Transformasi Koordinat

Teori Relativitas Khusus
• Relativitas Klasik : Transformasi Galileo
• Masalah dalam Elektrodinamika Klasik
• Gelombang Elektromagnetik dan Konsep Ether
• Percobaan Michelson Morley
• Postulat Teori Relativitas Khusus
• Transformasi Lorentz
• Konsekuensi Transformasi Lorentz
• Momentum Relativistik
• Energi Relativistik
• Gaya dan Percepatan Relativistik
Relativitas Klasik : Transformasi
Galileo
(x,y,z)
(x’,y’,z’)
v
(x,y,z)
(x’,y’,z’)
v
O’
O
O’
O
x '  x  vt
x '  x  vx t
y' y
y '  y  vyt
z' z
z '  z  vz t
t't
t't
Relativitas Klasik : Transformasi
Galileo
 d 2x
d 2r
d2y
d 2z 
F  ma  m 2  m  i 2  j 2  k 2 
dt
dt
dt 
 dt
x  x ' vxt
y  y ' v y t
z  z ' vz t
t t'
x '  x  vx t
y '  y  vyt
z '  z  vz t
t't
 d 2x '
d 2r '
d2y'
d 2z ' 
F '  ma '  m 2  m  i
j
k
2
2
2 
dt '
dt
'
dt
'
dt
'


Hukum Newton tidak berubah terhadap Transformasi Galileo
Masalah dalam Elektrodinamika
Klasik
FE
+
FB
v
Terhadap O’ : hanya ada gaya listrik FE
Terhadap O : gaya listrik FE dan
gaya magnetik FB
FB
+
O’
FE
O
Hasil Pengamatan Berbeda
Ditinjau dari
2 kerangka inersial
Masalah dalam Elektrodinamika
Klasik
F
F
Jika batang bergerak & bidang B diam :
Gaya yang dialami = Gaya Lorentz
v
q


B

q



v





B

F  qv  B
F  qE
(a) Muatan bergerak
(b) Muatan diam
Jika batang diam & bidang B bergerak :
Gaya yang dialami = Gaya Elektrostatis
Gaya yang sama namun jenis
berbeda ditinjau dari kerangka
inersial yang berbeda
Gelombang Elektromagnetik dan
Ether
1.
2.
3.
4.
Hukum Coulomb / Gauss (Elektrostatik)
Hukum Ampere / Biot Savart (Magnetostatik)
Hukum Faraday (Induksi Elektromagnetik)
Tidak adanya muatan magnetik tunggal
2


E 
E
1

2
   2 2    0
 B  c t  B 
Persamaan Gelombang
Elektromagnetik
Transformasi
Galileo + Konsep Eter
Transformasi
Galileo
Persamaan berubah !
Tidak berubah !
Adakah Eter itu ??
Percobaan Michelson - Morley
Waktu Tempuh cahaya P-M1-P :
Cermin
M2
v
LB
L
2 A
LA
LA
2 LA  v 2 
c
T1 



1  
c  v c  v 1  v2 2
c  c2 
c
M1
Waktu Tempuh cahaya P-M2-P :
P
T2 
Sumber
Cahaya
2 LB
c2  v2

2
LB
1 v
c
2

c2
2 LB 
v2 
1



c  2c 2 
Cermin
LA
Teleskop
1  T1  T2 
2  LA  LB 
c
2 LAv 2 LB v 2
 3  3
c
c
Percobaan Michelson - Morley
Waktu Tempuh cahaya P-M1-P :
Cermin
M2
v
LB
T1 
2 LA
c2  v2

2
LA
1 v
c
2

c2
2 LA 
v2 
1



c  2c 2 
M1
Waktu Tempuh cahaya P-M2-P :
P
L
2
2 B
LB
LB
c  2 LB 1  v 
T2 




c  v c  v 1  v2 2
c  c2 
c
Sumber
Cahaya
Cermin
LA
Teleskop
1  T1  T2 
2  LA  LB 
c
LAv 2 2 LB v 2
 3  3
c
c
Percobaan Michelson - Morley
Percobaan Michelson - Morley
N 
1   2
T

c  1   2 

2
L

L
v

A
B

c2
Perbedaan Pola Interferensi
Hasil : Perbedaan Pola Interferensi tidak teramati
v = 0  tidak ada ether !!!
2
v
L  L 1
c2
(kontraksi Lorentz)
Postulat Relativitas Khusus Einstein
Kovariansi Hukum-hukum
Mekanika Klasik
Semua hukum fisika
mengambil bentuk yang
sama dalam semua kerangka
inersial
Masalah Kovariansi dalam
Elektrodinamika Klasik
Laju cahaya dalam vakum
adalah sama di semua
kerangka inersial, tidak
bergantung pada gerak
sumber atau pun pengamat
Postulat Relativitas Khusus
(On the Electrodynamics of Moving Bodies,
Ann. Phys, 17, 1905)
Transformasi Ruang – Waktu :
Transformasi Lorentz
Postulat II
Relativitas Khusus
x 2  y 2  z 2  c 2t 2
v
Sinyal cahaya
cc
O’
x 2  y 2  z 2  c 2t 2
x y z c t
2
2
2
2 2
x 2  y 2  z 2  c2 t 2
O
c 2 t 2  x 2  y 2  z 2  a  c 2t 2  x 2  y 2  z 2 
c 2t 2  x 2  y 2  z 2  a  c 2 t 2  x 2  y 2  z 2 
a 2  1 
a 1
c2 t 2  x 2  y 2  z 2  c 2t 2  x 2  y 2  z 2
Transformasi Ruang – Waktu :
Transformasi Lorentz
c2 t 2  x 2  y 2  z 2  c 2t 2  x 2  y 2  z 2
1 Dimensi
c 2 t 2  x 2  c 2t 2  x 2
 x   cos 
 
    sin 
z z
  ict ,   ict
sin   x 
 
cos    
Rotasi ruang – waktu x - 
yy
 2  x 2   2  x2


x

x
Transformasi Ruang – Waktu :
Transformasi Lorentz
Kerangka O' : x  0
 x   cos 
 
    sin 
v
O
0  x cos    sin  
 tan   
O’
sin  
iv
c 1 v
cos  


iv
c
c
2
c2

iv
1
1 v
x
sin   x 
 
cos    
2
c2
c2  v2
Transformasi Ruang – Waktu :
Transformasi Lorentz
 x   cos 
 
    sin 
sin  
iv
c 1 v
cos  
sin   x 
 
cos    
2
  ict ,   ict
c2
1
1 v
2
c2
x 
x  vt
1 v
t 
2
c2
t  xv
1 v
c2
2
c2
Transformasi Lorentz
1 Dimensi
Transformasi Ruang – Waktu :
Transformasi Lorentz
v
v
O’
O’
O
x 
O
x  vt
1 v
t 
x
2
t  xv
2
c
c2
2
1 v
c
2
Transformasi Lorentz
1 Dimensi (1) –
O diam & O’ bergerak
x  vt
1 v
t 
2
t  xv
1 v
c2
c2
2
c2
Transformasi Lorentz
1 Dimensi (2) –
O bergerak & O’ diam
Konsekuensi Transformasi Lorentz
Konsekuensi Panjang
y1 = y2 = y1’ = y2’
(x1’,y1’)
v
(x1,y1)
O
L’
L
(x2,y2)
(x2’,y2’)
O’
Pengukuran panjang oleh O dilakukan
pada waktu yang sama !!!!
L = x2 – x1
L’ = x2’ – x1’ ≡ L0
Transformasi
Lorentz 1 –D
(1)
v2
L  L0 1  2
c
Kontraksi Lorentz / Kontraksi Panjang
Konsekuensi Transformasi Lorentz
Kontraksi Lorentz / Kontraksi Panjang
Konsekuensi Transformasi Lorentz
Konsekuensi Waktu
y1 = y2 = y1’ = y2’
t’ = t2’ – t1’
v
t = t2 – t1
t’ = t2’ – t1’
 t = t 2 – t1
O
Transformasi
Lorentz 1 –D
(1)
O’
Pengukuran waktu oleh O’ dilakukan
pada tempat yang sama !!!!
t 
t '
v2
1 2
c
Dilatasi Waktu
Konsekuensi Transformasi Lorentz
Dilatasi Waktu
Konsekuensi Transformasi Lorentz
Konsep Simultanitas
Ujung-ujung kerangka bergerak tidak melihat
sinyal cahaya di kerangka diam pada waktu yang bersamaan
Konsekuensi Transformasi Lorentz
Efek Doppler Relativistik
v
t 
t '
v2
1 2
c
Selang waktu sinyal cahaya menurut O’ = T’
Selang waktu sinyal cahaya menurut O = T
Hubungan :
T  t 
d
d
c
O’
O O’ O’
d vT v


c
c
c
T
T'
1
2
v
c2
t 
t '
1
2

v
c2
cv
cv


T ' 
f

f'

cv
cv
T'
1
v2
c2
Konsekuensi Transformasi Lorentz
Konsekuensi Transformasi Lorentz
Paradoks Kembar
Konsekuensi Transformasi Lorentz
Kecepatan Relatif (1 dimensi)
Pada kerangka O’ :
v’
v
v' 
O
t 
t '
v2
1 2
c
dx
dt
Transformasi
Lorentz 1 –D
(2)
O’
Menurut kerangka O :
dx
v ' v
v

dt 1  v ' v
c2
Konsekuensi Transformasi Lorentz
Kecepatan Relatif (3 dimensi)
Pada kerangka O’ :
v’
v
v' 
O
O’
t 
t '
v2
1 2
c
dx
dt
Transformasi
Lorentz 1 –D
(2)
vx ' v
vx '
vz '
dx
dy
v2
dz
v2
Menurut kerangka O : vx  dt  vx ' v ; v y  dt   v ' v  1  c 2 ; vz  dt   v ' v  1  c 2
1 2
1 x 2 
1 x 2 


c
c 
c 


Konsekuensi Transformasi Lorentz
t
Peristiwa pada v < c :
• Time-like cone
• Kausalitas dipenuhi oleh setiap
kerangka inersial
v<c
v>c
x
v>c
v<c
Peristiwa pada v > c :
• Space-like cone
• Kausalitas tidak dipenuhi oleh
setiap kerangka inersial
Momentum Relativistik
Hukum Newton di kerangka O :
F  ma
v
v' 
O’
m
dx
dt
Hukum Newton di kerangka O’ :
F '  ma '
F, a
2
3
2
d x'
ax ' 
 ax
3
dt '2
vx v 

1  2 
c 

O

Hukum Newton
tidak invarian
terhadap
Transformasi
Lorentz !!!
1   2 
v
c
ay ' 
1     a
d y'

a
y
x
2
dt '2
vx v 

1  2 
c 

2
2
3
2
1   
2
 vy v 
 2 
 c 
3
vx v 

1  2 
c 

2  v v 
3
1     z2 
2
2

2
1



 a
d z'
 c 
az ' 
 az
x
2
3
2
dt '
vx v 
vx v 


1  2 
1  2 
c 
c 


Momentum Relativistik
Hukum Newton
Hukum Kekekalan
Energi
Hukum Kekekalan
Momentum
Hukum Kekekalan
Momentum Sudut
Momentum Relativistik
Benda bermassa m diperlambat hingga berhenti
p y’ = 0
d’
v
py’ = m’vy’
O’
O
Pada kerangka O’ :
• Partikel bermomentum py’
diperlambat hingga mencapai
jarak d’.
Pada kerangka O :
• Partikel bermomentum py
diperlambat hingga mencapai
jarak d = d’.
py = py’
Momentum Relativistik
Benda bermassa m diperlambat hingga berhenti
p y’ = 0
d’
v
py’ = m’vy’
O’
O
py '  m ' vy '
py  m
vy '
1  
vx ' v
c2
py '  py
v2
v2
1  2  mv y ' 1  2
c
c
Momentum Relativistik
Dua benda bermassa sama saling bertumbukan
v
u
v
u’’
v’
v
v’
u’’
u
O’
O
u
v
v
u’
u
m  vi   m  vi   m  vi   m  vi 
m  uj   m  uj   m  uj   m  uj 
Hukum kekekalan momentum
berlaku
u’
v' 
2v
 v2 
1  2 
 c 
u'
u
v2
1

c2
 v2 
1  2 
 c 
u '' 
u
v2
1

c2
 v2 
1  2 
 c 
m  0i   m  v ' i   m  0i   m  v ' i 
m  u ' j   m  u '' j   m  u ' j   m  u '' j 
Hukum kekekalan momentum
tidak berlaku
Momentum Relativistik
mo
m0 
 m
v
m0
2
v
1 2
c
v = kecepatan gerak
benda bermassa m0
Momentum Relativistik
Benda bermassa m diperlambat hingga berhenti
Kerangka O
m0
p y  mv y 
1



v2  vy 2
Kerangka O’
vy
c2

v2 
 vy ' 1  2 
2 
c 

v2  
2
v   vy ' 1  2 

c 

1
c2
m0

m0
v2 
 vy ' 1  2 

2
2
c 


v


v

y
1

1




c 2  
c 2 

m0
vy '  py '
2
v
1  y2
c
py '  m ' vy '

m0
2
1
vy '
c2
vy '
Momentum Relativistik
Dua benda bermassa saling bertumbukan
m0
1
Kerangka O
1
v u
c2
m0
2
m0
 0i  
2
u'
c2
m0
1
 uj  
v u
c2
2
u'
c2
v u
c2
m0
2
 vi  
v u
c2
2
 uj  
m0
1
2
2
1
Kerangka O’
2
 vi  
1
2
2
1
m0
1
u ' j  
1
v '  u ''
c2
m0
2
v '  u ''
c2
2
2
2
1
 v ' i  
v u
c2
m0
2
 vi  
v u
c2
2
 uj  
m0
2
2
1
 u '' j  
2
 u ' j  
u'
c2
u'
c2
v u
c2
m0
2
1
2
m0
1
1
 0i  
m0
 vi 
m0
2
v u
c2
2
2
m0
1
v '  u ''
c2
m0
2
1
2
 uj 
 v ' i 
v '  u ''
c2
2
2
 u '' j 
Momentum Relativistik
m0 
 m
p  mv 
 p
m0 v
v2
1 2
c
Momentum Relativistik
m0
v2
1 2
c

dp
d  m0 v
F

F
dt
dt  1  v22
c

Gaya Relativistik




Energi Relativistik
p  mv 
 p
Ek   F  ds  
m0 v
v2
1 2
c
dp
ds
 ds    dp
dt
dt
v
  v   vdm  mdv 
0
m0 
 m
m0
v2
1 2
c
m
Ek 
2
2
2
c
dm

mc

m
c
0

m0
E  Ek  m0c 2
 mc
2
Energi Relativistik
Gaya Relativistik


d  m0 v  d
F
  mv 
2
dt  1  v2  dt
c 

dv dm
m 
v
dt dt
m0 
 m
m0
v2
1 2
c
dv
v
m0 dv
m0
dt v
F

3
2
2 dt
2 2
c
v
 v 
1 2
1 2 

c
 c 
Soal-soal Kinematika Relativistik
1.
Dua meriam A dan B yang terletak pada xA = 0 dan xB = 1,5 km, menembak sebuah roket yang
sedang mendekat. A menembak saat t = 0 dan B menembak saat t = 1 s. Menurut detektor
pada roket, kedua meriam tersebut menembak pada waktu yang sama. Tentukanlah
kecepatan gerak roket tersebut.
2.
Dua pesawat ruang angkasa bergerak dalam arah yang berlawanan dipandang dari kerangka
bumi. Laju masing-masing adalah 0,84 c menurut kerangka bumi. Berapakah kecepatan
pesawat ruang angkasa relatif terhadap pesawat ruang angkasa yang lain ?
3.
Tiga sumber cahaya A, B dan C memancarkan cahaya monokromatik dengan frekuensi f0
menurut masing-masing sumber. Terhadap sumber A, B berkecepatan +v dan C
berkecepatan –v. Tentukanlah frekuensi cahaya yang diterima C dari sumber A dan B jika
a.
B mendekati C
b.
B meninggalkan C
4.
Kerangka S’ memiliki kecepatan dalam arah horisontal v terhadap kerangka S. Sebuah pulsa
cahaya dipancarkan pada t = t’ = 0 dan x = x’ = 0 dengan arah pulsa membentuk sudut
sebesar 30o terhadap sumbu x dari kerangka S. Tentukanlah besar sudut tersebut dilihat dari
kerangka S’.
5.
Sebuah sistem bintang biner (ganda) berotasi pada bidang yang sejajar dengan garis antara
sistem bintang dan bumi. Kedua bintang memancarkan cahaya yang berfrekuensi sama
menurut masing-masing bintang.Pergeseran Doppler pada bintang pertama adalah /o =
0.010 dan pada bintang ke dua adalah /o = 0.015.
a.
Tentukanlah perbanding massa antara kedua bintang tersebut.
b.
Jika bintang yang lebih ringan memiliki massa yang sama dengan massa
matahari, berapakah jarak antar dua bintang ?
Soal-soal Dinamika Relativistik
1.
Sebuah partikel memiliki energi 4m0c2. Berapakah momentum partikel tersebut ?
Berapakah energi partikel jika momentumnya = 2moc ?
2.
Berapakah kecepatan elektron (massa = 9,1.10-31 kg. muatan = 1,6.10-19 C) yang
bergerak dari keadaan diam melalui suatu panjang dengan beda potensial
sebesar 106 volt ?
3.
Sebuah partikel bermassa diam M0 meluruh menjadi dua partikel identik
bermassa diam m0. Tentukanlah kecepatan kedua partikel tersebut jika partikel
bermassa diam M0 berada dalam keadaan diam pada awalnya.
4.
Sebuah partikel dengan massa diam m0 dan energi kinetik 3m0c2 mengalami
tumbukan tidak lenting dengan sebuah partikel yang berada dalam keadaan
diam, dan setelah tumbukan massa diam sistem menjadi M0. Tentukanlah energi
dan momentum partikel setelah tumbukan.
5.
Sebuah proton berenergi tinggi menumbuk sebuah proton lain yang sedang
dalam ekadaan diam sehingga sebuah partikel 0 tercipta. Tentukanlah energi
yang diperlukan proton untuk menghasilkan proses ini. Diketahui massa proton
= u, massa 0 0,1449 u, dengan u = 1,67.10-27 kg.