pd linier orde 1 - Kalkulus 2 (Lanjut)

MODUL E – LEARNING
SEKSI -9
MATA KULIAH
: KALKULUS LANJUT
KODE MATA KULIAH : INF 221
DOSEN
: 5099 : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA
TUJUAN MATA KULIAH :
A.URAIAN DAN TUJUAN MATA KULIAH :
Mahasiswa mempelajari Fungsi dua Variabel,Diferensial Parsial,Ekstrim
Fungsi Dua Variabel tidak bersyarat dan bersyarat ( Lagrange Multiplier)
,Integral Lipat dua, Sistem Koordinat Polar, Penerapan Integral Lipat dua
pada Luas daerah, Momen inersia dan titik berat, Persamaan Diferensial
Biasa Orde satu dan Orde dua, Barisan dan Deret.
DAFTAR PUSTAKA:
1. Murray R. Spiqel JR, KALKULUS LANJUTAN, , Erlangga , Jakarta
1991
2. Frank Ayers JR, Persamaan Diferensial”, London Schoum Outline
Series ,Mc Graw Hill Book Co., 1994.
3. Purcel,E.J.,” Calculus With Analytic Geometry, Prentice – Hall , Inc.,
1994.
PENILAIAN : KOMPONEN :
- Kehadiran 10 %
- Tugas 15 %
- Ujian Tengah Semester 35 %
- Ujian AkhirSemester 40 %
TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM
Mahasiswa dapat memahami dan mengerti Persamaan Diferensial
Linier orde satu, PD Bernoulli, dan PD Eksak
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :
1. Mahasiswa dapat mengerti dan menjelaskan Persamaan Diferensial
Linier orde satu, PD Bernoulli, dan PD Eksak
MATERI :
 Persamaan Diferensial Linier orde satu,
 Persamaan Diferensial Bernoulli
 Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan Diferensial Linier orde satu
Bentuk Umum :
.
dy
+P( x) y = Q( x)
dx
Penyelesaian umum :
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
{ Q( x).e
dx  C}
Contoh-contoh:
1.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ x y = 3x.
dx
Jawab :
penyelesaian umum.
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
{ Q( x).e
dx  C}
 xdx
x ) dx
y  e   3x.e dx  C
ye
1
 x2
2
{ 3x.e
1 2
x
2
dx  C}
Catatan Misal U = x2
dU = 2x dx
dx =
dU
2x
1
 z.e
z2
dz   z.eU
0
Jadi
  eU
dU
2
1
2
1
2
= eU  e z
ye
1
 x2
2
(
dU
2z
2
3 z2
e  C)
2
1
y=
 x2
3
 C e 2  sebagai penyelesaian pesamaan diferensial.
2
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
2
+ y = 3x.
dx
x
Jawab :
penyelesaian umum.
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
ye 
{ Q( x).e
dx  C}
 2 / xdx
2 / xdx
ye 
{ 3x.e
dx  C}
y  e 2 ln x { 3 x.e 2lx 2 dx  C}
.y = x-2 (  3x( x 2 )dx  C )
3
4
y = x-2 ( x 4  C )  y =
3 2
x  Cx  2 ///
4
 Persamaan Diferensial Bernoulli
Bentuk Umum :
.
dy
+P( x) y = Q( x) . yn
dx
Cara Menyelesaikan :
- Dibagi yn :
1 dy
+P( x) y1-n = Q( x)
y n dx
- Dimisalkan u = y1-n  du = (1-n) y-n dy
1 du 1 dy

1  n dx y n dx
- Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
 P( x).u  Q( x)
1  n dx
du
 (1  n) P( x).u  (1  n)Q( x)  PD linier orde satu dalam u.
dx
- Penyelesaian umum :
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
ue 
{ q( x).e
dx  C}
Dimana p(x) = (1-n) P(x)
.q(x) = (1-n) Q(x)
Contoh-contoh:
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ y =(2- 3x.) y4
dx
Jawab :
-
Dibagi y4 :
1 dy
+ y-3 = (2-3x)
4
y dx
- Dimisalkan u = y-3  du = (-3) y-4 dy
1 du 1 dy

 3 dx y 4 dx
- Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
+ u = (2-3x)
 3 dx
du
 3.u  3(2  3x)  PD linier orde satu dalam u.
dx
- Penyelesaian umum :
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
ue 
{ q( x).e
dx  C}
  3dx
 3dx
u  e  { (6  9 x).e dx  C}
u  e3 x { (6  9 x).e 3 x dx  C}
u  e3 x {
 (9 x  6)  3 x
e  e  3 x  C}
3
1
 (2  3x)  1  Ce3 x
3
y
.y =
1
3
1  3 x  Ce3 x
///
2.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
2
+ y = 3x.y3
dx
x
Jawab :
-
Dibagi y3 :
2
1 dy
+ y2 = 3x
3
x
y dx
- Dimisalkan u = y-2  du = (-2) y-3 dy
1 du 1 dy

 2 dx y 3 dx
- Persamaan diferensial akan menjadi:
1 du
2
+ u = 3x
 2 dx
x
du 4
 .u  6 x  PD linier orde satu dalam u.
dx x
- Penyelesaian umum :
 p ( x ) dx
p ( x ) dx
ue 
{ q( x).e
dx  C}
ue
4
  dx
x

{ (9 x).e
4
  x dx
dx  C}
u  e 4 ln x { (9 x).e 4 ln x dx  C}
u  x 4{ (9 x).x 4 dx  C}
1
 x 4 ( 92 x  2  C )
2
y
1 9 2
 x  Cx 4  y =
y2 2
1
9
2
x 2  Cx4
///
Persamaan Diferensial Eksak
Bentuk umum :
.m(x,y) dx + n(x,y) dy = 0
Disebut PD Eksak bila dipenuhi
m n

y x
Cara menyelesaikan :
- Dicari fungsi F(x,y) = C yang memenuhi persamaan diferensial
tersebut, maka
- Maka
F
F
dx 
dy  0
y
x
F
F
 m( x, y )dan.
 n( x, y)
x
y
- F(x,y) =  m( x, y).dx  Q( y )
- Turunkan terhadap y dan disamakan dengan n(x,y) diperoleh Q(y).
Sehingga diperoleh penyeesaian F(x,y) = C.
Contoh-contoh:
1..Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(2xy-sin x) dx + x2 dy = 0
Jawab : m= 2 xy – sin x 
.n = x2 
m
 2x
y
n
 2 x Jadi merupakan PD Eksak.
x
Penyelesaian :
F(x,y) =  (2 xy  sin x)dx  Q( y )
F(x,y) = x2 y + cos x + Q(y)
.
F
 n( x, y )  x2 + 0 + Q’(y) = x2  Q’(y) = 0  Q(y) = C
y
Jadi F(x,y) = x2 y + cos x = C ///
2. 1..Selesaikan persamaan diferensial berikut :
.(3+ y exy ) dx – ( 3y – x exy) dy = 0
Jawab : m= .(3+ y exy ) 
m
 e xy  xyexy
y
.n = – ( 3y – x exy) 
n
 e xy  xyexy Jadi merupakan PD
x
Eksak.
Penyelesaian :
F(x,y) =  {3  ye xy ) }dx  Q( y )
F(x,y) = 3x + exy + Q(y)
.
F
 n( x, y )  0+ x exy + Q’(y) = – ( 3y – x exy)
y
Q’(y) = - 3y  Q(y) = - 3/2 y2 + C
Jadi F(x,y) = 3x + exy – 3/2 y2 = C ///
TUGAS:
1Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
2
+ y =2 cos 3x.
dx
x
2Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ y =(cos x – sin x ) y
dx
3Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
+ y =(9x- 3x2.) y4
dx
4.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
dy
6  3 ye xy
=
dx
6 y  3xexy
5.Selesaikan persamaan diferensial berikut :
(x y2 – x ) dx + ( y + x2y ) dy = 0
LINK INTERNAL
LINK EKSTERNAL
LINK DOKUMEN :
- Murray R. Spiqel JR, KALKULUS LANJUTAN, , Erlangga , Jakarta
1991
- Frank Ayers JR, Persamaan Diferensial”, London Schoum Outline
Series ,Mc Graw Hill Book Co., 1994