bahan ajar on-line 9 mata kuliah fenomena transport

MM091351
FENOMENA TRANSPORT
KREDIT: 3 SKS
SEMESTER: 5
Dr. Eng. Hosta Ardhyananta, S.T., M.Sc.
BAHAN AJAR ON-LINE 9
JURUSAN TEKNIK MATERIAL DAN METALURGI
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER (ITS) SURABAYA
ALIRAN MELALUI PIPA SILINDER
• Aliran fluida melalui pipa sirkuler sering dijumpai
pada bidang fisik, biologi dan teknik
• Aliran laminer fluida dalam pipa dianalisis dengan
menggunakan kesetimbangan momentum
• Hal yang baru pada bahasan ini adalah
penggunaan koordinat silinder yang merupakan
koordinat alami untuk koordinat posisi pada pipa
sirkuler
• Perhatikan aliran laminar tetap fluida dengan
densitas konstan dalam pipa sangat panjang
dengan panjang L dan jari-jari R serta tidak ada
efek ujung
Keliling
L
• Sistem kulit silinder dengan tebal Δr dan panjang L
• Kesetimbangan momentum arah z
Laju momentum
Laju momentum
masuk silinder
+ keluar silinder
pada r
pada r + Δr
Gaya gravitasi
+ yang bekerja
pada silinder
kulit
Gaya tekan yang
+ bekerja pada
annular pada
sumbu z = 0
Laju momentum
+ masuk annular
(cincin) pada
sumbu z = 0
Laju momentum
+ keluar annular
pada sumbu z = L
Gaya tekan yang
+ bekerja pada
annular pada
sumbu z = L
= 0
2rL  rz  r - 2rL rz  r r + 2rrvz vz  z 0 - 2rrvz vz  z L
+
2rrLg 
•
•
•
•
•
+ 2rrL  p0 -
2rrL pL
=0
Asumsi : fluida tak-mampu-tekan / incompressible
Kondisi batas : vz sama pada z = 0 dan z = L
Pembagi 2πL Δr dan gunakan konsep limit
Menggunakan konsep turunan
Menggunakan konsep integrasi
d

r rz  
dr

p p
0
L
L

r

• P merupakan efek kombinasi tekanan statik dan
gaya gravitasional
• Orientasi aliran / perpindahan umum
P  p  gh
• h adalah jarak ke atas (dalam hal ini arah
berlawanan gravitasi)
• Distribusi momentum fluks
 P0  PL 
 rz  
r
 2L 
• Gunakan Hukum Newton tentang viskositas dengan
•
koordinat silinder (r)
Distribusi kecepatan
vz
2

P0  PL R 2   r  

1
4 L


  
 R  
• Distribusi kecepatan untuk laminer, aliran takmampu-tekan dalam pipa adalah parabolik
• Informasi:
• Kecepatan maksimum pada r = 0

P0  PL R 2

v z ,max
4 L
• Kecepatan rata-rata <vz> adalah jumlah
kecepatan dibagi luas bidang potong
2
R
v rdrd P  P R


v   

8L
rdrd

 
0
z
z
0
2
R
0
0
0
L
2
• Laju volume aliran Q adalah area dan kecepatan ratarata
– Dikenal sebagai Hukum Hagen-Poiseuille, yang
telah membuat formulasi
– Memberikan hubungan antara aliran laju volume
dan gaya yang menyebabkan aliran
– Gaya dihubungkan dengan penurunan tekanan /
pressure drop dan percepatan gravitasi
 P0  PL R 4
Q
8L
• Gaya fluida pada permukaan basah pipa sumbu z , Fz,
adalah fluks momentum diintegrasi pada luasan
basah
dv 

Fz  2RL    z 
 R 2 P0  PL 
dr  r  R

 R 2 P0  PL   R 2 Lg
•
•
– Gaya yang bekerja kebawah pada silinder dari
fluida oleh perbedaan tekanan dan percepatan
gravitasi adalah diimbangi oleh gaya viskus Fz
yang cenderung menahan gerakan fluida
Dapat digunakan bila nilai dari angka Reynold kurang
dari sekitar 2100 yaitu aliran laminer
Angka Reynold
Re 
D  vz  
D  2R

• Ringkasan dari perkembangan hukum Hagen-
Poiseuille:
– Aliran laminer : Re lebih kecil dari 2100
– Densitas konstan : aliran tak-mampu-tekan
– Aliran tak-bergantung waktu
– Fluida Newtonian
– Efek ujung diabaikan
– Fluida berkelakuan kontinum / satu-kesatuan
– Tidak ada slip / gelincir pada dinding
Perhitungan viskositas dari data aliran kapiler
• Gliserin (CH2OH.CHOH. CH2OH) pada 26.5 oC
mengalir melalui pipa horisontal panjang 1 ft dan
diameter dalam 0.1 in. Untuk penurunan tekanan 40
psi, laju aliran 0.00398 ft3 min-1 . Densitas gliserin
pada 26.5 oC adalah 1.261 g cm-3. Cari viskositas
gliserin dalam centipoises. (pengukuran aliran dalam
pipa sirkuler adalah satu metode umum untuk
menentukan viskositas ; alatnya dinamakan
viskometer kapilari)
• Solusi: …
• Solusi: …
• Hukum Hagen-Poiseuille
• Periksa kelakuan aliran apakah laminar atau tidak
Q 
Re 
pR 4
8QL
Dv z  

4 Q

 D
Aliran Bingham dalam pipa sirkuler
• Adanya daerah aliran sumbat
• Antarmuka : udara-cair , cair-cair , cair-padat
• Luas x momentum fluks
• Data : viskositas dan densiti
ALIRAN MELALUI ANNULUS
• Kasus lain untuk aliran kental dalam koordinat
silinder dengan kondisi batas berbeda
• Fluida incompressible mengalir steady state dalam
daerah annulus antara silinder sirkuler dua sumbu
yang sama dengan radius kR dan R
• Cara analisis / menguraikan / menjelaskan
• Menyusun kesetimbangan momentum pada kulit
silinder tipis
• Perbedaan dengan kasus aliran sebelumnya adalah
pada P
• P berbeda, tekanan dan gaya gravitasi bekerja
pada arah yang berbeda
P  p  gz
• Momentum fluks

 rz  

p p
0
L
2L
 C1
r 
r

• Konstanta C1 tidak dapat ditentukan langsung
karena tidak ada informasi mengenai momentum
fluks
• Pernyataan : maksimum pada kurva kecepatan
(belum diketahui) pada jarak r = λR ketika
momentum fluks nol
• Syarat batas 1 : r = kR , vz = 0
• Syarat batas 2 : r = R , vz = 0
• Distribusi momentum fluks dan kecepatan
• Momentum fluks

p p

2L
 rz  
0
L
 C1
r 
r

• Pada kasus ini C1 tidak dapat langsung ditentukan.
Terdapat posisi tertentu, r = R, sehingga
momentum fluksnya nol
• maka
( p0  pL )(R)2
C1  
2L
• Masukkan C1 serta substitusi  dengan Hukum
Newton tentang viskositas
• Distribusi momentum fluks dan kecepatan
 ( p0  pL ) R   r   1   2
   
 rz  

  R   2 ln 1
2L




 
 R  
  
 r  


 ( p0  pL ) R 2    r  2  1   2
 1    
vz  

   R   ln 1
4 L




 
  r 
 ln 
  R 


• Informasi aliran
• Kecepatan maksimum , v max
• Kecepatan rata-rata , <v>
• Aliran laju volume aliran , Q
• Gaya fluida pada permukaan padatan , F
• Valid untuk aliran laminer
• Transisi / perpindahan laminer-turbulen ketika Re
= 2000
• Sebelum transisi aliran laminer, gerakan sinus
muncul
Re 
2 R(1  k )vz  

laminer
turbulen
• LATIHAN: Tuliskan dengan lengkap model matematika
aliran fluida pada pipa