metode beda hingga untuk solusi numerik dari

METODE BEDA HINGGA UNTUK SOLUSI NUMERIK
DARI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES
HARGA OPSI PUT AMERIKA
SURITNO
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Metode Beda Hingga untuk Solusi
Numerik dari Persamaan Black-Scholes Harga Opsi Put Amerika adalah karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari
karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Juni 2008
Suritno
NIM 060281
ABSTRACT
SURITNO. Finite Difference Method for the Numerical Solution of the BlackScholes Equation for the Price of American Put Option. Under supervision of
ENDAR H. NUGRAHANI and DONNY CITRA LESMANA
For the evaluation of American options, a general closed-form analytical solution
does not exist yet. The basic reason is that the corresponding partial differential equation,
known as Black-Scholes equation, needs to be solved with a free boundary value. A
common way to deal with this problem is to apply numerical methods. The objectives of
this paper are: to explore the determination of American put option price through
analytical approximation and to compare the methods of determining American put
option price with explicit, implicit and Crank-Nicholson finite difference methods. The
results show that analytical approximation of American put option price can be
formulated. Compared to other methods, the explicit finite difference method by
transformation of variable is the best method according to its computing time.
Keywords: Black-Scholes, American put option, analytical approximation, finite
difference method
RINGKASAN
SURITNO. Metode Beda Hingga untuk Solusi Numerik dari Persamaan Black-Scholes
Harga Opsi Put Amerika. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan DONNY
CITRA LESMANA .
Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak,
satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada
harga dan periode waktu tertentu. Aset tertentu dalam penelitian ini adalah saham.
Terdapat dua jenis kontrak opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu
opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu dengan
jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu pula.
Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu
dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu
pula. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli aset dalam kontrak opsi dikatakan
sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu eksekusi terdapat dua tipe opsi, yaitu opsi
Eropa dan opsi Amerika. Opsi Eropa hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo,
sedangkan opsi Amerika dapat dieksekusi pada sebarang waktu sampai dengan jatuh
tempo. Harga opsi Eropa dapat ditentukan dengan menggunakan formula Black-Scholes
yang merupakan solusi analitik dari persamaan Black-Scholes, namun untuk opsi
Amerika belum terdapat solusi analitik, sehingga penelitian-penelitian yang selama ini
dilakukan untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan
analitik, stokastik dan numerik. Pendekatan numerik yang sering dilakukan untuk
menentukan nilai suatu opsi adalah dengan menggunakan metode beda hingga dan
metode lattice (binomial dan trinomial).
Berdasarkan hal tersebut, maka penelitian ini bertujuan mengeksplorasi penentuan
harga opsi put Amerika dengan pendekatan analitik dan membandingkan metode
penentuan harga opsi put Amerika secara numerik dengan metode beda hingga eksplisit,
implisit dan Crank-Nicholson.
Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka, dengan langkah pertama
menurunkan persamaan Black-Scholes. Selanjutnya dengan persamaan ter-sebut dicari
formula untuk harga opsi put Amerika dengan menggunakan pendekatan analitik.
Langkah berikutnya menentukan solusi numerik persamaan Black-Scholes yang
merupakan harga opsi put Amerika dengan menggunakan metode beda hingga. Metode
beda hingga yang digunakan untuk menentukan harga opsi put Amerika adalah metode
implisit, Crank-Nicholson dan eksplisit serta implisit dengan transformasi peubah. Untuk
memperoleh output berupa harga opsi put Amerika, metode beda hingga tersebut
diimplementasikan pada software Matlab. Untuk mengimplementasikan pada Matlab
terlebih dahulu disusun kode programnya dengan menggunakan parameter-parameter
input, yaitu: S (harga saham awal), K (harga eksekusi), r (suku bunga),
(volatilitas), T
(waktu jatuh tempo), M (banyaknya partisi untuk harga saham) dan N (banyaknya partisi
untuk waktu). Dari hasil simulasi pada komputer dapat dilihat perbandingan harga opsi
put Amerika dan waktu komputasi yang digunakan serta hubungan antara harga opsi put
Amerika dengan parameter-parameter S, r dan T .
Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa: 1) harga opsi put Amerika
dengan pendekatan analitik dapat dinyatakan dalam suatu formula yang memuat
parameter S yang menyatakan harga kritis saham, 2) penentuan harga opsi put Amerika
dengan menggunakan metode beda hingga, menunjukkan bahwa metode beda hingga
eksplisit dengan transformasi peubah merupakan metode yang lebih baik dibandingkan
dengan ketiga metode lainnya berdasarkan waktu komputasinya, dan 3) berdasarkan
hasil simulasi diperoleh informasi: semakin tinggi harga saham pada saat kontrak opsi
dibuat maka harga opsi semakin rendah, semakin tinggi suku bunga pada saat kontrak
opsi dibuat maka harga opsi semakin rendah dan semakin lama waktu jatuh tempo
maka harga opsi semakin tinggi.
Kata kunci: persamaan Black-Scoles, opsi put Amerika, pendekatan analitik, metode
beda hingga
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008
Hak cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebutkan sumber
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian,
penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik
atau tinjauan suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar
Institut Pertanian Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau
seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut
Pertanian Bogor.
METODE BEDA HINGGA UNTUK SOLUSI NUMERIK
DARI PERSAMAAN BLACK-SCHOLES
HARGA OPSI PUT AMERIKA
SURITNO
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2008
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl.
Judul Tesis
Nama
NRP
: Metode Beda Hingga untuk Solusi Numerik dari Persamaan
Black-Scholes Harga Opsi Put Amerika
: Suritno
: G551060281
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Ketua
Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Tanggal Ujian: 23 Juli 2008
Dekan Sekolah Pascasarjana
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya
sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang
dilaksanakan sejak bulan Nopember 2007 ini ialah masalah opsi Amerika, dengan judul
Metode Beda Hingga untuk Solusi Numerik dari Persamaan Black-Scholes Harga Opsi
Put Amerika.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS dan
Bapak Donny Citra Lesmana, M.Fin.Math selaku pembimbing, serta kepada Bapak Drs.
Effendi Syahril, Grad. Dipl. selaku penguji luar komisi. Tak lupa ucapan terima kasih
penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah
memberikan beasiswa. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak
serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat
Bogor, Juli 2008
Suritno
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sleman pada tanggal 24 Oktober 1967 dari ayah
Pawirowiryo dan ibu Wagirah. Penulis merupakan putra ketujuh dari tujuh bersaudara.
Tahun 1986 penulis lulus dari MAN Yogyakarta II jurusan IPA. Pada tahun 1987
melanjutkan pendidikan di IKIP PGRI Yogyakarta. Penulis memilih Jurusan Pendidikan
Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan
selesai pada tahun 1991.
Tahun 1991 sampai dengan tahun 1995 penulis bekerja di IKIP PGRI Yogyakarta.
Pada tahun 1995 masuk PNS dan mengajar di MTs Negeri Tempel Sleman. Pada tahun
2001 pindah tugas mengajar di MTs Negeri Godean Sleman. Pada tahun 2006 penulis
lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut
Pertanian Bogor lewat jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik
Indonesia.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL.............................................................................................
xii
DAFTAR GAMBAR........................................................................................
xiii
DAFTAR LAMPIRAN.....................................................................................
xiv
I
PENDAHULUAN……………………………………………………..
1.1 Latar Belakang…………………………………………………........
1.2 Tujuan Penelitian.................................................................................
1
1
3
II
LANDASAN TEORI................................................................................
2.1 Aset yang Mendasari Opsi................................................................
2.2 Nilai Opsi..........................................................................................
2.3 Tipe Opsi...........................................................................................
2.4 Keuntungan Opsi...............................................................................
2.5 Faktor-faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi................................
2.6 Persamaan Black-Scholes..................................................................
2.7 Formulasi Harga Black-Scholes........................................................
2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes.......................................................
2.9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika............................
2.10 Masalah Nilai Batas Opsi Put Amerika............................................
4
4
4
5
6
7
8
11
16
18
19
III PENDEKATAN ANALITIK UNTUK HARGA OPSI AMERIKA........
3.1 Penentuan Harga Opsi Call Amerika................................................
3.2 Penentuan Harga Opsi Put Amerika.................................................
21
21
25
IV METODE BEDA HINGGA......................................................................
4.1 Diskretisasi dari suatu Persamaan.....................................................
4.2 Aproksimasi Turunan Parsial............................................................
4.3 Syarat Batas dan Syarat Akhir...........................................................
4.4 Transformasi Peubah.........................................................................
4.5 Metode Beda Hingga Eksplisit..........................................................
4.6 Metode Beda Hingga Implisit...........................................................
4.7 Metode Beda Hingga Crank-Nicholson............................................
4.8 Metode Beda Hingga Eksplisit dengan Transformasi Peubah..........
4.9 Metode Beda Hingga Implisit dengan Transformasi Peubah............
4.10 Analisis Kestabilan............................................................................
28
28
29
31
31
33
34
36
37
38
39
V
HASIL SIMULASI...................................................................................
5.1 Implementasi pada Matlab................................................................
5.2 Hasil Simulasi dengan Matlab...........................................................
46
46
47
VI SIMPULAN...............................................................................................
52
x
DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................
53
LAMPIRAN......................................................................................................
54
xi
DAFTAR TABEL
Halaman
1
Perbandingan harga opsi dan waktu komputasi..........................................
47
2
Harga opsi put Amerika dengan harga saham awal yang bervariasi.........
49
3
Harga opsi put Amerika dengan suku bunga bervariasi.............................
50
4
Harga opsi put Amerika dengan waktu jatuh tempo yang bervariasi.........
50
xii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1
Grid untuk aproksimasi beda hingga..........................................................
29
2
Skema beda hingga eksplisit.......................................................................
33
3
Skema beda hingga implisit........................................................................
34
4
Perbandingan harga opsi.............................................................................
48
5
Perbandingan waktu komputasi.............................................................................
48
6
Waktu komputasi metode Crank-Nicholson..........................................................
48
7
Hubungan harga opsi degan harga saham awal.........................................
49
8
Hubungan harga opsi dengan suku bunga..................................................
50
9
Hubungan harga opsi degan waktu jatuh tempo........................................
51
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
Penurunan Persamaan (2.8)……………………………………………….
55
2
Penentuan rataan dan standar deviasi peubah Q.........................................
55
3
Penurunan Persamaan (2.25).......................................................................
56
4
Penurunan Persamaan (4.16).......................................................................
57
5
Penurunan Persamaan (4.20).......................................................................
58
6
Penyederhanaan (4.41)................................................................................
59
7
Program metode beda hingga implisit........................................................
59
8
Program metode beda hingga Crank-Nicholson.........................................
61
9
Program metode beda hingga eksplisit dengan transformasi peubah........
63
10 Program metode beda hingga implisit dengan transformasi peubah.........
65
xiv
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam dunia keuangan, dikenal adanya pasar keuangan (financial market)
yang terdiri atas pasar uang (money market) dan pasar modal (capital market).
Pada pasar uang terjadi jual beli aset keuangan dalam jangka pendek, sedangkan
untuk pasar modal terjadi jual beli aset keuangan untuk jangka panjang. Pasar
modal terdiri atas pasar obligasi, pasar saham dan pasar untuk derivatif (Bodie et
al. 2006).
Hull (2003) menyatakan bahwa derivatif adalah instrumen keuangan yang
nilainya didasarkan atau diturunkan dari aset yang mendasarinya. Beberapa
produk derivatif antara lain: kontrak berjangka (future contract), kontrak forward
dan kontrak opsi. Kontrak berjangka merupakan suatu kewajiban untuk membeli
atau menjual suatu aset pada harga yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo.
Kontrak forward merupakan perjanjian untuk melakukan penyerahan aset di masa
mendatang pada harga yang disepakati.
Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua
pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli
aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu (Niwiga 2005). Terdapat dua
jenis kontrak opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi
call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu dengan
jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu
pula. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu
aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama
periode waktu tertentu pula. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli aset
dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi. Berdasarkan waktu
eksekusi terdapat dua tipe opsi, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi Eropa
hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika dapat
dieksekusi pada sebarang waktu sampai dengan waktu jatuh tempo (Hull 2003).
Pada tahun 1973, Fisher Black, Myron Scholes (Hull 2003) berhasil
menentukan solusi analitik dari suatu persamaan Black-Scholes-Merton. Solusi
analitik tersebut dikenal sebagai formula Black-Scholes. Formula Black-Scholes
2
itu menyatakan harga dari opsi call Eropa. Harga opsi put Eropa dapat ditentukan
melalui kesetaraan antara put dan call.
Pada opsi Amerika terdapat kebebasan waktu eksekusi, maka hingga saat
ini belum terdapat solusi analitik. Penelitian-penelitian yang selama ini dilakukan
untuk menentukan harga opsi Amerika adalah menggunakan pendekatan analitik,
stokastik dan numerik (Pauly 2004).
Penelitian penentuan harga opsi Amerika dengan pendekatan analitik telah
dilakukan oleh MacMillan, kemudian dikembangkan oleh Barone-Adesi dan
Whaley (Hull 2003). Eksplorasi penentuan harga opsi Amerika dengan pendekatan analitik hingga saat ini masih terus dikembangkan. Hull dan White (1990)
menyatakan bahwa dua pendekatan numerik yang sering dilakukan untuk
menentukan nilai suatu derivatif adalah dengan menggunakan
metode beda
hingga dan metode lattice (binomial dan trinomial).
Beberapa penelitian yang menggunakan pendekatan numerik untuk
menentukan harga opsi Amerika antara lain dilakukan oleh Kerman (2002)
dengan menggunakan metode beda hingga dengan cara mengubah Persamaan
Black-Scholes menjadi persamaan difusi. Niwiga (2005) juga menggunakan metode numerik, yaitu dengan cara menerapkan metode beda hingga pada Persamaan
Black-scholes-Merton, yang hasil simulasinya memperlihatkan perbandingan
antara harga opsi put Amerika menggunakan metode beda hingga implisit dan
Crank-Nicholson. Brenan dan Schwartz, Geski dan Shastri dalam Hull dan White
(1990) menyatakan bahwa akan lebih efisien menggunakan transformasi
logaritma terhadap harga saham ketika menggunakan metode beda hingga,
sehingga dalam penelitian ini juga akan digunakan transformasi logaritma untuk
harga saham.
Berdasarkan uraian di atas, harga opsi Eropa dapat ditentukan dengan
menggunakan formula Black-Scholes yang merupakan solusi analitik dari
persamaan Black-Scholes-Merton, namun untuk opsi Amerika belum terdapat
solusi analitik, sehingga dalam penelitian ini akan diekplorasi penentuan harga
opsi Amerika dengan pendekatan analitik, serta penggunaan pendekatan numerik
beda hingga untuk menentukan harga opsi Amerika.
3
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1 mengeksplorasi penentuan harga opsi put Amerika dengan pendekatan
analitik,
2 membandingkan metode penentuan harga opsi put Amerika secara numerik
dengan metode beda hingga eksplisit, implisit dan Crank-Nicholson.
4
BAB II
LANDASAN TEORI
Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak, salah satu
pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset
tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang
ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau
akan menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya
akan menghasilkan keuntungan baik dengan menjual atau membeli aset yang
mendasari tersebut.
2.1 Aset yang Mendasari Opsi
Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara
lain opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option) opsi
berjangka (future option) dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu
opsi dengan aset yang mendasarinya adalah indeks pasar saham. Opsi valuta asing
adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah mata uang asing dengan
kurs tertentu, sedangkan opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset yang
mendasarinya adalah kontrak berjangka.
Opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham.
Bursa Amerika yang memperdagangkan opsi saham antara lain The Chicago
Board Option Exchange (CBOE), The Philadephia Stock Exchange (PHLX), The
American Stock Exchange (AMEX), The Pacific Stock Exchange (PSE), dan New
York Stock Exchange (NYSE). Bursa Indonesia yang memperdagangkan opsi
saham adalah Bursa Efek Jakarta (BEJ). Dalam penelitian ini yang digunakan
adalah opsi saham.
2.2 Nilai Opsi
2.2.1 Nilai intrinsik
Nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan
investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi
dengan segera tidak positif, maka nilai intrinsik adalah nol. Untuk opsi call, nilai
5
intrinsik akan positif jika harga saham yang terjadi St
lebih besar dari pada
harga eksekusi (harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo). Sedangkan untuk
opsi put nilai intrinsik akan positif jika harga saham berlaku St
kurang dari
harga eksekusi K .
2.2.2 Nilai waktu
Nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga
atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh
pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuat.
2.3 Tipe Opsi
Terdapat dua tipe kontrak opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan
opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu
aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi (strike price, exercise
price) sampai waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada
pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga
eksekusi sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi call tersebut ada empat
hal utama, yaitu:
? harga aset yang mendasari yang akan dibeli
? jumlah aset yang mendasari yang dapat dibeli
? harga eksekusi aset yang mendasari
? tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut dengan expiration date.
Pada kontrak opsi put empat hal tersebut identik dengan yang tertuang dalam opsi
call.
Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu
pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika.
Misalkan harga saham awal (pada saat disetujui kontrak) adalah S, waktu jatuh
tempo T dan harga eksekusi adalah K, serta c
call Eropa pada saat t, dan p
c S , t menyatakan harga opsi
p S , t menyatakan harga opsi put Eropa pada
saat t. Nilai intrinsik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan
sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi yaitu
6
c
Jika ST
K,0 .
max ST
K , opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi
akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga ST yang
lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlah ST
K . Jika ST
opsi call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila ST
K
K opsi
call dikatakan dalam keadaan out of the money. Kondisi payoff dari opsi put
Eropa adalah
p
Jika
ST
ST , 0 .
max K
K , opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak
menggunakan haknya. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa
yang dikenal dengan put-call-parity, dapat dinyataan sebagai berikut:
c Ke
rT
p S,
dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko.
Apabila
P
P S,t
C
C S,t
menyatakan harga opsi call Amerika dan
menyatakan harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu
maturity untuk call adalah:
C
max S T
K,0 .
Sedangkan untuk opsi put
P
max K
S T ,0 .
2.4 Keuntungan Opsi
Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa
manfaat seperti berikut ini.
?
Manajemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat
melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi
risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang
mendasarinya turun dratis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko
kerugian.
7
? Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang
opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan
haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo berakhir.
? Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan
jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila
diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila
harga cenderung turun maka akan membeli opsi put.
?
Penambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan
memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi warrant, yaitu
berupa premi dari opsi tersebut.
2.5 Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi
2.5.1 Harga aset yang mendasari dan harga eksekusi
Jika suatu opsi call dieksekusi pada suatu waktu di masa yang akan datang,
pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga
eksekusi. Suatu opsi call
akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang
mendasari meningkat dan kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat.
Sementara pada opsi put, pembayaran atas eksekusi hak adalah sebesar selisih
antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya.
2.5.2 Tanggal jatuh tempo
Untuk tipe Amerika, dari kedua macam opsi baik opsi call maupun opsi put
menjadi lebih berharga jika waktu jatuh temponya semakin meningkat. Sementara
untuk tipe Eropa nilai terhadap opsi baik call mupun put tidak terpengaruh
dengan jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi hak.
2.5.3 Volatilitas
Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat
ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa datang.
Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang
aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan terhadap suatu
opsi.
8
2.5.4 Suku Bunga Bebas Risiko (Risk free interest rate)
Suku bunga bebas risiko mempengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat suku
bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan akan mempengaruhi harapan
kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini saham). Dengan mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun jika suku
bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi
call akan selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga bebas risiko.
2.6 Persamaan Black-Scholes
Fischer Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 dalam merumuskan nilai
opsi call Eropa mendasarkan pada beberapa asumsi berikut ini:
Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener dengan
dan
konstan.
Tidak ada biaya transaksi dan pajak.
Tidak ada pembayaran dividen pada opsi.
Tidak terdapat peluang arbitrase, yaitu suatu peluang untuk memperoleh
keuntungan tanpa risiko.
Short selling diijinkan.
Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu
jatuh tempo.
Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes didefinisikan atau ditentukan
beberapa istilah berikut:
Definisi 1 (Proses Stokastik)
Proses stokastik X
X t ,t
H adalah suatu koleksi (himpunan) dari peubah
acak. Untuk setiap t pada himpunan indeks H, X t adalah suatu peubah acak
dan t sering diinterpretasikan sebagai waktu (Ross 1996).
Definisi 2 (Gerak Brown)
Proses stokastik X
1 X 0
0.
X t ,t
H disebut proses gerak Brown jika (Ross 1996):
9
2 Untuk 0 t1
tn peubah acak X ti
t2
X ti
1
, i 1, 2, 3,..., n saling
bebas.
3 Untuk setiap t
0, X t berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian
2
t.
Definisi 3 (Gerak Brown Geometris)
Jika X t , t
0 adalah gerak Brown, maka proses stokastik Z t , t
didefinisikan Z t
eX
t
0 yang
disebut gerak Brown geometris (Ross 1996).
Definisi 4 (Proses Wiener )
Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1 (Niwiga 2005).
Definisi 5 (Proses Wiener Umum)
Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai
berikut (Hull 2003):
dX t
(2.1)
adt bdW (t )
adt disebut sebagi komponen deterministik dan bdW (t ) menyatakan komponen
stokastik, serta W (t ) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing
menyatakan rataan dan standar deviasi dari X.
Definisi 6 (Proses Ito’)
Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu
fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Secara aljabar proses Ito’ dapat dinyatakan
sebagai berikut (Hull,2003):
dX t
a X t , t dt b X t , t dW t
(2.2)
Definisi 7 (Lemma Ito’)
Misalkan proses X t
memenuhi (2.2) dan fungsi Y t
f X t ,t
kontinu serta turunan-turunan f t X t , t , f X X t , t , f XX X t , t
maka Y t
f X t , t memenuhi persamaan berikut (Gihman 1972):
adalah
kontinu,
10
dY t
f t X t , t dt
f X X t , t dX t
1
f XX X t , t dX t
2
2
,
(2.3)
dengan
f
, fX
t
ft
2
f
, f XX
X
f
X2
dan
dt
2
dW t dt
dtdW t
0, dW t
2
dt.
Definisi 8 (Model Harga Saham)
Jika S harga saham pada waktu t, µ adalah parameter konstan yang
menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan
volatilitas harga
saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu (Hull 2003):
dS t
S t dt
(2.4)
S t dW t .
Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan
diturunkan
persamaan
Black-Scholes. Misalkan X(t) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan
(2.1). Persamaan ini
dapat dikembangkan menjadi (2.2). Selanjutnya akan
ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi
pembayaran dividen pada saham. Misalkan S(t) adalah harga saham pada waktu t.
Mengingat proses Ito’, perubahan S(t) akan memiliki nilai harapan drift rate
Parameter
S.
menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan
S t dt disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi
oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah
dengan
S t dW t ,
menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham
mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari
harga saham adalah berbentuk (2.4), yaitu: dS t
S t dt
S t dW t .
Dengan (2.4) ini, dapat diterapkan lemma Ito’ untuk suatu fungsi V(S,t),
yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh:
dV
S
V
S
V
t
1
2
2
2
S2
V
dt
S2
S
V
dW t .
S
(2.5)
11
Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi
dan menjual
V
saham. Misalkan
S
adalah nilai portofolio yang dimaksud,
maka
V
S.
S
V
(2.6)
Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai
d
V
dS .
S
dV
(2.7)
Dengan menyubstitusikan (2.3) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh
V
t
d
2
1
2
2
S2
V
dt.
S2
(2.8)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 1)
Return dari investasi sebesar
pada saham takberisiko akan memiliki
pertumbuhan sebesar r dt dalam selang waktu dt , dengan r adalah suku bungan bebas resiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini
harus sama dengan ruas kanan dari (2.8), yaitu:
V
t
r dt
1
2
2
2
V2
dt.
S2
S2
(2.9)
Substitusi (2.6) ke dalam (2.9), menghasilkan
V
rS dt
t
rV
1
2
2
2
S2
V
S2
rS
V
t
V
S
1
2
V
t
2
2
S2
rV
V2
dt
S2
0.
(2.10)
Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes.
2.7 Formulasi Harga Black-Scholes
Hull (2003) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi
analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut
formula Black-scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko
12
netral. Untuk sebuah opsi call Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat
jatuh tempo adalah
Eˆ max ST
K ,0 .
(2.11)
Didefinisikan g(ST) adalah fungsi kepekatan peluang dari S T , maka
Eˆ max ST
K ,0
ST
(2.12)
K g ST dST .
K
Misalkan G
G
S
ln S , maka
1 2G
,
S S2
1
G
dan
2
t
S
0 . Berdasarkan lemma
Ito’ diperoleh
dG
S
1
S
0
1
2
dan
Karena
1
2
2
2
1
2
2
dt
konstan maka G
2
dan variansi
S2
1
dt
S2
S
1
dW t
S
dW t .
ln S mengikuti gerak Brown dengan rataan
.
dS
merupakan tingkat pengembalian dari harga saham.
S
Berdasarkan (2.3),
Bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat
deterministik adalah
dt . Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat
deterministik adalah pengembalian dari sejumlah dana yang diinvestasikan di
bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari
harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta
dapat diganti dengan r. Karena G
G
r
ln S berubah dari 0 sampai dengan T dan
ln S mengikuti gerak Brown, maka ln S berdistribusi normal dengan rataan
1
2
2
T dan variansi
2
T.
Misalkan pada waktu t = 0 nilai G
maka pada selang waktu t
ln S 0 dan pada waktu T nilai G
0 sampai dengan T, ln ST
ln S 0
ln ST ,
adalah berdis-
tribusi normal dengan rataan dan variansi seperti di atas, sehingga diperoleh:
13
\
ln ST
ln S 0 ~ N
1
2
r
2
T,
T
atau dapat dituliskan ln ST berdistribusi normal dengan
ln ST ~ N ln S 0
1
2
r
2
T .
T,
Dengan demikian ln ST berdistribusi normal dengan rataan
m ln S 0
1
2
r
2
T
dan standar deviasi
s
T.
(2.13)
Selanjutnya didefinisikan pula sebuah peubah Q dengan
Q=
ln ST
m
T
.
(2.14)
Substitusi m dari (2.13) ke dalam (2.14) diperoleh
1
Q
ln ST
T
ln S 0
2
1
T
r
2
T,
maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1,
dan fungsi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan h(Q), yaitu
1
e
2
hQ
Q2 / 2
.
(2.15)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 2)
Persamaan (2.14) diubah menjadi
ST
eQ
T
m
.
(2.16)
maka, perubahan batas integral pada sisi kanan dari (2.12), dari integral menurut
ST menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut:
Jika S T
, maka Q =
.
Jika ST
K maka K = e
Q
T
m
sehingga Q =
ln K
m
T
.
Dengan menggunakan (2.15), (2.16) dan perubahan batas integral serta
misalkan s =
T , maka (2.12) menjadi:
14
Eˆ max ST
e Qs
K ,0
m
K h Q dQ
ln K m / s
e Qs
=
m
h(Q) dQ – K
(ln K m ) / s
e Qs
=
1
m
1
=
(ln K m ) / s
em
em
2m) / 2
s2
dQ – K
h(Q) dQ
2m) / 2
dQ – K
h(Q) dQ
(ln K m ) / s
1 (
e
2
s2 / 2
s2 / 2
h(Q) dQ
(ln K m ) / s
(Q s )2
(ln K m ) / s
=
dQ – K
(ln K m ) / s
1 (
e
2
=
Q2 / 2
Q 2 2 Qs
e(
2
(ln K m ) / s
e
2
(ln K m ) / s
=
h(Q) dQ
(ln K m ) / s
(Q s )2 ) / 2
dQ – K
h(Q) dQ
(ln K m ) / s
h(Q s ) dQ – K
(ln K m ) / s
h(Q) dQ,
(ln K m ) / s
sehingga (2.12) dapat dinyatakan dengan
Eˆ max ST
K ,0 =
s2 / 2
em
h(Q s ) dQ – K
(ln K m ) / s
h(Q) dQ.
(2.17)
(ln K m ) / s
Jika N(x) didefinisikan sebagai suatu fungsi berdistribusi normal kumulatif,
maka
em
s2 / 2
2
h(Q s ) dQ = e m
T /2
[1 N [(ln K
m) / s
s ]]
(ln K m ) / s
= em
2
T /2
[ N [( ln K
m) / s s ]].
Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di
atas disubstitusi dengan (2.13) dan s =
em
s2 / 2
T , maka diperoleh
2
h(Q s ) dQ e m
2
em
2
T /2
N
ln K ln S 0
r
2
(ln K m ) / s
T /2
T /
T
T
2
N
ln S0 / K
r
2
T
2
T /
T
15
2
em
2
em
2
T /2
N
T /2
ln S0 / K
r
2
T /
T
N d1 ,
2
dengan d1
ln S 0 / K
r
T /
2
T.
Dengan alasan yang seperti di atas, maka
K
h(Q) dQ
ln K m
S
K 1 N
(ln K m ) / s
ln K
S
KN
m
.
(2.18)
Dengan menyubstitusikan m dan s pada (2.13) ke dalam (2.18) diperoleh
2
K
h(Q ) dQ
KN
ln K ln S0
r
2
(ln K m ) / s
T /
T
2
KN
ln S0 / K
r
T /
2
T
= KN d 2 ,
2
dengan d 2
ln S0 / K
r
T /
2
T,
sehingga (2.12) menjadi
em
Ê [max(ST – K, 0)]
e ln S0
2
T /2
N d1
r
2
/2 T
= S 0 e rT N d1
KN d 2
2
T /2
N d1
KN d 2 .
KN d 2
(2.19)
Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang
dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga
bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai
c e
rT
Eˆ max ST
K ,0 .
(2.20)
Dengan substitusi (2.19) ke dalam (2.20) diperoleh formula Black-Scholes
untuk opsi call Eropa tanpa membayarkan dividen pada saat kontrak opsi dibuat,
yaitu
16
c
S0 N d1
Ke
rT
(2.21)
N d2
dan dengan put-call-parity diperoleh harga opsi put Eropa
p
rT
Ke
N
d2
S0 N
d1
dengan
2
d1
ln S0 / K
r
d2
ln S0 / K
r
2
T /
T dan
T /
T
2
2
d1
T.
2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa c S , t pada (2.21) merupakan solusi
dari (2.10), maka kita tentukan turunan-turunan (2.21) terhadap t dan S serta
peubah T diganti dengan T t .
Turunan d1 terhadap S adalah
d1
S
1
(S / K ) K
T
1
S
Dari persamaan d 2
T
t
d1
T
t
t
2
.
(2.22)
T t , turunan terhadap t
dan S
berturut-turut
adalah
d1
t
d2
t
2 T t
d2
S
d1
S
S
d2
S
d1
.
S
dan
T t
sehingga
(2.23)
17
Turunan parsial (2.21) terhadap t adalah'
SN ' d1
d1
t
rK
= SN ' d1
d1
t
rK
c
t
d1
t
= SN ' d1
r (T t )
r (T t )
d2
t
N d2
K
N d2
rK
r (T t )
SN '(d1 )
r (T t )
N ' d2
d2
t
d2
t
N d2 .
(2.24)
Substitusi (2.23) ke dalam (2.24) diperoleh
c
t
SN ' d1
rK
2 T t
r (T t )
N d2
(2.25)
dengan
SN ' d1
N ' d 2 Ke
r (T t )
.
(2.26)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3)
Turunan parsial (2.21) terhadap S adalah
c
S
d1
S
N (d1 ) SN ' d1
K
r (T t )
N ' d2
d2
S
(2.27)
Substitusi (2.23) dan (2.26) ke dalam (2.27) diperoleh
c
S
N (d1 ) SN ' d1
d1
S
SN ' d1
d2
S
c
S
N (d1 ) SN ' d1
d1
S
SN ' d1
d1
S
= N d1
(2.28)
2
c
S2
d1
S
N ' d1
(2.29)
Substitusi (2.22) ke dalam (2.29) diperoleh
2
c
S2
N ' d1
1
T t
S
(2.30)
Peubah V pada (2.10) diubah dengan c maka menjadi
c
t
rS
c
S
1
2
2 2
2
S2
c
S2
rc
0
Substitusi (2.21), (2.25), (2.27) dan (2.30) ke dalam (2.31) didapat
(2.31)
18
c
t
rS
c
S
2
1
2
2
S2
c
S2
rc
SN ' d1
2 T t
1
2
rSN d1
r SN d1
rSN d1
=
2
K
r (T t )
rK
S 2 N ' d1
r (T t )
N d2
S
1
T t
N d2
rSN d1
+
SN ' d1
rK
+
2 T t
r (T t )
N d2
1
2
2
S 2 N ' d1
rK
r (T t )
S
1
T t
N d2
=0
2. 9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika
Persamaan (2.4) menyatakan bahwa model perubahan harga saham adalah
dS t
S t dt
S t dW t .
Seperti halnya pada penurunan Persamaan Black-Scholes, dibentuk suatu portofolio dengan membeli sebuah opsi put Amerika dan menjual sejumlah
saham,
maka diperoleh:
V
Dengan memilih
S.
V
S
dan analogi (2.8), maka nilai portofolio berubah
menjadi
d
V
t
1
2
2
2
V2
dt .
S2
S2
Pada Persamaan Black-Scholes untuk opsi Eropa argumentasinya adalah
dibentuk suatu persamaan dengan return takberisiko, agar tidak terjadi peluang
arbitrase. Namun ketika opsi pada portofolio itu opsi Amerika, diperoleh
pendapatan tidak lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu,
sehingga
d
r dt
r V
S
V
dt .
S
19
Alasannya adalah pemegang opsi Amerika mengontrol kapan dia akan mengeksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan
kurang dari return tanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan:
V
t
1
2
2
2
V2
dt
S2
S2
r V
S
V
dt
S
atau
V
t
rS
V
S
1
2
2
2
S2
V2
S2
rV
0.
(2.32)
Pertidaksamaan (2.32) adalah merupakan ketaksamaan Black-Scholes opsi Amerika. Pertidaksamaan (2.32) dapat dinyatakan sebagai berikut:
V
t
rS
V
S
1
2
V
t
rS
V
S
1
2
2
2
V2
S2
S2
0
(2.33)
0.
(2.34)
2
2
S2
V2
S2
rV
rV
Dengan adanya ketaksamaan tersebut, maka perlu adanya nilai batas untuk
menentukan nilai opsi put Amerika
2.10 Masalah Nilai Batas Bebas Opsi Put Amerika
Pauly (2004) menyatakan, kondisi batas bawah untuk opsi put Amerika
adalah
V S,t
K
S
,
S,t .
(2.35)
Hal ini dengan alasan sebagai berikut: jika 0 = V = K – S seseorang dapat membeli
opsi put V, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S dan menjualnya
sebesar K. Dengan demikian ia memperoleh pendapatan tidak berisiko sebesar
K
S V
0 . Karena Black-Scholes dengan asumsi tidak terjadi kesempatan
arbitrase, maka (2.35) adalah kendala yang benar untuk opsi put Amerika.
Misalkan S(t) menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan
optimal apabila dieksekusi lebih awal dan 0 S t
akan dieksekusi, namun jika S t
(2.35) dapat dinyatakan dengan:
K , jika S
S t maka opsi
S opsi tidak dieksekusi. Dengan demikian
20
V (S , t )
K
S,
S
S (t )
(K
S ) , S (t )
(2.36)
S.
Karena S(t) tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap V(S,t) ini disebut
masalah nilai batas bebas (free boundary-value problem), sehingga ketika
S
S (t )
K nilai V S , t
K S , serta V harus memenuhi (2.33), sehingga
nilai opsi put Amerika memenuhi:
V
t
V
S
rS
V (S , t )
2
1
2
2
S2
V2
S2
0
K S.
(2.37)
S , nilai V ( S , t ) ( K
Pada saat S t
rV
S ) , serta V harus memenuhi (2.34),
sehingga nilai opsi put Amerika memenuhi:
V
t
V
S
1
2
V (S , t ) ( K
S)
rS
2
2
S2
V2
S2
rV
0
(2.38)
Dengan demikian masalah nilai batas bebas dari opsi put Amerika adalah
sebagai berikut:
untuk S < S(t)
V
t
rS
V (S , t )
untuk S(t )< S
V
t
rS
V
S
1
2
2
2
V2
S2
S2
rV
0
K S
V
S
1
2
2
2
S2
V2
S2
rV
0
V (S , t ) ( K S ) .
lim V ( S , t ) 0
Syarat batas
S
lim V ( S , t )
S
syarat akhir
K
0
V ( S (t ), t )
K
dan
S (t ) .
(2.39)
21
BAB III
PENDEKATAN ANALITIK UNTUK HARGA OPSI AMERIKA
Penelitian dengan pendekatan analitik untuk menentukan harga opsi
Amerika telah dilakukan oleh beberapa peneliti. Salah satu peneliti
adalah
MacMillan, yang selanjutnya dikembangkan oleh Barone-Adesi dan Whaley (Hull
2003). Mereka memisahkan harga opsi menjadi dua komponen, yaitu: harga opsi
Eropa
dan premi eksekusi awal. Kemudian diperoleh persamaan diferensial
parsial untuk premi eksekusi awal. Dari persamaan diferensial tersebut, akan
diberikan beberapa asumsi penyederhanaan untuk mendapatkan persamaan
kuadratik untuk mengaproksimasi solusi.
3.1 Penentuan Harga Opsi Call Amerika
Mengacu pada Hull (2003), untuk menentukan harga opsi Amerika dengan
pendekatan analitik digunakan beberapa pemisalan, yaitu: misalkan v adalah harga
v
, v SS
S
opsi, dengan vS
2
v
S
2
v
t
dan vt
eksekusi. Kemudian misalkan V S , t
dan v S , T
serta K menyatakan harga
masing-masing menyatakan
harga opsi Amerika dan Eropa. Harga opsi call dinyatakan oleh C S , t untuk opsi
Amerika dan c S , T untuk opsi Eropa.
Misalkan opsi tidak memberikan dividen, sehingga persamaan diferensial
parsial yang menyatakan harga opsi call Amerika berdasarkan (2.10) diberikan
oleh
1
2
2
S 2CSS
rSCS
Ct
rC
0.
(3.1)
Selanjutnya premi eksekusi awal didefinisikan oleh
S,T
C (S , T ) c S , T .
(3.2)
dengan S menyatakan harga saham, dan T waktu jatuh tempo serta (3.2) harus
memenuhi
1
2
Misalkan
2
S2
SS
rS
S
t
r
0.
(3.3)
22
T t, h
r
1 e
2r
,
, dan
2
h( ) g S , h . (3.4)
S,
Dari (3.4) diperoleh
S
t
hg S ,
hg SS dan
SS
ht g hg t .
h
t
h
g h g S St
g h ht
1g
ghh
h0
1
h g hh g h .
(3.5)
2
Selanjutnya kedua ruas (3.3) dikalikan dengan
S2
2r
SS
2
S
2
S
2
2
2r
t
sehingga didapat persamaan
0.
2
(3.6)
Substitusi (3.4) ke dalam (3.6) diperoleh
S2
SS
S
S
r
0,
hg
t
(3.7)
dan substitusi (3.5) ke dalam (3.7) diperoleh
S 2 hg SS
Shg S
r
h g hh g h
g
h
S 2 g SS
Sg S
S 2 g SS
Sg S
S 2 g SS
Sg S
1 h
S 2 g SS
Sg S
g
h
h
r
r
re
r
h gh
g
h
hg
g
gh
g
h
gh
1 h
gh
0
0
g
g
0
0
0.
(3.8)
Pendekatan analitik diperoleh dengan mengasumsikan suku terakhir pada
(3.8) dapat diabaikan karena nilainya relatif kecil. Asumsi tersebut didasarkan
pada hal-hal berikut.
Untuk
, maka lim 1 h = lim 1 1 e
sedangkan untuk
0 , maka lim g h
0
r
= lim e
0 , sehingga 1 h
r
= 0,
gh
0.
23
Dengan demikian maka diperoleh
S 2 g SS
g
h
Sg S
0.
( 3.9)
Persamaan (3.9) adalah persamaan diferensial biasa orde dua yang
mempunyai dua solusi yang berbentuk
aS . Misalkan
g
aS
dan
disubstitusikan ke dalam (3.9) diperoleh
S2
2
1 aS
2
aS
1
S aS
1
h
aS
0
0.
h
(3.10)
Akar polinomial karakteristik dari (3.10) adalah
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
Karena 4 / h 0 , maka
g ( S ) a1 S
Nilai
1
dan
2
0 dan
1
2
4
h
2
4
h
2
S
0
S
ketika S
1
0
0,
a2 S 2 .
1
(3.12)
berdasarkan (3.11) dapat ditentukan, selanjutnya akan
a2 S
2
c S,
1
0
dan misalkan a1
0 maka
. Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa
mendekati nol. Misalkan a1
C S,
(3.11)
0 sehingga solusi umum (3.9) adalah
ditentukan koefisien a1 dan a2 . Karena
lim g ( S ) lim a1S
.
0 maka diperoleh persamaan
ha2 S 2 .
(3.13)
Persamaan (3.13) merupakan pendekatan untuk harga opsi call Amerika. Untuk
menentukan a2 diperhatikan beberapa kondisi berikut:
1 untuk S
0 , berakibat max S
C S , T akan mendekati S
K
0 sehingga ketika S meningkat maka
K,
2 jika S menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal
apabila dieksekusi lebih awal, maka analog dengan (2.36), untuk S
S harga
24
opsi call Amerika diberikan oleh (3.13), dan untuk S
Amerika adalah S
S
harga opsi call
K.
Dengan memperhatikan kondisi di atas maka
S
K
cS ,
2
ha2 S
.
(3.14)
Untuk menentukan nilai S , diferensialkan (3.14) terhadap S , maka berdasarkan
(2.28) diperoleh
1 N d1 S
h 2 a2 S
2
1
(3.15)
2
ln S / K
dengan
r
2
d1 S
.
Dengan menggunakan (3.15) dapat ditentukan nilai dari a 2 , yaitu
a2
1 N d1 S
h 2S
2
1
.
(3.16)
Substitusi (3.16) ke dalam (3.14), maka diperoleh
S
K
c S ,
c S ,
h
1 N d1 S
h 2S
2
S
1
1 N d1 S
2
S
2
c S ,
S
1 N d1 S
.
(3.17)
2
Setelah
a 2 dapat ditentukan, maka harga opsi call Amerika adalah sebagai
berikut:
untuk S
S , maka substitusi (3.16) ke dalam (3.13) diperoleh
C S,
c S,
c S,
h
1 N d1 S
h 2S
2
1 N d1 S
S
1
S
S
S
2
c S,
1 N d1 S
2
S
2
2
2
S
S
2
,
25
sedangkan untuk S
S harga opsi call Amerika adalah S
K . Dengan demikian
harga opsi call Amerika adalah
untuk nilai A2
2
c S,
A2 S / S
S K,
C S,
1 N d1 S
S
, jika S
jika S
S
S
(3.18)
.
2
3.2 Penentuan Harga Opsi Put Amerika
Misalkan P S , T menyatakan harga opsi put Amerika dan p S , T untuk
opsi Eropa. Persamaan diferensial parsial yang menyatakan harga opsi put
Amerika diberikan oleh
1
2
2
S 2 PSS
rSPS
Pt
0.
rP
Misalkan premi eksekusi awal untuk opsi put Amerika didefinisikan oleh
S ,T
dengan
P(S , T )
(3.19)
p S,T
h( ) g S , h .
S,
Pada opsi put Amerika nilai a 2
0 , karena
0 dan premi eksekusi awal untuk
2
opsi put Amerika harus mendekati nol ketika S mendekati tak hingga. Sehingga
harga pendekatan untuk opsi put Amerika dinyatakan oleh
P S,
p S,
ha1 S 1 .
(3.20)
Untuk menentukan nilai dari a1 , diperhatikan kondisi berikut:
jika S
menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal
apabila dieksekusi lebih awal, maka berdasarkan (2.36), untuk S
put Amerika diberikan oleh (3.20), dan untuk
adalah K
S
S
harga opsi
S harga opsi put Amerika
S.
Dengan memperhatikan kondisi di atas maka
K
S
p S ,
ha1S
1
.
(3.21)
Untuk menentukan nilai S , didiferensialkan (3.21) terhadap S maka diperoleh
1
N
d1 S
h 1a1S
1
1
(3.22)
26
2
ln S / K
dengan
r
2
d1 S
.
Dengan menggunakan (3.22) dapat ditentukan nilai dari a1 , yaitu
1 N
a1
d1 S
h 1S
1
.
1
(3.23)
Substitusi (3.23) ke dalam (3.21) diperoleh
1 N
K
S
p S ,
h
d1 S
h 1S
1 N
1
S
1
d1 S
p S ,
1
S
1
p S ,
1 N
S
d1 S
.
(3.24)
1
Setelah a1 dapat ditentukan, maka harga opsi put Amerika adalah sebagai berikut.
Untuk S
S , maka substitusi (3.23) ke dalam (3.20) diperoleh
1 N
P S,
p S,
h
d1 S
h 1S
1 N
p S,
d1 S
1
p S,
1 N
1
S
S
1
1
S 1S
1
S
d1 S
1
sedangkan untuk S
S harga opsi put Amerika adalah K
S
S
1
,
S . Dengan demikian
harga opsi put Amerika adalah
P S,
dengan
A1
p S,
A1 S / S
K S,
1 N
d1 S
1
S /
, jika S S
jika S S
1
.
(3.25)
27
Untuk menentukan nilai opsi put dengan menggunakan formula (3.25), maka
terlebih dahulu ditentukan nilai S dengan metode numerik, misalnya dengan
metode Newton yang tidak akan dibahas lebih lanjut.
28
BAB IV
METODE BEDA HINGGA
Salah satu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial
parsial adalah metode beda hingga. Metode beda hingga adalah suatu metode
numerik untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial dengan mengaproksimasi turunan-turunan persamaan tersebut menjadi sistem persamaan linear.
Metode beda hingga dalam penelitian ini adalah
metode eksplisit, implisit,
Crank-Nicholson dan eksplisit serta implisit dengan transformasi peubah.
Untuk menerapkan metode beda hingga pada suatu permasalah persamaan
diferensial parsial beberapa hal perlu diperhatikan, yaitu: diskretisasi dari suatu
persamaan, bentuk aproksimasi beda hingga, kondisi syarat akhir dan syarat batas
serta kestabilan dari skema beda hinga.
4.1 Diskretisasi dari suatu Persamaan
Misalkan V(S,t) menyatakan nilai opsi maka Persamaan Black-Scholes dapat
dinyatakan
V (S , t )
t
1
2
2
S2
V (S , t )
S2
rS
V (S , t )
S2
rV ( S , t )
(4.1)
0.
Peubah yang menentukan terhadap nilai V adalah S dan t. S menyatakan harga
saham dan t menyatakan waktu berlakunya opsi, tmax
T , sehingga diskretisasi
(4.1) adalah terhadap S dan t. Bidang (S,t) dipartisi menjadi grid, dan aproksimasi
untuk interval di antara grid adalah
S dan
t . Kemudian pada t didefinisikan
terdapat N+1 titik, yaitu t0 , t1 , t2 , ..., t N . Titik-titik tersebut untuk mendiskretkan
turunan terhadap waktu, serta
terdapat M+1 titik, yaitu
t
tn
1
tn dan
t
T / N . Misalkan pada S
S0 , S1 , S 2 , ..., S Max . Titik-titik tersebut untuk
mendiskretkan turunan terhadap harga saham S, dengan
S
S
Sm
S max / M . Dengan demikian pada bidang (S,t) terdapat M 1
seperti terlihat pada Gambar 1. Titik
1
Sm
dan
N 1 grid,
j , i pada tiap-tiap grid berhubungan de-
ngan harga saham ke j S dan waktu ke i t. Selanjutnya nilai dari opsi pada waktu t i ketika harga saham Sj dinyatakan oleh:
29
vij
dengan j
(4.2)
v( j S , i t ) v( S j , ti ) V ( S , t )
0, 1, 2,
, M dan i
0, 1, 2,
,N.
Smax
2
S
o
o
o
o
o
0o
o
o
2
o
3
o
S
t
t
T
t
Gambar 1 Grid untuk aproksimasi beda hingga
4.2. Aproksimasi Turunan Parsial
Aprosimasi untuk turunan parsial
v
,
t
v
dan
S
2
v
t2
diperoleh dari ekspansi
deret Taylor. Aproksimasi untuk turunan pertama dan turunan kedua seperti
berikut ini.
4.2.1 Aproksimasi untuk turunan pertama
Misalkan V t , S dinyatakan oleh v ij , ekspansi deret Taylor untuk v t , S
dan v t , S
S
S adalah sebagai berikut:
v t, S
S
v t, S
v
S
S
1 2v
S2
2
2 S
S3
(4.3)
v t, S
S
v t, S
v
S
S
1 2v
S2
2 S2
S3 .
(4.4)
Menggunakan Persamaan (4.3) diperoleh persamaan beda maju, yaitu:
30
v
S
v t, S
v
S
v ij
S
S
v ij
1
S
v t, S
S
.
(4.5)
Menggunakan Persamaan (4.4) diperoleh persamaan beda mundur, yaitu:
v
S
v t, S
v
S
v ij
v t, S
S
v ij
1
S
S
S
.
(4.6)
Hasil pengurangan (4.4) dari (4.3) diperoleh persamaan beda pusat, yaitu
v
S
v t, S
v
S
v ij
S
v t, S
S
S2
2 S
v ij
1
1
(4.7)
2 S
Ekspansi deret Taylor untuk v(t
t , S ) dan v(t
t , S ) adalah sebagai berikut:
vt
t, S
v t, S
v
t
t
1 2v 2
t
2 t2
t3
(4.8)
vt
t, S
v t, S
v
t
t
1 2v 2
t
2 t2
t3
(4.9)
Menggunakan (4.8) dan (4.9), aproksimasi terhadap
v
adalah sebagai berikut
t
Aproksimasi beda maju:
i 1
v ij
v vj
(4.10)
t
t
Aproksimasi beda mundur:
i
i 1
v vj vj
t
(4.11)
t
4.2.2 Aproksimasi untuk turunan kedua
2
Aproksimasi
v
diperoleh dengan cara menjumlahkan (4.3) dan (4.4) sehingga
S2
diperoleh:
2
v
S2
v t, S
S
2v t , S
S
2
v t, S
S
S2
31
vij
2
v
S2
2v ij
1
S
v ij
2
1
.
(4.12)
Persamaan (4.11) disebut aproksimasi beda pusat simetris.
4.3 Syarat Batas (boundary condition) dan Syarat Akhir (terminal condition)
Untuk menentukan harga opsi put Amerika dengan menggunakan metode
beda hingga, diperlukan kondisi syarat batas dan syarat akhir. Nilai opsi put pada
saat T adalah max(K – ST, 0), dengan ST menyatakan harga saham pada saat T,
sehingga
v Nj
max( K
j S , 0), j
(4.13)
0,1, 2,..., M .
Persamaan (4.13) menyatakan syarat akhir, sehingga penentuan nilai pada v
tidak di awal periode tetapi di akhir periode. Hal ini dilakukan dengan bergerak
mundur dari waktu maturity sampai waktu nol. Nilai opsi put pada saat harga
saham sama dengan nol adalah K, sehingga
v0i
K, i
0,1, 2,..., N .
(4.14)
Apabila harga saham meningkat, maka nilai opsi put akan mendekati nol
pada saat S = Smax, sehingga
vMi
0, i
(4.15)
0,1, 2,..., N .
Persamaan (4.14) dan (4.15) adalah merupakan syarat batas.
Pada
pendahuluan
telah
disebutkan
bahwa
penelitian
ini
akan
menggunakan transformasi peubah, yaitu harga saham S diubah (ditransformasi)
menjadi ln S , sehingga pembahasan berikut mengenai transformasi peubah.
4.4 Transformasi Peubah
Brennan dan Schwartz dalam Hull dan White menyatakan bahwa ketika S
adalah harga saham, persamaan Black-Scholes lebih efisien menggunakan ln S
daripada S apabila metode beda hingga diterapkan, karena jika
konstan maka
standar deviasi dari ln S juga konstan. Transformasi standar deviasi ln S pada
interval
t tidak bergantung pada S dan t (Hull & White 1990).
Didefinisikan y
ln S dan V S , t
W y, t adalah harga opsi pada waktu
t. Turunan parsial (bukti lihat lampiran 4) terhadap S, t dan y adalah:
32
V
S
W
e
y
y
2
2
V
W
W
e 2y
2
2
y
S
y
V
W
t
t
Substitusi (4.16) pada Persamaan Black-Scholes
V
V 1 2 2 2V
rS
S
rV 0
t
S 2
S2
diperoleh
W
1 2 2 y 2W
W
y W
y
re
e
e
e
2
t
y
2
y
y
W
t
r
W
y
2
1
2
2
W
y2
W
y
rW
(4.16)
2y
rW
0
0
W
1 2 W 1 2 2W
r
rW 0
(4.17)
t
2
y 2
y2
Untuk menerapkan metode beda hingga, peubah y dipartisi dengan interval
y . Misalkan harga saham minimum adalah nol dan maksimum tak hingga. Maka
harga saham yang mungkin adalah 0, y, 2 y,
diterapkan metode ini, dipilih
, y, y
y,
,
. Ketika
y sekecil mungkin dan harga saham maksimum
berhingga. Karena ln 0 tidak terdefinisi maka minimum dari ln S mendekati nol
tapi tidak sama dengan nol. Sehingga dipilih minimum ln S adalah
diskretisasi untuk t adalah 0, t , 2 t ,
, t, t
t,
,
. Sedangkan
. Sehingga nilai aprok-
simasi untuk opsi put Amerika dengan transformasi peubah pada waktu ti dan
harga saham y j dengan i
.
wij
0, 1, 2,
w j S,i t
, N dan j
w y j , ti
0, 1, 2,
, M dinyatakan oleh
W y, t .
(4.18)
Akibat dari transformasi peubah maka kondisi syarat batas untuk opsi put
Amerika adalah sebagai berikut: Persamaan (4.14) menyatakan nilai opsi put
pada saat harga saham sama dengan nol adalah K, maka v0i
K, i
0,1, 2,..., N .
sehingga diperoleh w i
K , untuk
semua i. Apabila harga saham meningkat, nilai opsi put dengan y
ln S akan
Dengan transformasi peubah maka ln S =
mendekati nol pada saat S
S Max sehingga wMi
0, i
0, 1, 2, ..., N . Persamaan
33
(4.13) menyatakan bahwa nilai opsi put pada saat T adalah max K
ST , 0 ,
dengan ST menyatakan harga saham pada saat T, maka syarat batasnya
v Nj
max K
menjadi w Nj
j S, 0 , j
0, 1, 2, ..., M . Karena y
max K e j y , 0 , j
ln S maka syarat batasnya
0, 1, 2, ..., M .
4.5 Metode Beda Hingga Eksplisit
Hull dan White (1990) menyatakan bahwa metode beda hingga eksplisit
dalam komputasi tidak memerlukan matriks invers, sehingga turunan parsial
aproksimasinya menggunakan beda maju dan aproksimasi turunan parsial
v
t
v
dan
S
2
v
pada langkah waktu i+1 menggunakan aproksimasi beda pusat. Substitusi
S2
(4.7), (4.10) dan (4.12) ke dalam (2.10) diperoleh persamaan
v ij
1
v ij
rj S i
vj
2 S
t
1
1
v ij
2 2
S2
2 S
2
j
1
1
v ij
1
1
2v ij
1
v ij
1
1
rv ij
0
(4.19)
Persamaan (4.19) dapat disederhanakan (lihat lampiran 5) menjadi:
v ij
untuk i
0, 1, 2,
1
a1 j v ij
1 r t
1
1
b1 j v ij
, N 1 dan j 1, 2,
1
c1 j v ij
1
1
(4.20)
,M 1
dengan
a1 j
1
rj t
2
1
2
2
j 2 t , b1 j
1
2
j 2 t dan c1 j
1
rj t
2
1
2
2
j2 t .
(4.21)
v ij dapat ditentukan mundur menggunakan v ij 11 , v ij 1 dan v ij 11 , sehingga skema
metode beda hingga eksplisit dapat digambarkan seperti di bawah ini.
v ij 11
v ij
v ij 1
v ij 11
Gambar 2 Skema Beda hingga Eksplisit
34
Pada (4.20) untuk setiap nilai j
0, 1, 2,
, M maka akan terdapat suatu
sistem persamaan linier, yaitu
0,
v0i
b10 v0i 1
c10 v1i
1
j 1,
v1i
a11v0i 1
b11v1i
1
j
2,
v2i
a12 v1i
b12 v2i 1
j
M 1, vMi
j
M,
j
1
c11v2i 1
c12 v3i 1
a1M 1vMi 1 2 b1M 1vMi 1 1 c1M 1vMi 1
1
vMi
a1M vMi 1 1
b1M vMi 1
Sistem persamaan linier tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
tridiagonal sebagai berikut:
b10
c10
a11 b11
... ...
0 0
0
0
0
...
0
0
0
...
0
0
...
c11 ...
0
... ...
...
... ... a1M 1 b1M 1 c1M 1
a1M
b1M
0 ...
0
v0i 1
v1i 1
...
vMi 1 1
vMi 1
Bentuk (4.22) dapat dinyatakan sebagai v ij
v0i
v1i
...
.
(4.22)
i
M 1
i
M
v
v
Av ij 1 , untuk j
0, 1, 2,
,M.
Vektor v ij 1 untuk i 1 T telah diketahui dari syarat akhir, kerena itu untuk
menyelesaikan v ij dapat dilakukan dengan bekerja mundur menggunakan matriks
A yang unsur-unsurnya telah diketahui, untuk j
0, 1, 2,
,M.
4.6 Metode Beda Hingga Implisit
Niwiga (2005) menyatakan untuk menentukan harga opsi put Amerika
dengan metode beda hingga implisit, aproksimasi turunan-turunan parsial pada
Persamaan
Black-Scholes
adalah
sebagai
berikut:
turunan
parsial
v
t
diaproksimasi dengan persamaan beda maju, sedangkan aproksimasi beda pusat
digunakan untuk mengaproksimasi turunan parsial
v
dan
S
2
v
pada langkah
S2
waktu i. Substitusi (4.7), (4.10) dan (4.12) ke dalam (2.10) diperoleh
35
v ij 1
v ij
2
rj S i
vj
2 S
t
v ij
1
j2 S 2 i
vj
2 S2
1
2v ij
1
v ij
1
rv ij 1
0
(4.23)
Persamaan (4.23) dapat disederhanakan menjadi:
v ij 1
untuk i
1
a2 j v ij
1 r t
0, 1, 2,
1
b2 j v ij
c2 j v ij
, N 1 dan j 1, 2,
dengan
a2 j
dan
c2 j
1
rj t
2
1
rj t
2
1
2
(4.24)
1
, M 1,
2
1
2
j 2 t , b2 j
2
1
2
j2 t
j2 t .
(4.25)
Dengan demikian v ij 1 dapat dihitung maju menggunakan v ij 1 , v ij dan
v ij 1 , sehingga skema beda hingga implisit dapat digambarkan seperti di bawah ini
v ij
1
v ij
v ij
v ij 1
1
Gambar 3 Skema beda hingga implisit
Untuk j
0, 1, 2,
, M , (4.24) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai
berikut:
b20
c 20
a 21
...
0
b21
...
0
0
0
0
...
0
c 21 ...
0
... ...
...
... ... a 2 M
0
...
0
1
0
0
...
0
0
...
b2 M 1
a2M
c2 M 1
b2 M
v0i
v1i
...
v Mi 1
v Mi
Bentuk (4.26) dapat dinyatakan sebagai vij 1
Penyelesaian dari v ij 1
Av ij adalah v ij
v0i 1
v1i 1
...
v Mi 1 1
v Mi 1
Avij , untuk j
(4.26)
0, 1, 2,
,M.
A 1v ij 1 . Unsur-unsur pada vektor v ij 1
untuk i 1 T telah diketahui. Dengan iterasi berulang dari waktu T sampai nol
akan didapat nilai opsi v.
36
4.7 Metode Beda Hingga Crank-Nicholson
Skema metode beda hingga Crank-Nicholson ini diperoleh dengan cara
mengambil rata-rata dari penjumlahan (4.20) dan (4.24), yaitu:
v ij 1 v ij
rj S i 1 i 1 i
vj 1 vj 1 vj
4 S
t
j2 S 2 i 1
vj 1
4 S2
v ij
1
1
2
2v ij 1
v ij 11
v ij
2v ij
1
v ij
1 i
rv j
2
1
rv ij 1 .
(4.27)
Persamaan (4.27) dapat disederhanakan menjadi:
a3 j v ij
untuk i
0, 1, 2,
dengan
1
b3 j v ij
c3 j v ij
1
a 4 j v ij 11
, N 1 dan j 1, 2,
1
rj t
4
a3 j
c3 j
b4 j
1
1
4
2
1
rj t
4
1
4
1
r t
2
1
2
b4 j v ij 1
c 4 j v ij 11
(4.28)
, M 1,
j 2 t , b3 j
1
1
r t
2
1
2
1
rj t
4
2
j 2 t , a4 j
2
j 2 t dan c 4 j
2
1
4
1
rj t
4
1
4
j2 t ,
2
j2 t ,
2
j2 t .
(4.29)
Matriks tridiagonal dari (4.27) dapat dinyatakan sebagai berikut
0
0
c31 ...
0
... ...
...
... ... a3M
0
...
0
...
c30
a31
...
0
b31
...
0
0
0
0
...
0
a3M
b3 M
b40
c 40
0
...
0
a 41
...
0
b41
...
0
0
0
...
0
0
...
0
0
b4 M 1
a4M
c4 M 1
b4 M
Persamaan
Avij
0
b30
Bvij 1
0
...
c 41 ...
0
... ...
...
... ... a 4 M
0
...
0
1
1
b3M
(4.30) dapat dinyatakan
adalah
vij
c3 M
1
1
v0i
v1i
...
v Mi 1
v Mi
v0i 1
v1i 1
...
v Mi 1 1
v Mi 1
sebagai Av ij
(4.30)
Bv ij 1 . Penyelesaian dari
A 1Bvij 1 . Unsur-unsur pada vektor
v ij 1
untuk
i 1 T telah diketahui. Dengan iterasi berulang dari waktu T sampai nol akan
didapat nilai opsi v.
37
4.8 Metode Beda Hingga Eksplisit dengan Transformasi Peubah
y dan t adalah interval
Trevor dan Richard (1990) menyatakan jika
w
,
y
untuk harga saham dan waktu, maka aprosimasi untuk
2
w
t
w
dan
y2
berturut-turut adalah sebagai berikut :
v ij 11
w
y
v ij 11
2 y
w
y2
v ij 11
w
t
v ij
2
2v ij 1
v ij 11
y2
1
v ij
(4.31)
t
Substitusi (4.31) ke dalam (4.17) diperoleh
w ij 1
w ij
1
t
2 y
r
2
1
2
2
w ij 11
w ij 11
w ij 11
2 y2
2 w ij 1
w ij 11
rw ij
0
Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:
w ij
untuk i
0, 1, 2,
dengan
1j
w ij 11
, N 1 dan j
1j
dan
1
1 r t
1j
t
r
2 y
t
r
2 y
1j
1, 2,
1
2
1
2
w ij 1
1j
w ij 11
(4.32)
,M 1
t
2
2 y
2
2
t
2
,
1j
1
2
t
y
2
2
2 y2
.
(4.33)
Bentuk matriks tridiagonal dari (4.32) adalah
10
10
0
11
11
11
0
...
0
0
...
0
0
...
1M 1
1M 1
1M 1
1M
1M
...
0
...
0
...
0
...
...
...
...
...
0
0
0
...
0
w0i 1
w1i 1
...
wMi 1 1
wMi 1
Persamaan (4.34) dapat dinyatakan sebagai wij
w0i
w1i
...
wMi 1
wMi
Awij 1 , untuk j
(4.34)
0, 1, 2,
,M.
38
Vektor wij 1 untuk i 1 T telah diketahui dari syarat akhir. Kerena itu, untuk
menyelesaikan wij dilakukan dengan bekerja mundur menggunakan matriks A
yang unsur-unsurnya telah diketahui, untuk j
0, 1, 2,
,M.
4.9 Metode Beda Hingga Implisit dengan Transformasi Peubah
Pada metode beda hingga implisit, aproksimasi untuk turunan parsial W(y,t)
hampir sama dengan aproksimasi yang digunakan pada metode eksplisit. Metode
eksplisit menggunakan langkah waktu
t 1 , sedangkan metode implisit
menggunakan langkah waktu t. Sehingga aproksimasi yang digunakan adalah:
w
y
v ij
2
w
y2
v ij
w
t
v ij
v ij
1
1
,
2 y
2v ij 1 v ij
1
y
1
v ij
t
1
2
.
(4.35)
Substitusi (4.35) ke dalam (4.17) diperoleh:
wij 1 wij
t
1
2 y
r
1
2
2
2
wij
1
wij
1
2 y2
wij
2 wij
1
wij
rw ij 1
1
0.
Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:
wij 1
dengan
2j
dan
2j
1
1 r t
2j
t
r
2 y
1
2
t
r
2 y
wij 11
2j
wij 1
2 y2
1
2
2
wij 11
2
t
2
2j
t
,
2j
1
(4.36)
t
2
y2
2
2 y2
.
(4.37)
Bentuk matriks tridiagonal dari (4.36) adalah
20
210
21
21
0
0
...
0
0
...
2M 1
2M 1
2M 1
2M
2M
0
...
0
...
0
...
...
...
...
...
0
0
0
...
21
0
0
...
...
0
w0i
w1i
...
wMi 1
wMi
w0i 1
w1i 1
...
wMi 1 1
wMi 1
(4.38)
39
Persamaan (4.38) dapat dinyatakan sebagai wij 1
Penyelesaian dari wij 1
Awij adalah wij
Awij , untuk j
0, 1, 2,
,M.
A 1wij 1 . Unsur-unsur pada vektor wij 1
untuk i 1 T telah diketahui. Dengan iterasi berulang dari waktu T sampai nol
akan didapat nilai opsi w.
4.10 Analisis Kestabilan
Untuk menganalisis kesetabilan skema metode beda hingga diperlukan beberapa
definisi dan teorema, berdasarkan (Bradie 2006) yaitu:
Definisi 1
Sebuah matriks norm adalah suatu fungsi
dan
A
: Rn
R , untuk semua A,B R n
n
n
R memenuhi:
0,
A , A B
A
A
B dan A B
A
B .
Definisi 2
Misalkan A
R n n , jika untuk beberapa
sehingga Ax
x , maka
berhubungan dengan
terdapat vektor tak nol sedemikian
adalah nilai eigen dan x vektor eigen yang
.
Definisi 3
Radius spectral
dengan
A
dari matriks A, didefinisikan oleh
A
max
A
,
A himpunan nilai eigen dari A.
Teorema 1
Misalkan A matriks berukuran n n , maka
A
A .
Bukti:
Misalkan
A yang berhubungan dengan vektor eigen x, dengan mengambil
norm dari Ax
x , yaitu:
x
x
A
Ax
A x
40
jadi
A
A .
max
A
Mitchell dan Griffiths (1990) menyatakan jika A adalah matriks tridiagonal
b
a
berukuran N N , dengan
c
b
0 ... 0
c ... 0
0
0
0
0
A = ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... ... a b c
0 0 0 ... 0 a b
serta a, b dan c bilangan riil dan ac > 0, maka nilai eigen dari A adalah
b 2 ac cos
k
k 1, 2,3,
dan
k
N 1
(4.39)
,N
Lax-Richtmyer dalam Niwiga (2005) menyatakan bahwa syarat untuk kestabilan
adalah
A
1 , sehingga berdasarkan Definisi 3 dan Teorema 1 maka
A
1 . Jadi untuk menentukan kestabilan skema metode beda
max
A
hingga, maka akan dianalisis nilai eigen dari matriks pada (4.22), (4.26), (4.34)
dan (4.38).
4.10.1 Kestabilan metode beda hingga eksplisit
Untuk menganalisis kestabilan metode beda hingga eksplisit digunakan
matriks pada (4.22). Unsur-unsur tak nol pada matriks tersebut adalah
1
rj t
2
a
1
2
2
j2 t ,
2
b 1
j 2 t dan
1
rj t
2
c
1
2
2
j2 t .
Nilai eigen untuk matriks dengan unsur-unsur tak nol a, b dan c di atas adalah
k
b 2 ac cos
1
2
2
j
1
2
j2 t 2
k
N 1
1
rj t
2
t 2
1
4
rj t
1
2
2
2
j
2
2
t
j2 t
1
rj t
2
2
0.5
1
2
0.5
cos
2
k
N
j
2
t
cos
k
N
(4.41)
41
dengan k
1, 2, 3,
, N 1 . Selanjutnya dengan menerapkan ekspansi binomial
pada bagian akar dan menghilangkan beberapa suku, maka (4.41) dapat
disederhanakan menjadi (lihat lampiran 6)
2
1 2
k
j 2 t sin 2
k
(Niwiga 2005).
2N
Persamaan akan stabil jika
A
max 1 2
2
A
k
2N
j 2 t sin 2
1.
(4.42)
Dari Persamaan (4.42) diperoleh
2
1 1 2
2
1
2
0
Karena 0 sin
2
0
j2 t
k
2N
j 2 t sin 2
k
2N
k
2N
0
j 2 t sin 2
j 2 t sin 2
k
2N
1
1.
1 , sehingga metode beda hingga eksplisit akan stabil jika
1.
4.10.2 Kestabilan metode beda hingga eksplisit dengan transformasi peubah
Untuk menganalisis kestabilan metode beda hingga eksplisit dengan
transformasi peubah digunakan matriks pada (4.34) .
Unsur-unsur tak nol pada matriks tersebut adalah
t
r
2 y
a
1
2
t
2
t 2
dan
y2
2
2 y2
,b 1
c
t
r
2 y
1
2
2
t
2 y2
Nilai eigen untuk matriks dengan unsur-unsur tak nol a, b dan c di atas adalah
k
b 2 ac cos
1
t 2
y2
1
t 2
y2
k
N 1
2
t 2
y2
2
t 2
y2
t
r
2 y
2
1
2
t
r
2 y
t 2
y2
2
1
2
2
2
0.5
t
r
2 y
0.5
cos
k
N
1
2
2
2
cos
k
N
.
42
t 2
y2
1
dengan k
t 2
1
y2
y2
r
2
2 0.5
1
2
2
2
cos
k
.
N
(4.43)
y2
, N 1 . Selanjutnya dengan asumsi
1, 2, 3,
r2
2
1
2
2
1 dan
menerapkan ekspansi binomial pada bagian akar serta menghilangkan beberapa
suku, maka (4.43) dapat disederhanakan menjadi
2
1 2
k
t
y
2
k
.
2N
sin 2
Persamaan akan stabil jika
2
A
max 1 2
y
A
t
2
sin 2
k
2N
1.
(4.44)
Dari Persamaan (4.44) diperoleh
2
1 1 2
Karena
0 sin
k
2N
y
t
2
k
2N
sin 2
1.
1 , sehingga metode beda hingga eksplisit dengan
2
t
transformasi akan stabil jika
1
atau
2
y2
t
y2
2
2
.
4.10.3 Kestabilan metode beda hingga implisit
Untuk menganalisis kestabilan metode beda hingga implisit digunakan
matriks pada (4.26). Unsur-unsur tak nol pada matriks tersebut adalah
1
rj t
2
a
1
2
2
j2 t ,
2
b 1
j 2 t dan
1
rj t
2
c
1
2
2
j2 t .
Nilai eigen untuk matriks dengan unsur-unsur taknol a, b dan c di atas adalah
k
b 2 ac cos
2
1
2
rj t
2
1
2
j
1
2
j2 t 2
t
k
N 1
1
4
rj t
1
2
2
2
j
2
2
1
rj t
2
t
j2 t
2
0.5
cos
1
2
k
N
0.5
2
j
2
t
cos
k
N
43
2
1
dengan k
j
2
2
t
1, 2, 3,
j
2
0.5
r2
4 2
j
t 1
1 2sin 2
k
2N
.
(4.45)
, N 1 . Selanjutnya dengan menerapkan ekspansi binomial
pada bagian akar dan menghilangkan beberapa suku, maka (4.45) dapat
disederhanakan menjadi
1 2
2
j2 t
2
2
j 2 t sin 2
k
.
2N
max 1 2
2
j2 t
2
2
j 2 t sin 2
k
2N
k
Persamaan akan stabil jika
A
A
1.
(4.46)
Dari Persamaan (4.46) diperoleh
2
1 1 2
2
2 2
1
Karena
sin 2
2
k
2N
j2 t
2
j2 t
2
j2 t 2
j2 t
2
2
2
j 2 t sin 2
k
2N
k
2N
0
j 2 t sin 2
j 2 t sin 2
k
2N
1
0
0 , maka skema metode beda hingga implisit akan stabil jika
1.
4.10.4 Kestabilan metode beda hingga implisit dengan transformasi peubah
Untuk menganalisis kestabilan metode beda hingga imsplisit dengan
transformasi peubah digunakan matriks pada (4.38). Unsur-unsur tak nol pada
matriks tersebut adalah
t
r
2 y
a
1
2
t
2
2
2 y2
t
,b 1
2
y2
dan
c
t
r
2 y
1
2
t
2
2
2 y2
Nilai eigen untuk matriks dengan unsur-unsur tak nol a, b dan c di atas adalah
k
1
b 2 ac cos
t 2
y2
2
t 2
y2
k
N 1
t
r
2 y
1
2
2
t 2
y2
0.5
t
r
2 y
1
2
2
cos
k
N
.
44
1
t 2
y2
t 2
1
y2
y2
1
t 2
y2
t 2
1
y2
y2
dengan k
1, 2, 3,
2
2
r
2
r
2
0.5
2
1
2
2
0.5
2
1
2
k
N
cos
2
1 2sin 2
k
.
2N
(4.47)
y2
, N 1 . Selanjutnya dengan asumsi
2
r2
1
2
2
1 dan
menerapkan ekspansi binomial pada bagian akar dan menghilangkan beberapa
suku, maka (4.47) dapat disederhanakan menjadi
2
k
1 2
y
2
t
2
2
t
y
2
k
.
2N
sin 2
Persamaan akan stabil jika
2
A
max 1 2
y
A
2
t
2
2
y
t
2
sin 2
k
2N
1.
(4.48)
Dari (4.48) diperoleh
2
1 1 2
y
2
2 2
y
2
1
2
Karena
y
t
2
y
t
2
2
t
2
2
y
2
2
t
2
0 dan 0 sin 2
y
2
t
y
2
t
t
2
2
k
2N
k
2N
sin 2
sin 2
k
2N
sin 2
k
2N
1
0
0
1 , skema metode beda hingga implisit dengan
2
transformasi peubah akan stabil jika
t
y
2
1.
Berdasarkan analisis kestabilan di atas maka dalam penelitian ini metode
eksplisit beda hingga tidak diimplementasikan pada software yang dipergunakan
untuk menentukan harga opsi put Amerika, karena relatif sulit untuk menentukan
nilai
, j dan t yang memenuhi 0
2
j2 t
1 . Dengan demikian untuk me-
nentukan harga opsi put Amerika digunakan metode beda hingga implisit, CrankNicholson, serta eksplisit dan implisit dengan transformasi.
45
Prosedur untuk menentukan harga opsi put Amerika dari keempat metode
tersebut adalah relatif sama. Msalkan pada metode implisit, dengan menerapkan
syarat batas (4.14) dan (4.15) maka b20 1 dan b2 M
0 karena v0i
K dan vMi
0,
sehingga dengan menggunakan (4.24) terdapat M 1 persamaan untuk menyelesaikan M 1 peubah yang belum diketahui, yaitu v1N 1 , v2N 1 ,
, vMN 11 . Hull
(2003) menyatakan setelah sistem persamaan tersebut diselesaikan, setiap nilai
dari v Nj 1 dibandingkan dengan K
dieksekusi, maka ditetapkan K
j S . Jika v Nj
1
K
j S opsi akan opti-mal
j S sebagai nilai intrinsik opsi. Niwiga (2005)
menyebutkan bahwa harga opsi yang akan ditentukan dengan menggunakan
metode implisit dan Crank-Nicholson diberikan oleh v NM
1 /2
. Untuk metode
eksplisit dan implisit dengan transformasi peubah, setelah syarat keoptimalan
diterapakan harga opsi ditentukan dengan interpolasi. Hal ini dilakukan akibat
dari transformasi peubah.
46
BAB V
HASIL SIMULASI
Pada bab ini akan disajikan beberapa hasil pendekatan numerik harga opsi
put Amerika menggunakan metode beda hingga. Algoritma yang disusun di
bawah
ini
untuk
menentukan
harga
opsi
put
Amerika.
Selanjutnya
diimplementasikan dengan software Matlab 6.5 yang dijalankan pada komputer
dengan sistem operasi Windows XP prosesor Intel (R) Pentium(R) Dual CPU
@1.6 GHz (2CPUs) dan memori 512 MB.
5.1 Implementasi pada Matlab
Pada pembahasan sebelumnya bahwa penerapan metode beda hingga pada
persamaan Black-Scholes menghasilkan suatu sistem persamaan linear yang dapat
dinyatakan dalam persamaan matriks. Contohnya adalah persamaan vij
A 1vij 1
yang diperoleh dengan metode beda hingga implisit. Untuk menyelesaikan
persamaan tersebut Matlab mempunyai fasilitas untuk menentukan invers suatu
matriks, sehingga metode beda hingga implisit, Crank-Nicholson maupun metode
beda hingga eksplisit dan implisit dengan transformasi peubah dapat
diimplementasikan pada Matlab.
Untuk mengimplementasikan pada Matlab, maka disusunlah algoritma.
Berikut ini adalah algoritma untuk metode beda hingga implisit, yaitu:
1 input : S , K , r , , T , M , N
2 tentukan panjang interval untuk S dan t
3 gunakan syarat batas dan syarat akhir opsi put Amerika
4 tentukan elemen-elemen matriks A dengan menggunakan (4.25)
5 tentukan matriks A yang diperoleh dari langkah keempat
6 selesaikan (4.26)
7 gunakan ketentuan syarat keoptimalan opsi put Amerika
8 output : harga opsi put Amerika.
47
Algoritma untuk metode beda hingga Crank-Nicholson sama dengan metode
implisit. namun untuk metode eksplisit dan implisit dengan transformasi langkah
kedelapan menggunakan interpolasi
akibat dari transformasi
y
ln S dan
W y, t .
V S,t
5.2 Hasil Simulasi dengan Matlab
Simulasi hasil implementasi metode beda hingga untuk menentukan harga
opsi put Amerika dilakukan dengan mengambil beberapa contoh kasus kontrak
opsi. Selanjutnya diamati perbandingan harga opsi yang diperoleh dan waktu
komputasi serta diamati pula hubungan harga opsi dengan parameter-parameter
yang menen-tukan harga opsi.
5.2.1 Perbandingan metode
Suatu kontrak opsi yang diterbitkan pada tanggal 6 Januari 2003 pada saham
IBM untuk jangka waktu satu bulan dilakukan ketika harga saham $81.65 dengan
harga eksekusi $85, tingkat suku bunga sebesar 8% dan volatilitas 40% (Bodie et
al. 2006). Hasil yang diperoleh disajikan dalam Tabel 1 berikut
Tabel 1 Perbandingan harga opsi dan waktu komputasi dari empat metode dengan
M dan N yang bervariasi
Implisit
Crank-Nicholson
Eksplisit dengan
transformasi peubah
Harga
Waktu
Opsi ($)
(detik)
Implisit dengan
transformasi peubah
Harga
Waktu
Opsi ($)
(detik)
M
N
Harga
Opsi ($)
Waktu
(detik)
Harga
Opsi ($)
Waktu
(detik)
10
10
4.8986
0.0160
4.9161
0.0270
4.8378
0.0130
4.7720
0.0130
30
30
5.3614
0.0167
5.3734
0.0273
5.4233
0.0160
5.3989
0.0160
70
70
5.3703
0.0170
5.3757
0.1100
5.3801
0.0165
5.3693
0.0180
100
100
5.3620
0.0230
5.3658
0.3280
5.3789
0.0210
5.3714
0.0210
300
300
5.3740
0.4530
5.3753
14.9765
5.3799
0.2900
5.3774
0.2970
500
500
5.3750
3.6870
5.3758
265.4220
5.3782
2.1870
5.3766
2.9060
800
800
5.3754
17.9790
5.3759
2297.3280
5.3775
9.2810
5.3765
13.1250
Berdasarkan Tabel 1, grafik perbandingan harga opsi dan waktu komputasi dari
empat metode tersebut ditampilkan dalam Gambar 4, 5 dan 6.
48
5.5
5.4
5.3
Implisit
5.2
Crank-Nc
5.1
Imp. Tf
5
Eks. Tf
4.9
4.8
4.7
10\10
30\30
100\100
800\800
Nilai M dan N
Gambar 4 Perbandingan harga opsi
2500
20
18
2000
16
12
Implisit
10
Eks. Tf.
Imp. Tf.
8
Waktu (detik)
Waktu (detik)
14
1500
1000
6
500
4
2
0
0
500\500
800\800
Nilai M dan N
Gambar 5 Perbandingan waktu komputasi
500\500
800\800
Nilai M dan N
Gambar 6 Waktu komputasi metode
Crank-Nicholson
Dari Gambar 4 terlihat bahwa harga opsi yang diperoleh dengan menggunakan
empat metode tersebut relatif hampir sama untuk M dan N yang lebih besar atau
sama dengan 100. Gambar 5 dan 6 memperlihatkan metode eksplisit dengan
transformasi
peubah waktu komputasinya paling cepat dibandingkan dengan
ketiga metode lainnya, sehingga berdasarkan waktu komputasi metode eksplisit
dengan transformasi relatif lebih baik dari pada tiga metode lainnya.
5.2.1 Hubungan harga opsi dengan beberapa parameter yang menentukan harga
opsi
Dengan menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan transformasi
peubah, serta nilai S, r, dan T yang bervariasi akan diperlihatkan hubungan antara
49
harga opsi dengan harga saham, harga opsi dengan suku bunga dan harga opsi
dengan waktu jatuh tempo. Tabel 2, 3 dan 4 berikut menyajikan harga opsi put
amerika dengan S, r, dan T yang bervariasi .
Tabel 2 Harga opsi put dengan parameter K 22, r 0.1,
0.25, T
dan M = N = 100 serta harga saham awal yang bervariasi.
Harga Saham
Awal ($)
Harga Opsi
put
Amerika ($)
17.0
18.0
18.5
19.0
19.5
20.0
5.0000
4.0000
3.5013
3.0380
2.6215
20.5
21.0
0.5
21.5
22.0
2.2478 1.9137 1.6281 1.3762 1.1541
Berdasarkan Tabel 2, diperoleh grafik sebagai berikut
6.0
Harga Opsi ($)
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
17.0
18.0
18.5
19.0
19.5
20.0
20.5
21.0
21.5
22.0
Harga Saham ($)
Gambar 7 Hubungan harga opsi dengan harga saham awal
Gambar 7 memperlihatkan bahwa jika harga saham meningkat maka harga opsi
put Amerika akan menurun. Hal ini sesuai dengan Hull (2003) yang menyatakan
bahwa jika parameter harga saham meningkat menuju tak hingga sedangkan
parameter yang lain tetap maka harga opsi put Amerika akan menurun menuju
nol.
Tabel 3 Harga opsi put dengan parameter S 20, K 22,
dan M = N = 100 serta suku bunga yang bervariasi.
Suku
Bunga(%)
Harga
OpsiPut
Amerika($)
1
2
3
2.6281 2.5714 2.5195
4
5
6
7
8
0.25, T
9
2.4716 2.4273 2.3858 2.3478 2.3122 2.2783
0.5
10
15
2.2478
2.1254
50
Berdasarkan Tabel 3, diperoleh grafik sebagai berikut
2.8
2.6
Harga Opsi ($)
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
Suku Bunga (%)
Gambar 8 Hubungan harga opsi degan suku bunga
Gambar 8 adalah sesuai dengan Hull (2003) yang menyatakan bahwa jika
parameter suku bunga meningkat, sedangkan parameter yang lain tetap maka
harga opsi put Amerika akan menurun. Hal tersebut juga sesuai dengan
kenyataan, yaitu jika suku bunga relatif rendah ada kemungkinan investor
memilih menginvestasikan uangnya pada opsi, sehingga harga opsi menjadi
meningkat seiring meningkatnya permintaan. Jika suku bunga relatif tinggi ada
kemungkinan investor memilih menginvestasikan uangnya di bank, sehingga
permintaan terhadap opsi ada kemungkinan relatif menurun akibatnya harga opsi
menjadi menurun.
Tabel 4 Harga opsi put dengan parameter S 20, K 22, r 0.1,
dan M = N = 100 serta waktu jatuh tempo yang bervariasi.
Waktui Jatuh
Tempo (bulan)
Harga Opsi put
Amerika ($)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.25
11
12
2.0049 2.0500 2.1053 2.1566 2.2020 2.2478 2.2906 2.3268 2.3546 2.3881 2.4117 2.4350
51
Berdasarkan Tabel 4, diperoleh grafik sebagai berikut
2.6
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Waktu Jatuh Tempo (bulan)
Gambar 9 Hubungan harga opsi degan waktu jatuh tempo
Gambar 9 adalah sesuai dengan Hull (2003) yang menyatakan bahwa jika
parameter waktu jatuh tempo meningkat, sedangkan parameter yang lain tetap
maka harga opsi put Amerika akan meningkat. Hal ini terjadi karena terkait
dengan kebebasan waktu eksekusi pada opsi Amerika
52
BAB VI
SIMPULAN
1. Harga opsi put Amerika dengan pendekatan analitik dapat dinyatakan dalam
suatu formula yang memuat parameter S
yang menyatakan harga kritis
saham. Formula tersebut adalah
p S,
P S,
1
A1 S / S
K S,
dengan
T t, h
A1
1
1 N
1
2
1 e
r
S
jika S
S
2r
,
2
d1 S
1
, jika S
S /
1
2
1
4
h
.
2 Penentuan harga opsi put Amerika dengan menggunakan metode beda hingga,
menunjukkan bahwa metode beda hingga eksplisit dengan transformasi
peubah merupakan metode yang lebih baik dibandingkan dengan ketiga
metode lainnya berdasarkan waktu komputasinya.
3 Berdasarkan hasil simulasi diperoleh informasi hubungan antara pengaruh
harga saham pada waktu kontrak dibuat, waktu jatuh tempo dan tingkat suku
bunga terhadap harga opsi sebagai berikut:
a semakin tinggi harga saham pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi
semakin rendah
b semakin tinggi suku bunga pada saat kontrak opsi dibuat maka harga opsi
semakin rendah
c semakin lama waktu jatuh tempo maka harga opsi semakin tinggi.
53
DAFTAR PUSTAKA
Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2005. Investasi. Jilid 1, 2. Budi Wibowo,
penerjemah;
Jakarta: Salemba Empat. Terjemahan dari ” Invesment ”.
Bradie B. 2006. A Friendly Introduction to Numerical Analysis. Prentice Hall.
Buchanan, JR. 2006. An undergraduate Introduction to Financial mathematics.
Singapore: Word Scientific Publising Co. Pte. Ltd.
Chamberlain TW, Chiu R. 1990. The Valuation of American Calls on Futures
Contracts: A Comparation of Methods. Quartely Journal of Business and
Economic: VOL. VIII. 3-25
Gihman II, Skorohod AV. 1972. Stochastic Differential Equations. New York:
Springer-Verlag.
Hull, J C. 2003. Option Future and Other Derivative. Toronto: Prentice Hall
International Inc.
Hull J, White A. 1990. Valuing Derivative Securities the Explicit Finite
Difference Method. Journal of Financial and Quantitative Analysis: VOL
25. 87-100
Kerman J. 2002. Numerical Methods for Option Pricing: Binomial and Finitedifference Approximations [tesis]. New York: Courant Institute of
Mathematical Sciences New York University.
Mitchell AR, Griffiths DF. 1990. Finite Difference Method in Partial
Differential Equation. Dunde: Department of mathemathics University of
Dunde Scotland.
Niwiga, D B. 2005. Numerical Method For Valuation Of Financial Derivatives
[tesis]. University of Werstern Cape, South Africa.
Pauly, O. 2004. Numerical Simulation of American Option. [tesis] Universität
Ulm.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. New York: John Wiley & Son Inc.
54
LAMPIRAN
55
Lampiran 1.
Persamaan (2.4) adalah dS t
S t dt
Persamaan (2.5) adalah dV
V
S
S
S t dW t .
V
t
1
2
2
2
S2
V
dt
S2
V
dS .
S
Substitusi (2.3) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh
V
d
dV
dS .
S
V
V 1 2 2 2V
V
S
S
dt
S
dW t
2
S
t 2
S
S
Persamaan (2.7) adalah d
0
Jadi d
S
V
dW t .
S
dV
S
V
dt
S
V
dt
t
S
V
dt
S
S
2
1
2
2
V
dt
S
S2
V
dt
S2
V
dt
t
S
V
S
S t dt
V
dW t
S
S
2
1
2
2
S2
V
dt
S2
S
V
dt
S
V
dW t
S
S t dW t
S
V
dW t
S
S
V
dW t
S
V
1 2 2 2V
dt
S
dt 0
t
2
S2
V 1 2 2 2V
S
dt
t 2
S2
V
t
2
1
2
2
S2
V
dt
S2
Lampiran 2.
Telah diturunkan bahwa ln ST
rataan dari ln ST
r
ln S 0 ~ N
r
1
2
2
T,
T , sehingga
ln S 0 adalah
1
2
2
T
an variansinya
2
T.
(L2.1)
Persamaan (2.13) menyebutkan bahwa ln ST berdistribusi normal dengan rataan
m ln S 0
2
T.
r
1
2
2
T dan standar deviasi s
T , sehingga variansinya
56
ln ST
Persamaan (2.14) adalah Q
m
.
T
Substitusi (2.13) ke dalam (2.14) diperoleh
2
1
1
Q
ln ST ln S 0
r
T
2
T
T
Jika a dan b suatu konstanata serta X suatu peubah acak maka (Buchanan 2007):
aX b aE X b
Var aX
a 2 Var X
b
1
Q
T
ln ST
ln S0
ln ST
ln S0
1
T
1
ln ST
2
1
r
T
2
1
r
T
1
ln S0
T
2
2
2
r
2
1
T
r
2
T
(L2.2)
T
2
T
T
Substitusi (L2.1) ke dalam (L2.2) diperoleh
E Q
T
2
1
T
r
T
2
=0
1
Var Q =Var
=
=
T
ln S0
2
1
T
r
2
T
2
1
Var ln ST
T
1
2
T
ln ST
ln S0
2
T
=1
Jadi rataan dari Q adalah 0 dan variansinya 1.
Lampiran 3.
T t.
Persamaan (2.20) adalah d 2 d1
Jika N x menyatakan suatu fungsi berdistribusi normal maka (Hull 2003):
N' x
1
e
2
x2
2
(L3.1)
Berdasarkan Persamaan (L3.1) maka