No Slide Title - Eka Setia Nugraha

Gelombang Datar Serbasama
Oleh :
Eka Setia Nugraha, ST,MT
Organisasi
Gelombang Datar Serbasama
• A. Pendahuluan
page 3
• B. Penurunan Persamaan Gelombang
page 5
• C. Persamaan Gelombang
page 13
• D. Vektor Poynting dan Peninjauan Daya
page 16
• E. Gelombang Datar Pada Ruang Hampa
page 21
• F. Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna
page 24
• G. Propagasi Pada Konduktor Yang Baik
page 27
• H. Polarisasi Gelombang
page 31
2
A. Pendahuluan
Gelombang adalah suatu fenomena alamiah
yang terjadi dalam dimensi ruang dan waktu.
Gelombang dapat diperhatikan sebagai
‘gangguan’ yang merambat dengan kecepatan
tertentu.
Jika gangguan tersebut merambat ke satu arah,
maka disebut sebagai gelombang 1-D.
Contohnya adalah gelombang datar ( plane
wave ).
3
Pendahuluan
Uniform Plane Wave
Gelombang EM yang dipancarkan suatu
sumber , akan merambat ke segala arah.
Jika jarak antara pengirim dan penerima
sangat jauh ( d >> ), maka sumber akan
dapat dianggap sebagai sumber titik dan
muka gelombang akan berbentuk suatu
bidang datar.
Muka gelombang adalah titik-titik yang
memiliki fasa yang sama.
Amplitude medan pada bidang muka
gelombang untuk medium propagasi yang
serbasama adalah bernilai sama pula, karena
itu disebut sebagai gelombang uniform /
serbasama
Hampir berbentuk bidang datar
4
B. Penurunan Persamaan Gelombang
Persamaan gelombang dapat diturunkan dari persamaan Maxwell, dengan
parameter yang berpengaruh terhadap persamaan gelombang adalah karakteristik
medium perambatan.
Pada penurunan persamaan gelombang, terlebih dahulu kita menurunkan persamaan
gelombang untuk kasus yang paling umum, yaitu untuk medium perambatan berupa
dielektrik merugi. Selanjutnya pada medium perambatan yang lain , yaitu : udara
vakum, dieletrik tak merugi dan konduktor dipandang sebagai kasus khusus dengan
memasukkan nilai-nilai karakteristik medium yang bersangkutan
Pada Dielektrik Merugi…
0
V  0
r  1
r  1
Sehingga persamaan Maxwell (bentuk fasor) yang berlaku untuk dielektrik
merugi :
 

  Es   j Hs
 

  Hs    j Es
 
  Es  0
 
  Hs  0
Perubahan E dan H sinusoidal ,
dengan pertimbangan bahwa
perubahan periodik lain spt
segitiga, persegi dsb dapat
didekati dengan pendekatan
Fourier
5
Penurunan Persamaan Gelombang
 

  Es   j Hs
 

  Hs    j Es
 
  Es  0
 
  Hs  0
Keempat persamaan di atas kemudian menjadi dasar bagi penurunan fungsi waktu real
yang menjelaskan perambatan gelombang datar dalam medium dielektrik merugi.
Dari identitas vektor


  
  
 2
    Es      Es   Es
 
  Es  0
  
 2
    Es   Es
Didapatkan Persamaan
Diferensial Vektor
Gelombang Helmholtz, sbb :
Dari pers. Maxwell I
  
 
    Es   j   HS
 

  H s    j Es
  

    Es   j   j Es
 2

 Es  j   j Es
6
Penurunan Persamaan Gelombang
 2

 Es  j   j Es
Atau dapat
dituliskan sbb :
 2

2
 Es   Es
Dimana ,
2 = j ( + j)
 disebut sebagai
Konstanta propagasi
Kemudian, dengan uraian bahwa :
2
2
2
2
2
2


E

E

E ys 


  2 E zs  2 E zs  2 E zs 

E

E

E
ys
ys
2
xs
xs
xs
 Es   2 

â   2 

â   2 

â
2
2  x
2
2  y
2
2  z
y
z 
y
z 
y
z 
 x
 x
 x
Komponen x
Komponen z
Komponen y
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang rumit, sehingga akan
diambil sub kasus pemisalan :
E y  Ez  0  E ys  Ezs  0
7
Penurunan Persamaan Gelombang
 2

 Es  j   j Es
E y  Ez  0  E ys  Ezs  0
2

 2 E xs  2 E xs  2 E xs
 Es 


 j   j E s
2
2
2
x
y
z
Masih cukup rumit. Kemudian dengan menganggap bahwa E
tidak berubah terhadap x dan y , didapatkan persamaan
diferensial biasa sbb :
 E xs
 j   j E xs
2
z
2

 E xs
2
  E xs
2
z
2
atau
8
Penurunan Persamaan Gelombang
 2 Exs
2
Solusi persamaan diferensial


Exs dapat dituliskan :
2
z
 z
2 = j ( + j)
dimana,
xs
x0
 =  + j = Konstanta propagasi
E E e
Persamaan bentuk waktu untuk medan listrik, dapat dituliskan :



E(t )  Re E x 0 e j z e jt â x
Ingat kembali perubahan dari
bentuk fasor ke bentuk waktu !!

 z
E(t )  E x 0 e cost  z â x
  konstanta propagasi    j

 j  j   j  1  j

9
Penurunan Persamaan Gelombang
Jika medan listrik diketahui, maka medan magnet dapat dicari dengan hubungan :
 

  Es   j Hs
â x â y â z


E xs
  
1 E xs

â y   j 0 H ys
H ys  
â y
x y z
z
j 0 z
E xs 0 0
 E x 0 z
  impedansi intrinsik   
H
e cost  z â y

Ex
j

1

Hy

  j



1 j

10
Penurunan Persamaan Gelombang
Loss Tangent
Didefinisikan suatu besaran yang menyatakan besar kecilnya kerugian dan akan
dipakai untuk mengambil nilai-nilai pendekatan engineering , yaitu Loss tangent

tan  

Loss tangent adalah perbandingan antara rapat arus konduksi
terhadap rapat arus pergeseran
Nilai-Nilai Pendekatan

 0,1
Untuk

 

2 
   

 

1  j 
 
 
11

E
Penurunan Persamaan Gelombang
Arah
perambatan
gelombang

P

H
Perhatikan kembali persamaan-persamaan yang sudah
kita dapatkan,

E(t )  E x 0 ez cost  z â x

E x 0 z
Ht  
e cos t  z   â y

Tampak bahwa E dan H saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus pula
terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang seperti ini disebut
sebagai gelombang Transverse Electro Magnetic (TEM).
Tampak pula bahwa pada dielektrik merugi, antara E dan H tidak sefasa
12
C. Persamaan Gelombang
Persamaan umum gelombang berjalan
 =  + j = Konstanta Propagasi
Amplituda medan
 = konstanta redaman (neper/meter)
 = konstanta fasa (radian/meter)

 z
E  E xo e cost  z aˆ x
Tanda ( - ) berarti gelombang merambat ke arah
sumbu-z positif.
Jika ( + ) berarti gelombang merambat ke arah
sumbu-z negatif
 Volt 


 meter 
Gelombang bergetar
searah sumbu-x
13
Persamaan Gelombang
Soal : Tuliskan persamaan gelombang intensitas medan magnet yang berjalan ke arah
sumbu-x negatif , dan bergetar searah sumbu-z. Diketahui amplitudo gelombang
adalah 100 (A/m), konstanta propagasi = 2 + j0,5, dan frekuensi 1 MHz
Jawab :
Frekuensi = 1 MHz = 106 Hertz
Konstanta fasa = 2
(radian/m), merambat ke
sumbu-x negatif
Bergetar searah
sumbu-z

2x
6
H  100 e cos 210 t  0,5x â z


 A 
m
 
Konstanta redaman = 2 (Np/m), merambat ke
sumbu-x negatif
Amplitudo = 100 (A/m)
14
D. Vektor Poynting dan Peninjauan Daya
Teorema daya untuk gelombang elektromagnetik mula-mula dikembangkan dari
postulat (hipotesa terhadap persamaan Maxwell) oleh John H Poynting tahun 1884.

   D
H  J 
t
Dengan substitusi,

 
B
E  
t




B  H D  E
Kedua ruas dikalikan
dengan E

      D
E  H  J  E  E 
t


Dengan Identitas vektor

        D
  EH  H  E  J  E  E 
t




   
 E
 H
   E  H  J  E  E 
 H 
t
t




 E   E 2   H   H 2 
 H 

E 
 
 
t t  2 
t t  2 


      E 2 H 2 

   E  H  J  E  

t  2
2  15


      E 2 H 2 

   E  H  J  E  

t  2
2 
Vektor Poynting dan
Peninjauan Daya
Kedua ruas diintegrasikan
terhadap seluruh volume


 
 
  E 2 H 2 
 dV
    E  H dV   J  E dV   

t  2
2 
V
V
V
Dengan Teorema Divergensi , didapatkan :


 
 
  E 2 H 2 
 dV
  E  H  dS   J  E dV   

t V  2
2 
S
V
Ruas kiri : Tanda (-) menunjukkan
penyerapan/disipasi daya total pada volume
tersebut. Jika ada sumber yang mengeluarkan
daya pada volume tersebut, digunakan tanda (+)
Ruas kanan :
Integrasi suku pertama
menunjukkan disipasi
ohmik
Integrasi suku kedua
adalah energi total yang
disebabkan/ tersimpan
dalam medan listrik dan
medan magnetik pada
volume tersebut,
kemudian turunan
parsial terhadap waktu
menyatakan daya
sesaatnya
16
Vektor Poynting dan
Peninjauan Daya

Didefinisikan Vektor Poynting = P

E
  
P  EH
Arah
perambatan
gelombang

P

H

E
Pz â z  E x â x  H y â y

H
17
Vektor Poynting dan
Peninjauan Daya
Peninjauan Daya ...
Misalkan :

E(t )  E x 0 ez cost  z â x

E x 0 z
Ht  
e cos t  z   â y

Maka,
  
P  EH
E x 0  2 z
 Watt 

e
cos t  z  cos t  z    â z  2 
 m 

2
E x 0  2 z

e cos   cos 2t  2z    â z
2
2
 Watt 
 2 
 m 
18
Vektor Poynting dan
Peninjauan Daya
Daya Rata-Rata ...
T
Pz ,av
2
E x 0 2z
1
  Pz dt 
e
cos 
T0
2
• Terjadi redaman kerapatan daya seharga
e 2z
• Impedansi intrinsik menimbulkan faktor cos  yang juga
menentukan kerapatan daya
19
E. Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa
Untuk ruang hampa :
   0  4.107 H / m 
0
   0  8,854.1012 (F / m)
0
• Bentuk umum pada
dielektrik merugi,
 

  Es   j Hs
 

  Hs    j Es
 
  Es  0
 
  Hs  0
• Persamaan gelombang Helmholtz
 2

 Es  j   j Es
Pada ruang hampa,
 

  Es   j 0 Hs
 

  Hs  j 0 Es
 
  Es  0
 
  Hs  0
 2

2
 Es   0 0 Es
20
Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa
• Konstanta propagasi
Pada ruang hampa,
  j   j 
 j  1  j
  0  j 00


• Impedansi intrinsik
j

    

  j

1
1 j


• Persamaan medan listrik

E(t )  E x 0 ez cost  z â x
0

 3770o
0

E(t )  E x 0 cost  z â x
• Persamaan medan magnet

E x 0 z
Ht  
e cos t  z   â y


Ex0
Ht  
cost  z â y
377
Gelombang Datar Dalam Ruang Hampa
• Bentuk Gelombang
Pada ruang hampa,
E
P
H
• Vektor Poynting
 E x 0 2 2z
2

E
P
e cos   cos2t  2z    â z P  x 0 cos 2 t  z  â
z
2
377
• Daya rata-rata
T
Pz ,av
2
E x 0 2z
1
  Pz dt 
e
cos 
T0
2
• Kecepatan gelombang
1
3.108
v


rr
2
Pz ,av
1 Ex0

2 377
 dt 
v  3.10 m
8
22
F. Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna
Untuk dielektrik sempurna :
r  1
0
r  1
0
• Bentuk umum pada
dielektrik merugi,
 

  Es   j Hs
 

  Hs    j Es
 
  Es  0
 
  Hs  0
• Persamaan gelombang Helmholtz
 2

 Es  j   j Es
Dielektrik sempurnan memiliki sifat
dan karakteristik yang hampir sama
dengan udara vakum
Pada dielektrik sempurna
 

  Es   j Hs
 

  Hs  jEs
 
  Es  0
 
  Hs  0
 2

2
 Es    Es
23
Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna
• Konstanta propagasi
Pada dielektrik sempurna
  j   j 
  0  j 

 j  1  j

• Impedansi intrinsik
j

    

  j

1

1 j

• Persamaan medan listrik

E(t )  E x 0 ez cost  z â x
• Persamaan medan magnet

E
Ht   x 0 e z cos t  z   â y


r

 377

r

E(t )  E x 0 cost  z â x

E x0 r
Ht  
cost  z â y
377  r
Gelombang Datar Pada Dielektrik Sempurna
• Bentuk Gelombang
Pada dielektrik sempurna
E
P
H
• Vektor Poynting
 E x 0 2 2z
 Ex02
P
e cos   cos2t  2z    â z P 
2
377
r
cos 2 t  z  â z
r
• Daya rata-rata
T
Pz ,av
2
2
E x 0 2z
1
  Pz dt 
e
cos 
T0
2
Pz ,av
1 Ex0

2 377
• Kecepatan gelombang
1
3.108
v


rr
3.108
v
rr
r
r
25
G. Propagasi Pada Konduktor Yang Baik
Pada konduktor yang baik :
 r  1  
r  1   0

 1

• Konstanta propagasi
Pada konduktor yang baik
  j   j 
 j  1  j
  f  j f


Cobalah menurunkan sendiri !
• Impedansi intrinsik
j

    

  j

1
1 j


Didefinisikan
“Skin Depth”
1
1
2

j

45o

 
1
1 1

 
f  
26
Propagasi Pada Konduktor Yang Baik
Pada konduktor yang baik
• Persamaan medan listrik


E(t )  E x 0 ez cost  z â x

z
E( t )  E x 0 e  cos t  z
• Persamaan medan magnet
 â
x





z
E x 0 z
E x 0 .e  cos t  z   â y
Ht  
e cos t  z   â y Ht  

4
2

Pada konduktor yang baik, intensitas medan
magnet tertinggal (lagging) sebesar 45o (1/8
siklus) terhadap intensitas medan listrik
Pada umumnya, propagasi gelombang pada konduktor yang baik digunakan untuk
analisis karakteristik suatu saluran transmisi / kabel. Pada konduktor yang baik,
kerapatan arus perpindahan dapat diabaikan terhadap kerapatan arus konduksi,
sehingga kerapatan arus total dapat dikaitkan dengan medan listrik sbb :
J x ( t )  E x ( t )  E x 0 e
z


cos t  z


27
Propagasi Pada Konduktor Yang Baik
Pada konduktor yang baik
• Vektor Poynting
 E x 0 2 2z
P
e cos   cos2t  2z    â z
2
2z
 



2z   

2

P
E x 0 e cos  cos 2t    â z
4
 4 
2


• Daya rata-rata
T
Pz ,av
2
Ex0
E x 0 2z
1
  Pz dt 
e
cos 
T0
2
2
Pz ,av
2z

2

1
  E x 0 e
4
Rumusan diatas menunjukkan bahwa rapat
daya pada bidang z =  adalah sebesar e-2 ,
atau sebesar 0,135 kali dari rapat daya
pada permukaan konduktor ( z = 0 ).
28
H. Polarisasi Gelombang
Polarisasi adalah sifat GEM yang
menjelaskan arah dan amplitudo vektor
intensitas medan listrik (E) sebagai
fungsi waktu pada bidang yang tegak
lurus terhadap arah perambatannya.
Macam-macam polarisasi : Linear,
Sirkular (lingkaran), dan Ellips
29
Polarisasi Gelombang
Kasus paling umum : Polarisasi
Eliptik
Terjadi untuk a, b, c, sembarang.
Parameter-parameter pada polarisasi eliptik adalah :
a. Major Axis ( 2 x OA )
OA 
1 2
2
4
4
2
2
E x  E y  E x  E y  2E x E y cos2

2 
b. Minor Axis ( 2 x OB )
OB 
1 2
2
4
4
2
2
E x  E y  E x  E y  2E x E y cos2

2 
c. Tilt angle ( )


    n  dan E1  E 2
2

n = 0, + 1, + 2, …dst
 2E x E y

1

  arctan
cos  
2
2
E E

2
y
 x

d. Axial Ratio (AR )
AR 
Major axis OA

Minor axis OB
33
Polarisasi Gelombang
Polarisasi Sirkular
Polarisasi sirkular terjadi untuk :


    n  dan E1  E 2
2

n = 0, + 1, + 2, …dst
35
Polarisasi Gelombang
Arah Polarisasi
Perputaran

E  f t , z  k
Searah jam (CW)
GEM mendekat
atau
Berlawanan jam (CCW)
GEM menjauh
Searah jam (CW)
GEM menjauh
atau
Berlawanan jam (CCW)
GEM mendekat
Definisi
klasik
Definisi
IRE
Definisi
Umum
(IEEE)
Putar Kanan
(Right Hand)
RH
Putar Kiri
(Left Hand)
LH
Putar Kiri
(Left Hand)
LH
Putar Kiri
(Left Hand)
LH
Putar Kanan Putar Kanan
(Right Hand) (Right Hand)
RH
RH
Polarisasi dapat ditinjau terhadap referensi tertentu, misalnya terhadap bumi, lantai
pesawat, dsb. Bahkan terhadap polarisasi lain.
• Polarisasi vertikal , E tegaklurus leferensi
• Polarisasi horisontal, E sejajar bidang referensi
• Polarisasi Silang ( cross polarization ), E tegaklurus terhadap E referensi
36
• Polarisasi Sejajar ( co-polarization ), E sejajar terhadap E referensi