR
Perhatikan animasi di
samping ini !
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :
i.i=j.j=k.k=1
i.j=j.k=k.i=0
3/8/2007
Fisika I
19
Keep running
CONTOH
Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i − 2j. Tentukan
sudut antara vektor A dan B !
Jawab :
Untuk menentukan sudut antara
vektor A dan B dapat menggunakan
persamaan (1.4).
A
A .B
cos θ =
AB
θ
A . B = (3i + 4j) . (4i − 2j) = 3.4 +
AB
4.(-2) = 4
B
2
2
Besar vektor A = 3 + 4 = 5
2
2
Besar vektor B = 4 + ( −2) = 20
A .B
2
cos θ =
=
AB
125
3/8/2007
Dengan demikian θ = 79,7o
Fisika I
20
Keep running
PERKALIAN VEKTOR
Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor
menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :
A×B=C
(1.6)
Besar vektor C adalah :
C = AB sin θ
(1.7)
Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk
oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C
dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A
× B tidak sama dengan B × A. Walaupun besar vektor hasil
perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.
B
C=A×B
θ
B
C = -C’
A
θ
C’ = B × A
A
3/8/2007
Fisika I
21
Keep running
PERKALIAN VEKTOR
Perhatikan animasi di
samping ini !
Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :
i×i=j×j=k×k=0
i × j = k ; j × k = i; k × i = j
j × i = -k ; k × j = -i; i × k = -j
3/8/2007
Fisika I
22
Keep running
PERKALIAN VEKTOR
Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah
vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan
perkalian dari dua vektor (misal A × B), maka empat jari
menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B.
Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.
Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :
3/8/2007
Fisika I
23
Keep running
CONTOH
Diketahui dua buah vektor.
A = 3i + 4j
B = 4i − 2j + k
Tentukan : a. A × B
b. Buktikan A × B = -B × A
Jawab :
a. A × B = (3i + 4j) × (4i − 2j + k) = 3.4(i×i) + 3.(-2)(i×j) + 3.1(i×k) +
4.4(j×i) + 4.(-2)(j×j) + 4.1(j×k) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0
+ 4i = 4i – 3j – 22k
b. B × A = (4i − 2j + k) × (3i + 4j) = 4.3(i×i) + 4.4(i×j) +(2).3(j×i) + (-2).4(j×j) + 1.3(k×i) + 1.3(k×j) = 12.0 + 16k – 6(k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A × B
terbukti
3/8/2007
Fisika I
24
Keep running
SOAL
1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan
vektor B = 3 i – 4 k !
2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap
arah vektor B = i + 3 j – 4 k !
3. Diberikan tiga buah vektor :
A=1i+2j–k
B=4i+2j+3k
C=2j–3k
Tentukan :
a. A . (B × C)
b. A . (B + C)
c. A × (B + C)
4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah
tegak lurus !
3/8/2007
Fisika I
25
Keep running
SOLUSI
1.
Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar
vektor A :
A = 12 + 22 + ( −1)2 = 6
Besar vektor B : B = 32 + (−4)2 = 5
A .B
7
=
Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : cos θ =
AB 5 6
o
Dengan demikian θ = 55,1
A
2.
θ
AB
B
Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang
besarnya :
A.B 4.1 + 2.3 + ( −1).( −4)
14
=
=
A B = A cos θ =
2
2
2
B
26
1 + 3 + ( −4)
3/8/2007
Fisika I
26
Keep running
SOLUSI
3. a.
b.
c.
4.
B × C = (4i + 2j + 3k) × (2j – 3k) = 8(i × j) – 12(i × k) – 6(j ×
k) + 6(k × j) = 8k + 12j − 12i
A . (B × C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4
B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12
A × (B + C) = (i + 2j – k) × (4i + 4j) = i – 4j – 4k
Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o.
Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh :
R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0
R . S = RxSx + RySy + RzSz
Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka :
R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0
3/8/2007
Fisika I
27
Keep running
BESARAN FISIS
Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi
matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.
S = f(x1, x2, . . . , xn)
(1.8)
S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan
variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya
interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar
muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12,
dan medium di mana kedua partikel tersebut berada.
Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan
fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan
materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu
variabel saja.
3/8/2007
Fisika I
28
Keep running
BESARAN FISIS
Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya
ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.
Dari grafik di samping
diketahui y1 = f(x1), y2 =
f(x2), y3 = f(x3), dan y4 =
y1.
y
y1
y2
y3
x1 x2
x3
x4
x
Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat
digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.
3/8/2007
Fisika I
29
Keep running
BESARAN FISIS
Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi
waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu.
50
t (detik)
x (meter)
0
9
1
4
2
1
30
3
0
25
4
1
20
5
4
15
6
9
10
7
16
8
25
9
36
45
40
x(t)
35
x(t) = (t – 3)2
5
0
3/8/2007
0
1
2
3
4
5
t
6
7
8
Fisika I
9
10
30
Keep running
BESARAN FISIS
E(r)
9
r (m)
E (N/C)
8
1
9
7
2
2,25
6
3
1
4
0,5625
5
0,36
6
0,25
7
0.1837
8
0,1406
9
0,1111
10
0,09
5
4
E=k
3
q
r2
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
r
Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.
3/8/2007
Fisika I
31
Keep running
CONTOH
1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya
pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta
pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi
jarak x !
F
=k
x
F
x
3/8/2007
Fisika I
32
Keep running
CONTOH
2.
Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber
tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh
fungsi :
Q(t) = q(1 – e-At)
dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q
terhadap t !
Q
Q = q(1 – e-At)
q
t
3/8/2007
Fisika I
33
Keep running
DIFERENSIAL
Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan
garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak
jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM.
Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan
besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi
terhadap waktu.
Lihat gambar di samping.
Gradien dari garis singgung
pada titik P dapat ditentukan
oleh persamaan :
f(x)
f(c+h)
f(c)
P
c
3/8/2007
s
Garis
m = lim
ng
inggu
h→ 0
f ( c + h ) − f ( c ) (1.9)
h
x
c+h
Fisika I
34
Keep running
DIFERENSIAL
Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :
f ( x' ) − f ( x )
∆f ( x )
m = lim
= lim
(1.10)
x → x'
x → x' ∆x
x '− x
Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan
oleh :
dy
f’(x)
Dxy
dx
Berlaku untuk turunan :
1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x)
c : konstanta
(1.11a)
2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x)
(1.11b)
3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x))
(1.11c)
4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x)
(1.11d)
5. Dx(xn) = nXn-1
(1.11e)
3/8/2007
Fisika I
35
Keep running
DIFERENSIAL
Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai
perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan
dalam bentuk :
dB
A=
dC
Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan
fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :
dx
Jarak
v=
Kecepa tan =
dt
waktu
Usaha
waktu
P=
Mua tan
Arus =
waktu
I=
Daya =
3/8/2007
Fisika I
dW
dt
dq
dt
36
Keep running
CONTOH
Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan
DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :
Q(t) = q(1 – e-At)
dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan :
a. Fungsi arus sebagai waktu
b. Besar arus saat t = 0
c. Gambarkan grafik I(t)
Jawab :
a. Besar arus I :
dQ d
=
q(1 − e − At ) = qAe − At qA
I=
dt dt
b. Pada saat t = 0 harga I adalah :
(
)
I(t)
c.
I = qAe-A.0 = qA
t
3/8/2007
Fisika I
37
Keep running
INTEGRAL
Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva
fungsi f(x) dan sumbu x.
55
50
45
40
35
y
30
Sebagai contoh diketahui y
= f(x) = (x – 3)2 + 5 dan
luas yang ditentukan pada
batas dari x = 1 sampai
dengan x = 8.
25
20
15
∆x
10
5
0
0
3/8/2007
1
x0
2
x1
3
x2
4
x3
5
xx4
6
x5
7
x6
8
x7
Fisika I
9
10
38
Keep running
INTEGRAL
Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :
A(n = 7) = f(1)∆x + f(2)∆x + f(3)∆x + f(4)∆x + f(5)∆x + f(6)∆x +
f(7)∆x
7
A(n = 7) = ∑ f ( x i )∆x
i=0
Nilai ∆x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi
dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70
satuan persegi.
Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya.
Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.
n
8
i=0
1
A = lim A(n) = lim ∑ f ( x i )∆x = ∫ f ( x )dx
n→∞
3/8/2007
n→∞
Fisika I
39
Keep running
INTEGRAL
Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang
merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat
masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama
lain.
Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T,
maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :
R = ∫ S dT
Sebagai contoh :
Usaha = Gaya × jarak
W = ∫ F ds
Fluks = Medan × luas
Φ = ∫ E dA
3/8/2007
Fisika I
40
Keep running
CONTOH
Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya
pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta
pegas dan x adalah jarak. Tentukan :
a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas
b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu
Jawab :
a. Usaha yang dilakukan : W = ∫ F dx = ∫ kx dx = 21 kx 2
b.
W
2
W
kx
½
=
x
3/8/2007
Fisika I
41
Keep running
SOAL
1. Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh
persamaan F(x) = Ax − Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan
B = 5.103 N/m2. Tentukan :
a. Grafik F terhadap x
b. Perubahan Gaya F terhadap jarak
c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm
2. Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak.
Tentukan :
V (volt)
a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x
8
b. Jika diketahui medan listrik E adalah
turunan pertama dari potensial listrik
4
V, tentukan fungsi E(x)
c. Gambarkan grafik E terhadap x
10
3/8/2007
x (m)
Fisika I
42
Keep running
SOAL
3.
Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s
bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan :
a. Gambarkan grafik v(t)
b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik
c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)
d. Gambarkan grafik a(t)
e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu
f. Posisi saat kecepatan v = 0
3/8/2007
Fisika I
43
Keep running
SOLUSI
1. a.
F (N)
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1. b.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x (cm)
Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh
dF
= A – 2Bx = 103 – 104x
dx
3/8/2007
Fisika I
44
Keep running
SOLUSI
1. c. Usaha yang dilakukan :
W = ∫ F dx =
W=
2. a.
9.10 −2
− Bx )dx = (A 21 x − B 31 x
∫ (−Ax
2
3.10
36.10-4A –
2
2
3
)
9.10 − 2
3.10 − 2
234.10-6B = 2,43 Joule
V (volt)
Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi
linier yang menghubungkan titik (0,4)
dan titik (10,8). Dengan menggunakan
persamaan garis V = ax + b.
8
4
Untuk titik (0,4)
10
x (m) Untuk
titik (10,8)
0.a + b = 4
10.a + b = 8
Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5.
Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4
3/8/2007
Fisika I
45
Keep running
SOLUSI
dV( x )
= 2,5
2. b. Medan listrik E(x) =
dx
Dengan demikian nilai E(x) konstan.
E (V/m)
2. c.
2,5
v (m/s)
20
x (m)
15
3. a.
10
5
0
-5
-1 0
-1 5
-2 0
3/8/2007
x (m)
0
1
2
3
4
5
6
7
Fisika I
8
9
10
46
Keep running
SOLUSI
3. b. Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s.
Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32
= 12 m/s.
dv( t )
3. c. Percepatan a(t) =
= 10 – 4t
dt
a (m/s2)
3. d.
10
5
0
-5
-10
-15
-20
3/8/2007
0
1
2
3
4
5
6
7
Fisika I
8
9
10
x (m)
47
Keep running
SOLUSI
3. e.
Fungsi posisi x(t) = ∫ v( t ) dt = ∫ 10t − 2t 2 dt = 5t 2 − 32 t 3
3. f.
Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada
saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik
posisi x di :
125
= 41 32
3
Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x =
41,67 m
x(5) = 5.5 2 − 32 5 3 =
3/8/2007
Fisika I
48