Statistik - GEOCITIES.ws

STATISTIK - I
PENGUKURAN DISPERSI
(MEASURES OF DISPERSION)
MENGAPA PERLU UKURAN DISPERSI.
RATA – RATA DAN MEDIAN HANYA MENGGAMBARKAN SENTRAL
DARI SEKELOMPOK DATA, TETAPI TIDAK MENGGAMBARKAN
BAGAIMANA PENYEBARANNYA..
DUA KELOMPOK DATA DENGAN RATA-RATA SAMA, BELUM TENTU
MEMILIKI PENYEBARAN YANG SAMA. OLEH KARENA ITU, HANYA
DENGAN RATA-RATA KITA TIDAK DAPAT MELIHAT GAMBARAN
YANG JELAS DARI KELOMPOK DATA TERSEBUT.
UKURAN DISPERSI YANG KECIL MENUNJUKKAN NILAI DATA SALING
BERDEKATAN (PERBEDAAN KECIL), SEDANGKAN NILAI DISPERSI
YANG BESAR MENUNJUKKAN BAHWA NILAI DATA MENYEBAR
(PERBEDAAN NILAI MASING-MASING DATA BESAR)
UKURAN DISPERSI DIGUNAKAN UNTUK MELENGKAPI PERHITUNGAN
NILAI SENTRAL
CONTOH:
Data A terdiri dari nilai-nilai : 52 56 60 64 68
Data B terdiri dari nilai-nilai : 40 50 60 70 80
Rata-rata kedua kelompok data tersebut adalah sama (60) akan tetapi vasiasi
nilai-nilainya terhadap nilai sentral berbeda.
40
60
50
52
56
60
70
64
68
80
ADA 2 MACAM PENGUKURAN DISPERSI
 Pengukuran Dispersi Absolud, digunakan untuk mengetahui tingkat
variabilitas nilai-nilai observasi pada suatu data.
Metoda pengukuran dispersi absolud ada 4: Range; Deviasi Quartile;
Deviasi Rata-Rata dan Deviasi Standar.
 Pengukuran Dispersi Relatif, digunakan untuk membandingkan tingkat
variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilainilai observasi data lainnya.
Metoda pengukuran dispersi relatif ada 2: Koefisien Variasi dan Koefisien
Variasi Quartile.
RANGE: HIGHEST VALUE – LOWEST VALUE
Contoh: 30; 25; 32; 35; 43; 37; 46
Highest Value = 46
Lowest Value = 25
Range: 46 – 25 = 21
INTERQUARTILE RANGE : Q3 – Q1
Contoh: 95 103 105 110 114 115 121
Q1 = 103
Q3 = 115
Interquartile Range = 115 – 103
= 12
DEVIASI QUARTILE (Dk)
Q3 – Q1
Dk =
2
Contoh: 95 103 105 110 114 115 121
Q1 = 103
Q3 = 115
Q3 – Q1
Dk =
2
Q3 – Q1 = 115 – 103
= 12
Dk = 12/2 = 6
DEVIASI RATA-RATA =MEAN DEVIATION
Deviasi Rata-rata (Dx) = The arithmatic mean of the absolute value of the deviation
from the arithmatic mean.
MD = Dx =
Σ|x-x|
n
Contoh: 103 97 101 106 103
Rata-rata = (103 + 97 + 101 + 106 + 103)/5
Rata-rata = 102
n=5
Dx = {|103 - 102| + |97 – 102| + |101 - 102| + |106 - 102| + |103 - 102|}/5
= {1 + 5 + 1 + 4 + 1}/5
= 12/5 = 2,4.
Deviasi Rata-rata untuk data berkelompok
Dx =
f i = frekwensi kelas ke – i
x i = titik tengah kelas ke i
x = rata-rata
n= jumlah frkwensi data
Σ f i | xi – x |
n
Contoh:
Nilai Ujian
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
Jumlah
Frkuensi
1
2
4
2
9
Jawab:
fi
xi
f ixi
x i– x
| x i– x | f i
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
1
2
4
2
24,5
34,5
44,5
54,5
24,5
69
178
109
-17,8
-7,8
2,2
12,2
17,8
15,6
8,8
24,4
Jumlah
9
Nilai Ujian
66,6
Σf x
n
Dx =
380,5
Σ
f i | xi – x |
i=1
n
Dx = (66,6)/9 = 7,4
x=
n
x = 380,5/9 = 42,20
VARIANCE & STANDARD DEVIATION
Variance (Varian): The aritmatic mean of squared deviation from the mean
Standard Deviation (Deviasi Standar): The squared root of the variance
∑ (x - µ)
2
2
Populatin Variance : (σ ) =
N
Population Standard Deviation (σ) = √
∑ (x - µ)
N
2
Σ (x – x)
2
Sample Variance (S ) =
2
2
S =
n-1
Σ (x – x)
Σx - (Σx) /n
S=√
2
}
n -1
2
2
2
n-1
Sample Standard Deviation (S) = √ {
S=
2
 Rumus I
2
{Σx - (Σx) /n}
 Rumus II
n-1
2
√ 1/(n-1) [ Σx i - {(Σ x i ) /n}]
Catatan: untuk n > 100, (n – 1) dapat diganti dengan n
Contoh:
Hitung Varian dan Deviasi Standar dari data: 40, 50, 60, 70, 80.
Jawab:
Rata-rata data = (40 + 50 + 60 + 70 + 80)/5 = 60
2
x -x
(x - x)
40
50
60
70
80
-20
-10
0
10
20
400
100
0
100
400
1600
2500
3600
4900
6400
1000
19000
300
x
2
x
Varian (s ) =2 (1000)/ 5-1
= 250
Deviasi Standar = √250
= 15,81
Atau:
Varians :
2
= 1/(5-1){(19000 – 300/5)
= 250
Deviasi Standar:
= √ 250
= 15,81.
Untuk Data Berkelompok:
2
Σ f i (x ii – x )
Variance =
n-1
2
Deviasi Standar = √
Σ f i (x i – x )
n-1
Waktu (Menit)
0 - < 10
10 - < 20
20 - < 30
30 - < 40
40 - < 50
50 - < 60
60 - < 70
70 - < 80
Jumlah
f
2
6
16
12
7
4
2
1
50
Contoh :
Hitung Varians dan Deviasi Standar
menggunakan rumus I & II
Waktu (Menit)
f
x
fx
0 - < 10
10 - < 20
20 - < 30
30 - < 40
40 - < 50
50 - < 60
60 - < 70
70 - < 80
2
6
16
12
7
4
2
1
5
15
25
35
45
55
65
75
10
90
400
420
315
220
130
75
Jumlah
50
1660
x -x
-28,2
-18,2
-8,2
1,8
11,8
21,8
31,8
41,8
(x - x )
f ( x - x)
795,24
331,24
67,24
3,24
139,24
475,24
1011,24
1747,24
1590,48
1987,44
1075,84
38,88
974,68
1900,96
2022,48
1747,24
4569,92
11388,00
x = (Σfi xi )/n = 1660/50 = 33,2
2
2
S = {Σf i (x i - x)}/(n-1) = 11388/(50 – 1) = 11338/49 = 231,388
S = √231,388 = 15,21
PENGUKURAN DISPERSI RELATIF
Coeficien Variasi (Coeficient of Variation) (V/CV)):
The ratio of the standard deviation to the arithmatic mean, expressed as a percent.
V(CV) =
S
x
x 100%
Coeficien Variasi Quartil (Vk):
Adalah Deviasi Kwartil dibagi Median
Q3 – Q1
Vk =
Q3 + Q1