Perbandingan Metode Pendugaan Parameter

4
TINJAUAN PUSTAKA
Spesifikasi Model
Berbagai model dalam pemodelan persamaan struktural telah dikembangkan oleh
banyak peneliti diantaranya Bollen (1989). Namun demikian sebagian besar
penerapannya menggunakan representasi LISREL. Dalam hal ini, model persamaan
struktural terdiri dari dua model utama yaitu model struktural dan model pengukuran.
Model struktural menjelaskan keterkaitan hubungan antara peubah-peubah laten,
sedangkan model pengukuran menjelaskan keterkaitan hubungan antara peubah laten
dengan indikatornya. Hubungan-hubungan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk
persamaan matematika maupun dalam bentuk diagram alur.
Model umum persamaan struktural didefinisikan sebagai berikut:
η = Вη + Гξ + ζ
(1)
dengan
В : matriks koefisien peubah laten endogenous berukuran m × m
Г : matriks koefisien peubah laten eksogenous berukuran m × n
η : vektor peubah laten endogenous berukuran m × 1
ξ : vektor peubah laten eksogenous berukuran n × 1
ζ : vektor sisaan acak hubungan antara η dan ξ berukuran m × 1
Model pengukuran terbagi atas dua yaitu model pengukuran untuk y dan model
pengukuran untuk x. Kedua model pengukuran ini didefinisikan sebagai berikut:
y = Λyη + ε
(2)
x = Λxξ + δ
(3)
dengan
y
: vektor penjelas peubah tidak bebas yang berukuran p × 1
x : vektor penjelas peubah bebas yang berukuran q × 1
Λy : matriks koefisien regresi antara y dan η yang berukuran p × m
Λx : matriks koefisien regresi antara x dan ξ yang berukuran q × n
ε
: vektor sisaan pengukuran terhadap y yang berukuran p × 1
δ : vektor sisaan pengukuran terhadap x yang berukuran q × 1
5
Faktor acak yang terdapat dalam model LISREL diasumsikan memenuhi kriteria
bahwa ε tidak berkorelasi dengan η, δ tidak berkorelasi dengan ξ, ζ tidak berkorelasi
dengan ξ, cov(ξ) = Φ ( n×n ) , cov(ζ) = Ψ ( m×m ) , cov(ε) = Θε ( p× p ) dan cov(δ) = Θδ ( q×q ) .
Asumsi yang digunakan ini berimplikasi terhadap matriks koragam bagi peubah
pengamatan. Matriks koragam Σ dari indikator-indikator x dan y dapat dituliskan sebagai
berikut:
⎛ ∑ yy
Σ = ⎜
⎝ ∑ xy
∑ yx ⎞
⎟
∑ xx ⎠
(4)
di mana Σ yy adalah matrik koragam bagi peubah pengamatan y yaitu:
Σyy = Λy(І – В)-1(ГΦГ’ + Ψ)((І – В)-1)’Λy’ + Θε
(5)
Σyx adalah matriks koragam bagi peubah pengamatan y dan x yang dapat ditulis sebagai:
Σyx = Λy(І – В)-1ГΦΛx’
(6)
Σxy merupakan matriks putaran dari Σyx, sedangkan matriks koragam bagi peubah
pengamatan x adalah:
Σxx = ΛxΦΛx’ + Θδ
(7)
Dari persamaan (5),(6) dan (7) dapat dilihat bahwa Σ merupakan fungsi dari
parameter θ = (Λy, Λx, В, Г, Φ, Ψ, Θε, Θδ) yang mendefinisikan model LISREL,
selanjutnya dapat dituliskan sebagai:
(
)
⎛ Λ Ι − Β −1 ΓΦΓ '+ Ψ Ι − Β −1 ' Λ '+ Θ
) (
)(
)
y
ε
⎜ y(
Σ(θ) = ⎜
−1 '
⎜
Λ x ΦΓ ' ( Ι − Β ) Λ y '
⎝
(
)
−1
Λ y ( Ι − Β ) ΓΦΛ x ' ⎞⎟
⎟
Λ x ΦΛ x ' + Θδ ⎟
⎠
(8)
Unsur-unsur dalam parameter θ terbagi atas tiga macam yaitu parameter tetap,
parameter kendala dan parameter bebas. Parameter tetap adalah parameter yang
ditentukan nilainya. Parameter kendala adalah parameter yang tidak diketahui nilainya
tetapi ditentukan sama dengan satu atau lebih parameter lainnya. Sedangkan parameter
bebas adalah parameter yang tidak diketahui nilainya sama sekali.
6
Identifikasi Parameter
Identifikasi parameter model berkaitan dengan ketersediaan informasi yang cukup
untuk mengidentifikasi adanya solusi yang unik dari persamaan struktural melalui
spesifikasi parameter-parameter model.
Defenisi 1
Jika suatu parameter dalam θ dapat dituliskan sebagai suatu fungsi dari satu atau
lebih elemen dalam Σ, maka parameter dalam θ teridentifikasi. Jika semua parameter
dalam θ teridentifikasi maka model teridentifikasi (Timm 2002).
Defenisi 2
Suatu parameter θ teridentifikasi secara lokal atau teridentifikasi secara unik pada θ1
jika di sekitar θ1 tidak ada vektor θ2 sehingga Σ(θ1) = Σ(θ2) kecuali θ1 = θ2 (Timm
2002).
Dari definisi di atas dapat dikatakan bahwa jika terdapat sepasang vektor θ1 dan θ2
sehingga Σ(θ1) = Σ(θ2) dan θ1 ≠ θ2 maka parameter θ tidak teridentifikasi. Menurut
Bollen (1989), apabila suatu parameter tidak teridentifikasi maka tidak dapat ditentukan
penduga yang konsisten untuk parameter tersebut. Cara lain untuk menguji masalah
identifikasi bagi suatu model adalah dengan memperhatikan persamaan (8) dalam bentuk:
σij = fij(θ),
i≤ j.
Di sini ada sejumlah (p+q)(p+q+1)/2 persamaan dan t unsur
(9)
dalam θ yang tidak
diketahui. Oleh karena itu, syarat perlu untuk keteridentifikasian bagi suatu parameter
adalah:
t < (p+q)(p+q+1)/2
(10)
dengan
p : banyaknya indikator bagi variabel laten endogenous
q : banyaknya indikator bagi variabel laten eksogenous
Pendugaan Parameter Model
Pendugaan parameter model secara substansi adalah pengepasan matriks koragam
model Σ dengan matriks koragam contoh S. Fungsi pengepasan ini dinyatakan dengan
F(S,Σ) yakni suatu fungsi yang bergantung pada S dan Σ. Selanjutnya, parameter model
diduga dengan meminimumkan fungsi pengepasan tersebut. Peminimuman fungsi
7
pengepasan ini merupakan proses peminimuman fungsi tak berkendala. Menurut Bollen
(1989), ada beberapa sifat fungsi pengepasan :
1. F(S,Σ) adalah besaran skalar.
2. F(S,Σ) ≥ 0, F(S,Σ) = 0 jika dan hanya jika Σ = S.
3. F(S,Σ) adalah fungsi kontinu dalam Σ dan S.
Dalam tulisan ini akan digunakan empat metode pendugaan parameter model yaitu
Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood ,ML), Metode Kuadrat Terkecil
Terboboti (Weighted Least Squares, WLS), Metode Kuadrat Terkecil Tak Terboboti
(Unweighted Least Squares,ULS) dan Metode Kuadrat Terkecil Umum (Generalized
Least Squares,GLS).
Metode Kemungkinan Maksimum (ML)
Saat ini fungsi pengepasan yang secara luas digunakan untuk menduga parameter
model persamaan struktural
adalah fungsi kemungkinan maksimum (ML). Menurut
Garson (2000), metode ini membuat estimasi didasarkan pada tindakan memaksimalkan
probabilitas (likelihood) bahwa koragam-koragam yang diobservasi ditarik dari suatu
populasi yang diasumsikan sama seperti yang direfleksikan dalam estimasi-estimasi
koefisien. Artinya, metode ini mengambil estimasi-estimasi yang mempunyai kesempatan
terbesar untuk memroduksi data yang diobservasi. Fungsi pengepasan untuk metode ini
adalah sebagai berikut:
FML = log|Σ(θ)| + tr(S ∑ −1 (θ)) - log|S| - (p + q)
(11)
di mana
p : banyaknya indikator bagi peubah laten endogenus
q : banyaknya indikator bagi peubah laten eksogenus
Dalam hal ini diasumsikan bahwa S dan Σ adalah matriks-matriks definit positif. Ini
artinya matriks tersebut non singular. Peminimuman fungsi F biasanya dilakukan dengan
metode iteratif. Jika ada beberapa nilai minimum dari fungsi F, maka tidak ada jaminan
bahwa metode ini akan konvergen ke minimum mutlak.
8
Metode Kuadrat Terkecil Umum (GLS)
Jika metode ULS dianalogkan dengan metode OLS dalam analisis regresi maka
metode GLS juga dianalogkan dengan metode GLS dalam analisis regresi.
Dalam
analisis regresi, metode GLS digunakan untuk mengatasi keheterogenan ragam galat
yang merupakan faktor pengganggu tidak terpenuhinya asumsi kehomogenan ragam.
Dengan analogi ini fungsi pengepasan GLS memberikan pembobotan pada unsur-unsur
(S-Σ). Bentuk umum fungsi pengepasan GLS adalah:
FGLS= (1/2)tr[{(S-Σ)W −1 } 2 ]
(12)
di mana W −1 adalah matriks pembobot bagi matriks sisaan yang merupakan matriks
sembarang yang konvergen dalam peluang ke matriks definit positif untuk N → ∞.
Menurut Powell et al.(2001), W adalah matriks pembobot yang secara tipikal dipilih
sama dengan S. Sama seperti penduga yang lain, penduga GLS juga bersifat konsisten.
Namun tidak semua pemilihan W −1 dapat memberikan penduga yang efisien, sebagai
contoh jika W −1 = I, maka penduga GLS tidak efisien karena yang terakhir ini sama
halnya dengan penduga ULS.
Metode Kuadrat Terkecil Tak Terboboti (ULS)
Fungsi FULS meminimumkan setengah jumlah kuadrat dari masing-masing unsur
matriks sisaan (S-Σ(θ)). Matriks sisaan ini memuat selisih antara koragam contoh dengan
nilai-nilai dugaannya. FULS adalah bentuk khusus FGLS apabila W −1 =
I. Fungsi
pengepasan metode ULS dinyatakan oleh :
FULS = (1/2)tr[(S-Σ(θ)) 2 ]
(13)
Metode ini dapat dianalogkan sebagai metode kuadrat terkecil biasa (Ordinary Least
Squares, OLS) dalam analisis regresi. Metode OLS meminimumkan jumlah kuadrat
sisaan, yaitu galat antara nilai pengamatan peubah tak bebas dengan nilai dugaannya.
Keuntungan dari metode ULS ini antara lain sifat kekonsistenan penduganya tidak
memerlukan asumsi sebaran dari peubah pengamatan sepanjang θ teridentifikasi. Namun
kelemahannya adalah penduga ULS bukanlah penduga yang efisien secara asimtotis dan
ia tidak bersifat invarian terhadap skala pengukuran. Jadi nilai dugaannya sangat
dipengaruhi oleh perubahan skala pengukuran pada peubah pengamatan serta pada
metode ini tidak dapat dilakukan uji keteridentifikasian.
9
Metode Kuadrat Terkecil Terboboti (WLS)
Asumsi pada metode ML adalah peubah-peubah pengamatan mengikuti sebaran
normal ganda di mana Σ(θ) dan S
adalah matriks definit positif (Bollen 1989).
Implikasinya peubah indikator menggunakan skala interval (kontinu) dan skala ordinal
dalam korelasi polychoric yang dilatarbelakangi peubah kontinu. Alternatif pendugaan
dengan menggunakan korelasi polychoric ini adalah Weighted Least Squares (WLS).
Fungsi pengepasan WLS dirumuskan sebagai:
FWLS = [s-σ(θ)]’W −1 [s-σ(θ)]
(14)
di mana s’ = ( s11 , s 21 , s 22 , s 31 , ..., s kk ) , adalah vektor yang memuat unsur-unsur matriks
segitiga bawah beserta diagonal dari matriks koragam S berukuran k × k yang digunakan
untuk menduga model, σ’(θ) = (σ11, σ21, σ22, σ31, …,σkk) adalah vektor yang memuat
unsur-unsur matriks koragam Σ berukuran k × k yang dihasilkan dari parameter model.
Sedangkan W −1 adalah matriks pembobot definit positif di mana W merupakan matriks
koragam di antara elemen-elemen dalam s (Loehlin 2004). Secara umum metode WLS
menghasilkan standar error dan χ 2 yang akurat jika ukuran contoh besar. Menurut
Stoelting (2002), metode ini baik kalau ukuran contoh di atas 2500. Oleh karena itu,
metode ini tidak direkomendasikan untuk pendugaan parameter yang ukuran contohnya
kecil.
Evaluasi dan Modifikasi Model
Evaluasi model adalah suatu langkah yang perlu dilakukan untuk menilai apakah
suatu model sudah layak atau belum. Dalam analisis pemodelan persamaan struktural
tidak ada alat uji statistik tunggal untuk menguji hipotesis mengenai model. Berikut ini
beberapa indeks kesesuaian untuk pengujian kelayakan model.
1. Uji χ 2
Digunakan untuk menguji hipotesis :
Ho : Σ = Σ(θ),
H1 : Σ ≠ Σ(θ),
dengan Σ adalah matriks koragam populasi dan Σ(θ) adalah matriks koragam yang
dihasilkan vektor parameter yang mendefinisikan model hipotetik. Untuk menguji
10
hipotesis di atas, matriks koragam S digunakan sebagai dugaan bagi Σ dan
∑(θ ) = ∑ adalah dugaan bagi Σ(θ). Keputusan yang diharapkan adalah menerima Ho
sehingga dapat disimpulkan bahwa model hipotesis sesuai dengan data.
2. GFI (Goodness of Fit Index) dan AGFI (Adjusted GFI)
GFI merepresentasikan persen keragaman S yang dapat menjelaskan Σ, yaitu
keragaman dalam model. GFI dan AGFI diperoleh dari rumus berikut:
−1
GFI = 1−
tr[(∑ S − I )2 ]
−1
tr[(∑ S )2 ]
⎡ q (q + 1) ⎤
AGFI = 1 − ⎢
⎥ [1 − GFI ]
⎣ 2df ⎦
(15)
(16)
dengan q banyaknya indikator peubah laten eksogenous dan df derajat bebas. Menurut
Bollen (1989), aturan praktis untuk kelayakan sebuah model hendaknya GFI dan
AGFI masing-masing lebih besar dari 0,90 dan 0,80.
3. RMSEA (Root Mean Square Error of Approximation)
RMSEA digunakan sebagai pendamping bagi statistik χ 2 dalam menilai kelayakan
sebuah model. RMSEA diperoleh dari rumus berikut:
RMSEA =
χ2
(n − 1)df
−
df
(n − 1)df
(17)
χ 2 adalah nilai dari khi-kudrat model, df adalah derajat bebas model dan n adalah
ukuran contoh. Menurut Engel et al. (2003), nilai RMSEA ≤ 0.05 mengindikasikan
model yang baik, sedangkan nilai RMSEA antara 0.05 dan 0,08 merupakan indikasi
dapat diterimanya sebuah model.
11
4. RMSR (Root Mean Square Residual)
RMSR merupakan ukuran rata-rata dari kuadrat sisaan. Semakin besar nilai RMSR
semakin buruk model hipotetik dalam mengepas data, demikian pula sebaliknya.
RMSR dirumuskan sebagai berikut:
∑∑ ( s
p+q
RMSR =
i
i =1 j =1
ij − σ ij
)
2
( p + q )( p + q + 1) / 2
(18)
di mana
p : banyaknya indikator bagi peubah laten endogenous
q
: banyaknya indikator bagi peubah laten eksogenous
sij : unsur matriks S
s$ ij : unsur matriks ∑
Skewness dan Kurtosis
Terdapat dua macam ukuran untuk memeriksa bentuk sebaran data yakni skewness
dan kurtosis. Menurut Kotz dan Johnson (1992) Skewness secara umum disebut juga
koefisien kemenjuluran Pearson yaitu ukuran kemenjuluran data peubah tunggal
(univariate). Skewness merupakan fungsi dari tiga statistik yaitu rataan, median dan
simpangan baku dirumuskan dengan 3( x − Me) / s . Jika skewness bernilai lebih dari nol
(positif), mengindikasikan data menjulur ke kanan, demikian pula sebaliknya. Nilai
skewness mendekati nol mengindikasikan kesimetrikan data. Dalam hal data peubah
ganda (multivariate), multivariate skewness merupakan perumuman dari
univariate
skewness. Penolakan terhadap hipotesis data menyebar normal ganda yaitu jika nilai dari
multivariate skewness sangat besar.
Kurtosis mengukur seberapa besar penyimpangan data dari sebaran normal. Kurtosis
diberikan oleh persamaan m4 / m22 di mana m4 adalah momen pusat keempat dan
m2 adalah moment pusat kedua. Nilai negatif mengindikasikan sebaran data lebih landai
dari sebaran normal, demikian pula sebaliknya. Nilai kurtosis mendekati nol
mengindikasikan data mengikuti sebaran normal. Seperti halnya multivariate skewness,
multivariate kurtosis merupakan perumuman dari univariate kurtosis. Hipotesis bahwa
12
data menyebar normal ganda ditolak jika multivariate kurtosis bernilai sangat besar atau
sangat kecil.
Mardia dalam Kotz dan Johnson (1992) mendefinisikan multivariate skewness dan
multivariate kurtosis masing-masing sebagai berikut:
{
= E {⎡⎣ ( x − μ ) ' ∑
}
( x − μ ) ⎤⎦ }
β1. p = E ⎡⎣ ( x − μ ) ' ∑ −1 ( y − μ ) ⎤⎦
3
β 2. p
2
−1
(19)
(20)
di mana μ adalah vektor nilai tengah berukuran p × 1 , Σ adalah matriks koragam
berukuran p × p , sedangkan x dan y adalah vektor peubah acak yang saling bebas
berukuran p ×1 .