suku banyak - Latihan matematika di WordPress

SUKU BANYAK
1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 3x3  5x 2  11x  6 : x 2  3x  5 !
Jawab :
3x  4
x 2  3x  5
3x 3  5 x 2  11x  6
3 x 3  9 x 2  15 x
-
 4 x 2  26 x  6
 4 x 2  12 x  20
-
- 14 x  26
Jadi hasil baginya = 3x – 4 dan sisanya = -14x + 26
2. Tentukan sisa pembagian x 4  x 2  1 : x 2  x  !
Jawab :
x2  x  2
x 4  0 x3  x 2  0 x  1
x 4  x3 x3  x 2
x2  x
x3  x 2
2x2  0x
2x2  2x
2x  1
Jadi sisanya = 2x – 1
3. Tentukan sisa pembagian 2 x3  7 x 2  11x  4 : 2 x  1 !
Jawab :
2
1
2
2
-7
1
-6
11
-3
8
Jadi sisanya = 0
-4
4
0
+
4. Tentukan sisa pembagian x3  3x2  5x  9 : x  2 !
Jawab :
1
2
-3 5
2 -2
-1 3
1
-9
6 +
-3
Jadi sisanya = -3
5. Tentukan m supaya 4 x 4  12 x3  mx2  2 habis dibagi 2x – 1 !
Jawab :
4
1
2
-12
2
m
-5
0
2
m 5
2
m 5
4
-10
m-5
m 5
2
+
4
0
2  m45  0  m  3
6. Jika x – y + 1 merupakan sebuah faktor dari ax 2  bxy  cy 2  5x  2 y  3 , maka tentukan
nilai a, b dan c !
Jawab :
ax 2  bxy  cy 2  5 x  2 y  3  h( x) x  y  1  0
x  y  1  a( y  1) 2  b( y  1) y  cy 2  5( y  1)  2 y  3  0
(a  b  c) y 2  (2a  b  3) y  (a  2)  0 y 2  0 y  0
a2  0  a  2
2a  b  3  0  b  1
a  b  c  0  c  1
7. Bila x3  4 x 2  5x  p dan x 2  3x  2 dibagi x – 1 memberikan sisa yang sama, maka
tentukan p !
Jawab :
Jika f(x) : (x – a ) maka sisanya = f(a)
(1)3  4(1)2  5(1)  p  (1)2  3(1)  2  p  6
8. Bila f(x) dibagi x + 2 mempunyai sisa 14 dan jika dibagi x – 4 sisanya –4. Tentukan sisanya
jika f(x) dibagi x 2  2 x  8 !
Jawab :
Misal sisanya = ax + b
f ( x)  h( x)( x 2  2 x  8)  (ax  b)
f ( x)  h( x)( x  2)( x  4)  (ax  b)
f (2)  2a  b  14 .........(1)
f (4)  4a  b  4 ..........(2)
Dari (1) dan (2) didapat a  3 dan b  8
Jadi sisanya  3 x  8
9. Tentukan banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan 2 x 4  3x3  11x 2  3x  9  0
Jawab :
Faktor dari 9 yaitu  1,  3,  9
2
1
2
-1
3
2
2
-3
2
-1
-2
-3
6
3
-11
-1
-12
3
-9
9
0
+
3
9
-12 -9
-9
0
9 +
0
+
2 x 4  3x3  11x 2  3x  9  0
( x  1)( x  1)( x  3)( 2 x  3)  0
x  1, x  1, x  3 atau x   32
jadi banyaknya akar-akar rasional bulat ada 3.
10. Tentukan banyaknya akar real persamaan x5  x 4  2 x3  x 2  x  2  0
Jawab :
1
-1
-2
1
1
1
1
1
1
2
-1
1
-2
-1
-2
2
0
-1
-1
2
1
1
0
1
1
2
-2
0
1
1
2
-2
0
+
+
-2
2
0
+
( x  1)( x  1)( x  2)( x 2  x  1)  0
Karena pada x 2  x  1 harga D<0 maka banyaknya akar real hanya ada 3.
11. Jika x = -2 dan x = 4 akar real persamaan x3  px  q  0 maka tentukan akar real ketiga !
Jawab :
x1  x2  x3  
b
0
 2  4  x3   x  2
a
1
12. Akar-akar persamaan x3  4 x 2  x  4  0 adalah x1 , x2 dan x3 . Tentukan nilai
2
2
2
x1  x2  x3 !
Jawab :
b
4
a
c
x1 x2  x1 x3  x2 x3   1
a
2
2
2
x1  x2  x3  ( x1  x2  x3 ) 2  2( x1 x2  x1 x3  x2 x3 )  42  2.1  14
x1  x2  x3  
13. Apabila akar-akar persamaan x 4  8 x3  ax 2  bx  c  0 membentuk deret aritmetika
dengan beda 2, maka tentukan a, b dan c !
Jawab :
Misal x1  p, x2  p  2, x3  p  4 dan x4  p  6

b
 p  ( p  2)  ( p  4)  ( p  6)  8  p  1
a
x2  1, x3  3 dan x4  5
x1  x2  x3  x4  
Jadi
x1  1,
c
a
a
(1).1  (1).3  (1).5  1.3  1.5  3.5   a  14
1
d
 x1 x2 x3  x1 x2 x4  x1 x3 x4  x2 x3 x4  
a
(b)
(1).1.3  (1).1.5  (1).3.5  1.3.5  
 b  8
1
e
e
 x1 x2 x3 x4   1.1.3.5   e  15
a
1

x1 x2  x1 x3  x1 x4  x2 x3  x2 x4  x3 x4 
14. Tentukan sisa P( x)  x3  2 x  3 dibagi oleh x 2  2 x  3 !
Jawab :
Dengan pembagian kurung siku akan menghasilkan sisa = 5x + 9
15. Tentukan hasil bagi dan sisa 4 x3  2 x 2  x  1 : 2 x 2  x  1
Jawab :
Dengan pembagian kurung siku akan didapat hasil bagi (2x – 2) dan sisa (x + 1)
16. Tentukan sisa pembagian f ( x)  4 x 4  x3  x 2  12 x dibagi oleh 2 x  2  !
Jawab :
f ( 12 2 )  4( 12 2 ) 4  ( 12 2 )3  ( 12 2 ) 2  12 ( 12 2 )
 4. 14  14 2  12  14 2 
1
2
17. Suku banyak 6 x3  7 x 2  px  24 habis dibagi oleh 2x – 3. Tentukan p !
Jawab :
6
3
2
6
3
2
7
9
p
24
16
p+24
-24
3
2
p6 +
0
p  12  0  p  8
18. Salah satu faktor dari 2 x3  5x 2  px  3 adalah (x + 1). Tentukan faktor linear yang lain !
Jawab :
x  1  2  5  p  3  0  p  4
-1
3
2
2
2
-5
-2
-7
6
-1
-4
7
3
-3 +
0
3
-3 +
0
Jadi faktor linear yang lain adalah (x – 3) dan (2x – 1)
19. Suku banyak P( x)  3x3  4 x 2  6 x  k habis dibagi x – 2. Tentukan sisa pembagian P(x)
oleh x 2  2 x  2 !
Jawab :
x= 2 maka 24 – 16 – 12 + k = 0 atau k = 4
3x – 10
x2  2x  2
3x3  4 x 2  6 x  4
3x3  6 x 2  6 x
 10 x 2  12 x  4
 10 x 2  20 x  20
Jadi sisanya = 8x + 24
8x + 24
20. Suku banyak 2 x3  ax 2  bx  3 dibagi oleh x 2  4 bersisa x + 23. Tentukan nilai a + b !
Jawab :
2 x 3  ax 2  bx  3  h( x)( x  2)( x  2)  ( x  23)
x  2  16  4a  2b  3  25  2a  b  3 ........(1)
x  2  16  4a  2b  3  21  2a  b  17 .........(2)
Dari (1) dan (2) didapat a  5 dan b  7
Jadi a  b  12
21. Tentukan a agar suku banyak 4 x 4  12 x3  13x 2  8x  a dan 6 x 2  11x  4 mempunyai satu
faktor yang sama !
Jawab :
6 x 2  11x  4  (3x  4)( 2 x  1)
Jadi faktor  faktornya x 
x
4
1
dan x 
3
2
1
1
1
1
 4.  12.  13.  4  a  0  a  2
2
16
8
4
22. Jika V(x) dibagi oleh x 2  x dan x 2  x masing-masing bersisa 5x + 1 dan 3x + 1. Tentukan
sisanya jika V(x) dibagi x 2  1 !
Jawab :
V ( x)  h( x) x( x  1)  (5 x  1)  V (1)  5.1  1  6
V ( x)  h( x) x( x  1)  (3x  1)  V (1)  3  1  2
V ( x)  h( x)( x  1)( x  1)  (ax  b)
V (1)  a  b  6 ........(1)
V (1)  a  b  2 ..........(2)
Dari (1) (2) didapat a  2 dan b  20
Sehingga sisanya  2 x  20
23. Jika f(x) dibagi dengan x – 2 sisanya 24, sedangkan jika dibagi x + 5 sisanya 10. Tentukan
sisanya jika f(x) dibagi x 2  3x  10 !
Jawab :
f ( x)  h( x)( x  2)( x  5)  (ax  b)
f (2)  2a  b  24 ........(1)
f (5)  5a  b  10 ........( 2)
Dari (1) dan (2) didapat a  2 dan b  20
Sehingga sisanya  2 x  20
24. Suku banyak f(x) habis dibagi oleh x – 1. Tentukan sisa pembagian f(x) oleh (x–1)(x+1) !
Jawab :
f ( x)  h( x)( x  1)( x  1)  (ax  b)
f (1)  a  b  0 ...........(1)
f (1)  a  b .............(2)
Dari (1) dan (2) maka :
a +b=0
-a + b = f(-1)
2b = f(-1) atau b = ½ f(-1)
a + ½ f(-1) = 0 atau a = - ½ f(-1)
Jadi sisanya = ax + b = - ½ f(-1) x + ½ f(-1) = ½ f(-1) (1 – x)
25. Suku banyak f(x) dibagi x + 5 memberikan sisa (2x – 1) dan dibagi oleh (x – 3) memberikan
sisa 7. Tentukan sisa pembagian f(x) dibagi x 2  2 x  15 !
Jawab :
f (5)  2.(5)  1  11
f (3)  7
f ( x)  h( x)( x  5)( x  3)  (ax  b)
f (5)  5a  b  11 .......(1)
f (3)  3a  b  7 ............(2)
Dari (1) dan (2) didapat a 
Jadi sisanya  94 x 
1
4
9
4
dan b 
1
4
26. Diketahui suku banyak f(x). jika dibagi (x + 1) bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Suku
banyak g(x) jika dibagi (x + 1) bersisa –9 dan jika dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x) =
f(x).g(x), maka tentukan sisa pembagian h(x) oleh x 2  2 x  3 !
Jawab :
f (1)  8,
f (3)  4, g (1)  9 dan
g (3)  15
h( x)  p ( x)( x 2  2 x  3)  (ax  b)
f ( x). g ( x)  p ( x)( x  1)( x  3)  (ax  b)
f (1). g (1)  a  b   a  b  8.(9)   a  b  72 ........(1)
f (3). g (3)  3a  b  3a  b  4.15  3a  b  60 ...........(2)
Dari (1) dan (2) didapat a  33 dan b  39
Jadi sisanya  33 x  39
27. Tentukan jumlah akar-akar dari persamaan 2 x3  3x 2  11x  6  0
Jawab :
x1  x2  x3  
b 3

a 2
28. Akar-akar persamaan px3  14 x 2  17 x  6  0 adalah x1 , x2 dan x3 . Untuk x1  3 maka
tentukan nilai x1x2 x3 !
Jawab :
b
14
14
 3  x2  x3 
 x2  x3 
 3 .........(1)
a
p
p
c
17
17
x1 x2  x1 x3  x2 x3   3 x2  3x3  x2 x3 
 3( x2  x3 )  x2 x3  ...(2)
a
p
p
d
6
2
x1 x2 x3    3 x2 x3   x2 x3 
...........(3)
a
p
p
Substitusi (1) dan (3) ke (2) :
x1  x2  x3  
 14
 2 17
3  3   
 p3
 p
 p p
2 2
x2 x3  
p 3
2
x1 x2 x3  3.  2
3
29. Persamaan 2 x3  3x2  px  8  0 mempunyai sepasang akar berkebalikan. Tentukan p !
Jawab :
Misal x1 
1
 x1 x2  1
x
d
8
 1.x3    x3  4
a
2
b
1
3
x1  x2  x3    x1   4    (2 x1  1)( x1  2)  0
a
x1
2
x1 x2 x3  
1
 x2  2
2
1
x1  2  x2 
2
x1 
c
a
1
1
.2  2 .(4)  2.(4) 
2
x1 x2  x1 x3  x2 x3 
p
2
 p  18
30. Persamaan x3  3x 2  16 x  k  0 mempunyai sepasang akar yang berlawanan. Tentukan
nilai k !
Jawab :
Misal x1   x2  x1  x2  0
b
3
 0  x3    x3  3
a
1
c
x1 x2  x1 x3  x2 x3 
a
x1 x2  3x1  3x2  16  x1 x2  3( x1  x2 )  16  x1 x2  3.0  16  x1 x2  16
x1  x2  x3  
x1 x2 x3  
d
k
 16.(3)    k  48
a
1