Optimasi Multi-Objective pada Pemilihan Portofolio
advertisement
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) 1 Optimasi Multi-Objective pada Pemilihan Portofolio dengan Metode Nadir Compromise Programming Ema Rahmawati dan Subchan. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail: [email protected] Abstrak—Portofolio saham merupakan kumpulan aset yang dimiliki oleh perusahaan maupun perseorangan. Agar tujuan dalam berinvestasi tercapai maka dalam mengelola portofolio saham diperlukan manajemen portofolio. Sedangkan portofolio yang optimal dibentuk dari beberapa kriteria yaitu optimasi resiko, memaksimalkan expected return dan meminimalkan modal investasi. Dalam tugas akhir ini permasalahan optimasi multi-objective diselesaikan dengan menggunakan metode Nadir Compromise Programming. Pada penelitian dianalisis 20 saham yang bergerak pada 5 sektor periode Januari 2009 hingga Maret 2013. Dari hasil optimasi dihasilkan 11 saham terpilih dengan nilai expected return yang maksimal dengan modal investasi sebesar 7820,66. Berdasar Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) diperoleh expected return portofolio yang nilainya lebih besar daripada expected return pasar. Kata Kunci—Compromise Programming, multi objective programming, Nadir Compromise Programming, portofolio saham. I. PENDAHULUAN A set finansial yang paling menguntungkan dan menjadi primadona di kalangan investor saat ini adalah saham. Saham merupakan salah satu aset finansial yang diperdagangkan di pasar modal. Investasi pada sektor ini menawarkan tingkat keuntungan yang tinggi dibandingkan dengan investasi di sektor aset real, seperti pembelian aset produktif, pendirian pabrik, pembukaan pertambangan dan lainnya. Namun dalam berinvestasi semakin tinggi tingkat return yang ditawarkan maka semakin tinggi pula tingkat resiko yang dihadapi investor. Sedangkan investor pada umumnya menginginkan return yang maksimal dengan resiko yang minimal, sehingga sebelum menanamkan modalnya investor harus melakukan penelitian dan analisis agar tujuan dalam berinvestasi tercapai. Salah satu cara untuk meminimalkan resiko yaitu dengan melakukan diversifikasi atau penyebaran investasi dengan membentuk portofolio yang terdiri dari beberapa saham. Portofolio merupakan kombinasi atau gabungan atau sekumpulan aset, baik berupa aset finansial maupun aset real yang dimiliki oleh investor [1]. Portofolio disusun untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal, sehingga dalam permasalahan optimasi portofolio terdapat fungsi tujuan yang dipertimbangkan investor yaitu memaksimalkan tingkat pengembalian yang diharapkan dan meminimalkan resiko [2]. Teori portofolio modern yang dicetuskan oleh Harry Markowitz (1952), dimana Markowitz memandang pemilihan portofolio sebagai model optimasi yang dikenal dengan model mean-variance dengan melibatkan dua fungsi tujuan yaitu memaksimalkan expected return dan meminimumkan resiko [3]. Dalam permasalahan pemilihan portofolio dianalisa bagaimana mengalokasikan modal agar memperoleh keuntungan maksimal dengan resiko yang minimal. Pada penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Putri Ciptaningrum (2010) membahas tentang pemilihan portofolio dengan masalah optimasi dengan dua fungsi tujuan yaitu memaksimalkan expected return dan meminimalkan resiko dengan menggunakan metode Compromise Programming sehingga didapatkan lima portofolio yang efisien. Pada tugas akhir ini digunakan Nadir Compromise dalam menyelesaikan permasalahan Programming multi-objective pada model optimasi portofolio. Nadir Compromise Programming adalah metode pengembangan dari metode Compromise Programming yang dapat digunakan untuk mengoptimalkan permasalahan multi-objective, sehingga dapat menentukan portofolio yang optimal dari kumpulan saham. II. METODE PENELITIAN A. Pengumpulan Data Data yang digunakan adalah data sekunder yang diperoleh dari http://finance.yahoo.com/. Data yang digunakan meliputi data opening price, closing price dan data Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) mulai bulan Januari 2009 sampai bulan Maret 2013. Data yang digunakan adalah data saham dari 20 perusahaan yang mempunyai data (opening price dan closing price). Perusahaan-perusahaan tersebut dibedakan menjadi lima sektor, yaitu sektor energi dan metal, finansial, jasa, manufaktur dan perkebunan. B. Menghitung Return dan Expected Return Saham Individual Dari hasil perhitungan return, dapat diketahui suatu saham untung atau rugi pada periode tertentu. Setelah diketahui return saham pada masing-masing periode maka dapat dihitung expected return dari suatu saham. C. Menghitung Koefisien Resiko Masing-masing Saham Koefisien resiko dihitung dengan membandingkan return history asset dengan return pasar menggunakan teknik statistika untuk menghitung kovarian masing-masing saham. JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) D. Merancang Model Optimasi Portofolio Pada tahap ini akan dirancang sebuah model optimasi portofolio. Dalam pembentukan portofolio, investor selalu menginginkan return yang maksimal dengan resiko dan dana yang minimal. Oleh karena itu fungsi tujuan dari model optimasi portofolio terdiri dari 3 aspek, yaitu resiko, expected return dan modal investasi. Sedangkan fungsi kendala untuk model optimasi portofolio ini adalah koefisien resiko, jumlah proporsi dana yang diinvestasikan, serta batas atas dan batas bawah dana yang diinvestasikan E. Menentukan Proporsi Dana Pada tahap sebelumnya, didapatkan model optimasi pada portofolio adalah multi-objective. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut maka pada tahap ini digunakan Nadir Compromise Programming. Pada tahap ini juga didapatkan jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham dengan Nadir Compromise Programming. Dengan didapatkan proporsi dana masing-masing saham pada lima sektor, maka didapatkan portofolio yang optimal. III. PENGOLAHAN DATA A. Perhitungan Return dan Expected Return Saham Hasil dari investasi berdasar return yang diperoleh dalam periode waktu tertentu, sedangkan data yang dibahas pada penelitian ini adalah harga saham mulai dari bulan Januari 2009 sampai dengan Maret 2013. Pengembalian itu sama dengan perubahan nilai saham dalam kurun waktu tertentu dibagi dengan nilai awal saham. Tabel 3.1 Nilai Expected Return Masing-Masing Saham Nama Nama πΈπΈ(π π ) πΈπΈ(π π ) Saham Saham ANTM 0,011317 TLKM 0,014841 2 Tabel 3.2 Nilai Kovarian Saham-Return Pasar Nama Nama πΆπΆπΆπΆπΆπΆ(π π ππ ′ π π ππ ) πΆπΆπΆπΆπΆπΆ(π π ππ ′ π π ππ ) Saham Saham ANTM 0.004598 TLKM 0.001866 ITMG 0.005218 HEXA 0.003673 PGAS 0.002560 AKRA 0.003850 INCO 0.005126 INDF 0.004472 PTBA 0.004243 KLBF 0.003363 BBRI 0.004633 MYOR 0.004359 BBNI 0.005020 UNVR 0.000937 BMRI 0.005041 ASII 0.004581 BBCA 0.002964 LSIP 0.003735 UNTR 0.004363 AALI 0.002039 Tabel 3.2 merupakan hasil yang diperoleh dari perhitungan nilai kovarian saham-return pasar dari masing-masing saham yang didapatkan dengan menggunakan persamaan : οΏ½π π ππ −πΈπΈ(π π ππ )οΏ½οΏ½π π ππππ −πΈπΈ(π π ππ )οΏ½ (2) πΆπΆπΆπΆπΆπΆοΏ½π π ππ ′ π π ππ οΏ½ = ∑ππ ππ =1 ππ Sedangkan untuk menghitung varian pasar menggunakan persamaan : 2 οΏ½π π ππππ −πΈπΈ(π π ππ )οΏ½ (3) ππππ2 = ∑ππ ππ =1 ππ Sehingga dari persamaan (3) didapatkan nilai varian pasar adalah 0.003225. Setelah diketahui nilai varian return pasar dan kovarian antara masing-masing saham dengan return pasar, maka dapat dihitung koefisien resiko masing-masing saham. Tabel 3.3 Nilai Koefisien Resiko Saham Nama Nama Beta (π½π½) Beta (π½π½) Saham Saham ANTM 1.425593 TLKM 0.578510 ITMG 0,031779 HEXA 0,047049 PGAS 0,030578 AKRA 0,052403 INCO 0,012931 INDF 0,0486686 PTBA 0,019030 KLBF 0,070469 ITMG 1.617650 HEXA 1.138862 BBRI 0,033006 MYOR 0,067446 PGAS 0.793521 AKRA 1.193499 BBNI 0,044089 UNVR 0,025267 INCO 1.589113 INDF 1.386301 BMRI 0,040642 ASII 0,063638 PTBA 1.315604 KLBF 1.042594 BBCA 0,021789 LSIP 0,0357573 BBRI 1.436440 MYOR 1.351373 UNTR 0,039044 AALI 0,020352 BBNI 1.556309 UNVR 0.290526 BMRI 1.562884 ASII 1.420340 BBCA 0.910525 LSIP 1.157929 UNTR 1.352611 AALI 0.632100 Tabel 3.1 merupakan hasil yang diperoleh dari perhitungan nilai expected return dari masing-masing saham yang didapatkan dengan menggunakan persamaan : πΈπΈ(π π ππ ) = ∑ππ ππ =1 πΈπΈοΏ½π π ππ οΏ½ ππ (1) B. Perhitungan Koefisien Resiko Sebelum menghitung koefisien resiko masing-masing saham, terlebih dahulu dihitung return pasar atau tingkat pengembalian pasar. Return pasar diwakili oleh Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG). Sedangkan koefisien resiko didapatkan dengan membandingkan kovarian saham-return pasar dengan varian return pasar. Tabel 3.3 merupakan hasil nilai koefisien resiko masingmasing saham yang didapatkan dengan menggunakan persamaan : π½π½ππ = πΆπΆπΆπΆπΆπΆ οΏ½π π ππ ′ π π ππ οΏ½ 2 ππππ (4) JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) IV. MODEL OPTIMASI PORTOFOLIO A. Perumusan Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala Model optimasi portofolio terdiri dari tiga aspek yaitu resiko, expected return dan modal investasi. Sedangkan variabel keputusannya adalah mendapatkan proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham dalam portofolio tersebut.. Pendefinisian variabel keputusannya adalah sebagai berikut : π₯π₯1 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham PT. Aneka Tambang π₯π₯2 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham PT. Indo Tambangraya Megah Tbk π₯π₯3 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Perusahaan Gas Negara π₯π₯4 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Vale Indonesia Tbk π₯π₯5 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Tambang Batubara Bukit Asam π₯π₯6 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Bank Rakyat Indonesia π₯π₯7 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Bank Negara Indonesia π₯π₯8 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Bank Mandiri Tbk π₯π₯9 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Bank Central Asia Tbk π₯π₯10 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham United Tractors Tbk π₯π₯11 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Telekomunikasi Indonesia π₯π₯12 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Hexindo Adiperkasa Tbk π₯π₯13 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham AKR Corporindo Tbk π₯π₯14 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Indofood Sukses Makmur Tbk π₯π₯15 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Kalbe Farma Tbk π₯π₯16 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Mayora Indah Tbk π₯π₯17 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Unilever Indonesia Tbk π₯π₯18 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Astra International Tbk π₯π₯19 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham PP London Sumatra Indonesia Tbk π₯π₯20 : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham Astra Agro Lestari Tbk 1. Perumusan fungsi tujuan Penentuan fungsi tujuan portofolio mempertimbangkan tiga aspek yaitu expected return, resiko dan modal investasi yang dirumuskan sebagai berikut : a. Fungsi tujuan optimum resiko (5) Opt ππ1 = ∑20 ππ=1 π½π½ππ π₯π₯ππ b. Fungsi tujuan maksimasi expected return (6) Maks ππ2 = ∑20 ππ=1 πΈπΈ(π π ππ ) π₯π₯ππ c. Fungsi tujuan minimasi modal investasi Min ππ3 = ∑20 ππ=1 ππππ π₯π₯ππ 3 (7) 2. Perumusan fungsi kendala Dalam memenuhi tujuan optimasi portofolio tersebut ada beberapa kendala, antara lain : a. Fungsi kendala jumlah dana yang diinvestasikan. ∑20 (8) ππ=1 π₯π₯ππ = 1 b. Fungsi kendala jumlah dana masing-masing sektor. π₯π₯1 + π₯π₯2 + π₯π₯3 + π₯π₯4 + π₯π₯5 = 0.2 π₯π₯6 + π₯π₯7 + π₯π₯8 + π₯π₯9 = 0.2 π₯π₯10 + π₯π₯11 + π₯π₯12 + π₯π₯13 = 0.2 π₯π₯14 + π₯π₯15 + π₯π₯16 + π₯π₯17 + π₯π₯18 = 0.2 (9) π₯π₯19 + π₯π₯20 = 0.2 c. Fungsi kendala batas bawah dan batas atas dana yang diinvestasikan. (10) 0 ≤ π₯π₯ππ ≤ 0,1 , untuk ππ = 1, 2, 3,… , 20 B. Nadir Compromise Programming Sebelum merumuskan kedalam fungsi tujuan Nadir Compromise Programming, maka terlebih dahulu dicari nilai Nadir dari fungsi tujuan maksimum dan minimum, dengan cara mengoptimasi masing-masing fungsi tujuan dengan fungsi kendala yang ada. 1. Nilai ideal dan nadir expected return portofolio Untuk portofolio yang terdiri dari 20 saham, nilai ideal expected return dapat dirumuskan sebagai berikut : Maks 0.011317 π₯π₯1 + 0.031779 π₯π₯2 + 0.030578 π₯π₯3 + 0.012931 π₯π₯4 + 0.019030 π₯π₯5 + 0.033006 π₯π₯6 + 0.044089 π₯π₯7 + 0.040642 π₯π₯8 + 0.021789 π₯π₯9 + 0.039044 π₯π₯10 + 0.014841 π₯π₯11 + 0.047049 π₯π₯12 + 0.052403 π₯π₯13 + 0.0486686 π₯π₯14 + 0.070469 π₯π₯15 + 0.067446 π₯π₯16 + 0.025267 π₯π₯17 + 0.063638 π₯π₯18 + 0.0357573 π₯π₯19 + 0.020352 π₯π₯20 Dengan kendala : π₯π₯1 + π₯π₯2 + π₯π₯3 + π₯π₯4 + π₯π₯5 = 0.2 π₯π₯6 + π₯π₯7 + π₯π₯8 + π₯π₯9 = 0.2 π₯π₯10 + π₯π₯11 + π₯π₯12 + π₯π₯13 = 0.2 π₯π₯14 + π₯π₯15 + π₯π₯16 + π₯π₯17 + π₯π₯18 = 0.2 π₯π₯19 + π₯π₯20 = 0.2 ππ = 1,2,3 … ,20 0 ≤ π₯π₯ππ ≤ 0.1 Dengan ππ2 adalah nilai ideal expected return pada 20 saham yang dibentuk portofolio, maka dengan menyelesaikan model diatas didapatkan ππ2 = 0.04405643. Dalam permasalahan multi-objective, nilai Nadir adalah nilai yang berlawanan dengan nilai ideal dan didapatkan dari nilai solusi yang terburuk. Sehingga perhitungan untuk nilai Nadir maksimasi expected return sebagai berikut : Min 0.011317 π₯π₯1 + 0.031779 π₯π₯2 + 0.030578 π₯π₯3 + 0.012931 π₯π₯4 + 0.019030 π₯π₯5 + 0.033006 π₯π₯6 + 0.044089 π₯π₯7 + 0.040642 π₯π₯8 + 0.021789 π₯π₯9 + 0.039044 π₯π₯10 + 0.014841 π₯π₯11 + 0.047049 π₯π₯12 + 0.052403 π₯π₯13 + 0.0486686 π₯π₯14 + 0.070469 π₯π₯15 + 0.067446 π₯π₯16 + 0.025267 π₯π₯17 + 0.063638 π₯π₯18 + 0.0357573 π₯π₯19 + 0.020352 π₯π₯20 Dengan kendala : π₯π₯1 + π₯π₯2 + π₯π₯3 + π₯π₯4 + π₯π₯5 = 0.2 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) π₯π₯6 + π₯π₯7 + π₯π₯8 + π₯π₯9 = 0.2 π₯π₯10 + π₯π₯11 + π₯π₯12 + π₯π₯13 = 0.2 π₯π₯14 + π₯π₯15 + π₯π₯16 + π₯π₯17 + π₯π₯18 = 0.2 π₯π₯19 + π₯π₯20 = 0.2 ππ = 1,2,3 … ,20 0 ≤ π₯π₯ππ ≤ 0.1 Dengan ππ2∗ adalah nilai Nadir expected return pada 20 saham yang dibentuk portofolio, maka dengan menyelesaikan model diatas didapatkan ππ2∗ = 0.02629729. 2. Nilai ideal dan nadir modal investasi Untuk portofolio yang terdiri dari 20 saham, nilai ideal modal investasi dapat dirumuskan sebagai berikut : Min 1370 π₯π₯1 + 35500 π₯π₯2 + 5950 π₯π₯3 + 2375 π₯π₯4 + 14400 π₯π₯5 + 8750 π₯π₯6 + 5050 π₯π₯7 + 10000 π₯π₯8 +11400 π₯π₯9 + 18200 π₯π₯10 + 11000 π₯π₯11 + 5600 π₯π₯12 + 5000 π₯π₯13 + 7450 π₯π₯14 + 1240 π₯π₯15 +27100 π₯π₯16 + 22800 π₯π₯17 + 7900 π₯π₯18 + 1930π₯π₯19 + 18500 π₯π₯20 Dengan kendala : π₯π₯1 + π₯π₯2 + π₯π₯3 + π₯π₯4 + π₯π₯5 = 0.2 π₯π₯6 + π₯π₯7 + π₯π₯8 + π₯π₯9 = 0.2 π₯π₯10 + π₯π₯11 + π₯π₯12 + π₯π₯13 = 0.2 π₯π₯14 + π₯π₯15 + π₯π₯16 + π₯π₯17 + π₯π₯18 = 0.2 π₯π₯19 + π₯π₯20 = 0.2 ππ = 1,2,3 … ,20 0 ≤ π₯π₯ππ ≤ 0.1 Dengan ππ3 adalah nilai ideal minimasi modal investasi pada 20 saham yang dibentuk portofolio, maka dengan menyelesaikan model diatas didapatkan ππ3 = 5726,5. Sedangkan closing price pada 20 saham disajikan pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Closing Price Saham Nama Closing Nama Closing Saham Price Saham Price ANTM 1370 TLKM 11000 ITMG 35500 HEXA 5600 PGAS 5950 AKRA 5000 INCO 2375 INDF 7450 PTBA 14400 KLBF 1240 BBRI 8750 MYOR 27100 BBNI 5050 UNVR 22800 BMRI 10000 ASII 7900 BBCA 11400 LSIP 1930 UNTR 18200 AALI 18500 Sedangkan perhitungan untuk nilai Nadir minimasi dana sebagai berikut : Maks 1370 π₯π₯1 + 35500 π₯π₯2 + 5950 π₯π₯3 + 2375 π₯π₯4 + 14400 π₯π₯5 + 8750 π₯π₯6 + 5050 π₯π₯7 + 10000 π₯π₯8 +11400 π₯π₯9 + 18200 π₯π₯10 + 11000 π₯π₯11 + 5600 π₯π₯12 + 5000 π₯π₯13 + 7450 π₯π₯14 + 1240 π₯π₯15 +27100 π₯π₯16 + 22800 π₯π₯17 + 7900 π₯π₯18 + 1930π₯π₯19 + 18500 π₯π₯20 Dengan kendala : π₯π₯1 + π₯π₯2 + π₯π₯3 + π₯π₯4 + π₯π₯5 = 0.2 π₯π₯6 + π₯π₯7 + π₯π₯8 + π₯π₯9 = 0.2 4 π₯π₯10 + π₯π₯11 + π₯π₯12 + π₯π₯13 = 0.2 π₯π₯14 + π₯π₯15 + π₯π₯16 + π₯π₯17 + π₯π₯18 = 0.2 π₯π₯19 + π₯π₯20 = 0.2 ππ = 1,2,3 … ,20 0 ≤ π₯π₯ππ ≤ 0.1 Dengan ππ3∗ adalah nilai Nadir minimasi modal investasi pada 20 saham yang dibentuk portofolio, maka dengan menyelesaikan model diatas didapatkan ππ3∗ = 17083. 3. Perumusan fungsi tujuan Nadir Compromise Programming Untuk memperoleh suatu solusi kompromis dari ketiga fungsi tujuan adalah dengan menggunakan Nadir Compromise Programming. Perhitungan pada fungsi tujuan Nadir Compromise Programming ini menganggap semua fungsi tujuan mempunyai bobot π€π€ yang sama dan nilai dari ππ adalah sama dengan satu. Dengan asumsi ππ = 1 dan bobot masing-masing untuk π€π€1 = 1/3 (resiko), π€π€2 = 1/3 (expected return) dan π€π€3 =1/3 (modal investasi). Sehingga model fungsi tujuan Nadir Compromise Programming dapat diformulasikan sebagai berikut [4] : (11) Min [π€π€1 (πΏπΏ1+ + πΏπΏ1− ) + π€π€2 (−πΏπΏ2+ ) + π€π€3 (−πΏπΏ3−) ] Dengan kendala : ππ1 − πΏπΏ1+ = 1 ππ1 + πΏπΏ1− = 1 ππ2 − πΏπΏ2+ = ππ2∗ ππ3 + πΏπΏ3− = ππ3∗ π₯π₯1 + π₯π₯2 + π₯π₯3 + π₯π₯4 + π₯π₯5 = 0.2 π₯π₯6 + π₯π₯7 + π₯π₯8 + π₯π₯9 = 0.2 π₯π₯10 + π₯π₯11 + π₯π₯12 + π₯π₯13 = 0.2 π₯π₯14 + π₯π₯15 + π₯π₯16 + π₯π₯17 + π₯π₯18 = 0.2 π₯π₯19 + π₯π₯20 = 0.2 ππ = 1,2,3 … ,20 0 ≤ π₯π₯ππ ≤ 0.1 πΏπΏ1+ ≥ 0 ; πΏπΏ1− ≥ 0 ; πΏπΏ2+ ≥ 0 ; πΏπΏ3− ≥ 0 Dengan, : bobot preferensi tujuan ke-k ππππ : variabel deviasi positif ke-k πΏπΏππ+ : variabel deviasi negatif ke-k πΏπΏππ− : fungsi tujuan ke-k ππππ : fungsi tujuan ke-k berdasarkan nilai Nadir ππππ∗ : proporsi dana yang diinvestasikan pada saham ππ π₯π₯ππ 4. Perhitungan proporsi dana Perhitungan proporsi dana untuk masing-masing saham dapat dirumuskan sebagai berikut : Min [0.333 × (πΏπΏ1+ + πΏπΏ1− ) + 0.333 × (−πΏπΏ2+) + 0.333 × (−πΏπΏ3−) Dengan kendala : 1.425593π₯π₯1 + 1.617650 π₯π₯2 + 0.793521 π₯π₯3 + 1.589113 π₯π₯4 +1.315604 π₯π₯5 + 1.436440 π₯π₯6 + 1.556309 π₯π₯7 + 1.562884 π₯π₯8 + 0.910525 π₯π₯9 + 1.352611 π₯π₯10 + 0.578510 π₯π₯11 + 1.138862 π₯π₯12 + 1.193499 π₯π₯13 + 1.386301 π₯π₯14 + 1.042594 π₯π₯15 + 1.351373 π₯π₯16 + 0.290526 π₯π₯17 + 1.420340 π₯π₯18 + 1.157929 π₯π₯19 + 0.632100 π₯π₯20 − πΏπΏ1+ = 1 1.425593π₯π₯1 + 1.617650 π₯π₯2 + 0.793521 π₯π₯3 + 1.589113 π₯π₯4 +1.315604 π₯π₯5 + 1.436440 π₯π₯6 + 1.556309 π₯π₯7 + 1.562884 π₯π₯8 + 0.910525 π₯π₯9 + 1.352611 π₯π₯10 + 0.578510 π₯π₯11 + 1.138862 π₯π₯12 + 1.193499 π₯π₯13 + 1.386301 π₯π₯14 + 1.042594 π₯π₯15 + 1.351373 π₯π₯16 + 0.290526 π₯π₯17 + 1.420340 π₯π₯18 + 1.157929 π₯π₯19 + JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) 0.632100 π₯π₯20 + πΏπΏ1− = 1 0,011317π₯π₯1 + 0,031779 π₯π₯2 + 0,030578 π₯π₯3 + 0,012931 π₯π₯4 +0,019030 π₯π₯5 + 0,033006 π₯π₯6 + 0,0 44089 π₯π₯7 + 0,040642 π₯π₯8 + 0,021789 π₯π₯9 + 0,039044 π₯π₯10 + 0,014841 π₯π₯11 + 0,047049 π₯π₯12 + 0,052403 π₯π₯13 + 0,0486686 π₯π₯14 + 0,070469 π₯π₯15 + 0,067446 π₯π₯16 +0,025267 π₯π₯17 + 0,063638 π₯π₯18 + 0,0357573 π₯π₯19 +0,020352 π₯π₯20 − πΏπΏ2+ = 0.02629729 1370 π₯π₯1 + 35500 π₯π₯2 + 5950 π₯π₯3 + 2375 π₯π₯4 + 14400 π₯π₯5 + 8750 π₯π₯6 + 5050 π₯π₯7 + 10000 π₯π₯8 + 11400 π₯π₯9 +18200 π₯π₯10 + 11000 π₯π₯11 + 5600 π₯π₯12 + 5000 π₯π₯13 + 7450 x14 + 1240 π₯π₯15 + 27100 π₯π₯16 + 22800 π₯π₯17 + 7900 π₯π₯18 + 1930π₯π₯19 + 18500 π₯π₯20 + πΏπΏ3+ = 17083 π₯π₯1 + π₯π₯2 + π₯π₯3 + π₯π₯4 + π₯π₯5 = 0.2 π₯π₯6 + π₯π₯7 + π₯π₯8 + π₯π₯9 = 0.2 π₯π₯10 + π₯π₯11 + π₯π₯12 + π₯π₯13 = 0.2 π₯π₯14 + π₯π₯15 + π₯π₯16 + π₯π₯17 + π₯π₯18 = 0.2 π₯π₯19 + π₯π₯20 = 0.2 ππ = 1,2,3 … ,20 0 ≤ π₯π₯ππ ≤ 0.1 πΏπΏ1+ ≥ 0 ; πΏπΏ1− ≥ 0 ; πΏπΏ2+ ≥ 0 ; πΏπΏ3− ≥ 0 Dengan menyelesaikan model Nadir Compromise Programming tersebut, maka didapatkan nilai deviasi masing-masing fungsi tujuan, yaitu πΏπΏ1+ = πΏπΏ1− = 0 , πΏπΏ2+ = 0.006865 dan πΏπΏ3− = 9262.34. Selain itu didapatkan juga proporsi dana yang diinvestasikan pada saham-saham yang terpilih. Hasil propoporsi dana disajikan pada Tabel 4.2. Tabel 4.2. Proporsi Dana Proporsi Proporsi π₯π₯ππ π₯π₯ππ Dana Dana 0.1 0.1 π₯π₯1 π₯π₯11 π₯π₯2 0 π₯π₯3 0.1 π₯π₯6 0 π₯π₯4 0 π₯π₯7 0.1 π₯π₯10 0 π₯π₯5 π₯π₯8 π₯π₯9 0 0 0.1 π₯π₯12 π₯π₯13 0.1 0 π₯π₯14 0.043214 π₯π₯17 0.056786 π₯π₯20 0.1 π₯π₯15 π₯π₯16 π₯π₯18 π₯π₯19 0.1 0 0 0.1 Berdasarkan hasil yang diperoleh, maka portofolio optimal terbentuk dari 11 saham, yaitu : a. Sektor Energi dan Metal 1. Aneka Tambang (ANTM), proporsi dana sebesar 0.1 2. Perusahaan Gas Negara (PGAS), proporsi dana sebesar 0.1 b. Sektor Finansial 1. Bank Negara Indonesia (BBNI), proporsi dana sebesar 0.1 2. Bank Central Asia Tbk (BBCA), proporsi dana sebesar 0.1 c. Sektor Jasa 1. Telekomunikasi Indonesia (TLKM), proporsi dana sebesar 0.1 5 2. Hexindo Adiperkasa (HEXA), proporsi dana sebesar 0.1 d. Sektor Manufaktur 1. Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF), proporsi dana sebesar 0.043214 2. Kalbe Farma Tbk (KLBF), proporsi dana sebesar 0.1 3. Unilever Indonesia Tbk (UNVR), proporsi dana sebesar 0.056786 e. Sektor Perkebunan 1. PP London Sumatra Indonesia Tbk (LSIP), proporsi dana sebesar 0.1 2. Astra Agro Lestari Tbk (AALI), proporsi dana sebesar 0.1 Dari hasil proporsi dana saham-saham yang terpilih untuk membentuk suatu portofolio yang optimal, maka dapat dihitung nilai ππ1∗ , ππ2∗ dan ππ3∗ . ππ1∗ = (1.425593 × 0.1) + (0.793521 × 0.1) + (1.55630 × 0.1) + (0.910525 × 0.1) + (0.578510 × 0.1) + (1.138862 × 0.1) + (1.386301 × 0.043305) + (1.042594 × 0.1) + (0.290526 × 0.056695) + (1.157929 × 0.1) +(0.632100 × 0.1) ππ1∗ = 1 ππ2∗ = (0.011317 π₯π₯ 0.1) + (0.030578 π₯π₯ 0.1) + (0.0 44089 × 0.1) + (0.021789 × 0.1) + (0.014841 × 0.1) + (0.047049 × 0.1) + (0.0486686 × 0.043305) + (0.070469 × 0.1) + (0.025267 × 0.056695) + (0.0357573 × 0.1) + (0.020352 × 0.1) ππ2∗ = 0.033162 ππ3∗ = (1370 × 0.1) + (5950 × 0.1) + (5050 × 0.1) + (11400 × 0.1) + (11000 × 0.1) + (5600 × 0.1) + (7450 × 0.043305) + (1240 × 0.1) + (22800 × 0.056695) + (1930 × 0.1) + (18500 × 0.1) ππ3∗ = 7820.66 Dari perhitungan tersebut, maka nilai expected return portofolio optimal adalah 0.033162. Nilai resiko pada portofolio optimal adalah sama dengan satu. Sedangkan modal yang diinvestasikan adalah 7820.66. V. KESIMPULAN Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Model optimasi multi-objective portofolio adalah sebagai berikut : Opt ππ1 = ∑20 ππ=1 π½π½ππ π₯π₯ππ Maks ππ2 = ∑20 ππ=1 πΈπΈ(π π ππ ) π₯π₯ππ Min ππ3 = ∑20 ππ=1 ππππ π₯π₯ππ Dengan kendala : ∑20 ππ=1 π₯π₯ππ = 1 π₯π₯1 + π₯π₯2 + π₯π₯3 + π₯π₯4 + π₯π₯5 = 0.2 π₯π₯6 + π₯π₯7 + π₯π₯8 + π₯π₯9 = 0.2 π₯π₯10 + π₯π₯11 + π₯π₯12 + π₯π₯13 = 0.2 π₯π₯14 + π₯π₯15 + π₯π₯16 + π₯π₯17 + π₯π₯18 = 0.2 π₯π₯19 + π₯π₯20 = 0.2 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) 0 ≤ π₯π₯ππ ≤ 0,1 , untuk ππ = 1, 2, 3,… , 20 2. Berdasarkan hasil optimasi dari 20 saham yang dijadikan objek penelitian, maka diperoleh 11 saham terpilih untuk membentuk suatu portofolio yang optimal. Saham-saham tersebut adalah sebagai berikut : a. Aneka Tambang (ANTM), proporsi dana sebesar 0.1 b. Perusahaan Gas Negara (PGAS), proporsi dana sebesar 0.1 c. Bank Negara Indonesia (BBNI), proporsi dana sebesar 0.1 d. Bank Central Asia Tbk (BBCA), proporsi dana sebesar 0.1 e. Telekomunikasi Indonesia (TLKM), proporsi dana sebesar 0.1 f. Hexindo Adiperkasa (HEXA), proporsi dana sebesar 0.1 g. Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF), proporsi dana sebesar 0.043214 h. Kalbe Farma Tbk (KLBF), proporsi dana sebesar 0.1 i. Unilever Indonesia Tbk (UNVR), proporsi dana sebesar 0.056786 j. PP London Sumatra Indonesia Tbk (LSIP), proporsi dana sebesar 0.1 k. Astra Agro Lestari Tbk (AALI), proporsi dana sebesar 0.1 3. Dengan menyelesaikan permasalahan optimasi multi-objective menggunakan metode Nadir Compromise Programing diperoleh nilai resiko portofolio adalah satu, expected return portofolio adalah 0.033162 dan modal investasi adalah 7820.66. DAFTAR PUSTAKA [1] [2] [3] [4] Halim, A. 2003. Analisis Investasi. Jakarta: Salemba Empat. Ciptaningrum, P. 2006. “Compromise Programming Untuk Pemilihan Portofolio”. Tugas Akhir, Matematika. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Markowitz, H. 1952. “Portfolio Selection”.Journal of Finance. 77-91. Amiri, M., Ekhtiari, M dan Yazdani, M. 2011. “Nadir compromise programming : A model for optimization of multi-objective portfolio problem”. Expert Systems with Applications. 7222-7226. 6