persamaan gelombang (pde)

PERSAMAAN GELOMBANG
(PDE)
YULVI ZAIKA
PENDAHULUAN
Dawai elastis diikatkan pada 2 ujung yaitu pada x=0 dan x=l dengan memberikan gaya
tarik seragamT. Jika dawai dirubah sedikit dari posisi awal dengan posisi ujung tetap
maka dawai akan bergetar (vibrasi). Posisi titik P pada dawai tergantung pada jasrak
dari kedua ujung dawai dan waktu.
Jika lendutan dawai dinyatakan dengan u dan waktu dalam t maka dapat diekspresikan
sebagai u= f(x,t) dimana x adalah jarak dari ujung sebealah kiri.
Persamaan untuk gerak dinyatakan dalam
2
2

u
1

u
T : gaya tarik

x 2
c 2 t 2
: massa per satuan panjang
Lendutan dawai dianggap kecil sehingga T dan  dianggap konstan
SOLUSI PERSAMAAN
Solusi dari persamaan
 2u 1  2u

x 2 c 2 t 2
Kondisi Batas:
(a) Kedua ujung dawai terjepit pada x=0 dan x=l selamanya sehingga
u(0,t)=u(l,t)=0 untuk t  0
Kondisi awal
(b) Kondisi awal lendutan di titk P pada t=0 dinyatakan dalam f(x)
sehingga:
u(x,0)= f(x)
(c) Kecepatan awal pada P dinyatakan
 u 
 t   g ( x)
t 0
Solusi dengan pemisahan variabel
 Asumsi solusi u(x,t)=X(x)T(t)
X(x) : fungsi dari x saja
T(t) : fungsi dari t saja
Bentuk sederhana u=XT
u
 2u
 X 'T
 X ' 'T
2
x
x
u
 2u
 XT '
 XT ' '
t
t 2
 2u 1  2u
 2 2
2
x
c t
1
X "T  2 XT "
c
X " 1 T"
 2
X c T
Pemahaman matematika
X " 1 T"
 2
X
c T
 Sisi kiri merupakan fungsi x
 Sisi kanan merupakan fungsi t
 Fungsi ini akan sama bila sisi kanan dan kiri merupakan konstanta
Bila konstantanya adalah k maka:
X"
1 T"
k
k
2
X
c T
X "kX  0 dan T "c 2 kT  0
Persamaan Pertama:
(1) Jika k=0 maka X”=0 X’=a X=ax+b
BC: X=0 pada x=0 b=0 maka X=ax
X=0 pada x = l  a=0
 Pers X=0 bukan persamaan osilasi
(2) Jika k positif maka k=p2 X” –p2X=0
persamaan PDO m2 – p2=0
 m2=p2 maka m=p solusinya:
X=Aepx +Be-px
X=0 pada x=0 0=A+B B=-A
Dan X=0 pada x=l 0=Aepx +Be-px 0=A(epl +e-pl )
A=0 A=B=0
X=- bukan persamaan osilasi
(3) Jika k adalah negatif maka k= -p2  X”+p2X=0
m2+p2=0
m2=-p2 m=pi sehingga solusinya
X= A cos px +B sin px
Persamaan berikutnya T”- c2 kT=0
Untuk harga k yang sama maka diperoleh:
T=C cos cpt + D sin cpt
Sehingga jawabannya:
U=XT
U(x,t)= (Acos px+B sin px)(C cos cpt + D sin cpt)
Jika cp=  p= /c

 

u ( x, t )   A cos x  B sin x C cos t  D sin t 
c
c 

Dimana A, B, C dan D adalah konstanta
Kondisi batas:
(a) u=0 bila x=0 untuk semua harga t masukkan ke persamaan

 

u ( x, t )   A cos x  B sin x C cos t  D sin t 
c
c 

0  A(C cos t  D sin t )
A0
 

u ( x, t )   B sin x C cos t  D sin t 
c 

(b) u=0 bila x=l
 

u ( x, t )   B sin x C cos t  D sin t 
c 

0  B sin

c
l C cos t  D sin t 
B  0 maka sin
l
 n

nc
l
c
0
C1=BC
D2= BD