kinematika zat cair inematika zat cair

KINEMATIKA ZAT CAIR
Dosen:
Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng.
Dr. Eng. Alwafi Pujiraharjo
Kinematika zat cair mempelajari gerak partikel zat cair
tanpa meninjau gaya yang menyebabkan gerak tersebut.
Setelah kecepatan didapat sebagai fungsi waktu → v = f(t) ,
maka dapat diketahui distribusi tekanan dan gaya yang
bekerja.
1
Deskripsi dari:
gerakan fluida
aliran fluida
klasifikasi temporal dan spatial
Pendekatan Analisis
Lagrange vs. Euler
Dua cara untuk menjelaskan gerak
fluida
Lagrangian Description (metoda
Lagrange)
Mengikuti partikel bergerak
Eularian Description (metoda Euler)
V=
dx dy
dz
i+
j+ k
dt
dt
dt
V = ui + vj + wk
Melihat fluida melewati titik atau
seluruh medan tertentu
Pola aliran
Garis arus (streamlines) – kecepatan
menyinggung garis aliran
2
Metoda Lagrange = System method
Metoda Euler = Control volume method
Mengikuti pergerakan individual partikel
fluidaa.
fluid
Partikel fluida
fluida di
diidentifi
identifikasi
kasi..
Menentukan bagaimana sifat fluid
fluidaa
berkaitan dengan perubahan partikel
sebag
ebagaai fungs
fungsii wak
wakttu.
Contoh
Contoh:: TA = TA (t)
3
Gerakan fluida
fluida ditentukan dengan penjelasan sifat yang
lengkap sebagai fungs
fungsii tempat dan waktu
waktu..
Menggunakan konsep medan (field
(field concept
concept)).
Untuk mendapatkan informa
informassi tentang
tentang aliran dalam
term apa yang terjadi pada titik tertentu dalam suatu
tempat sebagai aliran fluid
fluidaa melewati titik
titik--titik itu.
Contoh
Contoh:: T = T ( x , y , z , t )
Aliran dapat diklasifikasikan :
Aliran invisid dan viskos
Aliran kompresibel dan tak kompresibel
Aliran laminer dan turbulen
Aliran mantap (steady flow) dan tak mantap
(unsteady flow)
Aliran seragam dan tak seragam
Aliran satu, dua dan tiga dimensi
Aliran rotasional dan tak rotasional.
4
∂V
=0
∂s
∂V
Aliran tak seragam
≠0
∂s
∂V
Aliran mantap
=0
∂t
∂V
Aliran tak mantap
≠0
∂t
Aliran seragam
Laminar
Turbulen
5
Visualisasi aliran adalah pengujian visual medan
aliran (flow-field).
Penting baik untuk eksperimen fisik maupun
penyelesaian numerik.
Beberapa metoda
Streamlines and streamtubes
Pathlines
Streaklines
Timelines
Refractive techniques
Surface flow techniques
Garis arus (streamline) adalah
kurva yang dimana saja
menyinggung instantaneous local
velocity vector.
Ditinjau panjang busur
dr = dxi + dyj + dzk
dr harus sejajar local velocity
vector
V = ui + vj + wk
Secara geometris menghasilkan
persamaan garis arus
dr dx dy dz
=
=
=
V
u
v
w
6
Ideal flow machine
Tom Hsu’s numerical simulation
V2, b2
V1, b1
Tabung arus (streamtube) terdiri
dari seberkas garis arus.
Fluida dalam streamtube harus
tetap disana dan tidak dapat
melewati batas dari streamtube.
Dalam aliran tidak mantap
(unsteady flow), pola garis arus
dapat berubah terhadap waktu.⇒
debit melalui suatu penampang
pada streamtube harus tetap
sama.
7
Pathline adalah lintasan
yang dilalui oleh individual
partikel fluida dalam suatu
periode waktu.
Sama dengan vektor posisi
material partikel fluida
Letak partikel pada waktu t:
(x
particle
( t ) , y particle ( t ) , z particle ( t ) )
x = xstart +
t
∫
Vdt
t start
Eksperimen: particle image velocimetry (PIV)
melacak particle pathlines untuk mengukur velocity
field pada seluruh bidang dalam aliran (Adrian, 1991).
8
Flow over a cylinder
Top View
Side View
Streakline adalah garis
yang menghubungkan
partikel fluida yang telah
melewati titik tetap dalam
ruang.
Mudah untuk melakukan
eksperimen: zat warna
dalam air atau asap dalam
aliran udara.
9
Timeline adalah
seperangkat partikel fluida
yg berdekatan yg diberi
tanda pada waktu instan
yang sama.
Timelines dapat
ditunjukkan menggunakan
hydrogen bubble wire.
10
Timelines produced by a hydrogen bubble wire are used to
visualize the boundary layer velocity profile shape.
Profile plots of the horizontal component of velocity as a function of vertical
distance; flow in the boundary layer growing along a horizontal flat plate.
11
Contour plots of the pressure field due to flow impinging on a block.
12
Koordinat Garis Arus
Koordinat garis aru
aruss adalah
adalah sistim kkoordinat
oordinat yang
ditentukan dalam term garis arus dari aliran.
aliran.
Unit vectors :
s and n
Menentukan variabel medan (field variables) sebagai fungsi
tempat dan waktu.
Pressure field, p = p(x,y,z,t)
Velocity field,
V = V ( x, y, z,t )
V = u ( x, y , z , t ) i + v ( x, y , z , t ) j + w ( x , y , z , t ) k
Acceleration field,
a = a( x, y, z,t )
a = a x ( x, y , z , t ) i + a y ( x, y , z , t ) j + a z ( x, y , z , t ) k
13
Velocity Field (Medan kecepatan)
Kecepatan pada sembarang partike
partikell dalam medan aliran (the
velocity field) dinyatakan
V = V ( x , y, z , t )
V = u ( x , y, z , t ) i + v ( x , y, z , t ) j + w ( x , y, z , t ) k
Kecepatan partikel adalah
laju perubahan vektor
posisi dari partikel itu.
drA
VA =
dt
Ditinjau partikel fluida
dan hukum Newton kedua,
Fparticle = m particle a particle
Percepatan partikel adalah turunan kecepatan terhadap waktu.
dV particle
a particle =
dt
Namun, kecepatan partikel pada suatu tititk pada sembarang
waktu t adalah sama dengan kecepatan fluida,
V particle = V ( x particle ( t ) , y particle ( t ) , z particle ( t ) )
Untuk menurunkan terhadap waktu, harus digunakan chain rule.
∂V dt ∂V dx particle ∂V dy particle ∂V dz particle
a particle =
+
+
+
∂t dt ∂x dt
∂y dt
∂z dt
14
dimana ∂ adalah partial derivative operator dan d adalah total
derivative operator.
bila
dx particle
dz
= v, particle = w
dt
dt
dt
∂V
∂V
∂V
∂V
a particle =
+u
+v
+w
∂t
∂x
∂y
∂z
= u,
dy particle
Dalam bentuk vector, percepatan dapat ditulis:
dV
∂V
a ( x, y, z, t ) =
=
+ V •i ∇ V
dt
∂t
(
)
Term pertama disebut local acceleration dan tidak nol (nonzero) hanya
untuk aliran tidak mantap (unsteady flows).
Term kedua disebut advective acceleration dan memperhitungkan
pengaruh partikel fluida bergerak ke lokasi baru dalam aliran, dimana
kecepatan berbeda.
Percepatan : laju perubahan kecepatan
Komponent:
Normal – perubahan arah
Tangential – perubahan kecepatan
V = V ( s , t )e t
de
dV dV a=
=
et + V t
dt
dt
dt
dV
∂V ∂V
=V
+
dt
∂s ∂t
de t V = en
dt
r
∂V ∂V V 2 a = (V
+
)e t +
en
∂s ∂t
r
15
a = axi + a y j + az k
Koordinat Cartesian
ax =
du ∂u dx ∂u dy ∂u dz ∂u ∂u
∂u
∂u
∂u
=
+
+
+
=. u + v+ w+
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
∂x
∂y
∂z
∂t
ay =
dv ∂v dx ∂v dy ∂v dz ∂v ∂v
∂v
∂v
∂v
=
+
+
+ =. u + v+ w+
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
∂x
∂y
∂z
∂t
az =
dw ∂w dx ∂w dy ∂w dz ∂w ∂w
∂w
∂w
∂w
=
+
+
+
=. u+
v+
w+
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
∂x
∂y
∂z
∂t
Convective
Q = Qo − Q1
Local
t
= 0.985 − 0.5t
to
∂V
= 2m / s
∂s
Q
V= =
A
Qo − Q1
π
d2
t
to
=
0.985 − 0.5(0.5)
π
= 3.4743 m / s
(0.5) 2
4
4
∂V ∂ (Q / A)
−Q1
−0.5
aL =
=
=
=
= −2.55 m / s 2
π 2
π
∂t
∂t
2
(0.5) (1)
d to
4
4
∂V
= 3.743* 2 = 7.49 m / s 2
aC = V
∂s
16
Diketahui: V = 3t i + xz j + ty 2k
Hitung: Percepatan, a
u = 3t ; v = xz; w = ty 2
∂u
∂u
∂u
∂u
u + v+ w+
= 0(3t ) + 0( xz ) + 0(ty 2 ) + 3 = 3
∂x
∂y
∂z
∂t
∂v
∂v
∂v
∂v
a y = u + v + w + = z (3t ) + 0( xz ) + x (ty 2 ) + 0 = 3 zt + xy 2t
∂x
∂y
∂z
∂t
∂w
∂w
∂w
∂w
az =
u+
v+
w+
= 0(3t ) + 2ty ( xz ) + 0(ty 2 ) + y 2 = 2 xyzt + y 2
∂x
∂y
∂z
∂t
ax =
a = a x i + a y j + a z k = 3i + (3tz + txy 2 ) j + ( 2 xyzt + y 2 )k
Volume rate of flow
(debit)
Kecepatan konstan pada
penampang
Q = VA
Kecepatan variable
Q = ∫ VdA
A
Mass flow rate
mɺ = ∫ ρVdA = ρ ∫ VdA = ρQ
A
A
17
Debit : jumlah zat cair yang mengalir melalui tampang lintang
tiap satuan waktu (m3/det., liter/det.)
Q = A.v → (m2 x m/det = m3/det)
Untuk zat cair riil v = f(r), sehingga
dQ = dA.v = 2πr.dr.v
Q = 2π ∫ v.r.dr
Pada prakteknya variasi penampang diabaikan, sehingga v
dianggap seragam maka:
Q = A.v
Debit:
Q = A ⋅V
Q = 2π ∫ V ⋅ r dr
18
Hanya komponen kecepatan
arah-x (u) yang mempunyai
kontribusi
pada
aliran
melalui penampang
Q = ∫ VdA = ∫ udA = ∫ V cos θdA
A
A
A
or
Q = ∫ V ⋅ dA
A
or
Q =V ⋅ A
Hitung:
V
Vo
r
v(r ) = Vo (1 − )
R
R
Q = ∫ VdA = ∫ Vo (1 − r / R )2πrdr
A
0
r2 r3
= 2πVo ( − )
2 3R
R
= 2πVo (
0
R2 R2
−
)
2
3
1
= πVo R 2
3
1
πVo R 2
1
V Q
3
= Vo =
=
2
Vo A
3
πR Vo
19
Hitung: Q, V , m
ɺ
0.5
0.5
y2
Q = 2 ∫ VdA = 2 ∫ 20 ydy = 40
2
0
0
V=
0.5
= 5 m3 / s
0
Q 5
= = 5m / s
A 1
mɺ = ρQ = 1.2*5 = 6 kg / s
Zat cair tak kompresibel mengalir secara
kontinu maka volume zat cair yang lewat tiap
satuan waktu adalah sama di setiap
penampang.
20
Massa yang masuk = massa yang keluar
ρ1.v1.A1 = ρ2.v2.A3
Zat cair tak kompresibel ρ1 = ρ2 , maka
v1.A1 = v2.A2 → pers kontinuitas
Q1 = Q2
A1.v1 = A2.v2
Q1 = Q2 + Q3
A1.v1 = A2.v2 + A3.v3
21