3 Gabungan Fungsi Linier

Darpublic
www.darpublic
3. Gabungan Fungsi Linier
Sudaryatno Sudirham
Fungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membuat model dari perubahanperubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu,
temperatur, tekanan atau yang lain. Artinya waktu, temperatur, tekanan dan lainnya itu
menjadi peubah bebas, x, sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan
peubah tak bebas, y.
Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika dalam batasbatas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier, besaran fisis tersebut dapat
dimodelkan dengan memanfaatkan fungsi-fungsi linier dan model ini kita sebut model linier
dari besaran fisis tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis rangkaian
listrik.
3.1. Fungsi Anak Tangga
Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari −∞ sampai +∞. Jika kita menginginkan
fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 dan membentang hanya pada arah x positif,
kita memerlukan fungsi lain yang disebut fungsi anak tangga satuan yang didefinisikan
bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai satu untuk x ≥ 0 dan dituliskan sebagai u (x) . Jadi
u ( x) = 1 untuk x ≥ 0
(3.1)
= 0 untuk x < 0
Jika suatu fungsi tetapan y = k dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan, akan kita
peroleh suatu fungsi lain yang kita sebut fungsi anak tangga (disebut juga undak), yaitu
(3.2)
y = ku (x)
Fungsi anak tangga (3.2) bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai k untuk x ≥ 0. Gb.3.1.
memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi y = 3,5u ( x) dan fungsi y = −2,5u ( x)
yang bernilai nol untuk x < 0 dan bernilai 3,5 dan −2,5 untuk x ≥ 0.
y 5
y = 3,5 u(x)
0
-5
x
0
-4
5
y = −2,5 u(x)
Gb.3.1. Fungsi anak tangga.
Fungsi anak tangga seperti (3.2) dikatakan mulai muncul pada x = 0 dan k disebut amplitudo.
Kita lihat sekarang fungsi anak tangga yang baru muncul pada x = a. Ini tidak lain adalah
fungsi anak tangga tergeser. Fungsi demikian ini dinyatakan dengan mengganti peubah x
dengan ( x − a) . Dengan demikian maka fungsi anak tangga
y = ku ( x − a )
Sudaryatno Sudirham, “Gabungan Fungsi Linier”
(3.3)
1/6
Darpublic
www.darpublic
merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak tangga tergeser
dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini bergeser ke arah positif sumbu-x dan
jika negatif bergeser ke arah negatif sumbu-x. Gb.3.2. memperlihatkan kurva fungsi seperti
ini.
y 5
y = 3,5 u(x−1)
0
-5
x 5
1
0
-4
Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser.
Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0. Oleh
karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda dengan fungsi y = 1/x yang tidak terdefinisi di
x = 0 (telah disinggung di Bab-1).
3.2. Fungsi Ramp
Telah kita lihat bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengan kemiringan a, melalui
titik [0,0], membentang dari x = -∞ sampai x = +∞. Fungsi ramp terbentuk jika persamaan
garis tersebut bernilai nol untuk x < 0, yang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan
fungsi anak tangga satuan u(x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk x < 0).
Jadi persamaan fungsi ramp adalah
(3.4)
y = axu (x)
Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan.
Fungsi ramp tergeser adalah
(3.5)
y = a ( x − g )u ( x − g )
dengan g adalah pergeserannya. Perhatikanlah bahwa pada (3.5) bagian y1 = a( x − g ) adalah
fungsi linier tergeser sedangkan y2 = u ( x − g ) adalah fungsi anak tangga satuan yang
tergeser. Gb.3.3. memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan y1 = xu ( x) , fungsi ramp
y2 = 2 xu ( x) , dan fungsi ramp tergeser y3 = 1,5( x − 2)u ( x − 2) .
y
6
y2 = 2xu(x)
5
y1 = xu(x)
4
3
y3 = 1,5(x-2)u(x-2)
2
1
0
-1
0
1
2
3
x
4
Gb.3.3. Ramp satuan y1 = xu(x), ramp y2 = 2xu(x),
ramp tergeser y3 = 1,5(x-2)u(x-2).
Sudaryatno Sudirham, “Gabungan Fungsi Linier”
2/6
Darpublic
www.darpublic
3.3. Pulsa
Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan menghilang pada
x2>x1. Bentuk pulsa ini dapat dinyatakan dengan gabungan dua fungsi anak tangga, yang
memiliki amplitudo sama tetapi berlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya.
Persamaan umumnya adalah
(3.6)
y = au ( x − x1 ) − au ( x − x2 )
x1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x2 adalah pergeseran
fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x2 > x1. Penjumlahan kedua fungsi anak tangga
inilah yang memberikan bentuk pulsa, yang muncul pada x = x1 dan menghilang pada x = x2.
Selisih ( x 2 − x1 ) disebut lebar pulsa
lebar pulsa = x2 − x1
(3.7)
Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x = 1 dan
menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalah
y = 2u ( x − 1) − 2u ( x − 2)
= 2{u ( x − 1) − u ( x − 2)}
lebar
pulsa
y1=2u(x-1)
2
y1+y2= 2u(x-1)-2u(x-2)
1
0
-1
0
1
2
-1
3 x
4
y2=-2u(x-2)
-2
Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u(x-1)-2u(x-2)
Apa
yanga
berada dalam
tanda
kurung pada
persamaan
terakhir
ini,
yaitu
y′ = {u ( x − 1) − u ( x − 2)} , adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul pada x = 1 dan berakhir
pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yang muncul pada x = x1 dan berakhir pada x
= x2 adalah y′ = A{u ( x − x1 ) − u ( x − x2 )} ; lebar pulsa ini adalah (x2 – x1).
Contoh lain: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3 dan amplitudo 4,
memiliki persamaan y = 4{u ( x) − u ( x − 3)} .
Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesar lebar pulsanya,
( x2 − x1 ) , dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karena itu fungsi apapun yang dikalikan
dengan fungsi pulsa, akan memiliki nilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga
memiliki nilai.
Dalam praktek, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik dan disebut deretan pulsa.
Gb.3.5. memperlihatkan deretan pulsa yang dimaksud.
Sudaryatno Sudirham, “Gabungan Fungsi Linier”
3/6
Darpublic
www.darpublic
perioda
y
x
Gb.3.5. Deretan Pulsa.
Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul biasa diberi
simbol ton sedangkan selang waktu di mana ia menghilang diberi simbol toff. Satu perioda T =
ton + toff. Nilai rata-rata deretan pulsa adalah
yrr pulsa =
ton
y maks
T
(3.8)
dengan ymaks adalah amplitudo pulsa.
3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa
Persamaan umumnya adalah
y = mxu ( x) × A{u ( x − x1 ) − u ( x − x2 )}
(3.9)
dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan amplitudo pulsa.
Persamaan (3.9) dapat kita tulis
y = mAx{u ( x − x1 ) − u ( x − x2 )}
Perhatikan bahwa u ( x) = 1 karena ia adalah fungsi anak tangga satuan.
Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp y1 = 2 xu ( x) dengan fungsi pulsa
y2 = 1,5{u ( x − 1) − u ( x − 3)} yang hanya memiliki nilai antara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa
hasil kalinya hanya memiliki nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan
hasil kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp.
y3 = y1 y 2 = 2 xu ( x ) × 1,5{u ( x − 1) − u ( x − 3)}
= 3 x{u ( x − 1) − u ( x − 3)}
10
8
y3 = y1 y2
y1=2xu(x)
6
y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}
4
2
0
-1
0
1
2
3
4
x 5
Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y1 dan pulsa y2.
Perkalian fungsi ramp y1 = mxu ( x) dengan pulsa y2 = 1{u ( x) − u ( x − b)} membentuk fungsi gigi
gergaji y = (m × 1) x{u ( x) − u ( x − b)} yang muncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b.
(Gb.3.7).
Sudaryatno Sudirham, “Gabungan Fungsi Linier”
4/6
Darpublic
www.darpublic
y 10
y
8
y1=mxu(x)
6
y3 = y1 y2 =mx{u(x)-u(x-b)}
4
y2={u(x)-u(x-b)}
2
0
-1
0
1
2
b
4 xx
3
5
Gb.3.7. Kurva gigi gergaji
Seperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secara periodik, dengan
perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8.
Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah
yrr gigi - gergaji =
ymaks
2
(3.10)
dengan ymaks adalah nilai puncak gigi gergaji.
y
6
4
2
0
0
1
2
3
4 x 5
Gb.3.8. Gigi gergaji terjadi secara periodik.
3.5. Gabungan Fungsi Ramp
Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk
y = axu ( x) + b( x − x1 )u ( x − x1 ) + c( x − x 2 )u ( x − x 2 ) + .......
(3.11)
Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, y1 = 2 xu ( x) dan y2 = −2( x − 2)u ( x − 2) seperti
terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x
= 2, karena mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi gabungan
akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada saat mencapai x = 2.
y
y 12
10
y1=2xu(x)
8
6
4
2
0
-2 0
-4
-6
-8
y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)
1
2
3
4 x
5
y2= −2(x−2)u(x−2)
Gb.3.9. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.
y1 = 2 xu ( x)
Gb.3.10.
memperlihatkan
kurva
gabungan
dua
fungsi
ramp,
dan y = −4( x − 2)u ( x − 2) . Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan negatif dua kali lipat dari
Sudaryatno Sudirham, “Gabungan Fungsi Linier”
5/6
Darpublic
www.darpublic
kemiringan positif fungsi yang pertama. Oleh karena itu fungsi gabungan y3 = y1 + y2 akan
menurun mulai dari x = 2.
y
15
10
y1=2xu(x)
5
y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)
0
0
1
2
3
4
5
x
-5
y2= −4(x−2)u(x−2)
-10
Gb.3.10. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.
Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa y pulsa = u ( x − 1) − u ( x − 3) akan
kita peroleh bentuk kurva seperti terlihat pada Gb.3.11.
y
15
y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}
10
y1=2xu(x)
5
0
0
1
2
5
3
4
-5
x
-10
y2= −4(x-2)u(x-2)
5
Gb.3.11. Kurva {2xu(x)−4xu(x−2)}{u(x-1)-u(x-3)}
Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menyatakan bentuk gelombang segitiga
seperti terlihat pada Gb.3.12.
x
Gb.3.12. Gelombang segitiga.
Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalam bentuk
gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika. Rangkaian elektronika yang
membangkitkan gelombang gigi gergaji misalnya, kita jumpai dalam osciloscope.
3.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri
Fungsi anak tangga satuan yang tergeser y = u ( x − a) hanya mempunyai nilai untuk x ≥
a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikan dengan fungsi anak tangga ini juga
hanya memiliki nilai pada rentang x ≥ a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu.
Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yang memiliki sumbu-x
sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetris terhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan
fungsi anak tangga satuan yang tergeser.
Sudaryatno Sudirham, “Gabungan Fungsi Linier”
6/6