611.12.029 Kalkulus Multivariabel I

Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit dan Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA
Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Limit Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Limit Fungsi Dua Peubah
Limit Fungsi Dua Peubah
Pembahasan pada limit untuk fungsi dua peubah adalah
memberikan pengertian mengenai
lim
f (x, y ) = L
(x,y )→(a,b)
Masalahnya adalah (x, y ) dapat mendekati (a, b) dengan tak
terhingga banyak cara
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Limit Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Limit Fungsi Dua Peubah
Definisi
Diketahui fungsi bernilai real f dengan daerah definisi himpunan
terbuka di R2 dan (a, b) ∈ D,
lim
f (x, y ) = L
(x,y )→(a,b)
Jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 yang
bersesuaian, sedemikian rupa sehingga |f (x, y ) − L| < ε, asalkan
0 < |(x, y ) − (a, b)| < δ.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Limit Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Limit Fungsi Dua Peubah
Untuk menginterpretasikan |(x, y ) − (a, b)|, perlakukan (x, y ) dan
(a, b) sebagai vektor, maka
q
|(x, y ) − (a, b)| = (x − a)2 + (y − b)2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Limit Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Limit Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Limit Fungsi Dua Peubah
Beberapa sifat yang dimodifikasi berdasarkan sifat limit pada
fungsi satu peubah:
Teorema
Jika lim(x,y )→(x0 ,y0 ) f (x, y ) = L1 dan lim(x,y )→(x0 ,y0 ) g (x, y ) = L2
maka
1
lim(x,y )→(x0 ,y0 ) [f (x, y ) + g (x, y )] = L1 + L2
2
lim(x,y )→(x0 ,y0 ) [f (x, y ) − g (x, y )] = L1 − L2
3
lim(x,y )→(x0 ,y0 ) [f (x, y ).g (x, y )] = L1 .L2
4
lim(x,y )→(x0 ,y0 ) k.g (x, y ) = k.L2
5
lim(x,y )→(x0 ,y0 )
f (x, y )
L1
=
untuk g (x, y ) 6= 0
g (x, y )
L2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Limit Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Limit Fungsi Dua Peubah
Contoh:
Jika fungsi f didefinisikan sebagai
f (x, y ) =
x2 − y2
x2 + y2
maka fungsi tersebut tidak mempunyai limit di titik asal.
Bukti:
Titik (0, 0) dapat didekati melalui tak hingga banyak cara. Untuk
itu akan dilihat ketika (x, y ) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu x,
sumbu y , dan garis y = mx.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Limit Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Limit Fungsi Dua Peubah
(x, y ) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu x (y = 0)
lim
f (x, 0) =
(x,0)→(0,0)
x2 − 0
= +1
(x,0)→(0,0) x 2 + 0
lim
(x, y ) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu y (x = 0)
lim
f (0, y ) =
(0,y )→(0,0)
Karena
lim
0 − y2
= −1
(0,y )→(0,0) 0 + y 2
lim
f (x, y ) dari dua arah memberikan hasil yang
(x,y )→(0,0)
berbeda, maka dapat disimpulkan bahwa limit f tidak ada untuk
(x, y ) → (0, 0).
Catatan:
Pendekatan dengan garis y = mx tidak perlu dilakukan karena
hasil dari dua pendekatan yang lain sudah berbeda.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Jika f (x, y ) =
xy
,
((x 2 +y 2 ))2
maka
Limit Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Limit Fungsi Dua Peubah
lim
f (x, y ) tidak ada.
(x,y )→(0,0)
Solusi:
(x, y ) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu x (y = 0)
lim
f (x, 0) =
(x,y )→(0,0)
0
=0
(x,y )→(0,0) x 4
lim
(x, y ) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu y (x = 0)
lim
f (0, y ) =
(x,y )→(0,0)
0
=0
(x,y )→(0,0) y 4
lim
Karena limit f melalui sepanjang sumbu x dan sumbu y
memberikan hasil yang sama, maka akan dicek dengan melakukan
pendekatan terhadap garis y = x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Limit Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Limit Fungsi Dua Peubah
Pendekatan terhadap garis y = x,
lim
(x,y )→(0,0) (x 2
Jadi,
xy
lim
2
2 2
(x,y )→(0,0) ((x +y ))
x2
x2
=
lim
= +∞
2
2
+x )
(x,y )→(0,0) 4x 4
tidak ada.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Tentukan
lim
Limit Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Limit Fungsi Dua Peubah
(3x 2 y − xy 3 ).
(x,y )→(1,3)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Tentukan
lim
Limit Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Limit Fungsi Dua Peubah
(3x 2 y − xy 3 ).
(x,y )→(1,3)
Solusi:
lim
(3x 2 y − xy 3 ) =
(x,y )→(1,3)
lim
(3(1)2 (3) − (1)(33 )
(x,y )→(1,3)
=
lim
(9 − 27) = −18
(x,y )→(1,3)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Definisi
Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada daerah D ⊂ R 2
dan (a, b) ∈ D, maka f dikatakan kontinu di (a, b) jika
lim
f (x, y ) = f (a, b)
(x,y )→(a,b)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu
Fungsi f dikatakan kontinu pada D jika f kontinu di setiap titik di
D. Jadi untuk menunjukkan f kontinu di titik (a, b) harus
ditunjukkan ketiga syarat berikut dipenuhi.
i. f (a, b) ada
ii. lim(x,y )→(a,b) f (x, y ) ada
iii. lim(x,y )→(a,b) f (x, y ) = f (a, b)
Jika salah satu syarat di atas tidak dipenuhi, maka f tidak kontinu
di (a, b).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu
Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu
Jika f dan g keduanya kontinu di (a, b) maka
1. f + g kontinu di (a, b)
2. f − g kontinu di (a, b)
3. fg kontinu di (a, b)
4.
f
g
kontinu di (a, b) asalkan g (a, b) 6= 0.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu
Contoh:
Tentukan apakah f kontinu di (0, 0)
 2
 x y
jika (x, y ) 6= (0, 0)
f (x, y ) = x 2 + y 2

0
jika (x, y ) = (0, 0)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu
Penyelesaian:
Dengan menggunakan kriteria kekontinuan fungsi:
(i) f (0, 0) = 0 (ada)
(ii) Diselidiki apakah limit f (x, y ) ada untuk (x, y ) → (0, 0)
Jika (x, y ) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu x, jadi
y = 0, maka
lim
x2 · 0
(x,y )→(0,0) x 2 + 02
0
=
lim
=0
(x,y )→(0,0) x 2
f (x, 0) =
(x,y )→(0,0)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
lim
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu
Jika (x, y ) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu y , jadi
x = 0, maka
lim
0.y 2
(x,y )→(0,0) 02 + y 2
0
=
lim
=0
(x,y )→(0,0) y 2
f (0, y ) =
(x,y )→(0,0)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
lim
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu
Jika (x, y ) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) y = x, maka
lim
f (x, y ) =
x 2y
(x,y )→(0,0) x 2 + y 2
=
x 2x
(x,y )→(0,0) x 2 + x 2
=
x3
x
= lim
=0
(x,y )→(0,0) 2x 2
(x)→(0) 2
(x,y )→(0,0)
lim
lim
lim
Dapat disimpulkan bahwa lim(x,y )→(0,0)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
x 2y
=0
+ y2
x2
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu
x 2y
= 0 = f (0, 0)
x2 + y2
Jadi f kontinu di (0, 0).
(iii) lim(x,y )→(0,0)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Latihan
Latihan
1. Tentukan limit-limit berikut jika ada
a.
(xy 3 − xy + 3y 2 )
lim
(x,y )→(−2,1)
b.
x cos 2 (xy ) − sin
lim
(x,y )→(2,π)
c.
lim
(x,y )→(−1,2)
d.
e.
xy
3
√ xy2
x +y 2
x 2 +3xy +2y 2
lim
x+2y
(x,y )→(−2,1)
2
sin (x +y 2 )
lim
x 2 +y 2
(x,y )→(0,0)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
2. Diberikan f (x, y ) =
Latihan
x 2 + 2y
x 4 − 4y 4
dan g (x, y ) = 2
2
x − 2y
x + 2y 2
Tunjukkan bahwa:
a. limit f (x, y ) untuk (x, y ) → (2, 2) tidak ada.
b. limit g (x, y ) untuk (x, y ) → (0, 0) sama dengan nol.
c. limit g (0, 0) = 0 apakah g (x, y ) kontinu di (0, 0).
3. Misalkan f (x, y ) =
x 2y
x 4 +y 2
a. Tunjukkan bahwa f (x, y ) → 0 ketika (x, y ) → (0, 0) di
sepanjang garis lurus sebarang y = mx
b. Tunjukkan bahwa f (x, y ) → 21 ketika (x, y ) → (0, 0) di
sepanjang parabola y = x 2
c. Kesimpulan apa yang dapat ditarik?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Limit Fungsi Dua Peubah
Kekontinuan Fungsi Dua Peubah
Latihan
Latihan
4. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut :

 2x − y
jika (x, y ) 6= (0, 0)
x +y
f (x, y ) =

0
jika (x, y ) = (0, 0)
5. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut:
 xy

jika (x, y ) 6= (0, 0)
f (x, y ) = x 2 + y 2
1
jika (x, y ) = (0, 0)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I