pertemuan3

PERTEMUAN 3
OPERASI MATRIKS
Definisi Operasi Matriks
Operasi matriks adalah operasi aljabar terhadap dua atau lebih matriks yang meliputi:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Penjumlahan
Pengurangan (selisih)
Perkalian
Perkalian langsung (Cronecker)
Pembagian
Pangkat
Operasi baris elementer (OBE)
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Jenis matriks dapat dibedakan berdasarkan susunan elemen matriks dan berdasarkan
sifat dari operasi matriknya. Penjumlahan dan pengurangan (selisih) matriks harus
memperhatikan hal-hal berikut.
a. Matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ukuran atau dimensi
sama.
b. Matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
c. Matriks hasil penjumlahan atau pengurangan mempunyai ukuran yang sama
dengan matriks asal.
d. Penjumlahan matriks adalah menambahkan elemen pada posisi yang sama pada
matriks.
e. Pengurangan (selisih) matriks adalah mengurangi elemen pada posisi yang sama
pada matriks.
Jumlah dua matriks
dan
yang berukuran
dan
yang berukuran
:
untuk
Selisih dua matriks
untuk
:
Contoh:
1. Tentukan penjumlahan dan selisih dari matriks-matriks berikut:
Solusi:
2. Tentukan penjumlahan dan selisih dari matriks A dan B berikut.
Solusi:
3. Tentukan penjumlahan dari matriks-matriks berikut:
Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
a.
Sifat Komutatif
b.
c.
Sifat Asosiatif
d.
e.
2. Perkalian Skalar Matriks
Jika
adalah bilangan real (scalar), maka perkalian scalar dengan matriks
Atau
Contoh:2
1. Jika
dan k = 2 tentukan kA dan Ak.
Solusi:
2. Jika diketahui matriks A dan B berikut,
Tentukan 2A dan 2A – B
Solusi:
3. Jika diketahui matriks
tentukan matriks 5A.
Solusi:
Sifat Perkalian Skalar Matriks
Jika A, B, C adalah matriks m x n, k1 dan k2 adalah scalar maka:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3. Perkalian Matriks
Jika A matriks ukuran
dan
matriks ukuran
B:
untuk semua
AB = C
, maka perkalian matriks A dan
Di mana :
Perkalian matriks yaitu mengalikan elemen baris ke-i matriks A dengan elemen kolom
ke-j matriks B dan menjumlahkannya. Dimensi hasil perkalian matriks :
Dimensi matriks hasil perkalian
Jumlah kolom A = jumlah baris B
Contoh:
1. Jika diketahui
dan
tentukan AB.
Solusi:
2. Jika diketahui
Solusi:
dan
tentukan AB.
3. Jika diketahui
dan
tentukan AB.
Solusi:
4. Jika diketahui
dan
tentukan AB.
Solusi:
5. Jika diketahui
tentukan A2.
Solusi:
6. Jika diketahui matriks A dan B berikut, tentukan AB.
Solusi:
Perkalian matriks bersifat non-komutatif. Jadi perkalian AB tidak sama dengan BA
atau AB ≠ BA.
Contoh:
1. Jika diketahui matriks
dan
, tentukan AB dan BA.
Solusi:
Jadi
3.1. Perkalian Matriks Identitas
Matriks identitas atau matriks satuan adalah matriks bujur sangkar di mana elemen
pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen di luar diagonal utama bernilai 0. Matriks
identitas dinyatakan oleh
atau
di mana
adalah orde matriks.Perkalian suatu
matriks (A) dengan matriks identitas:
Contoh:
1. Jika diketahui matriks
Solusi:
dan
, tentukan
dan
.
3.2. Sifat Perkalian Matriks
Jika
adalah matriks ukuran
, matriks
dan
mempunyai ukuran yang
memungkinkan untuk operasi penjumlahan dan perkalian maka:
a.
Asosiatif
b.
Distributif kiri
c.
Distributif kanan
d.
r = scalar
e.
Asosiatif
3.3. Aplikasi Perkalian Matriks
1. Menghitung Jumlah Baris Elemen Matriks.
Perkalian matriks baris berelemen 1 dengan suatu matriks.
Perkalian matriks baris 1 dengan matriks A menghasilkan jumlah total baris matriks
A
2. Menghitung Jumlah Kolom Elemen Matriks.
Perkalian suatu matriks dengan matriks kolom berelemen .
Perkalian matriks A dengan matriks kolom 1 menghasilkan jumlah total kolom
matriks A.
3. Menghitung Perkalian Skalar (Dot/Inner Product) dua vector.
Perkalian matriks baris (vector baris) dengan matriks kolom (vektor kolom).
Perkalian matriks a dan b menghasilkan:
Merupakan jumlah perkalian elemen-elemen pada posisi yang sama dalam kedua
vektor.
4. Menghitung Perkalian Luar (Outer Product) Dua Vektor.
Perkalian matriks kolom (vektor kolom) dengan matriks baris (vektor baris).
Perkalian matriks b dan a menghasilkan:
Merupakan matriks hasil perkalian setiap pasangan elemen dari kedua matriks.
5. Menghitung Jumlah Kuadrat Elemen Matriks Baris.
Perkalian matriks baris (vektor baris) dengan transpose-nya:
Perkalian matriks A dan
menghasilkan:
Merupakan jumlah kuadrat dari elemen-elemen matriks baris.
6. Menghitung Jumlah Kuadrat Elemen Matriks Kolom.
Perkalian matriks kolom (vektor kolom) dengan transpose-nya:
Perkalian matriks
dan
menghasilkan:
Merupakan jumlah kuadrat dari elemen-elemen matriks kolom.
7. Mendeskripsikan Sistem Persamaan Simultan.
Jika ada system persamaan simultan seperti berikut:
System persamaan simultan tersebut dapat dinyatakan:
Di mana:
4. Perkalian Langsung (Kronecker)
Perkalian langsung (direct) matriks disebut juga perkalian Kronecker matriks (). Jika
matriks ukuran
dan
matriks ukuran
, maka perkalian langsung (direct
product atau Kronecker) AB adalah matriks ukuran
yang digambarkan
sebagai matriks partisi.
Contoh:
1. Jika
dan
tentukan
Solusi:
2. Jika
dan
tentukan
Solusi:
Pembagian Matriks
Pembagian matriks biasanya dilakukan pada matriks bujur sangkar. Jika A dan B
matriks ukuran
, maka pembagian matriks A dengan matriks B sebagai
berikut:
dan
Di mana
masing-masing adalah invers matriks A dan B.
matriks identitas
Contoh:
1. Jika
dan
tentukan
Solusi:
Atau
2. Jika
Atau
dan
tentukan
2.6 Pangkat Suatu Matriks
Jika
adalah suatu matriks bujur sangkar, maka pangkat (atau power) bilangan bulat
di mana
dari matriks A sebagai berikut:
Di mana
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar yang invertible (dapat dibalik) dan
mempunyai invers, maka pangkat bilangan bulat
di mana
dari matriks A
sebagai berikut:
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar dan
dan
bilangan bulat positif, maka
pangkat dari matriks A sebagai berikut:
Bentuk pangkat matriks sering digunakan untuk analisis-analisis fungsi nonlinier,
misalnya fungsi kuadrat. Bentuk matriks fungsi kuadrat
dari n variable:
dapat ditulis sebagai berikut.
Jika vektor
dan matriks
maka bentuk kuadrat matriks
tersebut menjadi:
Di mana,
Matriks
adalah transpose dari matriks .
yang berhubungan dengan bentuk matriks kuadrat
matriks simetris. Jika matriks
tidak simetris atau entri
dibentuk menjadi matriks simetris
selalu merupakan
, maka matriks
dapat
menggunakan persamaan berikut.
Untuk semua dan .
Sehingga
dan matriks
transformasi dari matriks
atau
yang tidak simetris. Jadi matriks
.
Contoh:
1. Jika diketahui matriks berikut
Tentukan dan buktikan:
a.
b.
c.
Solusi:
a.
merupakan matriks simetris hasil
sama dengan transpose
b.
Jadi
c.
Jadi
2. Jika diketahui fungsi kuadrat
seperti berikut.
Tentukan bentuk matriks dari fungsi .
Solusi:
3. Jika diketahui fungsi kuadrat
seperti berikut.
Tentukan bentuk matriks dari fungsi .
Solusi:
Karena matriks
Jadi fungsi
tidak simetris, matriks
ditransformasi ke matriks
dalam bentuk matriks simetris
4. Jika diketahui fungsi kuadrat
seperti berikut.
adalah sebagai berikut.
yang simetris.
Tentukan bentuk matriks dari fungsi .
Solusi:
Karena matriks
Jadi, fungsi
tidak simetris, matriks ditransformasi ke matriks
dalam bentuk matriks simetris
yang simetris.
adalah sebagai berikut.
2.7 Operasi Baris Elementer
Operasi baris elementer (OBE) adalah menukar suatu baris matriks dengan baris
matriks yang lainnya atau mengalikan suatu baris dengan bilangan (scalar) di mana
kemudian hasilnya ditambahkan ke baris lainnya pada matriks.
Notasi OBE:
= menukar baris ke- dengan baris ke= mengalikan baris ke- dengan
= ganti baris ke- dengan baru yang merupakan baris ke- ditambah baris keyang dikalikan dengan .
=
Operasi baris elementer digunakan pada operasi eleminasi Gauss atau eliminasi Gauss
Jordan.
Contoh:
1. Jika diketahui matriks
berturut-turut,
tentukan hasil OBE untuk
secara
Solusi:
2. Jika diketahui matriks
tentukan hasil OBE untuk
secara berturut-turut,
Solusi:
2.8 Soal untuk Latihan
1. Tentukan penjumlahan dari selisih dari matriks berikut
2. Jika diketahui
3. Jika
4. Jika
dan
dan
tentukan
dan
5. Jika diketahui fungsi kuadrat
tentukan
tentukan
seperti berikut.
Tentukan bentuk matriks dari fungsi .
.
.