Binomial Newton

Binomial Newton
n
Pada saat SMP, siswa telah diajarkan menjabarkan bentuk (a + b) yang untuk nilai n = 2 dapat
dilakukan dengan perkalian langsung sedangkan untuk n yang besar dapat dilakukan dengan
menggunakan segitiga pascal untuk mendapatkan koefisien-koefisien penjabaran.
Untuk n = 1
1 1
Untuk n = 2
1 2 1
Untuk n = 3
1 3 3 1
Untuk n = 4
1 4 6 4 1
Untuk n = 5
1 5 10 10 5 1
Bilangan yang di bawah merupakan penjumlahan dua bilangan di atasnya. Dari segitiga pascal
tersebut akan didapat
5
5
o
4
1
3
2
2
3
1
4
(a − 2b) = (1)(a) (−2b) + (5)(a) (−2b) + (10)(a) (−2b) + (10)(a) (−2b) + (5)(a) (−2b) +
0
5
(1)(a) (−2b)
5
5
4
3 2
2 3
4
5
(a − 2b) = a − 10a b + 40a b − 80a b + 80ab −32b
Cara lain adalah dengan menggunakan rumus kombinasi.
n
Jika (a + b) kita jabarkan akan didapat rumus sebagai berikut :
n
n
0
n-1
1
n-2
2
1
n-1
0
n
(a + b) = nCo(a) (b) + nC1(a) (b) + nC2(a) (b) + ⋅⋅⋅ + nCn-1(a) (b) + nCn(a) (b)
atau dapat juga ditulis
n
0
n
1
n-1
(a + b) = nCo(a) (b) + nC1(a) (b)
Contoh :
5
Jabarkan (2m + n) .
Solusi :
5
5
0
(2m + n) = 5Co(2m) (n) +
0
5C5(2m)
2
+ nC2(a) (b)
4
1
5C1(2m) (n)
n-2
+
n-1
1
n
0
+ ⋅⋅⋅ + nCn-1(a) (b) + nCn(a) (b)
3
2
5C2(2m) (n)
+
5C3(2m)
2
3
(n) +
1
4
5C4(2m) (n)
+
5
(n)
5
5
4
3
2
2
3
4
5
(2m + n) = (1)(32m )(1) + (5)(16m )(n) + (10)(8m )(n ) + (10)(4m )(n ) + (5)(2m)(n ) + (1)(1)(n )
5
5
4
3 2
2 3
4
5
(2m + n) = 32m + 80m n + 80m n + 40m n + 10mn + n
Contoh :
3
Jabarkan bentuk (2x − 3y)
Solusi :
3
3
0
2
1
1
2
0
3
(2x − 3y) = 3Co(2x) (−3y) + 3C1(2x) (−3y) + 3C2(2x) (−3y) + 3C3(2x) (−3y)
3
2
2
3
(2x − 3y) = (1)(8x )(1) + (3)(4x )(−3y) + (3)(2x)(9y ) + (1)(1)(−27y )
3
3
2
2
3
(2x − 3y) = 8x − 36x y + 54xy − 27y
Persoalan timbul adalah bila variabel yang akan dijabarkan tidak terdiri dari hanya 2 variabel.
Sebenarnya hal ini tidak terlalu sulit sebab dengan menggunakan pemisalan maka dari
n
beberapa variabel dapat diubah menjadi 2 variabel saja. Misalkan penjabaran (x + y + z) dapat
n
diubah menjadi (A + B) dengan pemisalan A = x dan B = y + z.
Contoh:
3
Jabarkan bentuk (a + b + c) .
Solusi :
Karena persoalannya terdiri dari 3 variabel maka dapat kita pecah seolah-olah menjadi 2
variabel yaitu a dan b + c.
3
3
0
2
1
1
2
0
3
(a + b + c) = 3Co(a) (b + c) + 3C1(a) (b + c) + 3C2(a) (b + c) + 3C3(a) (b + c)
Dengan menggunakan penjabaran binom sebelumnya dapat diketahui bahwa :
2
2
2
(b + c) = b + 2bc + c
3
3
2
2
3
(b + c) = b + 3b c + 3bc + c
Sehingga didapat :
3
3
2
2
2
3
(a + b + c) = a + 3a ( b + c) + 3a(b + 2bc + c ) + (b + c)
3
3
2
2
2
2
3
2
2
3
(a + b + c) = a + 3a b + 3a c + 3ab + 6abc + 3ac + b + 3b c + 3bc + c
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
(a + b + c) = a + b + c + 3a b + 3a c + 3ab + 3ac + 3b c + 3bc + 6abc
Persoalan berikutnya adalah bagaimana caranya dapat diketahui koefisien dari suatu variabel
tertentu tanpa harus menjabarkan semua suku-sukunya.
Contoh :
6 5
11
Tentukan koefisien x y dari penjabaran (2x − 5y) .
Solusi :
6 5
Karena yang diminta hanya koefisien x y maka kita hanya berkonsentrasi pada penjabaran
6
5
bentuk (2x) (5y) saja.
11
6
5
(2x − 5y) = ⋅⋅⋅ + 11C5 (2x) (−5y) + ⋅⋅⋅
11
6
5
(2x − 5y) = ⋅⋅⋅ + (462)(64x )(−3125y ) + ⋅⋅⋅
11
6 5
(2x − 5y) = ⋅⋅⋅ − 92400000 x y + ⋅⋅⋅
6 5
11
Maka koefisien x y dari penjabaran (2x − 5y) adalah −92400000.
Contoh :
10
Apakah koefisien
x6
1

pada penjabaran  x  
x

?
Solusi :
10
1

Jika  x   dijabarkan akan didapat :
x

10
r
1
1

10  r 
 x    ... 10 Cr ( x)     ...
x

 x
10
1
2r

10  r
 x    ... 10 Cr (1)  x   ...
x

Karena yang ditanyakan adalah koefisien x6 maka harus dipenuhi 10 – 2r = 6 sehingga r = 2.
Untuk r = 2 didapat :
10
1
6

10  r
6
 x    ... 10 Cr (1)  x   ...  ...  45 x  ...
x

10
1

Maka koefisien pada penjabaran  x   adalah 45.
x

Selain digunakan dalam penjabaran suku-suku dari suatu binom, metode yang digunakan dalam
segitiga pascal juga dapat diterapkan pada suatu persoalan menarik.
x6
Contoh:
Tentukan banyaknya cara menyusun kata SUKA dari atas ke bawah pada susunan berikut jika
huruf-huruf yang diambil harus berdekatan.
S
UU
KKK
AAAA
Solusi :
Jika dituliskan sebagaimana metode pascal didapat
1
11
12 1
1331
Angka-angka di atas menyatakan banyaknya cara untuk sampai pada angka tersebut.
Dari angka-angka tersebut didapat banyaknya cara untuk menyusun kata SUKA = 1 + 3 + 3 + 1
= 8.
Contoh :
Ada berapa banyak cara menyusun kata MATHEMATICS dimulai dari atas ke bawah jika hurufhuruf yang diambil harus berdekatan.
M
AA
TTT
HHHH
EEEEE
MMMMMM
AAAAA
TTTT
III
CC
S
Solusi :
Kita ubah huruf-huruf tersebut dengan angka-angka sebagai berikut.
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
6 15 20 15 6
21 35 35 21
56 70 56
126 126
252
Maka banyaknya cara menyusun kata MATHEMATICS adalah 252.
1. Buktikan bahwa nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr.
6
2. Jabarkan bentuk (3x − y) .
10
6 4
3. Nur Fajri berhasil menjabarkan bentuk (2x + 3y) . Apakah koefisien x y yang didapatnya ?
8
2 

4. (OSP 2010) Suku konstan dari  x 5  2  adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
x 

2
4
5. Tentukan koefisien ab c pada penjabaran (a + 3b − c) .
3 2 4
9
6. Tentukan koefisien x y z pada penjabaran (x + y − 2z) .
5
6
7. Berapakah perbandingan koefisien suku x dengan koefisien suku x pada penjabaran (2x +
20
3) ?
7
7
6
5
8. Jika (3x − 1) dijabarkan dalam suku-sukunya akan berbentuk a7x + a6x + a5x + ⋅⋅⋅ + a1x +
ao. Berapakah nilai a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 ?
n
9. Tentukan nilai n dalam penjabaran (1 + x) dengan n > 1, jika diketahui
2
3
a. koefisien suku x sama dengan koefisien suku x .
3
5
b. koefisien suku x sama dengan lima kali koefisien suku x .
10. Berapakah penjumlahan semua koefisien suku-suku pada penjabaran :
6
a. (x + y)
8
b. (a − 2b)
11. Tentukan nilai dari nC0 + nC1 + nC2 + ⋅⋅⋅ + nCn.
 2009   2009 
 2009 
12. (OSK 2009) Nilai eksak dari 

  ...  
 adalah ....
 1   2 
 1004 
4
2 10
13. (OSK 2011 Tipe 3) Koefisien x dari penjabaran (1 + 2x + 3x ) adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
83
83
14. (AIME 1983) Tentukan sisanya jika 6 + 8 dibagi 49.
2
3
15
16
17
15. (AIME 1986) Suku banyak 1 − x + x − x + ⋅⋅⋅ − x + x − x dapat ditulis sebagai suku
2
banyak dalam variabel y dengan y = x + 1. Koefisien dari y adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
16. (AIME 2001) Tentukan penjumlahan semua akar-akar persamaan polinomial
2001
2001
x
+ (21 − x)
= 0.