7. aplikasi integral

8. FUNGSI
TRANSENDEN
MA1114 KALKULU I
1
8.1 Fungsi Invers
Misalkan f : D f  R f dengan
x  y  f (x)
Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v
atau jika u  v maka f (u )  f (v)
yx
y  x2
y  x
u
fungsi y=x satu-satu
fungsi y=-x satu-satu
MA1114 KALKULUS I
v
fungsi y  x 2 tidak satu-satu
2
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan
sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers
notasi f 1
f 1 : R f  D f
y  x  f 1  y 
R
Df
x f
1
R
f
x
( y)
f
Berlaku hubungan
Rf
f 1 ( f ( x))  x
y=f(x)
f ( f 1 ( y))  y
1
D f 1  R f ,
MA1114 KALKULUS I
R f 1  D f
3
Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka
f mempunyai invers
f(x)=x
f ' ( x)  1  0, x  R
f selalu naik
f(x)=-x
f ' ( x)  1  0, x  R
f selalu turun
 0, x  0
f ' ( x)  2 x  
 0, x  0
f naik untuk x>0
turun untuk x <0
f ( x)  x
f ( x)  x 2
f ( x)   x
v
u
f
1
ada
f
1
ada
MA1114 KALKULUS I
f
1
tidak ada
4
x 1
Contoh : Diketahui f ( x ) 
x2
a. Periksa apakah f mempunyai invers
b. Jika ada, tentukan inversnya
Jawab:
3
1.( x  2)  1.( x  1)

 0, x  Df
a. f ' ( x) 
2
2
( x  2)
( x  2)
Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers
b.
Misal y  x  1
x2
xy  2 y  x  1
 2y 1
f ( y) 
y 1
1
 2y 1
x y  x  2 y  1  x 
y 1
 2x  1
 f ( x) 
x 1
1
MA1114 KALKULUS I
5
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya
dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah
asalnya.
f ( x)  x 2
f ( x)  x 2
u
Untuk x>0 f
1
ada
Untuk x<0 f
1
ada
v
Untuk x  R f 1 tidak ada
f ( x)  x 2
MA1114 KALKULUS I
6
Grafik fungsi invers
Titik (x,y) terletak
pada grafik f
Titik (y,x) terletak
pada grafik f 1
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x
f
Grafik f dan f
f
1
semetri terhadap garis y=x
1
MA1114 KALKULUS I
7
Turunan fungsi invers
Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan
pada selang I. Jika f ' ( x)  0, x  I maka f 1 dapat diturunkan di y=f(x)
dan
1
( f )' ( y ) 
f ' ( x)
1
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai
dx
1

dy dy / dx
Contoh: Diketahui f ( x)  x 5  2 x  1 tentukan ( f 1 )' (4)
Jawab :
f ' ( x)  5 x 4  2 ,y=4 jika hanya jika x=1
1
1
( f )' (4) 

f ' (1) 7
1
MA1114 KALKULUS I
8
Soal Latihan
Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari
1.
1
f (x )  x 
, x0
x
2.
f (x )  3 2x  1
3. f ( x )  5 4x  2
4. f (x ) 
5
x2  1
, x0
5. f ( x )  x  1
x 1
6.
f ( x) 
2x  3
x2
MA1114 KALKULUS I
9
8.2 Fungsi Logaritma Asli

Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
x1
ln x  
1

t
dt , x  0
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
x1  1
D x ln x   D x   dt  
1 t  x
.

Secara umum, jika u = u(x) maka
 u ( x ) 1  1 du
D x ln u   D x   dt  

 u dx
t
 1

MA1114 KALKULUS I
10
f ( x)  ln(sin( 4 x  2))
1
f ' ( x) 
Dx (sin( 4 x  2))  4 cot( 4 x  2)
sin( 4 x  2)
Contoh : Diberikan
maka
Jika
Jadi,
y  ln | x | , x  0
 ln x , x  0

ln(  x) , x  0
d
1
(ln | x |) 
, x  0.
dx
x
Dari sini diperoleh :
y  ln x  y ' 
1
x
y  ln(  x)  y ' 
1 1

x x
1
 x dx  ln | x |  C
Sifat-sifat Ln :
1. ln 1 = 0
2. ln(ab) = ln a + ln b
3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
4. ln a r  r ln a
MA1114 KALKULUS I
11
4
Contoh: Hitung

0
x2
dx
3
x 2
Jawab:
Misal u  x  2  du  3x dx
3
2
x2
x 2 du
 x 3  2 dx   u 3x 2

1 1
1
du

ln | u | c

3 u
3
1
 ln | x 3  2 | c
3
sehingga
4

4
x2
1
3
0 x 3  2dx  3 ln | x  2 | 0
1
1
 (ln 66  ln 2)  ln 33.
3
3
MA1114 KALKULUS I
12
Grafik fungsi logaritma asli
Diketahui
x
a. f ( x)  ln x 
f(x)=lnx
1
b. f ' ( x)   0 x  D f
x
f selalu monoton naik pada Df
c. f ' ' ( x)  
1
dt
1 t , x  0
1
 0 x  D f
2
x
Grafik selalu cekung kebawah
d. f(1) = 0
MA1114 KALKULUS I
13
8.3 Fungsi Eksponen Asli
1
 0 untuk x  0, maka fungsi logaritma asli
 Karena Dx ln x  
x
monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi
logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi
berlaku hubungan
y  exp( x)  x  ln y


Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x))
Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang
bersifat ln e = 1.
Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
e r  exp(ln e r )  exp r ln e  exp r
MA1114 KALKULUS I
exp ( x)  e x
14
Turunan dan integral fungsi eksponen asli
Dengan menggunakan turunan fungsi invers
Dari hubungan
y  ex

x  ln y
dy
1

 y  ex
dx dx / dy
dx 1

dy y
Jadi, Dx (e x )  e x
Secara umum
Dx (eu ( x ) )  eu .u '
Sehingga
x
x
e
dx

e
C

MA1114 KALKULUS I
15
Grafik fungsi eksponen asli
Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli
maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan
grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
y=exp (x)
y=ln x
1
1
Contoh:
D x (e 3 x ln x )  e 3 x ln x .D x (3x ln x)  e 3 x ln x (3 ln x  3).
MA1114 KALKULUS I
16
Contoh :Hitung
e3 / x
 x 2 dx
Jawab :
Misalkan u 
3
3
1
1
 du  2 dx  2 dx   du
x
3
x
x
Sehingga
e3 / x
1 u
1 u
1 3/ x
 x 2 dx    3 e du   3 e  c   3 e  c.
MA1114 KALKULUS I
17
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli
a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi
h( x)
, f ' ( x)  ?
Diketahui f ( x)  ( g ( x))
ln( f ( x))  h( x) ln( g ( x))
Dx (ln( f ( x)))  Dx (h( x) ln( g ( x)))
f ' ( x)
h( x )
 h' ( x) ln( g ( x)) 
g ' ( x)
f ( x)
g ( x)


h( x )
f ' ( x)   h' ( x) ln( g ( x)) 
g ' ( x)  f ( x)
g ( x)


MA1114 KALKULUS I
18
Contoh :
Tentukan turunan fungsi f ( x)  (sin x) 4 x
Jawab:
Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan
menggunakan fungsi logaritma asli
ln f ( x)  ln(sin x) 4 x  4 x ln(sin( x))
Turunkan kedua ruas
Dx (ln f ( x))  Dx (4 x ln(sin( x)))
f ' ( x)
4x
 4 ln(sin( x)) 
cos x  4 ln(sin( x))  4 x cot x
f ( x)
sin x
f ' ( x)  (4 ln(sin( x))  4 x cot x)(sin x) 4 x
MA1114 KALKULUS I
19
b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi
lim f ( x) g ( x )  ?
x a
Untuk kasus
(i) lim f ( x)  0, lim g ( x)  0
x a
x a
f ( x)  , lim g ( x)  0
(ii) lim
x a
x a
f ( x)  1, lim g ( x)  
(iii) lim
x a
x a
Penyelesaian :
Tulis lim ( f ( x)
xa
g ( x)
)  lim [exp ( ln f ( x) g ( x ) )]  lim exp g ( x)ln f ( x)
xa
x a
Karena fungsi eksponen kontinu, maka
lim exp g ( x) ln ( f ( x)  exp lim g ( x) ln f ( x)
x a
x a
MA1114 KALKULUS I
20
Contoh: Hitung
a.
lim x x
x 0
b. lim 1  x 
x 0
1
x


c. lim x 3  1
x 
1 / ln x
Jawab:
a.
lim ( x x )  exp lim x ln x (bentuk 0. )
x 0
x 0
Rubah ke bentuk /  lalu gunakan dalil L’hopital
1
ln x
 exp lim 1  exp lim x  exp( 0)  1
x 0
1
x 0 x
 2
x
b.
1
ln (1  x)
lim ( (1  x)1 / x )  lim exp . . ln( 1  x)  exp lim
x 0
x 0
x
x 0
x
MA1114 KALKULUS I
21
Gunakan dalil L’hopital
1
 exp lim
 exp 1  e
x 0 1  x
sehingga
lim 1  x   e
1
x
x 0
c.


lim x  1
x 
3
1 / ln x
1
ln( x 3  1)
3
 exp lim
ln( x  1)  exp lim
x  ln x
x 
ln x
Gunakan dalil L’hopital
3x 2
3
3x 3
x 3 (3)
x

1
 exp lim
.  exp lim 3
 exp lim 3
x  1 / x
x  x (1  1 )
x  x  1
x3
(3)
3
 exp lim

exp
3

e
.
1
x  (1 
)
x3
MA1114 KALKULUS I
22
Soal latihan
A.Tentukan
y ' dari

1.
y  sec e 2 x  e 2 sec x
6.
2.
y  x 5 e 3 ln x
7. y  ln cos 3x
3.
y  tan e
4. y
2
x
e 2 x  xy3  1
5. e y  ln( x 3  3 y )
8.
y  ln x 2  5x  6
y

ln x
x2

9. y  ln sin x

10. y  sin(ln( 2 x  1))
MA1114 KALKULUS I
23
B. Selesaikan integral tak tentu berikut
1. 
4
dx
2x  1
2
ln
3x
2. 
dx
x
x
tan(ln x)
dx
4. 
x
2
x  ln x
dx
2

2
x x5
7.
 (x  3) e
8.
e
3
3.  2
dx
x 1
5. 
6.
4x  2
x
dx
11.
dx
2
x  6x
dx


sec2 2  e x dx
sin x
9.
 (cos x) e
10.
e
2 ln x
x e
2 2 x3
dx
e2x
dx
12.  x
e 3
13.
e3x
 (1  2e 3x ) 2 dx
dx
MA1114 KALKULUS I
24
C. Selesaikan integral tentu berikut
ln 2
4 3
3 x
dx
1. 
6.  e dx
1  2x
1
0
4
1
2. 1 x 1  x  dx
ln 3
3.
4.

e
7.
x
x
 ln 3 e  4
ln 5
x
2
dx

8.
1
5.  e

dx
e2
9.
2x 3
 xe
4 x 2
0
x
 e 3  4 e dx
0
3
2 e x
 2 dx
1 x
dx
e x(ln x) 2
dx
0
MA1114 KALKULUS I
25
D. Hitung limit berikut :
1.
lim x
1
1 x
2. lim 1  sin 2 x 
x 0
2

lim
cos
3.

x 
x 
4.

lim e
x 0
2x
6.
lim ln x 
1
x
7.
 x  1
lim 


x x  2 
x2

1
1
ln x

lim 1  x
x 1
1
x

5.
1
2 ln x
x 
x 
MA1114 KALKULUS I
x
26
8.5 Fungsi Eksponen Umum
Fungsi f ( x)  a x, a > 0 disebut fungsi eksponen umum
Untuk a > 0 dan x  R, definisikan
x
a e
x ln a
Turunan dan integral
Dx (a x )  Dx (e x ln a )  e x ln a ln a  a x ln a
Jika u = u(x), maka
Dx (a u )  Dx (eu ln a )  eu ln a ln a.u '  a u u ' ln a
Dari sini diperoleh :
:
x
a
 dx 
1 x
a C
ln a
MA1114 KALKULUS I
27
Sifat–sifat fungsi eksponen umum
Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku
1.
a a a
x
y
x y
ax
x y

a
2.
ay
3.
(a x ) y  a xy
4.
(ab) x  a x b x
5.
ax
a
   x
b
b
x
MA1114 KALKULUS I
28
Contoh:
1. Hitung turunan pertama dari
f ( x)  32 x 1  2sin 2 x
Jawab :
f ' ( x)  2.32 x 1 ln 3  2.2sin2 x cos 2 x ln 2
2. Hitung
4
x2
.xdx
Jawab :
Misal
u  x 2  du  2 xdx  dx 
x
4
 .xdx 
2
u
4

u
1
2x
du
x2
du 1 4
4

C 
C
2
2 ln 4
2 ln 4
MA1114 KALKULUS I
29
Grafik fungsi eksponen umum
Diketahui
a.
f ( x)  a x , a  1
f ( x)  a x , a  0
Df  (, )
a x ln a  0 , 0  a  1
b. f ' ( x)  a ln a   x
 a ln a  0 , a  1
f monoton naik jika a > 1
monoton turun jika 0 < a < 1
x
c.
f ( x)  a x ,0  a  1
f ' ' ( x)  a x (ln a)2  0  x D f
Grafik f selalu cekung keatas
d. f(0) = 1
MA1114 KALKULUS I
30
8.6 Fungsi Logaritma Umum
Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers
dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum
( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi a log x , sehingga berlaku :
y
y  a log x  x  a
Dari hubungan ini, didapat
ln x
ln x  ln a  y ln a  y 
ln a
y
Sehingga
Dx ( a log x)  Dx (
Jika u=u(x), maka
ln x
 log x 
ln a
a
ln x
1
)
ln a
x ln a
ln u
u'
Dx ( log u )  Dx (
)
ln a
u ln a
a
MA1114 KALKULUS I
31
Contoh: Tentukan turunan pertama dari
1. f ( x) 3 log( x 2  1)
x 1
)
2. f ( x) log(
x 1
4
Jawab :
1.
2.
ln( x 2  1)
f ( x) log( x  1) 
ln 3
3
2
x 1
ln(
x

1
4
x 1 )
f ( x) log(
)
x 1
ln 4
2x
1
f ' ( x)  2
x  1 ln 3
f ' ( x) 
1 1
x 1
Dx
(
)
x 1
ln 4  x 1 
x 1
1 x  1 x  1  ( x  1)
ln 4 x  1 ( x  1) 2
1
2

ln 4 ( x  1)( x  1)

MA1114 KALKULUS I
32
Grafik fungsi logaritma umum
Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik
fungsi eksponen umum terhadap garis y=x
Untuk a > 1
Untuk 0 < a < 1
f ( x)  a x
f ( x)  a x
f ( x) a log x
f ( x) a log x
MA1114 KALKULUS I
33
Soal Latihan
A. Tentukan
y ' dari
4
2x  4x
1. y  3

10
2
2. y  log x  9

3. x 3 log( xy)  y  2
B. Hitung
1.
2.
5x 1
 10
dx
x
3.lim  3x  5
x
1
x x

2
 x 2 dx
MA1114 KALKULUS I
34
8.7 Fungsi Invers Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu,
jika daerah asalnya dibatasi, fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satusatu sehingga mempunyai invers.
a. Invers fungsi sinus
Diketahui f(x) = sinx , 2  x 

2

2

2
Karena pada 2  x  2 f(x)=sinx
monoton murni maka inversnya ada.
Invers dari fungsi sinus disebut arcus
sinus, notasi arcsin(x),atau sin 1 ( x)
Sehingga berlaku
y  sin 1 x  x  sin y
MA1114 KALKULUS I
35
Turunan
Dari hubungan y  sin 1 x  x  sin y  1  x  1, 2  y  2
dan rumus turunan fungsi invers diperoleh
dy
1
1
1
1


, | x | 1


2
2
dx dx / dy cos y
1  sin y
1 x
atau Dx (sin 1 x) 
1
1 x2
Jika u=u(x) Dx (sin 1 u ) 
u'
1 u2
Dari rumus turunan diperoleh

dx
1 x2
 sin 1 x  C
MA1114 KALKULUS I
36
b. Invers fungsi cosinus
Fungsi f(x) = cosx ,0  x  
monoton murni(selalu monoton turun),
sehingga mempunyai invers
Definisi : Invers fungsi cosx disebut
arcuscosx, notasi arc cosx atau cos 1 ( x)
f ( x)  cos x
Berlaku hubungan

y  cos 1 x  x  cos y
Turunan
Dari
y  cos 1 x  x  cos y ,1  x  1, 0  y  
dy
1
1


dx dx / dy sin y

1
1  cos y
2
MA1114 KALKULUS I

1
1 x
2
diperoleh
, | x | 1
37
atau
Dx (cos 1 x) 
1
1 x2
 u'
Dx (cos 1 u ) 
Jika u= u(x)
1 u2
Dari rumus turunan diatas diperoleh

dx
1 x2
  cos 1 x  C
Contoh:
D x (sin
1
( x )) 
2
D x (cos 1 (tan x)) 
1
1  (x2 )2
Dx ( x 2 ) 
1
1  (tan x)
2
2x
1 x4
D x (tan x) 
MA1114 KALKULUS I
 sec 2 x
1  tan 2 x
38
Contoh: Hitung

Gunakan rumus
1
4 x
2

dx
1
1 u2
du  sin 1 (u )  C
Jawab :

1
4  x2
dx  
Misal u 

1
x2
4(1  )
4
dx

1
2
1
x
(1  ( ) 2
2
dx
x
 du  12 dx  dx  2du
2
1
2
1
dx  1
du

sin
uC
2

2
4 x
2
(1  u
MA1114 KALKULUS I
 sin 1 ( 2x )  C
39
c. Invers fungsi tangen
Fungsi f(x) = tanx,

2
x

2
Monoton murni (selalu naik)
sehingga mempunyai invers.
Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx,
1
notasi arc tanx atau tan ( x)
Berlaku hubungan

2
f(x)=tanx

2
y  tan 1 x  x  tan y
Turunan
Dari y  tan 1 x  x  tan y
, 2  y  2
dan turunan fungsi invers diperoleh
1
1
dy
1
1




1  tan 2 y 1  x 2
dx dx / dy sec 2 y
MA1114 KALKULUS I
40
atau Dx (tan 1 x) 
Jika u=u(x)
dx
1

tan
xC
 1 x2
1
1 x2
Dx (tan 1 u ) 
u'
1 u2
d. Invers fungsi cotangen
Fungsi f(x)= cot x ,0  x   selalu monoton turun(monoton murni)
sehingga mempunyai invers
Definisi Invers dari fungsi cot x disebut
1
Arcus cotx, notasi arc cotx atau cot x
f(x)=cotx
Berlaku hubungan
y  cot 1 x  x  cot y

Turunan
1
1
dy
1
1




2
2
1  cot y 1  x 2
dx dx / dy
csc y
MA1114 KALKULUS I
41
atau
Dx (cot 1 x) 
Jika u=u(x)
1
1 x2
dx
1


cot
xC
 1 x2
Dx (cot 1 u ) 
 u'
1 u2
Contoh :
1
D x (tan ( x  1) 
1
2
D x (cot 1 (sin x)
Dx ( x  1)
2
2x

1  ( x 2  1) 2
1  ( x  1)
1
 cos x

Dx
(sin
x
)

1  (sin x) 2
1  sin 2 x
2
2
Contoh: Hitung
a.
dx
 4  x2
b.
dx
 x 2  2x  4
MA1114 KALKULUS I
42
Jawab :
a.
1
 4  x 2 dx  
1
x2
4(1  )
4
dx

1
1
dx

x
4 1  ( )2
2
x
u   du  12 dx  dx  2du
2
1
1
2
1
1
dx

du

tan
u C
2
 4  x2

4 1 u
2
Gunakan rumus

1
x
tan 1 ( )  C
2
2
1
1
du

tan
(u )  C
 1 u2
MA1114 KALKULUS I
43
b.
dx
1

 x 2  2 x  4  ( x  1) 2  3 dx  

Misal
1
3
u
1
 ( x  1) 
1  

 3 
x 1
Gunakan rumus
3
 du 
1
dx
2
( x  1)
3(1 
)
3
dx
2
1
3
dx  dx  3du
dx
1
3
1
1

du

tan
uC
 x 2  2x  4 3  1  u 2
3
1
1
du

tan
(u )  C
 1 u2

MA1114 KALKULUS I
 x  1
tan 1 
  C
3
 3 
1
44
e. Invers fungsi secan
Diberikan f(x) = sec x ,0  x   , x  2
f ' ( x)  sec x tan x  0,0  x   , x 

2
f(x) = sec x monoton murni
Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx
atau sec 1 x
Sehingga
y  sec 1 x  x  sec y
MA1114 KALKULUS I
45
Turunan
Dari
sec 1 x  cos 1  1x 
y  sec 1 x  x  sec y
1
cos y 
x
y  cos 1  1x 
Sehingga
1
D x (sec 1 x)  D x (cos 1  1x  
Jika u = u(x)
x
Dx (sec 1 u ) 
1
x2 1
1  ( 1x ) 2
1
| x|
1


2
x2
x2 x2 1 | x | x 1
u'
| u | u 2 1
dx  sec 1 | x | c
MA1114 KALKULUS I
46
e. Invers fungsi cosecan
Diberikan f(x) = csc x , 2  x  2 , x  0
f ' ( x)   csc x cot x  0, 2  x  2 , x  0
f(x) = sec x monoton murni
Ada inversnya
Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx
atau csc 1 x
Sehingga
y  csc 1 x  x  csc y
MA1114 KALKULUS I
47
Turunan
Dari
csc 1 x  sin 1  1x 
y  csc 1 x  x  csc y
1
sin y 
x
y  sin 1  1x 
Sehingga
Dx (csc 1 x)  Dx (sin 1  1x 
Dx (sec 1 u ) 
Jika u = u(x)
x
1
x2 1
1
| x|
1



2
1  ( 1x ) 2 x
| x | x2 1
x2 x2 1
1
 u'
| u | u 2 1
dx   csc 1 | x | c
MA1114 KALKULUS I
48
Contoh:
A. Hitung turunan pertama dari
a. f ( x)  sec 1 ( x 2 )
1
b. f ( x)  sec (tan x)
Jawab:
a.
b.
f ' ( x) 
1
| x 2 | (x 2 )2 1
f'(x) 
Dx ( x ) 
2x
2
1
| tan x | (tan x)2  1
x2 x4 1
Dx(tan x) 
MA1114 KALKULUS I

2
x x4 1
sec2 x
| tan x | tan2 x  1
49
B. Hitung
x
1
x 4
2
dx
Jawab:
x
1
x 4
2
Misal
x
1
dx  
2
x 4(
x
 1)
4
dx 
1
2
1
2
dx
 x
x   1
2
x
u   du  12 dx  dx  2du
2
1
x2  4
dx 
1
1
1
1
2
du

du


2
2
2 2u u  1
2 u u 1
1
1
1
1 x
 sec | u | C  sec | | C
2
2
2
MA1114 KALKULUS I
50
Soal Latihan
A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin
1.
y  (sin 1 x) 2
2.
y  tan 1 (e x )
3.
y  tan 1 x ln x
sec1 t
4.
f (t )  e
5.
y  x 2 cot 1 (3x)
6.
y  tan 1 ( x  1  x 2 )
MA1114 KALKULUS I
51
B. Hitung
dx
1.  9 x 2 16
2.
3.
 4x

1/ 2
4.

0
ex
dx
5.  2 x
e 1
dx

e2x
dx
x 16
6.
dx
dx
7.  x[4  (ln x) 2 ]
2
2  5x2
sin 1 x
1 x
2
1 e
4x
dx
MA1114 KALKULUS I
52
8.8 Fungsi Hiperbolik
Definisi
a. Fungsi kosinus hiperbolik :
e x  ex
f ( x)  cosh x 
2
b. Fungsi sinus hiperbolik :
e x  ex
f ( x)  sinh x 
2
c. Fungsi tangen hiperbolik :
sinh x e x  e  x
f ( x)  tanh x 
 x x
cosh x e  e
d. Fungsi cotangen hiperbolik :
cosh x e x  e  x
f ( x)  coth x 
 x x
sinh x e  e
e. Fungsi secan hiperbolik :
f ( x)  sec h x 
f. Fungsi cosecan hiperbolik :
f ( x)  csc h x 
MA1114 KALKULUS I
1
2
 x x
cosh x e  e
1
2
 x
sinh x e  e  x
53
Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik
1.
cosh x  sinh x  e x
2. cosh x  sinh x  e
x
3.
cosh 2 x  sinh 2 x  1
2
2
1

tanh
x

sec
h
x
4.
5. coth 2 x  1  csc h 2 x
Turunan
 e x  e x  e x  e x
 
Dx (cosh x)  Dx 
 sinh x
2
 2 
 sinh x dx  cosh x  C
 e x  e x  e x  e x
 
Dx (sinh x)  Dx 
 cosh x
2
 2 
 cosh xdx  sinh x  C
MA1114 KALKULUS I
54
2
2
sinh x
cosh
x

sinh
x
1
2
D x (tanh x)  D x (
) 


sec
h
x
2
2
cosh x
cosh x
cosh x
2
2
2
2
cosh x
sinh
x

cosh
x

(cosh
x

sinh
x)
Dx (coth x)  Dx (
) 

2
sinh x
sinh x
sinh 2 x
1
2



csc
h
x
2
sinh x
1
 sinh x
D x (sec hx)  D x (
) 
  sec hx tanh x
2
cosh x
cosh x
D x (csc hx)  D x (
1
 cosh x
) 
  csc hx coth x
2
sinh x
sinh x
MA1114 KALKULUS I
55
Grafik f(x) = coshx
Diketahui
(i)
e x  e x
f ( x)  cosh x 
, xR
2
x
x
(ii) f ' ( x)  e  e   f ' ( x)  0 , x  0
2
 f ' ( x)  0 , x  0
f monoton naik pada x > 0
monoton turun pada x < 0
1
(iii)
e x  ex
f ' ' ( x) 
 0 , x  R
2
Grafik f selalu cekung keatas
(iv) f(0)=1
MA1114 KALKULUS I
56
Grafik f(x) = sinhx
Diketahui
(i)
e x  e x
f ( x)  sinh x 
, xR
2
e x  e x
0
(ii) f ' ( x) 
2
f selalu monoton naik
(iii)
e x  e  x  0, x  0
f ' ' ( x) 

2
 0, x  0
Grafik f cekung keatas pada x>0
cekung kebawah pada x<0
(iv) f(0)= 0
MA1114 KALKULUS I
57
Contoh:
Tentukan y ' dari
2
1. y  tanh( x  1)
2. x 2 sinh x  y 2  8
Jawab:
1.
y '  sec h 2 ( x 2  1) Dx ( x 2  1)  2 x sec h 2 ( x 2  1)
2.
Dx ( x 2 sinh x  y 2 )  Dx (8)
2 x sinh x  x 2 cosh x  2 y y '  0
2 x sinh x  x 2 cosh x
y'  
2y
MA1114 KALKULUS I
58
Soal Latihan
A. Tentukan turunan pertama dari
1.
f ( x)  tanh 4 x
2.
g ( x)  sinh 2 x
1  cosh x
3. g ( x) 
1  cosh x
4.
h(t )  coth 1  t 2
5.
g (t )  ln(sinh t ))
6.
f ( x)  x cosh x 2
MA1114 KALKULUS I
59
B. Hitung integral berikut
1.
 Sinh (1  4 x)dx
2
sinh
x
cosh
x dx
2. 
3.
 tanh x dx
4.
sec h 2 x
 2  tanh x dx
MA1114 KALKULUS I
60