Penggunaan Metode Homotopi Pade` Untuk Menyelesaikan

14
I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Makhluk hidup di bumi ini terdiri dari bermacam–macam spesies yang
berbentuk populasi dan hidup bersama. Makhluk hidup selalu bergantung kepada
makhluk hidup yang lain. Tiap individu akan selalu berinteraksi dengan individu
lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu–individu dalam satu populasi atau
individu–individu dari populasi lain. Ada beberapa jenis interaksi yang dapat
terjadi antar spesies. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi yaitu hubungan
antara mangsa (prey) dan pemangsa (predator). Interaksi ini sangat erat kaitannya
karena tanpa mangsa, predator tidak dapat bertahan hidup karena tidak ada
sumber makanan. Sebaliknya predator berfungsi sebagai pengontrol populasi
mangsa.
Fenomena tersebut dapat dijelaskan dalam suatu model matematika yaitu
model Lotka–Volterra. Model matematika tersebut umumnya dinyatakan dalam
bentuk sistem persamaan diferensial taklinear. Sistem persamaan diferensial
taklinear ini tidak dapat diselesaikan secara eksak, maka pada penelitian ini
digunakan penyelesaian numerik sebagai penyelesaian acuan atau penyelesaian
pembanding.
Beberapa
penelitian
difokuskan
pada
penemuan
metode
untuk
memperoleh penyelesaian dari masalah yang dimodelkan dalam persamaan
taklinear. Beberapa metode yang telah digunakan untuk menyelesaikan model
Lotka–Volterra antara lain metode dekomposisi Adomian (Biazar 2005), metode
iterasi variational (Rafei 2007a) dan metode homotopi pertubasi (Rafei 2007b).
Dalam penelitian ini akan digunakan metode homotopi Pade' (Liao 2004)
yang merupakan pengembangan dari metode homotopi yaitu suatu metode
pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Penyelesaian
masalah taklinear dengan menggunakan metode homotopi Pade' dilakukan dengan
menggunakan penyelesaian yang diperoleh dari metode homotopi. Dalam hal ini
bentuknya berupa fungsi rasional. Pada metode homotopi, penyelesaiannya
dimisalkan dalam bentuk deret yang umum.
15
Penelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian sebelumnya yang
dilakukan oleh Faghidian pada tahun 2011, yaitu penggunaan metode homotopi
Pade' untuk menyelesaikan model Lotka–Volterra. Dalam penelitian ini, model
yang digunakan yaitu model Lotka–Volterra logistik. Model Lotka–Volterra
logistik diselesaikan dengan metode homotopi Pade' dan metode homotopi, hasil
penyelesaian kedua metode tersebut kemudian dibandingkan dengan penyelesaian
numerik untuk memperoleh metode yang terbaik dalam menyelesaikan model
Lotka–Volterra logistik.
1.2
Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah
a.
Menggunakan metode homotopi dan metode homotopi Pade' untuk
menyelesaikan model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik.
b.
Membandingkan penyelesaian numerik dengan penyelesaian metode
homotopi dan metode homotopi Pade'.
1.3
Sistematika Penulisan
Penulisan dalam tesis ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan
pendahuluan yang berisi latar belakang, tujuan penelitian, dan sistematika
penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi metode homotopi, metode
homotopi Pade' dan perluasan dari kedua metode tersebut, model matematika
yang dikaji yaitu model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik, analisis
model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik, contoh masalah. Bab ketiga
berupa hasil dan pembahasan metode homotopi dan metode homotopi Pade' dalam
menyelesaikan model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra logistik. Dalam bab ini
juga dibahas studi kasus untuk model Lotka–Volterra dan Lotka–Volterra
logistik. Bab terakhir berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan dan beberapa
saran untuk kelanjutan dari penelitian ini.