model kesetimbangan umum dari ekonomi produksi dengan pasar

MODEL KESETIMBANGAN UMUM DARI EKONOMI PRODUKSI
DENGAN PASAR ASET
RIJAL ULHAQ
G54102027
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
ABSTRACT
RIJAL ULHAQ. A general equilibrium model of a production economy with asset markets.
Supervised by ENDAR H. NUGRAHANI and EFFENDI SYAHRIL.
General equilibrium theory investigates the existence of equilibrium levels of production,
consumption and prices in a multi-market economy. General equilibrium theory is a milestone in
modern economics. The model of general equilibrium is characterized by three classes of agents: a
representative firm, heterogeneous households, and the government. Two markets (i.e., a labour
market and a goods market) are considered and two assets are traded in exchange of money,
namely, treasury bills and stocks. Households provide the labour force and decide on consumption
and savings, whereas the firm provides consumption goods and demands labour. The government
received taxes from households and pays interest on debt. The Walrasian equilibrium is derived
analytically. The dynamics of obtaining quantity constrained equilibria other than Walrasian
equilibrium is also studied by means of computer simulations.
ABSTRAK
RIJAL ULHAQ. Model kesetimbangan umum dari ekonomi produksi dengan pasar aset.
Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan EFFENDI SYAHRIL.
Teori kesetimbangan umum menyelidiki eksistensi pada tingkat-tingkat kesetimbangan dari
produksi, konsumsi dan harga pada pasar-pasar ekonomi. Teori kesetimbangan umum merupakan
pondasi utama pada ekonomi modern saat ini. Model kesetimbangan umum ini terkarakterisasi
pada tiga pelaku ekonomi, yakni pelaku ekonomi rumah tangga, perusahaan dan pemerintah.
Terdapat dua pasar yakni pasar tenaga kerja dan pasar barang konsumsi, juga terdapat aset-aset
yang diperdagangkan pada pasar aset, yakni surat utang pemerintah jangka pendek dan saham.
Rumah tangga menyediakan faktor produksi tenaga kerja dan melakukan konsumsi terhadap
barang konsumsi serta menabung pada pasar aset, sedangkan pelaku ekonomi perusahaan
menyediakan barang konsumsi dan melakukan permintaan terhadap faktor produksi tenaga kerja.
Pemerintah menerima pajak dari pelaku ekonomi rumah tangga serta membayarkan bunga dari
surat utang pemerintah jangka pendek. Kesetimbangan Walras telah diperoleh secara analitis.
Dinamika untuk memperoleh kesetimbangan pada kuantitas berkendala di luar kesetimbangan
Walras juga dipelajari melalui simulasi komputer.
MODEL KESETIMBANGAN UMUM DARI EKONOMI PRODUKSI
DENGAN PASAR ASET
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Oleh:
RIJAL ULHAQ
G54102027
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2007
Judul
Nama
NIM
: Model Kesetimbangan Umum dari Ekonomi Produksi dengan Pasar
Aset
: Rijal Ulhaq
: G54102027
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Drs. Effendi Syahril, Grad.Dipl.
NIP. 131 842 411
NIP. 131 804 163
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA.
NIP. 131 578 806
Tanggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 3 Juni 1984 dari pasangan Agus Supriyono dan Heni
Mardiastuti. Penulis merupakan anak kedua dari empat bersaudara.
Tahun 2002, penulis lulus dari SMUN 2 Purwakarta dan pada tahun yang sama diterima
sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB).
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis pernah aktif dalam kepanitiaan yang
diselenggarakan oleh GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2003/2004.
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah, Tuhan semesta alam. Shalawat serta salam semoga tercurah kepada
Rasulullah SAW.
Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada
program studi Matematika.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan,
pengarahan, semangat dan saran selama proses penulisan karya ilmiah ini.
2. Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang
telah diberikan.
3. Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku Penguji yang telah banyak memberikan saran dan
masukan.
4. Nisa Rachmani dan Kanz Ibrahim Sani, Istri tercinta dan Ananda tersayang yang banyak
memberikan kebahagiaan.
5. Keluarga besar di Purwakarta dan Jakarta atas semua dukungan dan kesabarannya.
6. Fifit Maulani atas doa, semangat dan persahabatan selama ini.
7. Arie Wijayanto atas bantuannya.
8. Roma Uli atas semua bantuan, semangat dan kebaikan selama kost di Perwira 12.
9. Febiana, Rahmat, dan Frederick selaku pembahas.
10. Yudi Arisandi dan Prima atas kebaikannya.
11. Mahasiswa/i matematika IPB khususnya angkatan 39, 40 dan 41.
12. Para dosen dan staf departemen matematika IPB.
13. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan memberikan kebaikan bagi pembaca.
Bogor, Desember 2007
Rijal Ulhaq
DAFTAR ISI
Halaman
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang..................................................................................................................... 1
1.2 Tujuan.................................................................................................................................. 1
LANDASAN TEORI
2.1 Peubah acak dan sifat-sifatnya............................................................................................. 2
2.2 Nilai maksimum dan minimum ........................................................................................... 3
2.3 Fungsi produksi Cobb-Douglas ........................................................................................... 3
2.4 Teori portofolio Markowitz ................................................................................................. 4
2.5 Daftar istilah ........................................................................................................................ 6
PEMBAHASAN
3.1 Model kesetimbangan umum............................................................................................... 8
3.1.1 Rumah tangga................................................................................................................... 8
3.1.2 Perusahaan...................................................................................................................... 10
3.1.3 Pemerintah...................................................................................................................... 11
3.1.4 Kesetimbangan Umum Walras ....................................................................................... 11
3.2 Dinamika proses kesetimbangan umum ............................................................................ 12
SIMPULAN .................................................................................................................................. 14
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................... 15
LAMPIRAN.................................................................................................................................. 16
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kesetimbangan umum merupakan salah
satu cabang ilmu mikroekonomi untuk
menjelaskan produksi, konsumsi dan harga
pada
keseluruhan
ekonomi.
Teori
kesetimbangan umum merupakan pondasi
utama pada ekonomi modern. Teori ini
dirancang pertama kali oleh Leon Walras pada
akhir abad ke-19, kemudian dikembangkan
lebih lanjut oleh Arrow dan Debreu di tahun
1950-an.
Kesetimbangan umum mencoba untuk
memberikan pemahaman pada keseluruhan
ekonomi dengan menggunakan pendekatan
bottom-up yang dimulai dengan masingmasing pasar dan pelaku ekonomi. Hal ini
berbeda
dengan
makroekonomi
yang
menggunakan pendekatan top-down yang
dimulai dengan agregat terbesar. Namun sejak
makroekonomi modern menekankan dasar
mikroekonomi, perbedaan itu tidak terlalu
signifikan.
Model kesetimbangan umum merupakan
salah satu ilmu ekonomi yang menggunakan
metode kuantitatif. Model kesetimbangan
umum menganalisa fenomena ekonomi yang
berkembang pesat pada ekonomi modern saat
ini, dengan menggunakan konsep aliran uang
dari pelaku ekonomi yang satu ke pelaku
ekonomi lainnya.
Tulisan
ini
menyajikan
model
kesetimbangan umum dengan tiga pelaku
ekonomi yakni perusahaan, rumah tangga, dan
pemerintah. Terdapat dua pasar yakni pasar
barang dan jasa serta pasar tenaga kerja. Juga
terdapat dua aset yang diperdagangkan yakni
treasury bills dan saham.
Pelaku ekonomi perusahaan bertujuan
memaksimumkan
laba.
Perusahaan
melakukan permintaan terhadap faktor
produksi tenaga kerja, menawarkan barangbarang konsumsi dan membayarkan dividen
kepada para pemegang saham yakni pelaku
ekonomi rumah tangga. Pelaku ekonomi
rumah tangga bertujuan memaksimumkan
utilitas. Rumah tangga melakukan permintaan
terhadap
barang-barang
konsumsi,
menawarkan faktor produksi tenaga kerja, dan
menabung melalui pasar aset dengan aset
saham dan treasury bills. Sedangkan pelaku
ekonomi pemerintah melakukan pembayaran
terhadap bunga treasury bills dan menerima
pajak dari rumah tangga. Kesetimbangan
pemerintah akan bernilai nol jika jumlah pajak
yang diterima sama dengan jumlah bunga
treasury bills yang mesti dibayarkan kepada
pemegang treasury bills, yakni rumah tangga.
Defisit akan terjadi jika kesetimbangan
pemerintah bernilai negatif, yang berarti
penerimaan
pajak
lebih
kecil
dari
pengeluaran bunga treasury bills .
Kesetimbangan umum diperoleh dari
interaksi pelaku-pelaku ekonomi pada pasarpasar ekonomi yang berkaitan, pada saat
agregat penawaran dan agregat permintaan
bernilai sama, sehingga diperoleh tingkat
harga, tingkat upah, jumlah tenaga kerja, dan
jumlah output (barang-barang konsumsi)
yang memaksimumkan laba perusahaan serta
memaksimumkan utilitas rumah tangga.
Pada karya ilmiah ini juga disimulasikan
dinamika proses kesetimbangan umum yang
merepresentasikan tingkat harga, upah dan
upah riil pada tahapan waktu tertentu.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi
dari tulisan Marco Raberto, Andrea Teglio
dan Silvano Cincotti (2006) yang berjudul A
general equilibrium model of a production
economy with asset markets.
1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini
adalah mempelajari dan merumuskan kembali
model
kesetimbangan
umum
dengan
penyajian aset treasury bills dan aset saham,
serta mensimulasikan
dinamika proses
kesetimbangan umum pada tahapan waktu
tertentu.
2
LANDASAN TEORI
2.1 Peubah Acak dan Sifat-sifatnya
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah suatu percobaan yang
dapat diulang dalam kondisi yang sama, tetapi
hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat
ditebak dengan tepat, namun kemungkinan
hasil yang muncul dapat diketahui.
[Hogg & Craig, 2005]
Definisi 2 (Ruang contoh)
Ruang contoh yang dinotasikan dengan Ω
adalah himpunan semua hasil yang dapat
diperoleh dari suatu percobaan acak.
[Hogg & Craig, 2005]
Definisi 3 (Medan- σ )
Medan- σ adalah suatu himpunan F yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω , yang memenuhi kondisi
berikut:
1. ∅ ∈ F ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F maka
∞
∪A ∈F ,
i
i =1
3. Jika A ∈ F maka Ac ∈ F .
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan F adalah medan- σ dari ruang
contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi
P : F → [0,1] pada ( Ω, F ) yang memenuhi:
1. P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1 ,
2. Jika A1 , A2 ,... ∈ F adalah himpunan yang
saling lepas yaitu Ai ∩ A j = ∅ untuk
setiap
pasangan
i≠ j,
maka
⎛
⎞
P ⎜ ∪ Ai ⎟ = ∑ P ( Ai ) .
⎝ i =1 ⎠ i =1
[Grimmett dan Stirzaker, 1992]
∞
∞
Definisi 5 (Peubah acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh. Suatu
fungsi X yang memetakan setiap c ∈ Ω ke
tepat satu bilangan nyata X (c) = x disebut
peubah acak.
[Hogg & Craig, 2005]
Definisi 6 (Fungsi kepekatan peluang)
Fungsi kepekatan peluang (fkp) peubah acak,
diskret X adalah fungsi P : R → [ 0,1] yang
diberikan oleh PX ( x) = P ( X = x) .
[Grimmet & Stirzaker, 1992]
Definisi 7 (Nilai harapan)
Jika X adalah peubah acak diskret dengan
fungsi kepekatan peluang PX ( x) = P ( X = x)
X yang dinotasikan
maka nilai harapan
dengan E[ X ] adalah
E[ X ] = ∑ xP( X = x)
x
= ∑ xPX ( x) .
x
[Grimmet & Stirzaker, 1992]
Beberapa sifat dari nilai harapan:
1. jika k suatu konstanta, maka E[k ] = k
2. jika k1 dan k2 suatu konstanta dan
g1 ( X ) , g 2 ( X ) adalah peubah acak,
maka
E[k1 g1 ( X ) + k2 g 2 ( X )] = k1 E[ g1 ( X )] + k2 E[ g 2 ( X )]
Secara umum, jika k1 , k2 ,...., kn adalah
konstanta dan g1 ( X ), g 2 ( X ),...., g n ( X ) adalah
peubah acak, maka
E[k1 g1 ( X ) + k2 g 2 ( X ) + ... + kn g n ( X )]
= k1 E[ g1 ( X )] + k2 E[ g 2 ( X ) + ... + kn E[ g n ( X )] .
[Hogg & Craig, 2005]
Definisi 8 (Ragam)
Ragam dari peubah acak adalah nilai harapan
dari kuadrat selisih antara X dengan nilai
harapannya. Ragam dari peubah acak X
menyatakan
besarnya
penyimpangan
pengamatan dari rata-rata peubah acak X .
Secara matematis dapat dituliskan sebagai
Var ( X ) = σ 2 = E[( X − E[ X ]) 2 ]
(
= E X 2 − 2 X ( E[ X ]) + ( E[ X ])
= E ( X 2 ) − 2 ( E[ X ]) + ( E[ X ])
2
2
)
2
= E ( X 2 ) − ( E[ X ]) .
2
[Hogg & Craig, 2005]
Definisi 9 (Standar deviasi)
Misalkan σ X 2 adalah ragam dari peubah acak
X . Akar kuadrat positif dari ragam
dinamakan standar deviasi. Secara matematis
dituliskan sebagai
Standar deviasi ( X ) = σ X = σ X 2 .
[Hogg & Craig, 2005]
3
orde-satu dari
2.2 Nilai Maksimum dan Minimum
Definisi 10 (Turunan parsial)
Jika f adalah fungsi dua variabel, maka
turunan parsialnya adalah fungsi f x dan f y
yang didefinisikan oleh
f ( x + h, y ) − f ( x, y )
f x ( x, y ) = lim
h →0
h
f ( x , y + h ) − f ( x, y )
f y ( x, y ) = lim
h→0
h
Notasi untuk turunan parsial jika z = f ( x, y ) ,
kita tuliskan
f x ( x, y ) = f x =
∂f
∂
=
f ( x, y )
∂x ∂x
2.
fy
pandang
Teorema 2 (Uji Turunan kedua)
Andaikan turunan parsial kedua dari
f
kontinu pada cakram dengan pusat ( a, b ) dan
andaikan
bahwa
f x ( a, b ) = 0
dan
f y ( a, b ) = 0 [artinya ( a, b ) adalah titik kritis
f ]. Misalkan
D = D ( a, b ) = f xx ( a, b ) f yy ( a, b ) − ⎡⎣ f xy ( a, b ) ⎤⎦
2
f xx
f yx
f xy
2
= f xx f yy − ( f xy )
f yy
jika D > 0 dan f xx ( a, b ) > 0 maka
f ( a, b ) adalah minimum lokal.
b. Jika D > 0 dan f xx ( a, b ) < 0 maka
∂z
= f 2 = D2 f = Dy f .
∂y
mencari
[Stewart, 2003]
a.
f ( a, b ) adalah maksimum lokal
untuk mencari f x pandang y
sebagai konstanta dan diferensialkan
f ( x, y ) terhadap x
untuk
( a, b ) , maka
f x ( a, b ) = 0 dan f y ( a, b ) = 0 .
D=
Aturan untuk pencarian turunan parsial dari
z = f ( x, y )
1.
ada di
atau
∂z
=
= f1 = D1 f = Dx f
∂x
∂f
∂
f y ( x, y ) = f y =
f ( x, y )
=
∂y ∂y
=
f
x
sebagai konstanta dan diferensialkan
f ( x, y ) terhadap y .
[Stewart, 2003]
Definisi 11 (Maksimum lokal)
Fungsi dua variabel mempunyai maksimum
lokal di ( a, b ) jika f ( x, y ) ≤ f ( a, b ) ketika
( x, y ) dekat ( a, b ) . [Ini berarti bahwa
f ( x, y ) ≤ f ( a, b ) untuk semua titik ( x, y )
dalam suatu cakram dengan pusat ( a, b ) ].
Bilangan f ( a, b ) disebut nilai maksimum
lokal. Jika f ( x, y ) ≥ f ( a, b ) ketika ( x, y )
dekat ( a, b ) maka f ( a, b ) disebut nilai
minimum lokal.
[Stewart, 2003]
Teorema 1 (Uji turunan pertama)
f
mempunyai maksimum atau
Jika
minimum lokal di ( a, b ) dan turunan parsial
c.
f ( a, b ) bukan
maksimum atau minimum lokal.
[Stewart, 2003]
Jika D < 0 maka
2.3 Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Pada tahun 1927, Paul Douglas seorang
profesor
ekonomi
menemukan
fakta
mengejutkan: pembagian pendapatan nasional
Y di antara modal K dan tenaga kerja L
tetap konstan selama periode yang panjang.
Dengan kata lain, ketika perekonomian
mengalami pertumbuhan yang mengesankan,
pendapatan total pekerja dan pendapatan total
pemilik modal tumbuh pada tingkat yang
nyaris sama. Douglas menanyakan kepada
Charles Cobb, seorang ahli matematika,
fungsi produksi yang akan menghasilkan
pembagian faktor yang konstan jika faktorfaktor selalu menikmati produk marjinalnya.
[Mankiw, 2003]
Fungsi produksi tersebut harus mempunyai
unsur dimana
Pendapatan Modal = MPK × K = (1 − β ) Y
dan
Pendapatan Tenaga kerja = MPL × L = β Y ,
dengan MPK merupakan laju perubahan
produksi terhadap modal (produktivitas
marjinal modal), MPL merupakan laju
perubahan produksi terhadap tenaga kerja
(produktivitas marjinal tenaga kerja) dan
0 ≤ β ≤1
menentukan
berapa
bagian
4
pendapatan yang masuk ke Modal dan Tenaga
kerja.
Cobb menunjukkan bahwa fungsi produksi
yang sesuai adalah
Y = F ( K , L ) = α K 1− β Lβ
dengan α > 0 adalah parameter yang
mengukur produktivitas teknologi yang ada.
Bukti fungsi produksi Cobb Douglas:
Di sini kita gunakan turunan parsial untuk
memperlihatkan bagaimana bentuk khusus
model mereka diperoleh dari anggapan
tertentu yang mereka buat tentang ekonomi.
Jika fungsi parsial dinyatakan oleh
∂F
Y = F ( K , L ) maka turunan parsial
∂L
adalah laju perubahan produksi terhadap
tenaga
kerja,
disebut
juga
dengan
produktivitas marjinal tenaga kerja MPL .
∂F
adalah
Demikian juga, turunan parsial
∂K
laju perubahan produksi terhadap modal dan
disebut produktivitas marjinal modal MPK.
Dalam istilah ini, asumsi yang dibuat oleh
Cobb dan Douglas dapat dinyatakan sebagai
berikut.
i. jika salah satu dari tenaga kerja atau
modal menghilang, maka demikian juga
produksi
ii. produktivitas marjinal tenaga kerja
sebanding terhadap banyaknya produksi
tiap satuan tenaga kerja
iii. produktivitas marjinal modal sebanding
terhadap banyaknya produksi tiap satuan
modal.
Karena produksi tiap satuan tenaga kerja
F
adalah
, asumsi (ii) menyatakan bahwa
L
∂F
F
=β ,
∂L
L
untuk suatu konstanta β . Jika kita anggap
K konstan ( K = K 0 ) , maka persamaan
diferensial parsial ini menjadi persamaan
diferensial biasa:
dF
F
=β .
dL
L
Jika kita pecahkan persamaan diferensial yang
dapat dipisahkan ini dengan menggunakan
metode persamaan terpisahkan, maka
dF
dL
=β
,
F
L
lalu kita integralkan kedua ruas persamaan:
dF
dL
∫ F = ∫β L
log F = β log L + C1
log F = log Lβ + C1
F = exp ( log Lβ ) exp ( C1 )
kita peroleh
F ( K 0 , L ) = C1 ( K 0 ) Lβ .... ( ∗)
Perhatikan bahwa kita telah menuliskan
konstanta C1 sebagai fungsi karena konstanta
ini dapat tergantung pada nilai K 0
Secara serupa, anggapan (iii) mengatakan
bahwa
∂F
F
= (1 − β ) ,
∂K
K
dan kita dapat memecahkan persamaan
diferensial ini untuk mendapatkan
F ( K , L0 ) = C2 ( L0 ) K 1− β .... ( ∗∗) .
Dengan mengalikan persamaan ( ∗) dan ( ∗∗)
kita mempunyai
F ( K , L ) = α Lβ K 1− β ... ( ∗∗∗)
Dengan konstanta α yang bebas dari L dan
K asumsi (i) memperlihatkan bahwa
(1 − β ) > 0 dan β > 0 .
Perhatikan dari persamaan ( ∗∗∗) bahwa jika
tenaga kerja dan modal keduanya diperbesar
oleh faktor z , maka
β
1− β
F ( zK , zL ) = b ( zL ) ( zK )
= z β +1− β bLβ K 1− β
= z F ( K, L)
bermakna bahwa produksi juga diperbesar
oleh faktor z . Itulah sebabnya Cobb dan
Douglas menganggap bahwa 0 ≤ β ≤ 1 dan
karena itu
F ( K , L ) = α K 1− β Lβ ,
ini adalah fungsi produksi Cobb-Douglas.
[Stewart, 2003]
2.4 Teori Portofolio Markowitz
Pada
tahun
1952,
Markowitz
mengembangkan teori portofolio dengan laba
investasi portofolio yang optimal dan efisien
untuk memperoleh imbal hasil maksimal dan
meminimumkan
resiko.
Markowitz
menerapkan prinsip diversifikasi yakni prinsip
berinvestasi pada beragam aset.
Secara umum imbal hasil yang diharapkan
dari suatu portofolio adalah penjumlahan dari
imbal hasil setiap aset dikalikan dengan bobot
masing-masing aset pada portofolio yang
diinginkan. Imbal hasil harapan dapat
dituliskan sebagai berikut
5
beresiko ada pada standar deviasi σ S dan
n
E ( rc ) = ∑ ωi E ( ri )
i =1
dengan E ( rc ) adalah imbal hasil portofolio
yang diharapkan, ωi adalah bobot aset ke- i
E ( ri ) adalah imbal hasil aset ke- i ,
dengan
dan
n
∑ω
i
i =1
=1
Sedangkan ragam dari portofolio dengan n
aset dapat dituliskan sebagai berikut
n
n
j
i
σ C2 = ∑∑ ωiω jσ iσ j
Kemudian
portofolio
Markowitz
digunakan untuk memilih bobot-bobot aset
optimal
yang
dibentuk
dengan
meminimumkan ragam
min σ C2
imbal hasil yang diharapkan E ( rS ) .
Tingkat imbal hasil portofolio lengkap
dapat ditulis
E ( rC ) = ωS E ( rS ) + (1 − ωS ) rB
E ( rC ) = rB +
σC
( E ( rS ) − rB ) ,
σS
sehingga imbal hasil yang diharapkan dari
portofolio lengkap sebagai fungsi standar
deviasinya adalah sebuah garis lurus dengan
titik potong rB dan kemiringan:
M =
( E (r ) − r )
S
B
σS
E (r )
CAL
{ωi }
Portofolio satu aset beresiko dan satu aset
bebas resiko
Dimisalkan terdapat portofolio dengan
kombinasi satu aset beresiko yakni saham
dengan simbol S dan satu aset bebas resiko
yakni treasury bills dengan simbol B .
Di bawah ini adalah beberapa parameter
yang menunjukkan distribusi tingkat imbal
hasil dari portofolio tersebut:
Imbal hasil
S
B
rS
rB
Imbal hasil harapan
E ( rS )
Standar deviasi
σS
rB
0
Tingkat imbal hasil portofolio lengkap adalah
rC = ωS rS + ωB rB
dengan ωS + ωB = 1 dan
tingkat imbal hasil harapan dari portofolio
lengkap adalah
E ( rC ) = ωS E ( rS ) + ωB rB
dengan
ωS = proporsi investasi pada saham
ω B = proporsi investasi pada treasury bills
E ( rS ) = imbal hasil harapan dari saham
rB
=imbal hasil dari treasury bills,
dengan standar deviasi portofolio lengkapnya
adalah σ C = ωS σ s
Pada gambar (a) dapat dilihat bahwa aset
bebas resiko treasury bills B , ada di sumbu
vertikal karena standar deviasinya nol. Aset
S
E ( rS )
E ( rS ) − rB
rB
B
σS
Gambar (a). Menunjukkan kumpulan pasangan
imbal hasil yang diharapkan dan standar deviasinya
untuk semua portofolio dari berbagai nilai ωS .
Garis alokasi modal (capital allocation
line—CAL),
menggambarkan
seluruh
kombinasi resiko-imbal hasil yang ada bagi
investor. Kemiringan CAL, yaitu M , sama
dengan kenaikan imbal hasil yang diharapkan
dari portofolio lengkap untuk setiap tambahan
standar deviasi—dengan kata lain, tambahan
imbal hasil per tambahan resiko.
Utilitas yang diperoleh investor dari
sebuah portofolio dengan imbal hasil yang
diharapkan dan standar deviasi tertentu, dapat
dituliskan dengan fungsi utilitas:
U = E ( rC ) − 0.5γσ C 2
dimana γ adalah koefisien penghindaran
resiko dan 0.5 adalah faktor skala (dalam
buku Investment karangan Bodie, Kane dan
Marcus, digunakan faktor skala 0.005, untuk
mengkonversi persentase). Kita tafsirkan
bahwa utilitas sebuah portofolio meningkat
jika tingkat imbal hasil yang diharapkan
meningkat, dan turun jika ragam meningkat.
σ
6
Investor
berusaha
memaksimumkan
utilitas U dengan memilih alokasi terbaik
dalam aset berisiko ωS .
Factor of production (faktor produksi)
Input yang digunakan untuk memproduksi
barang dan jasa ; misalnya, modal atau tenaga
kerja.
[Mankiw, 2003]
E (r )
Firm (perusahaan) :
Setiap organisasi yang mengubah input
menjadi output.
[Nicholson, 2002]
U
CAL
E ( rS )
E ( rC )
General equilibrium (keseimbangan umum)
Keseimbangan simultan dari seluruh pasar
dalam perekonomian.
[Mankiw, 2003]
C
rB
σC
σS
Gambar (b). Menunjukkan kurva indeferens dan
CAL. Gambar tersebut menunjukkan portofolio
lengkap yang memaksimumkan utilitas.
Dapat dilihat pada Gambar (b) bahwa titik
singgung antara kurva indeferens dan CAL
merupakan
portofolio
lengkap
yang
memaksimumkan utilitas.
[Bodie et al, 2005]
2.5 Daftar Istilah:
Aggregate (agregat)
Total untuk keseluruhan ekonomi.
[Mankiw, 2003]
Budget constraint (batas anggaran)
Batas pendapatan yang diterapkan pada
pengeluaran.
[Mankiw, 2003]
Classical model (model klasik)
Model yang didasarkan pada asumsi bahwa
upah
dan
harga
disesuaikan
untuk
membersihkan pasar dan kebijakan moneter
tidak mempengaruhi variabel riil.
[Mankiw, 2003]
Consumption (konsumsi)
Barang dan jasa yang dibeli oleh konsumen.
[Mankiw, 2003]
Equilibrium (kesetimbangan)
Kondisi keseimbangan antara kekuatankekuatan
yang
berlawanan,
seperti
keseimbangan permintaan dan penawaran di
pasar.
[Mankiw, 2003]
σ
House hold (rumah tangga)
Semua orang yang tinggal dibawah satu atap
yang membuat keputusan keuangan bersamasama, atau secara bersama-sama dipengaruhi
oleh keputusan pihak lain.
[Mankiw, 2003]
Interest rate (suku bunga)
Jumlah dolar yang diterima per dolar yang
diinvestasikan per periode.
[Bodie et al, 2003]
Labour force (angkatan kerja)
Orang-orang dalam populasi yang memiliki
pekerjaan atau sedang mencari pekerjaan.
[Mankiw, 2003]
Leisure (waktu luang)
Waktu yang dihabiskan
aktivitas selain bekerja.
pada
berbagai
[Nicholson, 2002]
Macroeconomics (makroekonomi)
Studi
tentang
perekonomian
secara
keseluruhan.
[Mankiw, 2003]
Market-clearing
model
(model
pembersihan-pasar)
Model yang mengasumsikan bahwa harga
secara bebas melakukan penyesuaian untuk
menyeimbangkan permintaan dan penawaran.
[Mankiw, 2003]
Microeconomics (mikroekonomi)
Studi tentang pasar individu dan pembuat
keputusan.
[Mankiw, 2003]
Money (uang)
Persediaan aset
transaksi.
yang
digunakan
untuk
7
[Mankiw, 2003]
Myopic (miopic)
Pandangan yang mengasumsikan bahwa
masyarakat
bersikap
rasional
ketika
mengambil keputusan; seperti memilih berapa
banyak dari pendapatan mereka yang
dikonsumsi dan berapa banyak yang ditabung.
Masyarakat memiliki pengetahuan dan
pandangan jauh ke depan yang lebih baik.
[Mankiw, 2003]
Production function (fungsi produksi)
Hubungan matematis yang menunjukkan
bagaimana
kuantitas
faktor
produksi
menentukan kuantitas barang dan jasa yang
diproduksi; misalnya, Y = F ( K , L) .
[Mankiw, 2003]
Profit (laba)
Pendapatan
perusahaan;
perusahaan dikurangi biaya.
penerimaan
[Mankiw, 2003]
Neutrality of money (netralitas uang)
Pandangan bahwa perubahan jumlah uang
beredar tidak mempengaruhi variabel riil.
(Lihat juga classical dichotomy atau dikotomi
klasik).
[Mankiw, 2003]
Real (riil)
Diukur dalam nilai uang konstan; disesuaikan
untuk inflasi.
[Mankiw, 2003]
Nominal
Diukur dalam nilai uang sekarang; tidak
disesuaikan dengan inflasi.
[Mankiw, 2003]
Stock (persediaan atau saham)
1.Variabel yang diukur sebagai kuantitas pada
sebuah titik waktu. 2. Bagian kepemilikan
dalam perusahaan.
[Mankiw, 2003]
Outputs (output, keluaran)
barang-barang dan jasa yang dihasilkan dari
proses produksi.
[Nicholson, 2002]
Price level (tingkat harga) : Tingkat rata-rata
dari satu kelompok harga; sering diukur oleh
angka indeks.
[Nicholson, 2002]
Price taker (penerima harga)
Suatu perusahaan atau individu yang
keputusannya untuk membeli atau menjual
tidak memiliki pengaruh pada harga yang
berlaku di pasar barang atau jasa.
[Mankiw, 2003]
Utility (utilitas)
Kesenangan, kepuasan, atau pemenuhan
kebutuhan yang diperoleh seseorang dari
aktivitas ekonominya.
[Nicholson, 2002]
Wage (upah)
Jumlah uang yang dibayar untuk satu unit
tenaga kerja.
[Nicholson, 2002]
Wealth (kekayaan)
Jumlah seluruh aktiva dikurangi kewajiban
[Mankiw, 2003]
8
PEMBAHASAN
3.1 Model Kesetimbangan Umum
Pada bagian pembahasan penulis akan
membahas mengenai model kesetimbangan
umum yang terdiri dari pasar faktor produksi,
pasar aset, dan pasar tenaga kerja. Serta
pelaku ekonomi rumah tangga, perusahaan
dan pemerintah. Gambar (1) menunjukkan
bagaimana
perekonomian
sebenarnya
berfungsi; keterkaitan di antara para pelaku
ekonomi: rumah tangga, perusahaan, dan
pemerintah; dan aliran uang di antara mereka
melalui berbagai pasar dalam perekonomian.
Pembahasan ini mengembangkan model
klasik dasar untuk menjelaskan interaksi
ekonomi yang ditampilkan dalam gambar (1).
Gambar (1).
Diagram aliran uang pada model kesetimbangan umum. Setiap kotak kuning menunjukkan pelaku ekonomi;
rumah tangga, perusahaan, dan pemerintah. Setiap kotak biru menunjukkan jenis pasar; pasar untuk barang
dan jasa (barang konsumsi), pasar untuk faktor produksi (tenaga kerja), dan pasar aset. Diasumsikan
pemerintah tidak berperan serta pada pasar barang dan jasa, serta tidak ada interaksi antara pelaku ekonomi
perusahaan dengan pemerintah (perusahaan tidak membayar pajak kepada pemerintah). Tanda panah
menunjukkan aliran uang di antara para pelaku ekonomi melalui tiga jenis pasar itu, sehingga kesetimbangan
umum dapat diperoleh dari interaksi para pelaku ekonomi di tiga jenis pasar.
3.1.1 Rumah tangga
Pada model kesetimbangan umum ini,
diasumsikan terdapat N rumah tangga pada
setiap tahap waktu t . Setiap rumah tangga i
melakukan penawaran jam kerja Lsi,t kepada
pelaku ekonomi perusahaan. Pelaku rumah
tangga juga melakukan permintaan terhadap
barang dan jasa (barang konsumsi) Cid,t yang
diproduksi oleh perusahaan.
Setiap rumah tangga bertujuan untuk
memaksimumkan tingkat kepuasan (utilitas).
Didefinisikan A i sebagai leisure (waktu
9
luang) setiap rumah tangga ke-i. Diasumsikan
nilai utilitas rumah tangga bergantung pada
leisure A i dan bergantung pada permintaan
barang konsumsi Cid,t .
Diasumsikan rumah tangga bersifat
myopic, dengan fungsi utilitas seperti di
bawah ini:
U i ,t = u ( Ci ,t , A i ,t ) + Ei ,t u ( Ci ,t +1 , A i ,t +1 ) , (1)
dengan
Ei ,t (⋅)
= nilai harapan saat waktu t .
A i = ( Lmax − Li ) = leisure saat waktu t
= jam kerja rumah tangga ke-i
Lmax
= nilai maksimum jam kerja
Diasumsikan rumah tangga menganggur
saat waktu t + 1 . Oleh karena itu, setiap rumah
tangga ke- i membuat rencana penawaran jam
kerja Lsi dan permintaan terhadap barang
Li
d
i
dengan memaksimumkan
konsumsi C
utilitas saat t pada anggaran yang terbatas.
Fungsi
utilitas
pada
model
ini
menggunakan fungsi logaritma yang sesuai
dengan teori utilitas rumah tangga; yang
mengatakan bahwa laju pertambahan tingkat
utilitas U akan semakin berkurang dengan
bertambahnya C dan A . Fungsi utilitas setiap
rumah tangga i pada model ini dapat
dituliskan sebagai berikut:
⎛
Ls ⎞
U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) = a log Cid,t + c log ⎜1 − i ,t ⎟
⎜ L ⎟
max ⎠
⎝
⎛ Wˆ ⎞
(2)
+bEi ,t log ⎜ i ,t +1 ⎟ ,
⎜ pt +1 ⎟
⎝
⎠
dengan
(3)
Wˆi ,t +1 = (1 + ρi ,t +1 ) Πˆi ,t ,
pt Cid,t = jumlah uang yang dibayarkan rumah
tangga i untuk memperoleh barang
konsumsi saat t
s
wt Li ,t = jumlah upah yang diterima tenaga
kerja (rumah tangga i) saat t
d t Si ,t = jumlah pendapatan kapital yakni
dividen saham yang diterima rumah
tangga i saat t
rt Bi ,t = jumlah bunga treasury bills yang
diterima rumah tangga i saat t
Ti ,t = nilai nominal pajak yang dibayarkan
rumah tangga i kepada pemerintah saat
t.
Tingkat kekayaan riil yang diharapkan
yakni Wˆi ,t +1 / pt +1 , dapat mewakili harapan
konsumsi pada waktu t + 1 . Tingkat harga pt ,
nilai upah nominal wt , tingkat suku bunga rt
dan nilai agregat dividen d t telah diketahui
untuk setiap rumah tangga di awal tahap
waktu t . Rumah tangga berperilaku sebagai
price taker (penerima harga) dan wage taker
(penerima upah). Setiap rumah tangga
diasumsikan merencanakan permintaan Cid,t
dan
Persamaan (4) merepresentasikan batasan
anggaran dengan
Wi ,t = nilai nominal kekayaan rumah tangga i
saat t
menentukan
besarnya kekayaan Wˆi ,t +1 . Persamaan (3) dan
(4) memberikan harapan perubahan kekayaan
dengan Πˆi ,t merupakan nilai uang yang
diinvestasikan pada pasar treasury bills dan
pasar saham pada tingkat stokastik ρi ,t +1 yang
tidak diketahui.
Dengan memaksimumkan fungsi utilitas
pada persamaan (2)-(4), maka didapatkan nilai
Cid,t dan Lsi,t yang optimal seperti di bawah
ini:
Πˆi ,t = Wi ,t − pt Cid,t + wt Lsi ,t + dt Si ,t + rt Bi,t − Ti,t (4)
dan
Wt = ∑ i Wi ,t , St = ∑ i Si ,t , Bt = ∑ i B i ,t , Tt = ∑ i Ti ,t .
keterangan:
a = relativitas dari utilitas konsumsi saat t
c = relativitas dari utilitas waktu luang saat t
b = relativitas dari utilitas kekayaan riil saat
t+1
dengan a, b, dan c bernilai positif .
Persamaan (3) merepresentasikan nilai
harapan kekayaan saat t+1, dengan parameter
stokastik ρi ,t +1 yang nilainya tidak diketahui.
Lsi,t untuk
penawaran
Cid,t =
+
wt
a
Lmax
a + b + c pt
Wi ,t + rt Bi ,t + d t Si ,t − Ti ,t
a
,
a+b+c
pt
(5)
a+b
Lmax
a+b+c
Wi ,t + rt Bi ,t + d t Si ,t − Ti ,t
Lsi,t =
c
(6)
a+b+c
wt
Langkah-langkah pengerjaannya diberikan di
lampiran 1.
Gambar (2) merepresentasikan ilustrasi
maksimisasi utilitas U i ,t pada kendala
−
anggaran
Π i ,t . Sehingga dapat diperoleh
10
kombinasi barang konsumsi ( Cid,t )
∗
tenaga kerja ( L
)
∗
s
i ,t
dan jam
yang optimal.
ωis,t =
ri s,t − rt B
γ i (σ
S
i ,t
)
2
, ωiB,t = 1 − ωis,t
(7)
dengan
ri s,t = imbal hasil harapan dari aset saham
σ iS,t = standar deviasi aset saham
Cid,t
rt B = imbal hasil aset treasury bills
γ i = koefisien penghindaran resiko.
Langkah-langkah pengerjaan diberikan di
lampiran 2.
Proporsi optimal dari aset saham dan treasury
bills akan dialokasikan pada anggaran Π i ,t ,
U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
(C )
d ∗
i ,t
sehingga permintaan untuk treasury bills Bid,t
Π i ,t
(L )
s
i ,t
∗
U i ,t
Lsi,t
dan saham Sid,t
yang optimal ditentukan
sebagai
Bid,t = ωiB,t Πi ,t , Sid,t = ωiS,t Πi ,t
(8)
Gambar (2).
Grafik U i ,t menunjukan nilai utilitas yang sama
dari kombinasi konsumsi dan jam kerja (kurva
indeferens). Grafik Π i ,t menunjukkan anggaran
yang terbatas. Titik singgung antara dua grafik
merupakan nilai kombinasi yang memaksimumkan
utilitas.
Setelah terjadi transaksi pada pasar barang
konsumsi dan pasar tenaga kerja, setiap rumah
tangga i mengalokasikan nilai dari anggaran
Π i ,t = Wi ,t − pt Ci ,t + wt Li ,t + d t Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t
untuk diinvestasikan pada pasar aset.
Diasumsikan setiap rumah tangga i
berinvestasi pada satu aset beresiko yakni
stock (saham) dan satu aset bebas resiko yakni
treasury bills (surat utang pemerintah jangka
pendek). Kita notasikan ωis,t dan ωiB,t berturutturut sebagai nilai proporsi dari saham dan
treasury bills pada portofolio, dengan
ωis,t + ωiB,t = 1. Fungsi utilitas portofolio dapat
dituliskan
U = E ( rc ) − 0.5γ iσ c 2
dengan
E ( rc ) = imbal hasil portofolio lengkap
γ i = koefisien penghindaran resiko pada
rumah tangga i
σ c = standar deviasi dari portofolio lengkap.
Merujuk pada teori portofolio Markowitz
dengan kombinasi satu aset beresiko dan satu
bebas resiko, dengan memaksimumkan fungsi
utilitas, didapatkan proporsi yang optimal dari
saham dan treasury bills seperti di bawah ini
3.1.2 Perusahaan
Pada model kesetimbangan umum ini
diasumsikan hanya terdapat satu perusahaan
yang mewakili keseluruhan perusahaan, yang
selanjutnya kita sebut perusahaan. Perusahaan
berinteraksi dengan pelaku ekonomi rumah
tangga, dengan melakukan penawaran barang
konsumsi C s dan melakukan permintaan
terhadap jam kerja Ld .
Diasumsikan perusahaan tidak berinteraksi
dengan pemerintah, sehingga tidak ada pajak
yang
dibayarkan
perusahaan
kepada
pemerintah.
Diasumsikan perusahaan berperilaku
sebagai price taker (penerima harga) dan
sebagai wage taker (penerima upah) di pasar
barang konsumsi dan pasar tenaga kerja.
Perusahaan berperilaku sebagai produsen
yang membutuhkan input untuk diproses
menjadi output. Input perusahaan adalah
tenaga kerja dan modal. Output perusahaan
adalah barang konsumsi.
Mengarah pada Fungsi Produksi CobbDouglas dengan
asumsi jam kerja L
merupakan input satu-satunya pada produksi,
maka fungsi produksi perusahaan dalam
model ini adalah:
C = α Lβ ,
dengan parameter produktivitas teknologi α
dan β adalah konstan, α > 0 dan 0 < β < 1.
Perusahaan bertujuan memaksimumkan
laba. Laba merupakan selisih antara
dan biaya
pendapatan produksi pt Cts
produksi wt Ldt , sehingga fungsi laba
perusahaan saat t dapat dituliskan sebagai:
11
π t ( Cts , Ldt ) = pt Cts − wt Ldt
(9)
dengan
pt = tingkat harga nominal yang diberikan per
unit output (barang konsumsi) saat t
wt = tingkat upah nominal yang diberikan per
unit jam kerja saat t.
Laba perusahaan π t saat t bergantung
pada transaksi nyata pada barang konsumsi C
dan jam kerja L yang terjadi pada masingmasing pasar.
Laba perusahaan saat t akan dibayarkan
kepada para pemegang saham (seluruh rumah
tangga) pada saat t+1, yang disebut dengan
agregat dividen perusahaan seperti di bawah
ini
dt +1 = π t
dengan
d t +1 = agregat dividen yang didistribusikan ke
seluruh pemegang saham, yakni rumah
tangga saat t + 1 .
Tiap pemegang saham i akan menerima
jumlah dividen sebesar π t Si ,t +1 / S 0 , dengan
∑S
i
i , t +1
= S0
adalah
agregat penawaran
saham saat waktu t yang bernilai konstan.
Dengan memaksimumkan fungsi laba
perusahaan pada persamaan (9), maka rencana
terhadap agregat penawaran barang konsumsi
C s dan agregat permintaan jam kerja Ld
yang optimal diperoleh sebagai berikut:
C =α
s
t
1/ (1− β )
β
β / (1− β )
⎛ wt ⎞
⎜ ⎟
⎝ pt ⎠
β / ( β −1)
(10)
1/ ( β −1)
⎛ wt ⎞
L = (αβ )
(11)
⎜ ⎟
⎝ pt ⎠
Langkah-langkah pengerjaan diberikan di
lampiran 3
d
t
1/ (1− β )
3.1.3 Pemerintah
Pada model ini, pemerintah berinteraksi
dengan pelaku ekonomi rumah tangga, dengan
menerima agregat pajak Tt = ∑ i Ti ,t dan
membayarkan agregat bunga treasury bills
rt Bt dengan total treasury bills Bt = ∑ i Bi ,t .
Diasumsikan pemerintah tidak berinteraksi
dengan pelaku ekonomi perusahaan, sehingga
pemerintah tidak menerima pajak perusahaan
dan tidak berperan serta pada pasar barang
dan jasa.
Keseimbangan
pemerintah
yang
disimbolkan dengan Gt dapat dituliskan
sebagai :
Gt = Tt − rt Bt ,
sedangkan rasio Tt / rt Bt = gt merupakan
variabel kebijakan pemerintah. Selanjutnya
diasumsikan berlaku 0 < g t ≤ 1 . Jika g t < 1,
maka pemerintah akan mengalami defisit.
Dinamika penawaran treasury bills diberikan
oleh :
Bts+1 = Bts + δ t Dt
dengan
Dt = − min ( 0, Gt )
δ t = fraksi variabel kebijakan yang dapat
menutupi defisit dengan treasury bills baru.
Pemerintah bertujuan untuk mengatasi
defisit saat t sehingga pada tahapan waktu
selanjutnya
tercapai
kesetimbangan
pemerintah Gt = 0 . Untuk kasus dengan
δ t = 1 , semua defisit dapat ditutupi dengan
menerbitkan treasury bills baru. Untuk kasus
dengan δ t = 0 , semua defisit dapat ditutupi
dengan mencetak uang baru.
3.1.4 Kesetimbangan Umum Walras
Kesetimbangan umum Walras diperoleh
saat kondisi agregat permintaan bernilai sama
dengan agregat penawaran pada pasar barang
konsumsi, dan pasar tenaga kerja saat waktu t.
Agregat permintaan barang konsumsi Ctd
oleh rumah tangga, akan disetimbangkan
dengan agregat penawaran barang konsumsi
Cts oleh perusahaan pada saat t. Agregat
permintaan jam kerja Ldt oleh perusahaan,
akan
disetimbangkan
dengan
agregat
s
penawaran jam kerja Lt oleh rumah tangga
pada saat t. Pada kondisi kesetimbangan
Ctd = Cts dan Ldt = Lst , maka diperoleh nilai
upah nominal wt , harga nominal pt , upah riil
( w / p) ,
kuantitas barang konsumsi C dan
jam kerja L seperti di bawah ini:
βa + c
wtWalrasian =
N Lmax ( a (1 − β ) + b )
× (Wt + dt St + rt Bt − Tt )
pt
Walrasian
a ⎛ (β a + c) ⎞
= ⎜
⎟
α ⎜⎝ ( N Lmax β a ) ⎟⎠
Walrasian
⎛ w⎞
⎜ ⎟
⎝ p⎠
β
(Wt + dt St + rt Bt − Tt )
( a (1 − β ) + b )
⎛ N Lmax ⎞
= αβ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ (1 + c / βα ) ⎠
⎛ N Lmax ⎞
C Walrasian = α ⎜⎜
⎟⎟
⎝ (1 + c / βα ) ⎠
β
( β −1)
12
N Lmax
(1 + c / βα )
Langkah-langkah pengerjaan diberikan di
lampiran 4
Dapat dilihat bahwa nilai keseimbangan
Walras terhadap upah nominal wtWalrasian , dan
harga barang-barang ptWalrasian , tergantung
pada kekayaan Wt , sedangkan rasionya
LWalrasian =
Walrasian
⎛ w⎞
(yakni upah riil), tingkat
⎜ ⎟
⎝ p⎠
kesetimbangan dari tenaga kerja LWalrasian dan
produksi CWalrasian , bebas dari tingkat kekayaan
(netralitas uang). Oleh karena itu nilai
keseimbangan
variabel
riil
ekonomi
bergantung hanya pada faktor-faktor riil
seperti pilihan rumah tangga yakni a, b dan
Lmax
serta teknologi yakni α dan β .
Sebaliknya nilai kesetimbangan nominal
bergantung juga pada faktor moneter dan juga
faktor keuangan, seperti penawaran uang
,tingkat suku bunga dan pasar saham.
3.2 Dinamika proses kesetimbangan umum
Bagian ini menyajikan studi simulasi sebagai
ilustrasi dari dinamika model kesetimbangan
umum pada tahapan waktu t.
Akan diperlihatkan pergerakan dari nilai
upah, harga, upah riil, harga saham, dan input
serta output perusahaan pada dua kondisi;
kondisi
kuantitas
berkendala
(ketidaksetimbangan saat t) dan kondisi saat
terjadi kesetimbangan Walras saat t.
Dinamika untuk harga, upah dan harga
saham saat kondisi kuantitas berkendala
(ketidaksetimbangan
antara
agregat
permintaan dan agregat penawaran) diberikan
sebagai berikut:
(
)
= w exp ( k ( L − L ) )
= s exp ( k ( S − S ) ) ,
pt +1 = pt exp k p ( Ctd − Cts )
wt +1
st +1
t
t
d
t
w
s
d
t
s
t
s
0
yang diminta dan ditawarkan, upah akan
dipengaruhi oleh agregat jam kerja yang
diminta dan ditawarkan, dan harga saham
akan dipengaruhi oleh agregat saham yang
diminta dan ditawarkan.
rt bergerak
Diasumsikan suku bunga
cepat membersihkan pasar treasury bills,
sehingga langsung menyetimbangkan agregat
permintaan treasury bills Btd = ∑ i Bid,t dan
agregat penawaran treasury bills Bts .
Dengan menggunakan bantuan perangkat
lunak Mathematica 6.0, dan penulisan
algoritma seperti pada lampiran 5 maka
diperoleh gambar (3) dan gambar (4).
Gambar (3) merepresentasikan grafik
dinamika dari harga p, upah w, harga saham s,
suku bunga r, w/p (upah riil) dan kekayaan W,
sebagai
ilustrasi
kesetimbangan
yang
diperoleh pada jangka panjang. Parameter
pada simulasi yakni, suku bunga konstan
sebesar r = 7% , return saham konstan sebesar
r s = 10%
, standar deviasi konstan
σ S = 18% dan parameter antiresiko γ = 4 .
Relativitas masing-masing utilitas rumah
parameter
tangga
a = b = c = 0.33 ,
produktivitas teknologi α = 1 , parameter
produktivitas tenaga kerja β = 0.5 , jam kerja
maksimal Lmax = 4 dan jumlah pelaku rumah
tangga N = 200 , dengan asumsi rumah
tangga identik satu sama lain.
Diberikan kondisi awal untuk harga
p0 = 1.23 , upah w0 = 0.038 , harga saham
s0 = 0.11 , tingkat kekayaan W0 = 9.3 , dan
agregat dividen d 0 = 9 .
Diasumsikan Tt / rt Bt = gt = 1 yang berarti
tidak terjadi defisit, sehingga pemerintah tidak
perlu melakukan kebijakan apapun.
Pada gambar (3), dari grafik berwarna biru
(kuantitas berkendala), saat t<600 terjadi
kenaikan pada harga pt +1 yang disebabkan
oleh kondisi Ctd > Cts , penurunan upah wt +1
tingkat-tingkat harga saat t+1, akan
dipengaruhi oleh kondisi permintaan dan
penawaran pada saat t. Parameter-parameter
k p , kw dan k s memberikan sensitivitas pada
disebabkan oleh kondisi Ldt < Lst , dan upah riil
masing-masing ketidaksetimbangan.
Ilmu ekonomi mengatakan, harga akan
naik jika agregat permintaan lebih besar dari
agregat penawaran. Sebaliknya, harga akan
turun jika agregat penawaran lebih besar dari
agregat permintaan. Harga barang konsumsi
dipengaruhi oleh agregat barang konsumsi
mengakibatkan
( w / p )t +1
mengalami
t ≥ 600 , kondisi
penurunan.
C =C
d
t
harga
s
t
dan
pt +1 = pt ,
Saat
L = Lst
d
t
upah
wt +1 = wt dan upah rill ( w / p )t +1 = ( w / p )t .
Dari
grafik
berwarna
merah
(kesetimbangan Walras), saat t<600 terjadi
kenaikan pada harga pt +1Walrasian dan upah
wt +1Walrasian
yang dipengaruhi oleh tingkat
13
kekayaan Wt yang naik. Saat t ≥ 600 , tingkat
harga
Walrasian
t +1
p
= pt
Walrasian
,
dan upah
. Hal ini disebabkan
w
= wt
oleh grafik kekayaan saat t ≥ 600 bernilai
Upah
riil
pada
sama
( Wt +1 = Wt ).
kesetimbangan Walras bernilai konstan,
Walrasian
t +1
Walrasian
karena upah riil Walras
(w / p)
Walrasian
dipengaruhi oleh tingkat kekayaan (netralitas
uang).
Pada jangka panjang ( t ≥ 600 ), diperoleh
kesetimbangan umum jangka panjang pada
tingkat-tingkat harga dari kedua kondisi
(kondisi kuantitas berkendala dan kondisi
kesetimbangan Walras saat t) .
tidak
Gambar (3).
Menunjukkan perubahan tingkat-tingkat harga terhadap waktu. Grafik berwarna biru menunjukkan
pergerakan dari dinamika kesetimbangan kuantitas berkendala. Grafik berwarna merah merupakan tingkat
kesetimbangan Walras, yakni nilai agregat permintaan = nilai agregat penawaran saat waktu t.
Gambar (4) menunjukkan dinamika jam
kerja yang dibutuhkan oleh perusahaan dan
dinamika produksi barang konsumsi yang
akan diproduksi oleh perusahaan.
Grafik output (barang konsumsi) C dan
input (jam kerja) L pada kondisi
kesetimbangan Walras bernilai konstan
terhadap waktu, karena nilai CWalrasian dan
LWalrasian hanya dipengaruhi oleh parameter
yang bernilai konstan, yakni a, b dan Lmax
serta teknologi yakni α dan β . Sedangkan
14
output Cts dan
input Ldt saat kondisi
kuantitas berkendala mengalami kenaikan,
karena Cts dan Ldt dipengaruhi oleh nilai
upah riil (lihat gambar (3) pada grafik upah
riil kondisi kuantitas berkendala).
Pada jangka panjang, nilai output dan
input perusahaan saat kondisi kuantitas
berkendala akan bernilai sama dengan
kesetimbangan Walrasnya, yang kita sebut
sebagai kondisi kesetimbangan umum jangka
panjang pada input dan output perusahaan.
Gambar (4).
Menunjukkan perubahan produksi barang konsumsi dan jam kerja yang dibutuhkan perusahaan, terhadap
waktu t. Grafik berwarna biru menunjukkan pergerakan dari dinamika kesetimbangan kuantitas berkendala.
Grafik berwarna merah merupakan tingkat kesetimbangan Walras yakni nilai agregat permintaan = nilai
agregat penawaran.
SIMPULAN
Kesetimbangan umum adalah kondisi
dimana agregat permintaan = agregat
penawaran. Saat terjadi kelebihan permintaan
maka harga akan cenderung naik, sedangkan
saat terjadi kelebihan penawaran maka harga
akan cenderung turun.
Kesetimbangan Walras terbentuk saat
agregat permintaan dan agregat penawaran
bernilai sama saat t. Nilai kesetimbangan
Walras terhadap upah nominal wtWalrasian , dan
harga barang-barang ptWalrasian , tergantung
pada kekayaan Wt . Sedangkan rasio
(w / p)
Walrasian
(upah riil), bebas dari tingkat
kekayaan (netralitas uang), seperti pada
tingkat kesetimbangan dari tenaga kerja
LWalrasian dan produksi CWalrasian . Oleh karena
itu nilai keseimbangan variabel riil ekonomi
bergantung hanya pada faktor-faktor riil
seperti pilihan rumah tangga yakni a, b dan
Lmax
serta teknologi yakni α dan β .
Sebaliknya nilai kesetimbangan nominal
bergantung juga pada faktor moneter dan juga
faktor keuangan, seperti penawaran uang
,tingkat suku bunga dan pasar saham.
Simulasi dinamika kesetimbangan umum
memperlihatkan proses menuju kondisi
kesetimbangan umum jangka panjang pada
harga p, upah w, upah riil (w/p), input L dan
output C dari dua kondisi; kondisi kuantitas
berkendala dan
kondisi kesetimbangan
Walras saat t.
15
DAFTAR PUSTAKA
Bodie, Z., A. Kane & A. J. Marcus. 2002.
Investment. Ed. Ke-6 The McGraw-Hill
Companies, Inc. New York.
Grimmet, G. R. dan D. R. Stirzaker. 1992.
Probability and Random Processes. Ed.
Ke-2. Clarendon Press. Oxford. New
York.
Hogg, R. V., J. W. Mckean & A.T. Craig.
2005. Introduction to Mathematical
Statistics. Ed. Ke-6, Prentice Hall, New
Jersey.
Mankiw, N G. 2003. Teori makroekonomi.
Ed. Ke-5, Nurmawan I, alih bahasa;
Kistiaji WC, editor. Jakarta: Erlangga.
Terjemahan dari: Macroeconomics Fifth
Edition.
Nicholson,
W.
2002.
Mikroekonomi
intermediate dan aplikasinya. Ed. Ke-8,
Mahendra IGN B & Aziz A, alih bahasa;
Kristiaji WC, Sumiharti Y, Mahanani N,
editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan
dari: Intermediate Microeconomics and
Its Application Eight Edition.
Raberto M, Teglio A, dan Cincotti S. 2006.
A general equilibrium model of a
production economy with asset markets.
Physica A 370; 75-80.
Stewart J. 2003. Kalkulus. Ed. Ke-4, jilid 2.
Gunawan N & Susila IN, penerjemah ;
Mahanani N, Safitri A, editor. Jakarta:
Erlangga. Terjemahan dari: Calculus
Fourth Edition.
16
Lampiran 1
Mencari solusi Cid,t dan Lsi,t yang optimal untuk memaksimumkan utilitas U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
Diberikan fungsi utilitas rumah tangga.
⎛
Ls
U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) = a log Cid,t + c log ⎜ 1 − i ,t
⎜ L
max
⎝
dengan,
ˆ ,
Wˆi ,t +1 = (1 + ρi ,t +1 ) Π
i ,t
⎛ Wˆi ,t +1 ⎞
⎞
⎟,
⎟⎟ + bEi ,t log ⎜
⎜ pt +1 ⎟
⎠
⎝
⎠
ˆ = W − p C d + w Ls + d S + r B − T ,
Π
i ,t
i ,t
t i ,t
t i ,t
t i ,t
t i ,t
i ,t
Fungsi utilitas rumah tangga U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) menjadi
⎛
Lsi ,t
U i ,t ( C , L ) = a log C + c log ⎜ 1 −
⎜ L
max
⎝
⎛ (1 + ρi ,t +1 ) (Wi ,t − pt Cid,t + wt Lsi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t ) ⎞
⎞
⎜
⎟,
⎟⎟ + bEi ,t log
⎜
⎟
pt +1
⎠
⎝
⎠
⎛
Ls
U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) = a log Cid,t + c log ⎜1 − i ,t
⎜ L
max
⎝
⎞
ˆ − b log ( p )
⎟⎟ + b log (1 + ρi ,t +1 ) + bEi ,t log Π
i ,t
t +1
⎠
d
i ,t
s
i ,t
d
i ,t
( )
Lakukan uji turunan pertama pada fungsi utilitas U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) terhadap variabel Cid,t :
(
∂ U i ,t ( C , L
d
i ,t
s
i ,t
))
∂Cid,t
⎛
⎛
Ls
∂ ⎜ a log Cid,t + c log ⎜⎜ 1 − i ,t
⎜
⎝ Lmax
= ⎝
⎛
1
1
+ 0 + 0 + bEi ,t ⎜ ( − pt )
d
ˆ
⎜
Ci ,t
Π i ,t
⎝
Cd
⇔ Π i ,t = b ( pt ) i ,t
a
⇔a
( )
⎞
⎞
ˆ
⎟⎟ + b log (1 + ρi ,t +1 ) + bEi ,t log Π i ,t − b log ( pt +1 ) ⎟⎟
⎠
⎠ =0
∂Cid,t
( )
⎞
⎟−0 = 0
⎟
⎠
(1.1)
Lakukan uji turunan pertama pada fungsi utilitas U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) terhadap variabel Lsi,t :
(
∂ U i ,t ( C , L
d
i ,t
s
i ,t
))
∂Lsi ,t
⇔ 0+
c
⎛
Lsi,t
⎜⎜1 −
⎝ Lmax
⇔ Π i ,t =
⎛
⎛
Ls
∂ ⎜ a log Cid,t + c log ⎜⎜ 1 − i ,t
⎜
⎝ Lmax
= ⎝
⎛
⎛ 1 ⎞
1
⎜−
⎟ + 0 + bEi ,t ⎜ ( w ) ˆ
⎜
⎞ ⎝ Lmax ⎠
Π i ,t
⎝
⎟⎟
⎠
( )
⎞
⎞
ˆ − b log ( p ) ⎟
⎟⎟ + b log (1 + ρi ,t +1 ) + bEi ,t log Π
i ,t
t +1
⎟
⎠
⎠ =0
s
∂Li ,t
( )
⎞
⎟−0 = 0
⎟
⎠
b ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t )
c
Dengan membandingkan persamaan (1.1) dan persamaan (1.2) seperti di bawah ini:
s
C d b ( wt ) ( Lmax − Li ,t )
⇔ b ( pt ) i ,t =
,
a
c
maka diperoleh
a ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t )
Cid,t =
pt c
Lsi,t = Lmax −
pt cCid,t
awt
(1.2)
(1.3)
(1.4)
17
Kita substitusikan persamaan (1.3) ke dalam persamaan (1.1) seperti di bawah ini
b ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t )
Π i ,t =
c
⇔ Wi ,t − pt Cid,t + wt Lsi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t =
b ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t )
(1.1)
c
⎛ a ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t ) ⎞
b ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t )
⎟ + wt Lsi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t =
⇔ Wi ,t − pt ⎜
⎜
⎟
pt c
c
⎝
⎠
dengan memanipulasi aljabar persamaan di atas, maka diperoleh:
Wi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t
(b + a )
c
⇔ Lsi,t =
(Bilangan Kritis)
( Lmax ) −
wt
(a + b + c)
(a + b + c)
Kita substitusikan persamaan (1.4) ke dalam persamaan (1.1) seperti di bawah ini
b ( wt ) ( Lmax − Lsi ,t )
⇔ Wi ,t − pt Cid,t + wt Lsi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t =
(1.1)
c
⎛
⎛
pt cCid,t ⎞ ⎞
b
w
L
−
L
−
⎜
(
)
⎟⎟
t
⎜ max ⎜⎜ max
awt ⎟⎠ ⎟⎠
⎛
pt cCid,t ⎞
⎝
⎝
d
⇔ Wi ,t − pt Ci ,t + wt ⎜ Lmax −
⎟ + d t Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t =
⎜
awt ⎟⎠
c
⎝
dengan memanipulasi aljabar persamaan di atas, maka diperoleh:
(Wi,t + dt Si,t + rt Bi,t − Ti ,t )
wt Lmax
a
a
(Bilangan Kritis)
⇔ Cid,t =
+
pt
( a + b + c ) pt
(a + b + c)
Lakukan uji turunan kedua pada fungsi utilitas U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) maka :
(
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
∂ (C
)
d 2
i ,t
(
) = −a
1
(C )
(U ( C
d
i ,t
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
∂Cid,t ∂Lsi ,t
)=∂
2
2
< 0 dan
, Lsi ,t )
d
i ,t
i ,t
∂Lsi ,t ∂Cid,t
(
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
∂(L
)
2
s
i ,t
) =0
)=−
c
(L
s
i ,t
− Lmax )
2
<0
Sehingga
(
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
∂ (C
)
)
(
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
(
d
i ,t
∂ U i ,t ( C , L
2
d
i ,t
s
i ,t
∂L ∂C
s
i ,t
d
i ,t
)
∂C ∂L
d 2
i ,t
))
(
s
i ,t
∂ U i ,t ( C , L
2
d
i ,t
∂(L
)
s
i ,t
))
=
(
) (
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) ∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
∂ (C
)
d 2
i ,t
∂(L
)
)
2
s
i ,t
2
s
i ,t
−
(
) (
∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t ) ∂ 2 U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
∂C ∂L
d
i ,t
s
i ,t
)
∂L ∂C
s
i ,t
d
i ,t
⎛
⎞
1
c
⎟−0 > 0
= ⎜ −a
×−
2
2
d
s
⎜
⎟
C
L
L
−
(
)
(
)
i ,t
i ,t
max
⎝
⎠
s
d
Dapat disimpulkan bahwa bilangan kritis Ci ,t dan Li ,t merupakan solusi optimal yang
memaksimumkan fungsi utilitas rumah tangga U i ,t ( Cid,t , Lsi ,t )
18
Lampiran 2
Alokasi modal yang optimal pada portofolio aset beresiko dan aset bebas resiko
Terdapat dua kombinasi aset pada portofolio yakni aset beresiko saham dan aset bebas resiko
treasury bills.
Akan dicari alokasi modal yang optimal pada portofolio tersebut. Misalkan aset beresiko saham
kita notasikan sebagai Sid,t dengan alokasi sebesar ωiS,t , tingkat imbal hasil yang diharapkan adalah
ri S,t , dan standar deviasi sebesar σ iS,t , serta koefisien penghindaran resiko γ i . Misalkan aset bebas
resiko treasury bills kita notasikan sebagai Bid,t dengan alokasi sebesar ωiB,t , tingkat imbal hasil
bebas resiko untuk setiap rumah tangga sebesar rt B .
Jika kita kombinasikan aset berisiko dan aset bebas resiko dalam portofolio dengan ωiS,t + ωiB,t = 1 ,
maka standar deviasi portofolio lengkapnya adalah
σ c = ωiS,tσ iS,t ..... ( ∗)
Sehingga tingkat imbal hasil portofolio lengkap adalah
E ( rc ) = ωiS,t ri S,t + (1 − ωiS,t ) rt B
E ( rc ) = rt B + ωiS,t ( ri ,St − rt B ) .... ( ∗∗)
Fungsi utilitas pada portofolio dapat dituliskan sebagai
U = E ( rc ) − 0.5γ iσ c 2 ..... ( ∗∗∗)
Lalu kita substitusikan persamaan ( ∗) , ( ∗∗) ,dan ( ∗∗∗)
U = rt B + ωiS,t ( ri ,St − rt B ) − 0.5γ i (ωiS,t ) (σ iS,t )
2
2
Lalu kita turunkan fungsi utilitas terhadap ωiS,t
(
2
2
dU
d
=
rt B + ωiS,t ( ri ,St − rt B ) − 0.5γ i (ωiS,t ) (σ iS,t )
S
S
d ωi ,t d ωi ,t
Dengan melakukan uji turunan pertama pada fungsi utilitas maka
(r
S
i ,t
)
dU
= 0 sehingga
d ωiS,t
− rt B ) − γ iωiS,t (σ iS,t ) = 0
2
(r
S
i ,t
− rt B )
γ i (σ
)
S 2
i ,t
= ωiS,t
Sehingga ωiS,t adalah bilangan kritis.
Kemudian dengan uji turunan kedua pada fungsi utilitas maka
d 2U
d (ω
S
i ,t
saat
)
2
=
d
(( r
− rt B ) − γ iωiS,t (σ iS,t )
dω
S
i ,t
d 2U
d (ωiS,t )
S
i ,t
2
2
) = −γ (σ
i
)
S 2
i ,t
<0
< 0 utilitas akan bernilai maksimum sehingga ωiS,t adalah proporsi saham yang
optimal yang memaksimumkan utilitas pada portofolio kombinasi aset beresiko dan bebas resiko.
19
Lampiran 3
Mencari nilai optimal dari Cts dan Ldt yang memaksimumkan fungsi laba perusahaan
Diberikan fungsi produksi Cobb-Douglas
C =α Lβ
Cts =α ( Ldt )
β
dengan
α > 0 dan 0<β < 1
Diberikan fungsi laba perusahaan
π t ( Cts , Ldt ) = pt Cts − wt Ldt
Dengan melakukan uji turunan pertama pada fungsi laba perusahaan terhadap Ldt
(
∂ π t ( Cts , Ldt )
∂Ldt
⇔
⇔
) = ∂( p C
s
t
t
− wt Ldt ) dCts
∂Cts
(
∂ π t ( Cts , Ldt )
∂Ldt
(
∂ π t ( Cts , Ldt )
∂L
) = ⎛⎜ p −
⎜
⎝
) = p βα
=0
⎞
⎟ βα ( Ld ) β −1 = 0
t
β −1
βα ( Ldt ) ⎟⎠
wt
t
t
d
t
dLdt
(L )
d
t
β −1
− wt = 0
(3.1)
Dengan melakukan uji turunan pertama pada fungsi laba perusahaan terhadap Cts
(
∂ π t ( Cts , Ldt )
∂Cts
⇔
⇔
) = ∂( p C
− wt Ldt ) dLdt
=0
∂Ldt
dCts
s
t
t
(
∂ π t ( Cts , Ldt )
∂C
s
t
(
∂ π t ( Cts , Ldt )
∂C
)=
( p βα ( L )
)=p −
t
s
t
d
t
t
pt βα ( Lt
)
− wt
wt
βα ( Ldt )
Dengan mengalikan βα ( Ldt )
d β −1
β −1
β −1
β −1
) βα ( L1 )
d
t
β −1
=0
=0
(3.2)
pada kedua ruas persamaan (3.2) maka didapatkan
− wt = 0
(3.3)
Dapat dilihat bahwa persamaan (3.1) dan (3.3) adalah sama, dari persamaan tersebut diperoleh
1/ (1− β )
Ldt = (αβ )
1/ ( β −1)
⎛ wt ⎞
⎜ ⎟
⎝ pt ⎠
(3.4)
Karena Cts =α ( Ldt ) maka dengan mensubtitusi persamaan di atas diperoleh
β
β / ( β −1)
⎛w ⎞
Cts =α 1/ (1− β ) β β / (1− β ) ⎜ t ⎟
⎝ pt ⎠
Kemudian dengan melakukan uji turunan kedua pada fungsi laba perusahaan
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt ) ⎞
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt ) ⎞
⎟ ∂⎜
⎟
∂⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
∂Ldt
∂Ldt
s
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
⎝
⎠= ⎝
⎠ dCt
=
2
dLdt
∂Cts
∂ ( Ldt )
∂ ( Ldt )
(
⇔
)
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
∂ ( Ldt )
2
(
)
) = ∂ ( p βα ( L )
t
d
t
∂C
s
t
β −1
(
)
− wt dC s
t
dLdt
)
(3.5)
20
⇔
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
(
∂ ( Ldt )
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
⇔
∂ ( Cts )
(
⇔
(
)
)
s 2
t
∂ π t ( C , Ldt )
s
t
∂ (C
)
s 2
t
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
)
(
⇔
(
∂L ∂C
s
t
∂ π t (C , L
2
s
t
d
t
(
)
∂Cts ∂Ldt
⇔
(
(
∂Cts ∂Ldt
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
∂C ∂L
s
t
d
t
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
(
∂ ( Ldt )
∂C ∂L
))
(L )
d
t
⎟ d
⎠ dLt
dCts
< 0,
2 β −1
) ⎞⎟
(
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt )
∂⎜
⎟
⎜
∂Ldt
⎠= ⎝
∂Ldt
) ⎞⎟
⎟ d
⎠ dLt
dCts
)
β −1
− wt dLd
t
dCts
−1
) ⎞⎟
(
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt )
∂⎜
⎟
⎜
∂Cts
⎠= ⎝
∂Cts
) ⎞⎟
⎟
s
⎠ dCt
d
dLt
⎛
⎞
wt
⎟
∂ ⎜ pt −
β
−
1
d
⎜
⎟
s
L
βα
(
)
t
⎝
⎠ dCt
=
s
d
∂Ct
dLt
) = − ( β − 1)
wt
βα ( Ldt )
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
)
∂L ∂C
∂ π t (C , L
) ⎞⎟
= pt ( β − 1) βα ( Ldt ) < 0,
d
t
d
t
d
t
2
∂L
(
)
(
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt )
∂⎜
⎟
⎜
∂Cts
⎠= ⎝
∂Ldt
d
t
2
s
t
s
t
)
d
t
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt )
∂⎜
⎜
∂Cts
⎝
=
∂Ldt
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
Sehingga
2
))
) ⎞⎟
( βα )
t
s
t
< 0,
wt
) = ∂ ( p βα ( L )
∂L ∂C
d
t
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
⇔
) = − (1 − β )
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
d
t
)
β −2
⎛
⎞
wt
⎟
∂ ⎜ pt −
d β −1 ⎟
⎜
βα
L
( t ) ⎠ dLdt
= ⎝
dCts
∂Ldt
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt )
∂⎜
⎜
∂Ldt
⎝
=
∂Cts
∂Ldt ∂Cts
⇔
d
t
(
∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
2
(L )
⎛ ∂ π t ( Cts , Ldt )
∂⎜
⎜
∂Cts
⎝
=
∂ ( Cts )
2
∂ (C
) = p ( β − 1) βα
t
2
(
s
t
∂ π t (C , L
2
s
t
∂ (C
)
d
t
))
=
β
> 0.
(
) (
∂ 2 π t ( Cts , Ldt ) ∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
∂(L
d
t
)
2
∂ (C
)
)
s 2
t
s 2
t
−
(
) (
∂ 2 π t ( Cts , Ldt ) ∂ 2 π t ( Cts , Ldt )
∂L ∂C
d
t
s
t
)
∂C ∂L
s
t
= ( − ) × ( − ) − ( − ) × ( + ) > 0.
d
t
Dapat disimpulkan bahwa persamaan (3.4) dan (3.5) adalah nilai optimal dari Cts dan Ldt yang
memaksimumkan laba perusahaan π t ( Cts , Ldt ) .
21
Lampiran 4
Mencari kesetimbangan umum Walras
Pada lampiran satu, telah diperoleh Cid,t optimal yang memaksimumkan fungsi utilitas rumah
tangga. Akan dicari Ctd yang merupakan agregat permintaan terhadap barang konsumsi:
⎛
(Wi ,t + dt Si,t + rt Bi,t − Ti,t ) ⎞⎟
wt Lmax
a
a
Ctd = ∑ i Cid,t = ∑ t ⎜
+
⎜ ( a + b + c ) pt
⎟
pt
(a + b + c)
⎝
⎠
w
N
L
W
+
d
S
+
r
B
−
T
a
a
t
max
t
t t
t t
t
⇔ Ctd =
+
pt
( a + b + c ) pt
(a + b + c)
Sedangkan agregat penawaran terhadap barang konsumsi Cts optimal yang memaksimumkan laba
perusahaan telah diperoleh dari lampiran 3 yakni:
β / ( β −1)
⎛ wt ⎞
β
C =α
(3.5)
⎜ ⎟
⎝ pt ⎠
Kesetimbangan pada barang konsumsi dapat dicari dengan menyeimbangkan agregat penawaran
barang konsumsi Cts dengan agregat permintaan barang konsumsi Ctd , sehingga
s
t
1/ (1− β )
β / (1− β )
Ctd = Cts
⇔
wt N Lmax
Wt + dt St + rt Bt − Tt
a
a
1/ 1− β
β / 1− β ⎛ w ⎞
+
= α ( )β ( ) ⎜ t ⎟
pt
( a + b + c ) pt
(a + b + c)
⎝ pt ⎠
a
⇔
( a + b + c ) pt
⇔ pt1/ (1− β ) =
(( w N
t
Lmax ) + (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ) = α
1/ (1− β )
β
β / (1− β )
⎛ wt ⎞
⎜ ⎟
⎝ pt ⎠
β / ( β −1)
β / ( β −1)
a
( wt N Lmax ) + (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ) α 1/ ( β −1) β β / ( β −1) wt β / (1− β )
(
(a + b + c)
(4.1)
(4.1.1)
Pada lampiran satu, telah diperoleh Lsi,t optimal yang memaksimumkan fungsi utilitas rumah
tangga. Akan dicari Lst yang merupakan agregat penawaran terhadap jam tenaga kerja:
⎛ (b + a )
Wi ,t + dt Si ,t + rt Bi ,t − Ti ,t
c
Lst = ∑ i Lsi ,t = ∑ i ⎜
L
−
⎜ ( a + b + c ) ( max ) ( a + b + c )
wt
⎝
1
⇔ Lst =
( wt ( b + a )( N Lmax ) − c (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) )
a
+
b
+ c ) wt
(
⎞
⎟⎟
⎠
Sedangkan agregat permintaan terhadap jam tenaga kerja Ldt optimal yang memaksimumkan laba
perusahaan telah diperoleh dari lampiran 3 yakni:
1/ ( β −1)
⎛ wt ⎞
(3.4)
⎜ ⎟
⎝ pt ⎠
Kesetimbangan pada jam tenaga kerja dapat dicari dengan menyeimbangkan agregat penawaran
jam tenaga kerja Lst dengan agregat permintaan jam tenaga kerja Ldt , sehingga
1/ (1− β )
Ldt = (αβ )
Ldt = Lst
1/ (1− β )
⇔ (αβ )
1/ (1− β )
⇔ (αβ )
1/ ( β −1)
⎛ wt ⎞
⎜ ⎟
⎝ pt ⎠
=
1
( w ( b + a )( N Lmax ) − c (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) )
( a + b + c ) wt t
wt1/ ( β −1) pt1/ (1− β ) =
1
( a + b + c ) wt
( w ( b + a )( N
t
Lmax ) − c (Wt + d t St + rt Bt − Tt ) )
Dengan mensubstitusikan persamaan (4.1.1) ke dalam persamaan (4.2) maka diperoleh
a
1/ (1− β )
wt1/ ( β −1)
⇔ (αβ )
( ( w N Lmax ) + (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ) α 1/ ( β −1) β β / ( β −1) wt β / (1− β )
(a + b + c) t
(4.2)
22
=
1
( w ( b + a )( N Lmax ) − c (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) )
( a + b + c ) wt t
dengan memanipulasi aljabar persamaan di atas maka diperoleh:
βa +c
⇔ wt =
(Wt + dt St + rt Bt − Tt )
N Lmax ( a (1 − β ) + b )
(4.3)
Karena persamaan (4.3) diperoleh dari kondisi agregat permintaan dan penawaran pada barang
konsumsi dan jam tenaga kerja maka persamaan (4.3) dapat dituliskan sebagai berikut
βa + c
⇔ wtWalrasian =
(Wt + dt St + rt Bt − Tt )
N Lmax ( a (1 − β ) + b )
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (4.3) ke dalam persamaan (4.1) maka diperoleh
⎛ ⎛ ( β a + c )(Wt + dt St + rt Bt − Tt )
⎞
⎞
a
⎜⎜
N Lmax ⎟ + (Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ⎟
⇔
⎟
⎟
( a + b + c ) pt ⎜⎝ ⎜⎝ ( a (1 − β ) + b ) ( N Lmax )
⎠
⎠
β / ( β −1)
⎛ ( β a + c )(Wt + dt St + rt Bt − Tt ) ⎞
β / 1− β
β
pt ( )
=α
⎜
⎟
⎜ ( a (1 − β ) + b ) ( N Lmax ) ⎟
⎝
⎠
dengan memanipulasi aljabar persamaan di atas maka diperoleh:
1/ (1− β )
β / (1− β )
β
a ⎛ ( β a + c ) ⎞ (Wt + dt St + rt Bt − Tt )
⇔ pt = ⎜
(4.4)
⎟
α ⎜⎝ ( N Lmax β a ) ⎟⎠
( a (1 − β ) + b )
Karena persamaan (4.4) diperoleh dari kondisi agregat permintaan dan penawaran pada barang
konsumsi dan jam tenaga kerja maka persamaan (4.4) dapat dituliskan sebagai berikut
β
a ⎛ ( β a + c ) ⎞ (Wt + dt St + rt Bt − Tt )
⇔ pt
= ⎜
⎟
α ⎜⎝ ( N Lmax β a ) ⎟⎠
( a (1 − β ) + b )
Dengan membandingkan persamaan (4.3) dengan persamaan (4.4) maka dapat diperoleh
βa + c
(Wt + dt St + rt Bt − Tt )
Walrasian
N Lmax ( a (1 − β ) + b )
⎛ wt ⎞
=
⎜ ⎟
β
⎝ pt ⎠
a ⎛ ( β a + c ) ⎞ (Wt + dt St + rt Bt − Tt )
⎜
⎟
α ⎜⎝ ( N Lmax β a ) ⎟⎠
( a (1 − β ) + b )
Walrasian
( β −1)
⎛ N Lmax ⎞
⎛ w⎞
⇔⎜ ⎟
= αβ ⎜
⎜ (1 + c / βα ) ⎟⎟
⎝ p⎠
⎝
⎠
Dalam hal ini kondisi pada persamaan (4.5) merupakan kondisi kesetimbangan sehingga
dengan mensubstitusikan persamaan (4.5) ke dalam persamaan (3.5) diperoleh
Walrasian
1/(1− β )
β /(1− β )
⎛ ⎛
⎜ αβ ⎜ N Lmax ⎞⎟
⎜ ⎜⎝ (1 + c / βα ) ⎟⎠
⎝
β /( β −1)
⎞
⎟
C =α
β
⎟
⎠
Karena dalam kondisi kesetimbangan, maka Ctd = Cts sehingga
s
t
( β −1)
β
⎛ N Lmax ⎞
⇔ Cts = Ctd = C Walrasian = α ⎜⎜
⎟⎟
⎝ (1 + c / βα ) ⎠
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (4.5) ke dalam persamaan (3.4) diperoleh
1/(1− β )
⎛ ⎛
⎜ αβ ⎜ N Lmax ⎞⎟
⎜ ⎜⎝ (1 + c / βα ) ⎟⎠
⎝
1/( β −1)
⎞
⎟
L = (αβ )
⎟
⎠
Karena dalam kondisi kesetimbangan, maka Ldt = Lst sehingga
d
t
⇔ Ldt = Lst = LWalrasian =
N Lmax
( β −1)
(1 + c / βα )
(4.5)
23
Lampiran 5
Simulasi dinamika model kesetimbangan umum
Grafik dinamika model kesetimbangan umum pada karya ilmiah ini diperoleh dengan
menggunakan software Mathematica 6.0. Penulisan programnya seperti di bawah ini :
a = b = c = 0.33;
alfa = 1;
beta = 0.5;
Lmax = 4;
NN = 200;
r = 0.07;
retsaham := Table@ Random @ Real, 80.1, 0.1<D, 81<D;
volat := Table@ Random @ Real, 80.18, 0.18<D, 81<D;
antirisk = 4;
kp = 0.0002;
kw = 0.000004;
ks = 0.4;
kr = 1;
p@0D = 1.23;
w @0D = 0.038;
s@0D = 0.11;
W @0D = 9.3;
d@0D = 9;
So = 2.9051;
24
retsaham − r
;
antirisk ∗ volat2
Sdemand@0D = proporsiS ∗ W @0D;
Bdemand@0D = H1 − proporsiSL ∗ W @0D;
T@0D = r ∗ Bdemand@0D;
a
w @0D
∗
∗ NN ∗ Lmax +
Cdemand@0D =
a + b + c p@0D
a
W @0D + d@0D ∗ Sdemand@0D + r ∗ Bdemand@0D − T@0D
∗
;
a+ b + c
p@0D
proporsiS =
Csupply@0D = alfa 1−beta ∗ beta 1−beta ∗
1
beta
Ldemand@0D = Halfa ∗ betaL 1−beta ∗
1
w @0D
p@0D
w @0D
p@0D
beta
beta−1
1
beta−1
;
;
Lsupply@0D =
a+b
c
W @0D + d@0D ∗ Sdemand@0D + r ∗ Bdemand@0D − T@0D
∗ NN ∗ Lmax −
∗
;
a+ b + c
a + b +c
w @0D
NN ∗ Lmax
Lwalras = alfa ∗
;
1 + c ê H beta ∗ aL
beta
NN ∗ Lmax
Cwalras = alfa1êH1−betaL
;
1 + c ê H beta ∗ aL
beta ∗ a + c
wwalras@0D =
∗
NN ∗ Lmax ∗ Ha ∗ H1 − betaL + bL
H W @0D + d@0D ∗ Sdemand@0D + r ∗ Bdemand@0D − T@0DL;
beta
a
beta ∗ a + c
∗K
O
∗
pwalras@0D =
alfa
NN ∗ Lmax ∗ beta ∗ a
H W @0D + d@0D ∗ Sdemand@0D + r ∗ Bdemand@0D − T@0DL
;
Ha ∗ H1 − betaL + bL
w @0D
wreal@0D =
;
p@0D
wwalras@0D
wrealwalras@0D =
;
pwalras@0D
proporsiS
25
DoB
p@iD = p@i − 1D ∗ Exp@Hkp ∗ HCdemand@i − 1D − Csupply@i − 1DLLD;
w @iD = w @i − 1D ∗ Exp@Hkw ∗ H Ldemand@i − 1D − Lsupply@i − 1DLLD;
W @iD =
0.45 ∗ H W @i − 1D − p@i − 1D ∗ Cdemand@i − 1D + w @i − 1D ∗ Lsupply@i − 1D +
d@i − 1D ∗ Sdemand@i − 1DL;
d@iD = p@i − 1D ∗ Csupply@i − 1D − w @i − 1D ∗ Ldemand@i − 1D;
retsaham − r
;
proporsiS =
antirisk ∗ volat2
Sdemand@iD = proporsiS ∗ W @iD;
Bdemand@iD = H1 − proporsiSL ∗ W @iD;
s@iD = s@i − 1D ∗ Exp@Hks ∗ HSdemand@i − 1D − Sdemand@iDLLD;
a
w @iD
∗
∗ NN ∗ Lmax +
a + b + c p@iD
a
W @iD + d@iD ∗ Sdemand@iD + r ∗ Bdemand@iD − T@iD
∗
;
a+ b + c
p@iD
Cdemand@iD =
Csupply@iD = alfa 1−beta ∗ beta 1−beta ∗
1
beta
Ldemand@iD = Halfa ∗ betaL 1−beta ∗
1
w @iD
p@iD
w @iD
p@iD
beta
beta−1
1
beta−1
;
;
Lsupply@iD =
a+b
c
W @iD + d@iD ∗ Sdemand@iD + r ∗ Bdemand@iD − T@iD
∗ NN ∗ Lmax −
∗
;
a+ b + c
a + b +c
w @iD
beta ∗ a + c
wwalras@iD =
∗
NN ∗ Lmax ∗ Ha ∗ H1 − betaL + bL
H W @iD + d@iD ∗ Sdemand@iD + r ∗ Bdemand@iD − T@iDL;
beta
a
beta ∗ a + c
∗K
O
∗
pwalras@iD =
alfa
NN ∗ Lmax ∗ beta ∗ a
H W @iD + d@iD ∗ Sdemand@iD + r ∗ Bdemand@iD − T@iDL
;
Ha ∗ H1 − betaL + bL
w @iD
wreal@iD =
;
p@iD
wwalras@iD
wrealwalras@iD =
;
pwalras@iD
, 8i, 1, 1000<
F
26
gbrA = Table@ p@tD@@1DD, 8t, 1, 900<D;
gbrB = Table@ pwalras@tD@@1DD, 8t, 1, 900<D;
ListPlot@8gbrA, gbrB<, PlotRange → 880, 900<, 81.21, 1.24<<,
GridLines → Automatic, Frame → True, FrameLabel → 8t H waktuL, p harga<,
Filling → Bottom D
p@800D
pwalras@800D
81.23458<
81.23435<
gbrA = Table@ w @tD@@1DD, 8t, 1, 900<D;
gbrB = Table@ wwalras@tD@@1DD, 8t, 1, 900<D;
ListPlot@8gbrA, gbrB<, PlotRange → 880, 900<, 80.0372, 0.0382<<,
GridLines → Automatic, Frame → True, FrameLabel → 8t H waktuL, w upah<,
Filling → Bottom D
w @800D
wwalras@800D
80.0378022<
80.0377942<
27
gbrA = Table@ wreal@tD@@1DD, 8t, 1, 900<D;
gbrB = Table@ wrealwalras@tD@@1DD, 8t, 1, 900<D;
ListPlot@8gbrA, gbrB<, PlotRange → 880, 900<, 80.0305, 0.031<<,
GridLines → Automatic, Frame → True, FrameLabel → 8t H waktuL, H w ê pL <,
Filling → Bottom D
wreal@800D
wrealwalras@800D
80.0306195<
80.0306186<
gbrA = Table@s@tD@@1DD, 8t, 1, 900<D;
ListPlot@8gbrA<, PlotRange → 880, 900<, 80.112, 0.1135<<,
GridLines → Automatic, Frame → True, FrameLabel → 8t waktu, harga saham <,
Filling → Bottom D
s@800D
80.112381<
28
tblA = Table@r, 8t, 1, 800<D;
ListPlot@8tblA<, PlotRange → 880, 800<, 80.05, 0.11<<,
GridLines → Automatic, Frame → True, FrameLabel → 8t, sukubunga<,
Filling → Bottom D
r
0.07
gbrA = Table@ W @tD@@1DD, 8t, 1, 900<D;
ListPlot@8gbrA<, PlotRange → 880, 900<, 88.8, 9.2<<,
GridLines → Automatic, Frame → True,
FrameLabel → 8t waktu, wealth kekayaan<, Filling → Bottom D
W @800D
89.0687<
29
tblA = Table@ Ldemand@tD@@1DD, 8t, 1, 900<D;
tblB = Table@ Lwalras, 8t, 1, 900<D;
ListPlot@8tblA, tblB<, PlotRange → 880, 900<, 8261, 268<<,
GridLines → Automatic, Frame → True, FrameLabel → 8t waktu, L<,
Filling → Bottom D
Ldemand@800D
Lwalras
8266.651<
266.667
tblA = Table@Csupply@tD@@1DD, 8t, 1, 900<D;
tblB = Table@Cwalras, 8t, 1, 900<D;
ListPlot@8tblA, tblB<, PlotRange → 880, 900<, 816.15, 16.35<<,
GridLines → Automatic, Frame → True, FrameLabel → 8t waktu, C<,
Filling → Bottom D
Csupply@800D
Cwalras
816.3294<
16.3299