PERTEMUAN KE-1

PERTEMUAN KE-9
BAB II. FUNGSI DAN LIMIT
4 Limit Fungsi Trigonometri
Teorema :
1. lim sinx x  lim sinx x  1
x 0
2. lim
x 0
x 0
tan x
x
 lim tanx x  1
x 0
Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi:
lim
x 0
sin ax
bx
ax
x 0 sin bx
 lim
 lim
x 0
tan ax
bx
ax
x 0 tanbx
tan ax
x 0 tan bx
 lim
sin ax
x 0 tanbx
 lim
 lim
tan ax
x 0 sin bx
 lim

a
b
Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika
f(a) terdefinisi, maka: lim f (x )  f (a )
x a
Contoh :
1. lim sin 2x  cos x  sin 0  cos 0  0  1  1
x 0
2.
lim
x 1 
2
sin x cos x
2 sin x 3 cos x
sin 1  cos 1 
2
2
2 sin 1  3 cos 1 
2
2


10
2 0

1
2
Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu :
 00 ,   ,0.  .
4.1 Limit Bentuk
 00 
1.
lim sin 3x
x 0 tan 4x
2.
lim 1cos 2x
x0 3x. sin x
3.
sin x sin a
lim
x a
xa
xa

3
4
 lim
x0
lim
1(12 sin2 x)
3x. sin x
2 sin2 x
x0 3x sin x
 lim
2 cos 1 (x a).sin 1 (x a)
2
2
x a
2 sin sin x
.
x0 3x sin x
 lim
 lim 2 cos 12 (x  a).
xa


2
.(1)
3

2
3
sin 1 (x a)
2
(x a)
 2 cos 12 (a  a). 12  cos a
4.2 Limit Bentuk   
Limit bentuk     dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk
Contoh :
1
lim (sec x  tan x)  lim ( cos

x
x 
2
x 
2
2 cos 1 (   x) sin 1 (  x)
2 2
2 2
sin(  x)
x 
2
2
 lim
 2 cos 12


2


2
.[
1]
2
sin x
)
cos x
 lim 2 cos 21
x 
2
 cos 12   0
1sin x
cos x
x 
2
 lim


2

 x.
sin  . sin x
2

x   sin( 2 x )
2
 lim
sin 1 (  x)
2 2
sin(  x)
2
 00  .
4.3 Limit Bentuk  0.
Limit bentuk  0. dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk
Contoh :
(1)(sin 1 
2
x 1 cos 1 x
2
lim (x  1). tan 12 x  lim
x 1


 1  sin 1   
2
 1
2 


1
1
2

 00  .
 (x 1) 
 sin 1 x 
 lim  1
2
x 1 sin (1  x) 
 2

(x  1) sin 1 x
2
x 1 sin( 1   1 x)
2
2

 lim

2

5 Limit Deret Konvergen
Definisi :
Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio
(pembanding) : 1 < r < 1.
Teorema :
a
1r
S
S : jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen
a : U1 : suku pertama
U
r : rasio, yaitu r  U 21
Contoh :
1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut :
a) 2  1  21  41  .....
b) 3  1  13  91  .....
Jawab : a) S  1ar  12 1  21  4
b) S  1ar  1 (3 1 )  34 
2
2
3
3
9
4
2. Hitung limit berikut :
a)

n 
lim 1 
1
4

Jawab :
b)
1
16
...
1
4n

b)

i 1
lim 1  
a)
n
n
n
 2.3 i
n 
lim
1
4
1
16
 ... 
1
4n

2 2

a
  9 .... 2n   1  r
 2.3 i  lim
n 
i 1  3
3 
lim
i 1

a
1 r
2
3
1 2
3
 11 1 
4

3. Ubahlah menjadi pecahan biasa !
a) 0,6666 .....
b) 0,242424 .....
Jawab :
a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....
2
3
1
3
4
3
2

b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 +
a
1r
a
1r

0,6
10,1


0,24
10,01
0,6
0,9


0,24
0,99
6
9


2
3
24
99

8
33
4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku
bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu !
Jawab : S  12  1a r  12
...... (1)
U2 + U4 + U6 + ... = 4
ar + ar3 + ar5 + ... = 4
ar
 4   1a r  1r r   4
1 r 2
...... (2)
 
Dari(1) dan (2) : 12
r
1r
8r
Persamaan (1) :
Rasio =
1
2
a
1 r
 4  112rr 
 4  r  12
 12 
4  12r  4  4r
a
1 21
 12  a  6
dan suku pertama = 6
5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya
dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempat
sisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar
ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu !
Jawab :
D
R
C
S
Q
52
52
A
5
P
5
B
Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 =
100 cm2.
Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 =
50 cm2.
50
Rasio luas = 100
 21
Jumlah semua bujursangkar =
6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi
Definisi :
Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya
jika lim f (x )  f (a ) .
xa
Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu :
1. f(a) terdefinisi (ada)
2. lim f ( x ) terdefinisi ada
xa
3. lim f (x )  f (a )
xa
Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu
(tak sinambung) di x =a.
Perhatikan gambar berikut :
y
1.
f(x) kontinu di x = a,
sebab
f(a)
a
f(x)
3. f(a)
y
f(x) diskontinu di x = a,
x f ( x ) tidak ada
lim
sebab
xa
f(x) diskontinu di x = a,
x
sebab lim f ( x )  f(a)
a
f(a)
xa
f(x)
y
2.
lim f ( x)  f (a )
xa
f(x)
x
Contoh :
1. Tunjukkan bahwa fungsi f ( x)  x 2  x  3 kontinu di x = 1
Jawab :
1) f (1)  12  1  3  1  f(1) terdefinisi
2) lim f(x)  lim x2  x  3  12  1  3  1  lim f ( x ) terdefinisi
x 1
x 1
x 1
3) lim f (x )  f (1) Jadi fungsi f (x )  x2  x  3 kontinu di x =1.
x 1
2. Selidiki apakah fungsi f (x ) 
Jawab :
x2  9
x3
kontinu di x = 3
1)
f (3)  3339  00 (tidak terdefinisi)
Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3
2
3. Selidiki apakah fungsi
2
 xx 24 , untuk x  2
kontinu di x = 2
f ( x)  
4
,
untuk
x

2

Jawab : 1)
f(1) = 4 (terdefinisi)
2
2) lim f(x)  lim xx311  lim (x 1)(xx1 x 1)  lim x2  x  1  12  1  1  3
x 1
x 1
x 1
x 1
(terdefinisi)
3) lim f ( x)  f (1) , berarti f(x) diskontinu di x = 1
x 1
Kekontinuan fungsi
Suatu fungsi f(X) kontinu pada sebarang X, jika :
1. Nilai f(X) ada.
2. Nilai limit ada.
3. Nilai f(X) = nilai lim (X).
Contoh :
1. f(X) = 4+2X adalah kontinu poada sebarang nilai X.
X2 - 25
2. f(X) = -----------, adalah tidak kontinu pada X=5, karena.
X-5
Untuk X=5, maka :
(5)2 - 25
f(5) = ----------- = 0/0 (tidak terdefinisi).
5-5
X2 - 25
(X-5) (X+5)
lim ----------- = lim ---------------- = lim (X+5) = 10.
X5
X-5
X5 (X-5)
X5
Untuk X=5, nilai fungsi tidak sama dengan nilai limit.
Turunan dengan limit.
Fungsi Y=f(X) kemungkinan mempunyai turunan. Notasi turunan :
dY
df(X)
--- = -------- = Y’ = f’(X)
dX
dX
Fungsi f(X), maka turunannya
f(X+h) – f(X)
f’(X) = lim -------------------h0
h
Contoh :
1. f(X) = 4+2X, maka turunannya adalah f’(X) = 2.
[4+2(X+h)] – (4+2X)
f’(X) = lim ----------------------------h0
h
4+2X+2h – 4-2X
= lim -------------------------h0
= lim 2h/h
h0
= lim 2 = 2
h
2. f(X) = X2 +5X +1, maka turunannya adalah ;
(X+h)2 +5(X+h) +1 – (X2 +5X +1)
f’(X) = lim ----------------------------------------------h0
h
X2+2Xh+h2 +5X+5h+1 – X2 -5X -1
= lim ----------------------------------------------h0
h
2Xh+h2 5h
= lim ----------------h0
h
h(2X+h+ 5)
= lim ----------------- = lim (2X + h +5) = 2X+5.
h0
h
h0