ilmu ukur sudut dan segitiga (trigonometri)

Mengenang Jejak Sebagian Kecil Bangsa Indonesia Yang Pernah
Mengikuti Ujian Sekolah Pada Masa Awal Kemerdekaan
UJIAN PENGHABISAN SEKOLAH MENENGAH TINGKAT ATAS
TAHUN 1949
ILMU UKUR SUDUT DAN SEGITIGA (TRIGONOMETRI)
1.
HBS Negeri Belanda (Nederland) 1949
a. Dari ABC diketahui bahwa: a cos   b cos  . Segitiga apakah ini?
b. Jika sin x  cos x  p , ditanyakan:
1. Pada syarat-syarat apa p harus memenuhi.
1
1
2.
disebutkan dengan p.

cos x sin x
c. Hitunglah semua harga x yang lebih kecil dari pada 180 yang memenuhi persamaan
cos5 x  sin 4 x  cos x .
d. Jika untuk ABC berlaku r  ra  rb  rc , segitiga apakah ini?
Solusi:
a. a cos   b cos 
2 R sin  cos   2 R sin  cos 
2sin  cos   2sin  cos 
sin 2  sin 2
 
Jadi, segitiga ini adalah segitiga sama kaki.
b. 1. a sin x  b cos x  c , dengan c 2  a 2  b2
sin x  cos x  p
p 2  12   1
2
p2  2
 p  2  p  2   0
 2 p 2
2. sin x  cos x  p
sin 2 x  cos2 x  2sin x cos x  p 2
1  2sin x cos x  p2
1  p2
2
1
1
sin x  cos x
p
2p




, p  1
2
cos x sin x
sin x cos x
1 p
1  p2
2
cos5 x  sin 4 x  cos x
cos5 x  cos x  sin 4 x  0
2cos3x cos 2 x  2sin 2 x cos 2 x  0
sin x cos x 
c.
1 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015
cos 2 x  cos3x  sin 2 x   0
cos 2 x  0 atau sin 2 x  cos3x
cos 2 x  cos90
2 x  90  k  360
x  45  k  180
Jika k  0 , maka x  45
Jika k  1 , maka x  45  180  135
cos3x  sin 2 x
2 x  90  3x  k  360 atau 2 x  180  90  3x  k  360
x  18  k  72 atau x  90  k  360
Jika k  0 , maka x  18
Jika k  1 , maka x  18  72  90
Jika k  2 , maka x  18  144  162
d. r  ra  rb  rc
L
L
L
L



s s a s b s c
1
1
1
1



s s a s b s c
1
1
1
1



0
s s a s b s c
 s  a  s  b  s  c   s  s  b  s  c   s  s  a  s  c   s  s  a  s  b   0
s  s  a  s  b  s  c 
 s  a  s  b  s  c   s  s  b  s  c   s  s  a  s  c   s  s  a  s  b   0
 s  b  s  c  s  a  s   s  s  a  s  c  s  b   0
 s  b  s  c  2s  a   s  s  a b  c   0
 s  b  s  c  a  b  c  a   s  s  a b  c   0
 s  b  s  c b  c   s  s  a b  c   0
 abc
 a  b  c

 a  b  c  a  b  c

 b 
 c  b  c   
 a  b  c   0


2
2
2
2






 a  b  c  2b  a  b  c  2c b  c    a  b  c  a  b  c  2a b  c   0
 a  b  c  a  b  c b  c    a  b  c  a  b  c b  c   0
 a   b  c   a   b  c   b  c    b  c   a   b  c   a  b  c   0
 a 2   b  c  2   b  c    b  c  2  a 2   b  c   0




 a 2   b  c 2   b  c    a 2   b  c 2   b  c   0




a 2b  a 2c   b  c  b  c   a 2b  a 2c   b  c  b  c   0
2
2
2a 2 c   b  c  b  c    b  c  b  c   0
2
2
2a2c   b  c b  c b  c  b  c   0

2a 2 c  b 2  c 2
  2c   0
2 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015


2c a 2  b 2  c 2  0
c  0(ditolak)atau a 2  b2  c 2 (diterima)
Jadi, ABC adalah segitiga siku-siku, dengan C  90 .
2.
HBS Negeri Belanda (Nederland) 1949
Dalam sebuah ABC , M adalah titik pusat lingkaran luar dan r jari-jari lingkaran dalam.
Perpanjangan AI memotong lingkaran luar di D. Jika AI  5 , r  3 , dan BD  12 , hitunglah
sudut-sudut dan sisi-sisi dari ABC tersebut.
Solusi:
AE  AI 2  IE 2  52  32  16  4
1
IE 3
1
tan  
  0,75    3652'    7344'
2
AE 4
2
a
R
2sin 
AI
AB

1
sin  sin AIB
2
5
c

1
sin  sin 180   1   1   
2
2 
2

Y
C

3
D
3
I

2
A
4
M
3
E
5
c

1
1
1
sin  sin     
2
2 
2
Belum selesai
3 | Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Atas, 2015
B
X