DISTRIBUSI SAMPLING ( ) ( )i ( )

LAMPIRAN :
MATERI LS - 4
DISTRIBUSI SAMPLING
Sebagian besar statistika membahas mengenai suatu pengamatan yang dilakukan hanya
sebagaian (sampel) yang nantinya akan digunakan untuk melakukan inferensi yang berlaku untuk
populasi. Sebagai contoh jika seorang ilmuwan akan mengamati sepuluh dari lima puluh tananman
percobaan , kita dapat mengatakan bahwa pemilihan 10 tanaman tersebut merupakan sampel dari
populasi tanaman.
Definisi.1.
(1) Jika x1, x2, …, xn independen dan identik dengan distribusi variabel random dapat dikatakan
bahwa x1, x2, …, xn merupakan sampel random dari populasi tak hingga .
(2) Jika f(x1, x2, …, xn) adalah nilai dari distribusi bersama dari himpunan variabel random pada (x1,
x2, …, xn), maka
f  x1 , x2 ,..., xn    f xi 
n
f(xi) adalah nilai distribusi populasi pada xi .
Statistika inferensi biasanya berdasarkan pada statistik yaitu variabel random yang
merupakan himpunan fungsi variabel x1, x2, …, xn yang disebut sampel random. Statistik yang
banyak dibahas adalah statistik mean sampel dan varians sampel yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.
x1, x2, …, xn
Jika
merupakan sampel random , maka
n
x   xi disebut mean sampel
i 1
n
s 
2
 x
i 1
i
 x
n 1
2
disebut variansi sampel
Nilai x dan s 2 sering digunakan untuk memperkirakan mean  dan variasi  2 populasi dari
data yang diperoleh. Bentuk x dan s 2 sebagai contoh dari statistik dan ada banyak statistik lainnya
1
yang dapat digunakan untuk estimasi (perkiraan)  ,  2 dan parameter populasi yang lain.
Karena
statistik merupakan variabel random, maka nilainya akan bervariasi dari sampel yang satu dengan
sampel yang lain dan statistik biasanya digunakan untuk menghubungkan bentuk distribusi dari
populasi dengan distribusi sampling.
A.
Distribusi Mean
Pertama yang akan kita pelajari adalah mean distribusi sampling, dengan asumsi yang
sangat umum tentang sampel populasi .
Teorema
Jika x1, x2, …, xn merupakan sampel random dari suatu populasi dengan mean  dan variansi 2
, maka
Ex   
dan
Var  x  
2
n
Buktikan!
Perhatikan bahwa E  x  juga disajikan sebgai "  x " , var(x) disajikan dengan " 2 x" dan "x"
disebut deviasi standar dari mean. Rumus dari deviasi standar dari mean,  x 

, menunjukkan
n
bahwa deviasi standar dari distribusi mean berkurang ketika n (ukuran sampel) bertambah.
Ini berarti dengan n besar , diperoleh banyak informasi yang diharapkan, misalkan
x akan
mendekati  . Dengan menggunakan teorema Chebyshev dapat dikatakan bahwa untuk beberapa
konstanta c positif pada peluang x akan ditemukan sebuah nilai diantara  - c dan
paling sedikit 1 
2
nc 2
 + c yaitu
: Sehingga ketika n  , probabilitasnya ini mendekati 1.
Dari uraian di atas dapat diturunkan teorema seperti berikut.
Teorema. (Teorema Limit Pusat / CLT).
Jika x1, x2, …, xn membentuk suatu sampel random dari suatu populasi yang mempunyai mean
 dan varian  2 , maka limit dari distribusi :
z
x
/ n
untuk n   adalah distribusi normal standar.
2
Dengan
teorema limit pusat membenarkan perkiraan bahwa distribusi x dari distribusi
2
normal memiliki mean  dan variasi
ketika n besar . Perkiraan ini digunakan ketika n  30
n
tanpa memperhatikan bentuk sampel populasi. Untuk nilai n lebih kecil pendekatannya akan dibahas
pada subbab berikutnya.
Kasus
Sebuah mesin penjual softdrink mengeluarkan sejumlah minuman yang merupakan variabel random
dengan mean 200 militer dan standar deviasi 15 ml. Berapa probabilitas minuman yang dikeluarkan
tidak lebih dari 204 mililiter dengan n = 36.
Berikut ini diberikan teorema tentang distribusi samplingnya dari distribusi x .
Teorema ..
Jika x adalah mean dari suatu sampel random dengan ukuran (besar) n diambil dari suatu populasi
normal dengan mean  dan variansi  2 , maka distribusi sampling harga mean adalah berdistribusi
normal dengan  dan variansi
2
.
n
Soal
Jika X  N(,2) , maka tunjukkan bahwa z 
x

N
berdistribusi normal standar.
Teorema
Jika x1, x2, …, xn dan y1, y2, …,yn adalah variabel random yang membentuk sampel random ukuran n
yang berasal dari popuasi normal dengan mean 1 , dan variansi  1 serta sampel berukuran m dari
2
populasi normal dengan
mean
 2 , dan variansi  2 2 . Maka tunjukkan x  y 

 1 2  2 2 

N  1   2 ,

n
m 

3