Olimpiade Matematika untuk Mahasiswa 2008

Olimpiade Matematika untuk Mahasiswa 2008
Aljabar Linier
12 Mei 2008
Waktu: 75 menit
Petunjuk pengerjaan:
1. Tes ini terdiri dari dua bagian. Bagian Pertama terdiri dari 8 soal, sedangkan Bagian
Kedua terdiri dari 2 soal.
2. Untuk soal-soal Bagian Pertama, tuliskan hanya jawaban akhir saja pada kotak
yang disediakan. Jawaban yang dikehendaki adalah jawaban benar yang terbaik.
3. Untuk soal-soal Bagian Kedua, tuliskan jawaban Anda lengkap dengan argumentasi
dan penjelasan.
4. Setiap soal pada Bagian Pertama bernilai 2 angka, sedangkan setiap soal pada
Bagian Kedua bernilai 8 angka.
5. Waktu tes adalah waktu total untuk kedua bagian. Selama waktu itu, Anda boleh
menyelesaikan soal yang mana pun sesuka Anda.
6. Gunakan pena atau pulpen. Pensil hanya boleh digunakan untuk gambar atau
sketsa.
7. Jika tempat yang tersedia tidak mencukupi, gunakan halaman di belakangnya.
8. Bekerjalah dengan cepat, tetapi cermat dan teliti. Anda sama sekali tidak diperkenankan menggunakan penghapus cair.
9. Di akhir tes, kumpulkan berkas soal ini secara utuh.
Definisi dan notasi:
F : lapangan (field) sembarang
Mn (F ): ruang vektor matriks berukuran n × n yang setiap komponennya adalah unsur F
I: matriks identitas
Misalkan U, V ruang vektor dan T : U −→ V linier.
Peta(T ): himpunan {T (x) ∈ V | x ∈ U }
Inti(T ): himpunan {x ∈ U | T (x) = 0}
ν(T ): nolitas pemetaan linier T , yaitu dim Inti(T )
AljLin2008.tex
Nama:
Univ./PT:
BAGIAN PERTAMA
1. Pemetaan linier T : R2 −→ R2 didefinisikan melalui T (α, β) =
(3α − β, α + 3β), untuk setiap (α, β) ∈ R2 . Terhadap basis
B = {(1, 1), (1, −1)} bagi R2 , matriks penyajian (representasi)
T adalah . . .
2. Matriks tak singular X ∈ Mn (F ) dikatakan ortogonal jika ke-n
baris X membentuk sebuah himpunan ortonormal. Jika A ortogonal, maka haruslah det(A) = . . .
3. Untuk matriks X = [xij ] ∈ Mn (F ), definisikan tr(X) =
n
X
xii .
i=1
Jika A, B ∈ Mn (F ), maka tr(AB − BA) = . . .
4. Jika E ∈ Mn (F ) memenuhi E 2 = E, balikan (invers) dari matriks
I + E adalah . . .
5. Misalkan U, V, W tiga ruang vektor atas lapangan F , dengan
dim(U ) = 2008 dan dim(V ) = 8002. Misalkan T : V −→ W
dan S : W −→ U pemetaan-pemetaan linier yang memenuhi T
satu-satu, S pada dan Peta(T ) = Ker(S). Maka dim(W ) = . . .
#
1 c
mempunyai nilai karakteristik (eigen) real
6. Agar matriks
−1 3
dan tidak dapat didiagonalkan, maka haruslah nilai c = . . .
"
7. Nilai terbesar multiplisitas

2 x

teristik matriks real 0 2
0 0
geometri
dari sembarang nilai karak
0

1 adalah . . .
2
"
#
a b
8. Banyaknya matriks bilangan bulat A =
yang memenuhi
0 c
A2 + A = 2I dan det(A) = 4 adalah . . .
Nama:
Univ./PT:
BAGIAN KEDUA
1. Misalkan V ruang vektor atas F berdimensi 2m−1 untuk suatu bilangan asli m ≥ 2.
Jika M dan N dua subruang dari V dengan dim(M ) = dim(N ) = m, tunjukkan
bahwa M ∩ N 6= {0}.
Nama:
Univ./PT:
2. Misalkan A = [aij ] ∈ M4 (R) memenuhi aij > 0 jika j ≡ i + 1 mod 4 dan aij =
0 jika j 6≡ i + 1 mod 4.
3
(a) Tunjukkan bahwa semua komponen I + A positif.
3
(b) Apakah ada matriks A yang memenuhi semua syarat di atas sehingga I + A
singular?