integral lipat - WordPress.com

INTEGRAL LIPAT
1. Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kartesius
Pada bagian ini, dipelajari integral lipat dua dalam ℝ2. Misalkan diketahui dua interval
tertutup [a, b] dan [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua interval tersebut adalah
himpunan: R = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} yang merupakan suatu empat persegi
panjang dengan titik sudutnya (a, c), (a, d), (b, c), dan (b, d). Selengkapnya perhatikan
Gambar 1.(a), berikut:
(a)
(b)
Gambar 1.
Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan xi i 0 dan
n
 yi i0 yang sama banyaknya sehingga:
n
a = x0 < x1 < ... < xn – 1 < xn = b dan c = y0 < y1 < ... < yn – 1 < y = d
masing-masing membagi sama panjang interval [a, b] x [c, d].
Perhatikan bahwa, x 
ba
d c
dan y 
dan pada setiap subinterval [xi, xi+1] dan
n
n
[yi, yi+1] dipilih masing-masing bilangan xi dan yi . Perhatikan Gambar 1.(b).
Misalkan diketahui suatu fungsi dua variabel f(x, y). Bilangan yang menyatakan nilai
integral lipat dua
 f ( x , y )dA
R
1 | Kalkulus Lanjut
Email: [email protected]
Blog: aswhat.wordpress.com
Menyatakan volume kotak dengan alas segi empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] dan
tutup permukaannya z = f(x, y) dengan f(x, y) ≥ 0.
Teorema 1.
Misalkan f fungsi kontinu pada empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] , maka
d b
d



f
(
x
,
y
)
dxdy

f
(
x
,
y
)
dy
dx

f
(
x
,
y
)
dx



 dy
R
a c
c a


b
E.O.T
d b
d



Perhatikan bahwa    f ( x , y )dy  dx    f ( x , y )dx  dy
a c
c a


b
kemudian disebut integral
berulang karena pada dasarnya integral tersebut merupakan bentuk pengulangan dari
integral fungsi satu variabel.
Contoh 1.
Hitunglah integral
  x
2
 y 2 dxdy dengan R = [0, 1] x [0, 1].
R
Penyelesaian:
1 2

2
x

y
dxdy

x

y
dy





 dx
R
0 0

1
2
2
 Pertama akan diselesaikan terlebih dahulu integral yang berada di dalam tanda
kurung. Karena diintegralkan terhadap y maka x adalah suatu konstanta.
1
1
1 3
1
 2
2
0  x  y  dy   x y  3 y 0  x  3
2
2
 Hasil dari integral oertama kemudian diintegralkan lagi terhadap x dengan y suatu
konstanta.
1
1
 2 1
1 3 1  2
0  x  3  dx   3 x  3 x 0  3

1 1


2
2
2
2
x

y
dxdy
dapat
pula
diselesaikan
berdasarkan
bentuk

R 
0  0  x  y  dx  dy
E.O.Q
2 | Kalkulus Lanjut
Email: [email protected]
Blog: aswhat.wordpress.com
Contoh 2.
Suatu benda padat di bawah bidang z = x + y + 1 dibatasi oleh bidang x = 0, x = 1, y = 1,
dan y = 3. Tentukan volume benda tersebut.
Penyelesaian:
Bentuk integral dari permasalahan tersebut adalah:
3

x

y

1
dxdy

x

y

1
dy





 dx

0 1
[ o ,1]x[1,3]

1
Dengan menyelesaikan seperti Contoh 1, diperoleh volume benda padat tersebut = 7
satuan.
E.O.Q.
Contoh 3.
Suatu lempengan tipis berbentuk segitiga yang dibatasi oleh garis x = 1, y = 2x dan
sumbu-X mempunyai rapat massa ρ(x, y) = 6x + 6y + 6. Tentukan massa lempengan
tersebut.
Penyelesaian:
1 2x
1 2x
0 0
0 0
    x , y  dydx    6x  6 y  6 dydx
1
2x
  6xy  3 y 2  6 y  dx
0
0
1
  24 x 2  12x  dx
0
1
 8 x 3  6 x 2 
0
 14
E.O.Q.
3 | Kalkulus Lanjut
Email: [email protected]
Blog: aswhat.wordpress.com
Latihan 1.
1. Hitunglah integral lipat dua yang ditunjukkan pada R berikut:
a.
 xy dA , dengan R = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1}
3
R
b.
 2x
2
 3 y dA , dengan R = {(x, y)| -1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3}
R
2.
Hitung masing-masing integral berulang berikut:
2 3
a.
 9  x  dydx
0 0
 1
b.
  x sin y  dxdy
00
4 | Kalkulus Lanjut
Email: [email protected]
Blog: aswhat.wordpress.com
2. Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kutub
Perhatikan Gambar 2 berikut:
(i)
(ii)
Gambar 2.
(iii)
Misalkan R adalah suatu persegi panjang dengan koordinat polar. Misalkan z = f(x, y)
adalah suatu permukaan pada R dengan f kontinu dan tak-negatif. Volume V dari benda
di bawah permukaan f dan dia atas R seperti yang terlihat pada Gambar 2.(ii),,
ditentukan oleh:
V   f ( x , y )dA
R
Dalam koordinat polar, suatu persegi panjang polar R berbentuk:
R = {(r, θ): a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}
Dengan a ≥ 0 dan β – α ≤ 2π.
Selanjutnya, perhatikan Gambar 3 berikut:
Gambar 3
Koordinat polar (r, θ) dari suatu koordinat (x, y) adalah
x = r cos θ dan y = r sin θ, dengan r2= x2 + y2
Sehingga bentuk polar dari z = f(x, y) adalah
z = f(r cos θ, r sin θ)
dengan demikian,
V   f ( x , y )dA   f (r cos , r sin )r drd
R
5 | Kalkulus Lanjut
Email: [email protected]
Blog: aswhat.wordpress.com
R
Contoh 4.
 /2
Hitunglah

0
21cos 
2
y r dr d , dengan y = r sin θ.
Penyelesaian:
 /2

0
21cos 
2
y r dr d 
 /2
21cos 

2
0
 /2


21cos 
2
0
 /2
 

0
 /2
r sin  r dr d
21cos 
2
  sin  



r dr  d

r 2 sin dr d
21cos 
2
0
Sinθ adalah parameter,
sehingga dapat dikeluarkan
r sin  r dr d
2

 1 3 21cos   
   sin  r
 d
3 2


0 


 /2

3
1

   sin  2  2cos   8  d
3

0 
 /2

 /2


0

1
3


3
 sin
 3 2  2cos  d 


 /2

sin 2  2cos  d 
3
0
1
3

 /2
 /2
 sin 
d
3 
  8
0
8
3
 /2
 sin d
0
8
 /2
d cos    sin d
 2  2cos  d cos   3  sin d
3
0
0
 /2
 /2
1 1 1
8
4
 
2  2cos      cos 
3 2 4
3
0
0
 /2
 /2
1
8
4
2  2cos   cos
24
3
0
0
1
4
4 

8

  2  2cos 2   2  2cos0      cos 2  cos0


24
3

 

4
4 
 1
8

  2  2.0  2  2.1     0  1


 24
 3

 1
 8
  24  44   
 24
 3
 1
 8
  16  256 
 24
 3
8 22
 10  
3 3

E.O.S.
6 | Kalkulus Lanjut
Email: [email protected]
Blog: aswhat.wordpress.com
Contoh 5.
 /2
Hitunglah

0
3
0
r 3 dr d
Penyelesaian:
 /2

0
1 4 3
0 r dr d  0  4 r 0 d


 /2
81
  d
4
0
81  /2


4 0
81  81


4 2
8
3
 /2
3
 
E.O.S.
7 | Kalkulus Lanjut
Email: [email protected]
Blog: aswhat.wordpress.com