832 )1( 532 = + + = + = + yx xxx x 8 32 04 512 > + ≤

II.
2.1
TEORI DASAR
Persamaan dan Pertidaksamaan
Persamaan didefinisikan sebagai suatu pernyataan matematika dalam bentuk
simbol yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis sama. Dimana
persamaanya ditulis dengan tanda sama dengan.
Misalnya :
2  35
( x  1) x  x 2  x
2x  3y 8
Pertidaksamaan didefinisikan sebagai kalimat matematika yang
menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dimana persamaan
menggunakan 2 tanda dasar yaitu kurang dari (<) dan tanda lebih dari (>).
Misalnya :
2 1 5
x2  x  4 0
2x  3y 8
(Wikipedia, 16 Januari 2010).
6
Definisi 2.1.1 Persamaan Linear
Persmaan linear dengan n varibel x , x , x  x sebagai pesamaan yang
1
2
3
n
dapat dinyatakan dalam bentuk
a x  a x  a x    a x  b
1
1
2
2
3
3
n
n
Dimana a1, a2, a3,.....an dan b merupakan konstanta real. Variabel-variabel
dalam persamaan linier seringkali disebut sebagai faktor yang tidak
diketahui (Anton-Rorres, 2004) .
2.2
Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear atau disebut juga sebagai sistem linear merupakan
persamaan linear dengan jumlah tertentu dalam variabel x , x , x  x
1
2
3
n
(Anton-Rorres, ).
Dimana sistem persamaan linear dengan n-variabel dinyatakan sebagai :
a11 x1  a12 x 2  a13 x3    a1n x n  b1
a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3    a 2 n x n  b2
a31 x1  a32 x 2  a33 x3    a3n x n  b3


a n1 x1  a n 2 x 2  a n 3 x3    a nn x n  bn
(Munir, 2006) .
7
2.3
Matriks Persegi
Matriks persegi yaitu himpunan unsur-unsur yang disusun berdasarkan
penggolongan terhadap dua sifat yang disebut sebagai baris dan lajur
(kolom) yang sama atau dilambangkan dengan M nxn . Suatu matrik juga
merupakan himpunan beberapa vektor baris atau vektor kolom.
Suatu matriks ditulis dengan menggunakan tanda kurung siku dan
disimbolkan dengan huruf besar abjad Latin.
Anxn
 a11 a12
a
 21 a 22
 a31 a32

 
 a n1 a n 2
a13  a1n 
a23  a2n 
a33   

 
a n3  a nn 
baris
kolom
Penulisan matriks persegi dapat disederhanakan yaitu
A  (aij ) nxn
nn
(Triatmojo, 1992)
Definisi 2.3.1 Matriks Segitiga Atas
Suatu matriks persegi n x n dikatakan matriks segi tiga atas (uppertriangular) U  (u ij ) jika unsur pada u ij  0 untuk i  j  1, j  2, .....n
8
Contoh matriks segitiga atas :
1
0
A 
0

0
3
2
0
0
5
0
3
0
7
6
6

9
(Nasution, 1980).
Definisi 2.3.2 Matriks Segitiga Bawah
Suatu matriks persegi n x n dikatakan matriks segitiga bawah (lowertriangular) L  (l ij ) jika unsur pada l ij  0 untuk i  1,.2, 3 j  1
Contoh matriks segitiga bawah :
1
2
A 
0

3
0
4
3
7
0
0
5
8
0
0

0

3
(Nasution, 1980 ).
Definisi 2.3.3 Matriks Diagonal
Suatu matriks persegi n x n dikatakan matriks diagonal D  (d ij ) dimana
d ij  0 untuk i  j , tau dapat dinyatakan dengan skema berikut :
d ij

 0 min imal satu unsur
0
jika i  j
jika i  j
9
Bentuk umum matriks diagonal :
d11
0

A  

0
 0
0
0  0 
d 22 0  0 
    

0   0 
0
0  d nn 
(Burden, 1997).
Definisi 2.3.4 Matriks Tridiagonal
Matriks tridiagonal yaitu sutu matriks bujursangkar yang memiliki 3 jalur
diagonal.
Bentuk umum :
a22 a12
a a
 21 22
 0 a32
A 

 
 0 0

 0 0
0
0

0 
a23
0

0 
a33
a34

0 




 
 a n  1n  2 a n  1n  1 a n  1n 


0
ann  1 ann 
(Triatmojo, 1992).
Definisi 2.3.5 Matriks Jarang
Suatu matriks persegi n x n dikatakan matriks jarang jika elemen-elemennya
didominasi oleh elemen nol.
10
Contoh matriks jarang :
1
0

A  0

 2
 0
0
3
0
0
1
0 1
0
0 2
1 
5 0
0

0 4 0 
0 0  2
(Conte & Boor, 1993).
Definisi 2.3.6 Minor Matriks Persegi
Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari A dinyatakan sebagai
M ij dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa
setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Bilangan (1) i  j M ij
dinyatakan sebagai C ij dan disebut sebagai kofaktor dari entri a ij .
Misalkan pada :
A3 x 3
 a11
 a 21
a31
a12
a 22
a32
a13 
a 23 
a33 
Maka matriks minornya adalah :
a
M 11   22
a32
(Anton-Rorres, 2004)
a23 
a33 
a
M 12   21
a31
a23 
a
M 13   21

a33 
a31
a22 
a32 
11
Definisi 2.3.7 Kofaktor Matriks Persegi
Dengan menggunakan aturan papan catur maka akan diperoleh
Cij  (1) i  j M ij sebagai berikut :































maka diperoleh : C11  M 11 C12   M 12 C13  M 13 C14   M 14
Misalkan pada :
A3 x 3
 a11
 a 21
a31
a12
a 22
a32
a13 
a 23 
a33 
Maka matriks kofaktornya adalah :
a23 
a
C11   22

a32 a33 
a 
a 
a
a
C12    21 23  C13   21 22 
a31 a33 
a31 a32 
(Anton-Rorres, 2004)
Definisi 2.3.8 Determinan Matriks
Determinan matriks persegi n x n didefinisikan sebagai berikut :
1. Jika A a adalah matriks yang berukuran 1 x 1 maka det A a .
2. Jika A adalah matriks berukuran n x n, dengan matriks minor Mij adalah
determinan matriks berukuran (n-1) x (n-1) yang merupakan submatrik
A yang diperleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j .
12
3. Kofaktor Aij merupakan persekutuan dari Mij yang didefinisikan dengan
Aij  (1) i  j M ij .
4. Determinan dari matriks A yang berukuran n x n dimana n>1 dinyatakan
dengan
n
det A   aij Aij 
j 1
n
 (1) i j aij M ij
j 1
Untuk i=1, 2, 3 ....n
(Burden, 1997).
 
Jika sebarang matriks A  aij berukuran n x n , maka determinan dari A
adalah sebagai berikut :
 a11
a
 21
det( A)  a31

 
a n1
a12
a 22
a32

an2
a13
a 23
a33

an3





a1n 
a 2 n 
a3n 

 
a nn 
 a11C11  a120 C12  a13 C13   a1n C1n
Misal :
a11
det( A)  a 21
a31
 a11
a 22
a32
a12
a 22
a32
a13
a 23
a33
a 23
a
 a12 21
a33
a31
a 23
a
 a13 21
a33
a31
a 22
a32
 a11 (a 22 a33  a32 a 23 )  a 23 (a 21 a33  a31 a 23 )  a13 (a 21 a32  a31 a 22 )
(Anton-Rorres, 2004)
13
Misalkan A merupakan sebuah matriks persegi berukuran n x n maka
berlaku :
1. Jika terdapat baris atau kolom yang semua unsurnya adalah nol maka
det A  0 .
~
2. Jika A adalah matriks yang diperoleh dengan menukar baris atau kolom
~
matriks A ( Ei  E j ) dengan i  j , maka det A   det A .
3. Jika A memiliki dua baris atau kolom yang sama atau sebanding, maka
det A = 0.
~
4. Jika A adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan salah satu
~
baris dengan konstanta  yaitu (Ei  Ei ) , maka det A   det A .
~
5. Jika A adalah matriks yang diperoleh dengan cara menembakan kolom
atau baris dengan kolom atau baris yang lain yaitu Ei  E i  E j  maka
determinannya sama.
(Burden, 1997)
Definisi 2.3.9 Matriks Dominan Diagonal
Suatu matriks persegi A yang berukuran n x n dikatakan dominan diagonal
jika :
n
a ii   aij
j 1
j i
untuk i = 1, 2, 3, ...n
14
Contoh matriks dominan diagonal :
7 2 0 
A  3 5  1
0 5  6
Karena :
720
5  3  1
6  0  5
(Gerald & Wheatley, 1997)
Definisi 2.3.10 Invers Matriks
Apabila A didefinisikan sebagai matriks maka matriks inversnya adalah A-1,
sedemikian sehingga :
A 1 
1
Adjoin( A)
det A
Invers matriks diagonal dituliskan dengan :
D 1  aii1
atau
D 1  d i1
Bentuk umum :
 d1
 0

D  0

 
 0
0
d2
0

0
0
0
d3

0
 0
 0 
 0  maka D 1

 
 d n 
0
 1 / d1 0
 0 1/ d
0
2

 0
0 1/ d3



 
 0
0
0
 0 
 0 
 0 

  
 1 / d n 
15
Berlaku jika dan hanya jika semua entri pada diagonalnya merupakan
bilangan tak nol.
(Triatmojo, 1992).
Definisi 2.3.11 Nilai Eigen
Suatu sekalar yang dilambangkan dengan   yang merupakan nilai
karakteristik dari suatu matriks dimana nilai ini yang menentukan suatu
matriks memiliki solusi yang nontrivial (solusi selain nol)
Persamaan karakteristik didefinisikan sebagai :
det (I  A)  0
Dan kita dapat mencari nilai   dari persamaan ini.
(Anton-Rorres, 2004 ) .
Definisi 2.3.12 Jari-jari Spectral
Jari-jari spectral  (A) dari suatu matriks A didefinisikan dengan :
 ( A)  max  , dimana  adalah nilai eigen dari A.
(Untuk nilai eigen berupa bilangan kompleks     i maka kita memiliki
  ( 2   2 )1/ 2 )
2.4
(Burden, 1997).
Sistem Persamaan dalam Bentuk Matriks
Sistem persamaan linear (SPL) dapat ditulis dalam bentuk mariks yaitu :
Misal terdapat SPL
16
a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  a23 x3    a2 n xn  b2
a31 x1  a32 x2  a33 x3    a3 n xn  b3


an1 x1  an 2 x2  an 3 x3    ann xn  bn
Maka sistem persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk :
 a11
a
 21
a31

 
a n1
a12
a 22
a32
an2
a13  a1n   x1   b1 
a 23  a 2 n   x 2   b1 
a33  a3n   x3   b3 
   
  
a n 3  a nn   x n  bn 
Atau
Ax b
Dimana :
A : Matriks koefisien nxn
x : vektor kolom nx1 variable
B : vektor kolom nx1 dari kostanta
(Triatmojo, 1992)
Jika A adalah sebuah matriks berukuran n x n maka pernyataan beikut
ekuivalen :
1. Persamaan Ax  0 memiliki solusi tunggal x = 0
17
2. Suatu sistem persamaan Ax  0 memiliki solusi tunggal untuk vektor
kolom b berdimensi n.
3. Matriks A dikatakan matriks nonsingular jika A-1 ada dan det A  0 .
Suatu matriks koefisien
 a11 a12
a
 21 a 22
A   a31 a32

 
 a n1 a n 2

a13  a1n 
a 23  a 2 n 
a33  a3n 

 
a n3  a nn 
dapat diubah menjadi :
 a11
a
 21
A  a31


an1
a12 a13  a1n 
a22 a23  a2 n 
a32 a33  a3n 

 
an 2 an3  ann 
0
 a1n   0
a

0
 a2 n   21

   
 
0 an 1 n  an 11 an 1 2
 0   an1 an 2
a11
0

0


 0
0
a22
0

0
0
0
a33

0





0  0
0  0
0   
 
  0
ann  0
a11
0

0


 0
0
a22
0

0
0
0
a33

0





0  0  a12  a13
0  0 0  a23
0    

 
  0 0
0


ann  0 0
0
 D  L U
(Faires-Burden, 1998).
a12
0

0
0
a13
a23

0
0
 0
 0
 
 0
 an n 1
0
  a1n   0
 a

0
  a2 n   21


  
 
0  an 1 n   an 11  an 1 2

0    an1  an 2
0
0


0
0

0

0



0
  an n 1
0
0


0
0
18
2.5
Metode Iterative
Metode iterative merupakan teknik penghitungan secara numerik untuk
menyelesaikan suatu sistem persamaan linear n x n yang dinyatakan dengan
Ax b . Pada metode iterative ini, proses dimulai dari sebarang nilai awal
 
x(o) yang dipenuhi dengan X ( k )

k 1
yang akan konvergen ke suatu nilai x.
Metode iterative menggunakan proses konvers sistem Ax b ke dalam
sistem yang ekuivalen x  Tx  c dengan T adalah suatu matriks berukuran
n x n dan c merupakan suatu vektor solusi. Setelah itu nilai awal x(o) yang
dipilih disubstitusikan ke dalam persamaan iterative
x ( k )  Tx ( k 1)  c
Untuk k= 1, 2, 3, ...
Dan dilakukan berulang-ulang sampai mendapat hasil yang konvergen
( Faires - Burden, 1998).
a. Metode Jacobi
Metode Jacobi merupakan salah satu metode iterative dimana pada
proses iterasinya menggunakan algoritma yang sangat sederhana. Pada
iterasi Jacobi, unsur- unsur dari x(m) hanya digunakan dalam perhitungan
dari iterasi berikutnya (Conte & Boor, 1993).
19
Misal diberikan suatu sistem persamaan linear :
a11 x1  a12 x 2  a13 x3    a1n x n  b1
a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x3    a 2 n x n  b2
a31 x1  a32 x 2  a33 x3    a3n x n  b3


a n1 x1  a n 2 x 2  a n3 x3    a nn x n  bn
Dan diberikan nilai awal x
 x1(0) , x2(0) ,, xn(0) 
( 0)
Maka konsideran yang dapat dibentuk dengan metode Jacobi adalah :
x1
( k 1)

( k 1)

x2
b1  (a12 x 2
(k )
b2  (a 21 x1
(k )
 a13 x3
a11
(k )
 a 23 x3
a 22
(k )
   a1n x n
(k )
   a2n xn
)
(k )
)

x n( k 1) 
bn  (a n1 x1
(k )
 an 2 x2
a nn
(k )
   a nn x n
(k )
)
Dengan k= 0, 1, 2, 3....
Atau dapat disingkat dengan :
n
xi
( k 1)

n
bi   aij x j  aii xi
i 1 j 1
aii
(Munir, 2006).
Metode Jacobi juga sama artinya dengan metode iterasi titik tetap
dimana untuk suatu sistem persamaan dapat dibentuk suatu konsideran
dalam bentuk
xi(i1)  G( x (i) )  b'  Bx(i)
dimana i = 1, 2, 3, ....n
20
Yang identik dengan bentuk iterasi titik tetap
xi 1  g ( i )
Dengan menggunakan definisi
A  D  L U
Maka sistem persamaan linear Ax b dapat dinyatakan dengan :
Ax  ( D  L  U ) x  b
 Dx  ( L  U ) x  b
 D 1 Dx  D 1 (( L  U ) x  b)
x
 D 1 ( L  U ) x  D 1b
Dari bentuk di atas maka proses itersi Jacobi dapat dinyatakan dengan
x (i 1)  D 1 ( L  U ) x (i )  D 1b
(Gerald & Wheatley, 1997)
b. Metode Gauss-Seidel
Jika diketahui sistem persamaan linier Ax b berordo n dengan matriks
koofisien A (aij ) mempunyai elemen-elemen diagonal yang
semuanya tidak nol, maka berlaku algoritma Gauss-Seidel sebagai
berikut :
n
xi( k 1) 
bi   aij x (jk 1) 
j 1
aii
n
a x
j  i 1
ij
(k )
j
21
Atau dalam matriks formulasi
( L  D) x  Ux  b
( L  D) 1 ( L  D) x  ( L  D) 1Ux  ( L  U ) 1 b
x  ( L  D) 1Ux  ( L  D) 1 b
Dalam bentuk iterasi dapat di tulis :
x (i 1)  ( L  D) 1Ux (i )  ( L  D) 1 b
Misal diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut :
3x1  x2   x3  1
2 x1  4 x2  x3  5
 x1  5 x2  8 x3  5
Maka konsideran Gauss-Seidel adalah sebagai berikut :
1) iterasi -1
x1(1) 1  x2
(0)
 x3( 0 )
x2(1)  5  2 x1(1)  x3( 0 )
x3(1)  5  x1(1)  5 x2(1)
2) iterasi-2
x1( 2 ) 1  x2  x3(1)
(1)
x2( 2 )  5  2 x1( 2 )  x3(1)
x3( 2 )  5  x1( 2 )  5 x2( 2 )

Sampai iterasi konvergen (Conte & Boor, 1993).
22
c. Metode SOR (Successive Over-Relaxation)
Metode SOR merupakan metode iterative yang merupakan metode yang
dikembangkan menggunakan prinsip kerja yang sama dengan metode
Jacobi dan Metode Gauss-Seidel. Dimana pada Metode SOR
menggunkan iterasi sebagai berikut :
i 1
aii xi( k )    aij x (jk )  (1   )aii xi( k  1)  
j 1
n
 aij x (jk 1)  bi
j  i 1
i 1
(1   )aii xi( k  1)    aij x (jk )  
j 1
xi( k )

xi( k )
 (1   ) xi( k  1) 
n
 aij x (jk 1)  bi
j  i 1
aii

aii
i 1
(   aij x (jk ) 
j 1
n
 aij x (jk 1)  bi )
j  i 1
Dengan k = 1, 2, 3, ....
dimana   1
Atau dapat dinyatakan dalam bentuk vektor :
( D  L) x ( k )  (1   ) D  U  x ( k 1)  b
x ( k )  ( D  L) 1 (1   ) D  U  x ( k 1)  ( D  L) 1 b
Atau dapat ditulis :
x ( k )  T x ( k 1)  c
Dimana :
T
= ( D  L)1(1   ) D  U 
c
= ( D  L) 1b

= faktor skalar
23
Contoh iterasi dengan metode SOR :
Misal diberikan sistem persamaan linear dengan memisalkan  1,2
sebagai berikut :
3x1  x2   x3  1
2 x1  4 x2  x3  5
 x1  5 x2  8 x3  5
Maka,
1).
Iterasi-1
x1(1)  (1  1,2) x1( 0)  (1,2)(1  x2
(0)
 x3( 0) )
x 2(1)  (1  1,2) x 2( 0)  (1,2)(5  2 x1(1)  x3( 0) )
x3(1)  (1  1,2) x3( 0)  (1,2)(5  x1(1)  5 x 2(1) )
2)
Iterasi-2
x1( 2)  (1  1,2) x1(1)  (1,2)(1  x 2
(1)
 x3(1) )
x 2( 2)  (1  1,2) x 2(1)  (1,2)(5  2 x1( 2)  x3(1) )
x3( 2)  (1  1,2) x3(1)  (1,2)(5  x1( 2)  5 x 2( 2) )

Sampai iterasi konvergen (Faires-Burden, 1998) .
2.6
Tata Ancang Pivoting
Ada dua macam tata ancang pivoting yaitu :
1.
Pivoting Sebagian (partial pivoting)
24
Pada tata ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen
pada kolom p yang memiliki nilai mutlak nterbesar.
2.
Pivoting Lengkap
Pada tata ancang pivoting lengkap baris juga diikut sertakan dalam
pencarian elemen terbesar kemudian dipertukarkan . pada tata ancang
pivoting lengkap, pivot dipilih dari semua elemen baris dan kolom
dimana nilai diagonal harus memiliki mutlak terbesar dari mutlak
jumlah elemen barisnya (Munir, 2006).
2.7
Galat/Error ( )
Penyelesaian numerik dari suatu persamaan matematika hanya memberikan
nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak dari sustu penyelesaian analitik.
Hal ini akan menyebabkan adanya selisih antara nilai dari penyelesaian
analitik dengan nilai dalam penyelesaian secara numerik yang biasa disebut
sebagai galat (error). Error yang dihasilaknan dari sustu penyelesaian secara
numerik dapat disebabkan karena beberapa hal yaitu :
1. Kesalahan Bawaan
Adalah kesalahan dari nilai data yang biasanya disebabkan karena
kesalahan penyalinan data , salah dalam membaca skala, atau
kurangnya pengetian dalam mengenal hukum-hukum fisika (terutama
dalam masalah pengukuran).
25
2. Kesalahan Pembulatan
Adalah kesalahan yang terjadi karena tidak diperhitungkanya beberapa
angka terakhir dari suatu bilangan. Hal ini terjadi apabila bilangan
perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak.
Contoh :
8632574
dapat dibulatkan menjadi 8633000
3.1415926 dapat dibulatkan menjadi 3.14
3. Kesalahan Pemotongan
Yaitu kesalahan yang terjadi akibat tidak dilakukannya perhitungan
sesuai dengan prosedur matematika yang benar. Misalnya pada suatu
proses perhitungan tak hingga yang diganti dengan proses terhingga.
Contoh :
e x 1  x 
x 2 x3 x 4
   
2! 3! 4!
Nilai eksak diperoleh apabila semua suku diperhitungkan namun
dalam prakteknya sangat sulit memperhitungkan bilangan tak hingga.
(Triatmojo,2002)
Terdapat 2 jenis kesalahan (error) yaitu :
1.
Kesahan Absolut (absoluth error)
Didefinisikan sebagai berikut :
 abs  nilai perkiraan nilai eksak
26
2.
Kesalahan Relatif
Didefinisikan sebagai berikut :
 rel 
nilai perkiraan  nilai eksak
nilai eksak
Dengan presentase kesalahan yaitu :
 prc   abs / rel x 100%
(Purcell & Verberg, 1998)
Namun pada pendekatan numerik secara ietratif, perkiraan sekarang
berdasar pada perkiraan sebelumnya. Maka error merupakan selisih antara
perkiraan sebelumnya dan perkiraan sekarang sehingga error relatif yang
digunakan didefinisikan sebagai berikut :
 rel 
Pn 1  Pn
x100%
Pn 1
Dengan :
Pn 1 : perkiraan dari iterasi ke  n  1
Pn : perkiraan dari iterasi ke  n
(Munir, 2006)
2.8
Syarat Konvergensi Metode Iterative
1. Kovergensi Metode Jacobi
Iterasi Metode Jacobi akan konvergen ke suatu nilai x jika memenuhi
karakteristik berikut :
a. Koefisien A adalah matriks nonsingular
27
b. Diagonalnya tidak ada unsur nol, atau aii  0
c. Matriks koefisien sistem persamaan linearnya dominan diagonal
Suatu matriks dikatakan dominan diagonal (baris) jika :
n
d1   aij
j 1
j i
d.
Iterasi dikatakan konvergen pada suatu nilai x jika
x ( k )  x ( k 1)

x (k )
2. Konvergensi Metode Gauss-Seidel
a. Metode Gauss-Seidel konvergen jika sistem persamaan linear
konvergen pada Metode Jacobi
b. Jika radius spektral  (T ) 1
Teorema 1 :
Untuk sebarang nilai awal x ( 0)  R n pada x ( k ) k 0

Didefinisikan dengan
x ( k )  T ( k 1)  c
untuk k 1
akan konvergen pada solusi tunggal jika dan hanya jika  (T ) 1 .
Bukti :
Diasumsikan bahwa  (T ) 1
28
x ( k )  Tx ( k 1)  c
 T (Tx ( k 1)  c)  c
 T (T (Tx ( k 1)  c)  c)  c

 T k x ( 0)  (T ( k 1)    T  1)c
Selama  (T ) 1 matriks T konvergen dan
l im T k x (0)  0
k 

3. Konvergensi Metode SOR
a. Metode SOR akan konvergen jika sistem persamaan linear(SPL)
konvergen pada metode Jacobi dan metode Gauss-Seidel
b. Jika matriks koefisien memenuhi aii  0 untuk i=1, 2, 3, ...n dan
 (T )  1 maka SPL akan konvergen untuk 0    2 .
c. Jika A adalah matriks koefisien yang definit positif dan 0    2
maka metode SOR akan konvergen untuk berapapun nilai awal x(0).
d. Jika A adalah matrik koefisien yang definit positif dan merupakan
matriks tridiagonal maka  (T )2  1 maka  optimal yang dapat
dipilih agar iterasi konvergen yaitu :

(Burden, 1997).
2
1  1   (T j )
2